問 1：以下のコンパイラを証明せよ（予告編） #kernelvm / Kernel VM Study Kansai 11th

Kernel/VM探検隊 @ 関西 11 回目で使用したスライドです。

Transcript

1. #kernelvm 問1：以下のコンパイラを 証明せよ（予告編） チェシャ猫 (@y_taka_23) Kernel/VM 探検隊@関西 #11 (11th May. 2025)
2. #kernelvm ゴールデンウィークといえば コンパイラ
3. #kernelvm 簡単なコンパイラを正しく作ってみる
4. #kernelvm コンパイルターゲット：CHIP-8 • 1970 年代のレトロコンピュータ ◦ 35 個の固定 2 バイト長 CPU 命令 ◦ V0 ~ VF の 16 個の汎用レジスタ ◦ 4096 バイトの RAM ◦ 64 x 32 ドットの 2 値ディスプレイ ◦ 16 キー入力 / 単音ビープ / タイマー https://github.com/y-taka-23/rust-chip8
5. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード ディスプレイ コンパイル 出力 (x1, x2) に x0 を Hex 出力
6. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード ディスプレイ コンパイル 出力 (x1, x2) に x0 を Hex 出力
7. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード ディスプレイ コンパイル 出力 0x0D 0x18 (x1, x2) に x0 を Hex 出力
8. #kernelvm スモールスタートのための単純化 • パーサ / キー入力 / 音 / タイマーは最初は不要 • レジスタ退避が発生しないようにする ◦ 変数は x0 ~ v15 のみとし V0 ~ VF レジスタに割り当て ◦ 全てグローバル変数で、関数呼び出しもなし ◦ 代入は三番地コード形式で、演算も足し算のみ ◦ while の条件部分も「変数 != 即値」に決めうち
9. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード コンパイル
10. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード 抽象構文木 （パース）
11. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード 抽象構文木 CHIP-8 命令列 コンパイル （パース） アセンブル
12. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード 抽象構文木 CHIP-8 命令列 ディスプレイ 表示命令列 CHIP-8 VM 実行 コンパイル 出力 （パース） 逆アセンブル
13. #kernelvm while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... SNE V1 0x2A JP (addr + 0x14) LD I V0 DRW V1 V2 0x5 LD V0 V0 ADD V0 0x01 LD V1 V1 ADD V1 0x06 addr addr + 0x02 addr + 0x04 addr + 0x08 addr + 0x0A addr + 0x0C addr + 0x0E addr + 0x10 addr + 0x12 JP addr addr + 0x14 ... ソースコードの一部 コンパイルされた CHIP-8 命令列
14. #kernelvm while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... SNE V1 0x2A JP (addr + 0x14) LD I V0 DRW V1 V2 0x5 LD V0 V0 ADD V0 0x01 LD V1 V1 ADD V1 0x06 addr addr + 0x02 addr + 0x04 addr + 0x08 addr + 0x0A addr + 0x0C addr + 0x0E addr + 0x10 addr + 0x12 JP addr addr + 0x14 ... ソースコードの一部 コンパイルされた CHIP-8 命令列
15. #kernelvm while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... SNE V1 0x2A JP (addr + 0x14) LD I V0 DRW V1 V2 0x5 LD V0 V0 ADD V0 0x01 LD V1 V1 ADD V1 0x06 addr addr + 0x02 addr + 0x04 addr + 0x08 addr + 0x0A addr + 0x0C addr + 0x0E addr + 0x10 addr + 0x12 JP addr addr + 0x14 ... ソースコードの一部 コンパイルされた CHIP-8 命令列 != x1 != 0x2A の場合は JP 命令を避けてループ内に入る
16. #kernelvm while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... SNE V1 0x2A JP (addr + 0x14) LD I V0 DRW V1 V2 0x5 LD V0 V0 ADD V0 0x01 LD V1 V1 ADD V1 0x06 addr addr + 0x02 addr + 0x04 addr + 0x08 addr + 0x0A addr + 0x0C addr + 0x0E addr + 0x10 addr + 0x12 JP addr addr + 0x14 ... ソースコードの一部 コンパイルされた CHIP-8 命令列 == x1 == 0x2A の場合は JP 命令でループ後まで飛ぶ
