Teorema de Bayes

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1. PROYECTO · UNIDAD 2 TEOREMA DE BAYES Integrantes Delgado Acosta Vielka Nieto Pérez Marisol Actualizar una probabilidad cuando aparece nueva información Materia: Probabilidad y estadística Grupo: 468 Fecha: 13 de octubre de 2026 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2. 01 · CONTEXTO ¿Quién fue Thomas Bayes? Una idea matemática que permite revisar nuestras creencias a partir de evidencia nueva. Thomas Bayes La idea en una frase Fue un matemático y ministro presbiteriano inglés del siglo XVIII. Su trabajo sobre probabilidad se publicó después de su muerte y dio origen al teorema que lleva su nombre. La probabilidad de que algo sea cierto puede cambiar cuando obtenemos información nueva. Ejemplo: si una prueba médica sale positiva, usamos ese resultado junto con la frecuencia de la enfermedad y la precisión de la prueba para estimar la probabilidad real. CLAVE: la evidencia modifica la estimación; no siempre confirma por sí sola una conclusión. 02
3. 02 · LA FÓRMULA Teorema de Bayes Relaciona una probabilidad inicial con la información que aporta una evidencia. P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / P(B) P(A) P(B | A) P(B) P(A | B) Probabilidad a priori: lo que creemos antes de ver la evidencia. Verosimilitud: qué tan probable es la evidencia si A ocurre. Evidencia: probabilidad total de observar B. A posteriori: probabilidad actualizada de A. Ejemplo de lectura: ¿qué probabilidad hay de que llueva, sabiendo que el cielo está nublado? 03
4. 03 · APLICACIONES ¿Para qué sirve? Bayes se usa cuando necesitamos interpretar señales, pruebas o datos incompletos. Diagnóstico médico Filtros de spam Control de calidad Combina la frecuencia de una enfermedad con la precisión de una prueba para estimar la probabilidad después del resultado. Actualiza la probabilidad de que un correo sea no deseado según palabras, remitente y otros patrones. Estima si un producto proviene de una línea defectuosa a partir de los resultados de inspección. Inteligencia artificial Pronóstico del clima Detección de fraude Ayuda a clasificar información y tomar decisiones probabilísticas con datos observados. Permite ajustar estimaciones con nuevas observaciones, como humedad, presión y nubosidad. Combina señales de una transacción para estimar si podría ser fraudulenta. 04
5. 04 · MÉTODO ¿Cómo resolver un problema? Ordenar los datos evita confundir la probabilidad inicial con la probabilidad después de conocer la evidencia. 1 2 3 4 Define A y B Anota los datos Calcula P(B) Sustituye y divide A = evento que queremos conocer; B = evidencia observada. Identifica P(A), P(B|A) y, si hace falta, P(B|no A). Suma todas las rutas que pueden producir la evidencia. Aplica Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B). Diagrama de árbol: útil para visualizar cada ruta y multiplicar las probabilidades de sus ramas. 05
6. 05 · PROBLEMA 1 Prueba médica Ejemplo inventado: calcular la probabilidad de tener una enfermedad después de una prueba positiva. Datos Solución completa • P(E) = 0.02 (2% tiene la enfermedad) • P(+ | E) = 0.95 (sensibilidad) • P(+ | no E) = 0.10 (falso positivo) P(+) = P(+|E)P(E) + P(+|no E)P(no E) P(+) = (0.95)(0.02) + (0.10)(0.98) P(+) = 0.019 + 0.098 = 0.117 Buscamos: P(E | +) P(E|+) = (0.95 × 0.02) / 0.117 P(E|+) = 0.019 / 0.117 ≈ 0.1624 Respuesta: aproximadamente 16.24%. Una prueba positiva no significa certeza. 06
7. 06 · PROBLEMA 2 Correo no deseado (spam) Ejemplo inventado: un correo contiene la frase “ganaste un premio”. Datos Solución completa • P(Spam) = 0.30 • P(frase | Spam) = 0.80 • P(frase | no Spam) = 0.05 P(frase) = (0.80)(0.30) + (0.05)(0.70) P(frase) = 0.24 + 0.035 = 0.275 Buscamos: P(Spam | frase) P(Spam | frase) = (0.80 × 0.30) / 0.275 = 0.24 / 0.275 ≈ 0.8727 Respuesta: aproximadamente 87.27% de probabilidad de que sea spam. 07
8. 07 · PROBLEMA 3 Control de calidad Ejemplo inventado: una pieza salió defectuosa en una fábrica con dos máquinas. Datos Solución completa • Máquina A produce 60%: P(A)=0.60 • Máquina B produce 40%: P(B)=0.40 • Defectuosas de A: 2% • Defectuosas de B: 5% P(D) = (0.02)(0.60) + (0.05)(0.40) P(D) = 0.012 + 0.020 = 0.032 Buscamos: P(B | defectuosa) P(B|D) = (0.05 × 0.40) / 0.032 P(B|D) = 0.020 / 0.032 = 0.625 Respuesta: 62.5% de probabilidad de que la pieza defectuosa provenga de B. 08
9. 08 · CIERRE Conclusiones y fuentes El teorema de Bayes ayuda a razonar con evidencia y a actualizar probabilidades. ¿Qué aprendimos? Error común que evitaríamos • La probabilidad inicial puede cambiar al conocer nueva información. • Es importante calcular la probabilidad total de la evidencia. • Un resultado positivo no equivale automáticamente a certeza. • Bayes tiene aplicaciones en salud, tecnología e industria. Confundir P(A|B) con P(B|A). No significan lo mismo: una es la probabilidad de A dada la evidencia B; la otra es la probabilidad de observar B cuando A ocurre. Fuentes consultadas: • Encyclopaedia Britannica, “Bayes’ theorem”. • OpenStax, Introductory Statistics: Probability Topics. • Khan Academy, “Bayes’ theorem”. Gracias 09