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信息安全数学基础:第9章:有限域(上)

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October 07, 2012
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 信息安全数学基础:第9章:有限域(上)

信息安全数学基础:第9章:有限域(上)

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October 07, 2012
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  1. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 有限域(上) 广州大学数学与信息科学学院 2007-05-20 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  2. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 只有有限个元素的域称为有限域,这种域在密码、编码等学科里 应用得特别多。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  3. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 只有有限个元素的域称为有限域,这种域在密码、编码等学科里 应用得特别多。在本章中我们将介绍: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  4. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 只有有限个元素的域称为有限域,这种域在密码、编码等学科里 应用得特别多。在本章中我们将介绍: . . . 1 有限域的结构,存在性; . . . 2 分圆多项式; . . . 3 有限域中元素的表示方法; . . . 4 有限域中开平方的算法; . . . 5 有限域上离散对数的概念和计算方法。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  5. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . §9.1 有限域的刻划 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  6. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 若一个域只有有限个元素,则称之为有限域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  7. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 F 是一个有限域,CharF = p,则 |F| = pn,p 是个素数,n 是一个正整数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  8. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 F 是一个有限域,CharF = p,则 |F| = pn,p 是个素数,n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 F 的特征有限,所以 CharF = p ,p 是一个素数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  9. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 F 是一个有限域,CharF = p,则 |F| = pn,p 是个素数,n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 F 的特征有限,所以 CharF = p ,p 是一个素数。 . . . 2 F 含有素域 Zp ,设 [F : Zp] = n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  10. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 F 是一个有限域,CharF = p,则 |F| = pn,p 是个素数,n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 F 的特征有限,所以 CharF = p ,p 是一个素数。 . . . 2 F 含有素域 Zp ,设 [F : Zp] = n; . . . 3 F 是 Zp 上的 n 维线性空间,若 α1, α2, . . . , αn 是一组 基,则 Zp 中的元素可以唯一表示为 x1α1 + x2α2 + · · · + xnαn, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  11. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 F 是一个有限域,CharF = p,则 |F| = pn,p 是个素数,n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 F 的特征有限,所以 CharF = p ,p 是一个素数。 . . . 2 F 含有素域 Zp ,设 [F : Zp] = n; . . . 3 F 是 Zp 上的 n 维线性空间,若 α1, α2, . . . , αn 是一组 基,则 Zp 中的元素可以唯一表示为 x1α1 + x2α2 + · · · + xnαn, . . . 4 |F| = pn。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  12. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面的定理说任意一个有限域,其大小必定是素数的方幂。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  13. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面的定理说任意一个有限域,其大小必定是素数的方幂。那么 反过来,给定了一个素数方幂,是否一定存在相应大小的有限域 呢? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  14. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面的定理说任意一个有限域,其大小必定是素数的方幂。那么 反过来,给定了一个素数方幂,是否一定存在相应大小的有限域 呢? . . . . . . . Zp 的 n 次单代数扩张 E 的大小为 pn; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  15. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面的定理说任意一个有限域,其大小必定是素数的方幂。那么 反过来,给定了一个素数方幂,是否一定存在相应大小的有限域 呢? . . . . . . . Zp 的 n 次单代数扩张 E 的大小为 pn; 我们只要找到 Zp 上的一个 n 次既约多项式就能构造出大 小为 pn 的有限域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  16. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面的定理说任意一个有限域,其大小必定是素数的方幂。