RSA暗号から学ぶ公開鍵暗号の仕組み

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1. RSA暗号から学ぶ 公開鍵暗号の仕 組み 〜大切なことは全部、公開鍵警察から教わっ た〜
2. 〜とある日〜
3. ワイ「おっしゃ、公開鍵暗号の仕組みなんとなく理 解でけた！」 ワイ「復習も兼ねてアウトプット代わりにちょっとツイー トでもすっか」
5. 〜数分後〜
6. ワイ「お、こんな自己満ツイートに珍しくリプ来とる。 ありがたいなぁ。どんなリプやろ？」
10. ※※警察からの注意喚起※※ ①「南京錠のイメージ」はやめろ！ ②「鍵の意味」をちゃんと理解しろ！
11. ①「南京錠のイメージ」はやめ ろ！
12. よくある公開鍵暗号のイメー ジ
16. 一般的な「暗号」「鍵」のイメージに引っ張られてしまってい る
17. これは「機密性の担保」しか 示していない （「鍵」「暗号」が名前についているためそっち に引っ張られてしまう。。）
18. 出典：「総務省 国民のための情報セキュリティサイト」より引用
19. これらもあくまで「機密性の担保」のイメージ！
20. 残りのイメージを反映 できていない！！
21. 公開鍵暗号の正しい認識 ①機密性を担保（盗聴防止） ②完全性を担保（改竄防止） ③真正性を担保（なりすまし防止） →正確には上記3つくらいの役割を担うことが可能
23. ②「鍵の意味」をちゃんと理解 しろ！
24. 公開鍵暗号
25. 公開鍵暗号の歴史 ①1960年以前 共通鍵暗号が普及する中で「鍵配送問題」が出現 ②1960年代 イギリスの政府通信本部の暗号学者ジェームズ・エリスが鍵配送問 題の解決案を提示。 →公開鍵暗号の元アイデア ③1973年 エリスの後輩コックス、具体的案として「一方向関数の使用」を思い つく ④1976年 米国のホイットフィールド・ディフィーとマーティン・ヘルマンが、実用 的な一方向関数を見つけて、公開鍵暗号の具体的な理論を構築。 （=DH法） ⑤1977年 リベスト、シャミア、エーデルマンの3人が、素因数分解の困難性を元 に2種類の機能を実現する公開鍵暗号の方式を発表。 （=RSA暗号）。今でも ( 主に署名の方が ) 広く使われている
26. ①鍵配送問題の出現
27. 具体的問題点 鍵を受け渡したいなら、鍵に鍵をかけて送ればいいと思うが… •メッセージに鍵をかける 　◦メッセージを守る鍵を安全に受け渡す必要がある •鍵に鍵をかける 　◦鍵を守る鍵を安全に受け渡す必要がある ...…
29. ②鍵配送問題の解決案＝公開鍵暗号の元アイデ ア
30. 「保護の仕組みは公開してはいけないもの」という発想から、「保護 を "解除する" 仕組みは公開してはいけないもの」という発想に転 換させることで、鍵配送問題を見事にクリア。
31. 出典：「対称性 - Wikipedia」より引用
32. ③−１　エリスのアイデア実現に必要なもの
33. ③−２　一方向関数 相互に変換可能な関数であり、かつある方向への変換は簡単な のに、逆方向の変換は大変な関数 →具体例として、 ハッシュ関数・素因数分解・離散対数問題 etc……が存在
35. ④公開鍵暗号の具体的理論の実装 具体的暗号方式 使用している一方向関数 DH法 離散対数問題 RSA暗号 素因数分解
36. RSA暗号
37. RSA暗号とは？ 「『桁数が大きい合成数の素因数分解問題』が困 難であること」 を安全性の根拠とした公開鍵暗号の一つである。
38. 素因数分解の困難性 【例題①】 (1)　125×227を計算しなさい。 (2)　221を素因数分解しなさい。 (3)　25651を素因数分解しなさい。
39. RSA暗号の仕組み 【例題②】 　　　という2つの素数を用いて、X=8という情 報をRSA暗号化しなさい
40. フェルマーの小定理 　　　　 を相異なる素数とすると、 　　 が成り立つ。Xは任意の自然数。 （※ただし厳密には、少し条件が異なる）
41. p=3、q=2の場合（Xは任意の数をイメージ） 全ての数は0から５に集約 元の値 0 1 2 3 4 5 6で割った時の余り 6 12 18 … 7 13 19 … 8 14 20 … 9 15 21 … 10 16 22 … 11 17 23 … 元の値を各列の乗数した値を 6で割った余り 1 2 3 4 5 6 7 … 0 0 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 1 1 1 … 2 4 2 4 2 4 2 … 3 3 3 3 3 3 3 … 4 4 4 4 4 4 4 … 5 1 5 1 5 1 5 …
42. 例題の解法の流れ Step1 2つの素数p,qを用意する Step2 受信側が 　　 を満たす整数P,Qを見つけ、Pを公 開鍵、Qを秘密鍵と決める Step3 送信側が を送り、受信側が 　 と複合して完了
43. Step1：2つの素数p,qを用意する 本問では予め と用意されているので、これを利用する。 （※ただし実際には、もっと大きな数の素数を準備する必要がある。 100桁以上が目安）
44. Step2：公開鍵と秘密鍵の設定 p=3、q=11であるので となる。 つまり、PQ=21を満たすような鍵のペアを決める。 今回は例として 　　　　　公開鍵P→3、秘密鍵Q→7 とする
45. Step3：暗号化して情報を送信 送りたい情報がX=8、公開鍵がP=3なので と計算する。 次に、もう一つ公開されている情報のpq=33を用いて、合同式 を計算する。
46. つまり、X=8 という情報が X’=17 に暗号化された
47. Step3：復号化して情報を受け取る 受け取った情報 X’=17を復号する ここでは17を、最初に設定した秘密鍵Q(=7)乗してみると 最後に、pq=33 を法として計算すると となる
48. つまり、元の情報 X=8 が復号でき た
49. まとめ
50. 補足（時間的に余裕があれば …）
51. RSA暗号の安全性 RSA暗号は前方秘匿性の問題が存在 ＝現実的時間で秘密鍵の解読が可能な場合がある。 （さっきの例だとpq=33の素因数分解が簡単にできる？ …というイメージ） →そのため現在では ハイブリット暗号（共通鍵＋公開鍵） が使用されている （また、ハイブリット暗号で用いられるものとしては DH法が多い）