17. #kernelvm 簡単なコンパイラを正しく作ってみる
18. #kernelvm コンパイル結果の「正しさ」とは？ • 実行すると時間に伴って変化するディスプレイ ◦ その出力がどうであれば「正しい」と言えるのか • 一般には実行は停止せず、無限ループになる ◦ つまり「最終的な実行結果」が定義できない • 必ずしも毎ステップ出力がある訳でもない ◦ 単に 1 ステップごとの「結果」を検証することが難しい
19. #kernelvm インタプリタ実装による意味論 • CHIP-8 VM とは別にインタプリタを実装 ◦ ソース言語の構文木を機械語に変換せず、直接実行する ◦ 副作用としてディスプレイへの表示命令列を出力 ◦ この表示命令列を「見本」としてコンパイル版と照合 • ソース言語に操作的意味論を与えることに等しい ◦ インタプリタのステップ実行が意味論の簡約規則に対応
20. #kernelvm while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... x0: 0x0A x1: 0x18 x2: 0x0D ある時点のインタプリタ 環境：変数の値 継続：残りのコード
21. #kernelvm while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... x0: 0x0A x1: 0x2A x2: 0x0D ... x0: 0x0A x1: 0x2A x2: 0x0D 1 ステップ実行 ある時点のインタプリタ 1 ステップ後のインタプリタ x1 == 0x2A x1 == 0x2A の場合はループ全体を捨てる
22. #kernelvm while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... x0: 0x0A x1: 0x18 x2: 0x0D print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; while (x1 != 0x2A) { print(x1, x2, x0); x0 = x0 + 0x01; x1 = x1 + 0x06; } ... x0: 0x0A x1: 0x18 x2: 0x0D 1 ステップ実行 ある時点のインタプリタ 1 ステップ後のインタプリタ x1 != 0x2A x1 != 0x2A の場合はループを 1 回分展開
23. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード 抽象構文木 CHIP-8 命令列 ディスプレイ 表示命令列 CHIP-8 VM 実行 コンパイル 出力 （パース） アセンブル 逆アセンブル
24. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード 抽象構文木 CHIP-8 命令列 ディスプレイ 表示命令列 表示命令列 インタプリタ実行 CHIP-8 VM 実行 コンパイル 出力 出力 （パース） アセンブル 逆アセンブル
25. #kernelvm CHIP-8 ROM ソースコード 初期化 コンパイル ソース言語インタプリタのステップ実行列 CHIP-8 VM のステップ実行列 初期化 出力命令 print(0x18, 0x0D, 0x0A) を比較
26. #kernelvm 無限に続く状態遷移系の「等しさ」 • A：“外部選択型” 自販機 ◦ コイン投入でコーヒー / 紅茶の両方のボタンが点灯 ◦ 人間がボタンを押すと、選んだ商品が出て最初に戻る • B：“内部選択型” 自販機 ◦ コイン投入でコーヒー / 紅茶のどちらかのボタンが点灯 ◦ 人間が点灯した方のボタンを押すと、商品が出て最初に戻る https://staff.aist.go.jp/y-isobe/topse/vic/slides/csp-isobe-2010-07.pdf
27. #kernelvm A：“外部選択型” 自販機の状態遷移 B：“内部選択型” 自販機の状態遷移 coin tea coffee coin coin coffee tea 出力列（トレース）は両者とも (coin (coffee | tea))*
28. #kernelvm この差を区別できる「等しさ」が欲しい
29. #kernelvm 双模倣による等価性 • 無限に続く状態遷移系同士の比較 • 弱双模倣等価（Weak-Bisimulation Equivalence） ◦ 両者の状態間に何らかの対応関係が定義されている ◦ 対応した状態から、両者 1 ステップ進んでもやはり対応 ◦ “弱” とは、何も出力しないステップ（τ遷移）を無視 ◦ 出力列集合の一致（トレース等価）より条件が厳しい
30. #kernelvm ∀ ∀ ∀ ソース言語インタプリタのステップ実行 print(0x18, 0x0D, 0x0A) 状態間の対応関係
31. #kernelvm ∀ ∃ ∀ ∀ ソース言語インタプリタのステップ実行 CHIP-8 VM のステップ実行例 print(0x18, 0x0D, 0x0A) ∃ ∃ print(0x18, 0x0D, 0x0A) τ* τ* 状態間の対応関係 遷移先も再び対応関係
32. #kernelvm まとめ • CHIP-8 をターゲットとするコンパイラ自作 ◦ 機能を制限すれば簡単に作れてそれなりに動く • コンパイラの「正しさ」を意味論の保存として定義 ◦ インタプリタ実装により操作的意味論を与える • （弱）双模倣による動作の比較 ◦ 無限に動き続ける状態遷移系の等価性が定義できる
33. #kernelvm Let’s Craft Correct Compilers! Presented by チェシャ猫 (@y_taka_23)
34. #kernelvm タイトルの「証明」要素は？
35. #kernelvm 次回、To Be Proven! Presented by チェシャ猫 (@y_taka_23) https://lean-lang.org/