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OLSにおける推定量β1=共分散÷分散の導出 / 20230517

OLSにおける推定量β1=共分散÷分散の導出 / 20230517

東京大学経済学部「プロアクティブ・ラーニング・セミナー」のゲスト講師として

①Pythonによる計量経済学のハンズオン
②民間企業のデータを用いたデータ分析の実践講座

を実施した際の補講資料となります。

yuzutas0
PRO

May 17, 2023
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Transcript

  1. (補講資料)
    OLSにおける
    推定量 β1 = 共分散 ÷ 分散
    の導出
    2023-05-17
    東京大学大学院経済学研究科・経済学部
    横山翔
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  2. 学部生向け授業の補講資料として、以下テキストで省略されている導出過程を確認する。
    西山慶彦ほか『計量経済学』有斐閣, 2019
    B.1.1 単回帰の最小2乗推定量と漸近分散の導出
    ・回帰分析では推定値と実測値の差(残差平方和)を最小化し、変数間の関係を求める(p111)
    ・推定量 b0, b1 についてそれぞれ偏微分して最小化問題を解く(p655)
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  3. 1)以下の連立方程式を解く。
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  4. 2)式を展開する。
    ・Xi と Yi 以外の文字は Σ の前に出す。
    ・Xi と Yi が含まれない式1の第2項はN倍になる。
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  5. 3)式全体に 1/N を掛ける。
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  6. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入
    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx
    を代入
    4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar
    を代入
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  7. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入
    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx
    を代入
    4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar
    を代入
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  8. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入
    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx
    を代入
    4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar
    を代入
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  9. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入
    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx
    を代入
    4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar
    を代入
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    (a-b)^2
    = a^2 + 2ab + b^2
    Xbarは定数なので Σ の前に出す
    Xbar
    は定数なので
    Σ を外してN倍
    4−1)と同様に
    標本平均の定義を代入
    右辺の第2項を左辺に移行

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  10. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入
    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx
    を代入
    4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar
    を代入
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  11. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入
    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx
    を代入
    4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar
    を代入
    11
    (a-b) (c-d) = ac - bc - ad + bc
    ・2,3,4項:Xi と Yi 以外は Σ の前に出せる
    ・2項:4-1 と同様に 1/N * ΣXi = Xbar を代入
    ・3項:4-1 と同様に 1/N * ΣYi = Ybar を代入
    ・4項:定数項なのでN倍して、1/Nと相殺させる

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  12. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入
    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx
    を代入
    4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar
    を代入
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  13. ここで第1式にて切片 β0 が導出される
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  14. 5−1)第1式にXbarを掛ける。
    5−2)第2式を式展開して並べ替える。
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  15. 5−1)第1式にXbarを掛ける。
    5−2)第2式を式展開して並べ替える。
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  16. 5−1)第1式にXbarを掛ける。
    5−2)第2式を式展開して並べ替える。
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  17. 5−1)第1式にXbarを掛ける。
    5−2)第2式を式展開して並べ替える。
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  18. 5−1)第1式にXbarを掛ける。
    5−2)第2式を式展開して並べ替える。
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  19. 6)第1式 を 第2式 に代入する。
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  20. 7)β1 について解く。
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    ・掲題「推定量 β1 = 共分散 ÷ 分散」は示された。
    ・以降ではテキストの式を導出する。

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  21. 8)4−2(分散の定義)と4−3(共分散の定義)を代入し、1/Nを相殺する。
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  22. 8)4−2(分散の定義)と4−3(共分散の定義)を代入し、1/Nを相殺する。
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  23. 8)4−2(分散の定義)と4−3(共分散の定義)を代入し、1/Nを相殺する。
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    以上より、推定量 β1 = 共分散 ÷ 分散 ならびにテキストの式を導いた(終)

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