那么 反过来,给定了一个素数方幂,是否一定存在相应大小的有限域 呢? . . . . . . . Zp 的 n 次单代数扩张 E 的大小为 pn; 我们只要找到 Zp 上的一个 n 次既约多项式就能构造出大 小为 pn 的有限域。 但 n 次既约多项式必定存在吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  17. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面的定理说任意一个有限域,其大小必定是素数的方幂。那么 反过来,给定了一个素数方幂,是否一定存在相应大小的有限域 呢? . . . . . . . Zp 的 n 次单代数扩张 E 的大小为 pn; 我们只要找到 Zp 上的一个 n 次既约多项式就能构造出大 小为 pn 的有限域。 但 n 次既约多项式必定存在吗?我们先把这个问题放一 下,后面还会回到这个问题上来。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  18. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . x3 + x2 + 1 是 F2[x] 中的不可约多项式,F2[x]/(x3 + x2 + 1) 是 一个有限域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  19. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . x3 + x2 + 1 是 F2[x] 中的不可约多项式,F2[x]/(x3 + x2 + 1) 是 一个有限域。 . . . . . . . . . . 1 F2[x]/(x3 + x2 + 1) = F8 具有形式 {a0 + a1¯ x + a2¯ x2 | a0, a1, a2 ∈ F2}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  20. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . x3 + x2 + 1 是 F2[x] 中的不可约多项式,F2[x]/(x3 + x2 + 1) 是 一个有限域。 . . . . . . . . . . 1 F2[x]/(x3 + x2 + 1) = F8 具有形式 {a0 + a1¯ x + a2¯ x2 | a0, a1, a2 ∈ F2}。 . . . 2 若把 {0, 1} 等同于 {0, 1},并把 ¯ x 记为 α, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  21. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . x3 + x2 + 1 是 F2[x] 中的不可约多项式,F2[x]/(x3 + x2 + 1) 是 一个有限域。 . . . . . . . . . . 1 F2[x]/(x3 + x2 + 1) = F8 具有形式 {a0 + a1¯ x + a2¯ x2 | a0, a1, a2 ∈ F2}。 . . . 2 若把 {0, 1} 等同于 {0, 1},并把 ¯ x 记为 α,有 F2[x]/(x3 + x2 + 1) = F2(α)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  22. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 多项式 x4 + x + 1 ∈ F2[x] 不可约,F2[x]/(x4 + x + 1) 是个有限 域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  23. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 多项式 x4 + x + 1 ∈ F2[x] 不可约,F2[x]/(x4 + x + 1) 是个有限 域。 . . . . . . . . . . 1 F2[x]/(x4 + x + 1) = F16 具有形式 {a0 + a1¯ x + a2¯ x2 + a3¯ x3 | a0, a1, a2, a3 ∈ F2}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  24. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 多项式 x4 + x + 1 ∈ F2[x] 不可约,F2[x]/(x4 + x + 1) 是个有限 域。 . . . . . . . . . . 1 F2[x]/(x4 + x + 1) = F16 具有形式 {a0 + a1¯ x + a2¯ x2 + a3¯ x3 | a0, a1, a2, a3 ∈ F2}。 . . . 2 若把 {0, 1} 等同于 {0, 1},并把 ¯ x 记为 β, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  25. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 多项式 x4 + x + 1 ∈ F2[x] 不可约,F2[x]/(x4 + x + 1) 是个有限 域。 . . . . . . . . . . 1 F2[x]/(x4 + x + 1) = F16 具有形式 {a0 + a1¯ x + a2¯ x2 + a3¯ x3 | a0, a1, a2, a3 ∈ F2}。 . . . 2 若把 {0, 1} 等同于 {0, 1},并把 ¯ x 记为 β,有 F2[x]/(x4 + x + 1) = F2(β)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  26. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    引理 . . . . . . . . 若 F 是有限域,大小为 pn,则任意 α ∈ F 都满足 xpn −x = 0. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  27. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    引理 . . . . . . . . 若 F 是有限域,大小为 pn,则任意 α ∈ F 都满足 xpn −x = 0. . . . . . . . . . . 1 F∗ 是个群,对任意 α ∈ F∗,由 Lagrange 定理 有 α|F∗| = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  28. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    引理 . . . . . . . . 若 F 是有限域,大小为 pn,则任意 α ∈ F 都满足 xpn −x = 0. . . . . . . . . . . 1 F∗ 是个群,对任意 α ∈ F∗,由 Lagrange 定理 有 α|F∗| = 1; . . . 2 即 αpn−1 = 1,也就是 αpn = α。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  29. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    引理 . . . . . . . . 若 F 是有限域,大小为 pn,则任意 α ∈ F 都满足 xpn −x = 0. . . . . . . . . . . 1 F∗ 是个群,对任意 α ∈ F∗,由 Lagrange 定理 有 α|F∗| = 1; . . . 2 即 αpn−1 = 1,也就是 αpn = α。 . . . 3 F∗ 中的元素都满足方程 xpn − x = 0, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  30. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    引理 . . . . . . . . 若 F 是有限域,大小为 pn,则任意 α ∈ F 都满足 xpn −x = 0. . . . . . . . . . . 1 F∗ 是个群,对任意 α ∈ F∗,由 Lagrange 定理 有 α|F∗| = 1; . . . 2 即 αpn−1 = 1,也就是 αpn = α。 . . . 3 F∗ 中的元素都满足方程 xpn − x = 0,显然 x = 0 也满 足。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  31. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    引理 . . . . . . . . 若 F 是有限域,大小为 pn,则任意 α ∈ F 都满足 xpn −x = 0. . . . . . . . . . . 1 F∗ 是个群,对任意 α ∈ F∗,由 Lagrange 定理 有 α|F∗| = 1; . . . 2 即 αpn−1 = 1,也就是 αpn = α。 . . . 3 F∗ 中的元素都满足方程 xpn − x = 0,显然 x = 0 也满 足。 . . . 4 F 中的元素都满足方程 xpn − x = 0。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  32. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 对前面引理的进一步讨论: . . . . . . . F 中每个元素都是 xpn − x = 0 的根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  33. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 对前面引理的进一步讨论: . . . . . . . F 中每个元素都是 xpn − x = 0 的根。 F 中的元素恰好是 xpn − x = 0 的全部根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  34. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 对前面引理的进一步讨论: . . . . . . . F 中每个元素都是 xpn − x = 0 的根。 F 中的元素恰好是 xpn − x = 0 的全部根。 xpn − x 在 F 上分解成线性因式的乘积, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  35. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 对前面引理的进一步讨论: . . . . . . . F 中每个元素都是 xpn − x = 0 的根。 F 中的元素恰好是 xpn − x = 0 的全部根。 xpn − x 在 F 上分解成线性因式的乘积,它在 F 上的分裂 域就是 F。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  36. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 对前面引理的进一步讨论: . . . . . . . F 中每个元素都是 xpn − x = 0 的根。 F 中的元素恰好是 xpn − x = 0 的全部根。 xpn − x 在 F 上分解成线性因式的乘积,它在 F 上的分裂 域就是 F。 xpn − x 在其素域 Zp 上的分裂域也是 F。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  37. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 对前面引理的进一步讨论: . . . . . . . F 中每个元素都是 xpn − x = 0 的根。 F 中的元素恰好是 xpn − x = 0 的全部根。 xpn − x 在 F 上分解成线性因式的乘积,它在 F 上的分裂 域就是 F。 xpn − x 在其素域 Zp 上的分裂域也是 F。 由于我们在 F 中找到了 xpn − x = 0 的 pn 个不同的根, 所以它没有重根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  38. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    想法 . . . . . . . . . . . 1 大小为 pn 的有限域是 xpn − x 在 Zp 上的分裂域。故可 以通过分裂域的存在性来证明有限域的存在性。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  39. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    想法 . . . . . . . . . . . 1 大小为 pn 的有限域是 xpn − x 在 Zp 上的分裂域。故可 以通过分裂域的存在性来证明有限域的存在性。 . . . 2 xpn − x 在 Zp 上的分裂域一定是大小为 pn 的有限域吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  40. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    想法 . . . . . . . . . . . 1 大小为 pn 的有限域是 xpn − x 在 Zp 上的分裂域。故可 以通过分裂域的存在性来证明有限域的存在性。 . . . 2 xpn − x 在 Zp 上的分裂域一定是大小为 pn 的有限域吗? . . . . . . . 设 E 是 xpn − x 在 Z 上的分裂域,这是一定存在的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  41. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    想法 . . . . . . . . . . . 1 大小为 pn 的有限域是 xpn − x 在 Zp 上的分裂域。故可 以通过分裂域的存在性来证明有限域的存在性。 . . . 2 xpn − x 在 Zp 上的分裂域一定是大小为 pn 的有限域吗? . . . . . . . 设 E 是 xpn − x 在 Z 上的分裂域,这是一定存在的。 从前面的讨论不难猜测 xpn − x 没有重根,而且其全部根 构成一个域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  42. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    想法 . . . . . . . . . . . 1 大小为 pn 的有限域是 xpn − x 在 Zp 上的分裂域。故可 以通过分裂域的存在性来证明有限域的存在性。 . . . 2 xpn − x 在 Zp 上的分裂域一定是大小为 pn 的有限域吗? . . . . . . . 设 E 是 xpn − x 在 Z 上的分裂域,这是一定存在的。 从前面的讨论不难猜测 xpn − x 没有重根,而且其全部根 构成一个域。 而这个域是 E 的子域,但 E 是包含 F 和 xpn − x 全部根 的最小域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  43. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  44. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  45. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  46. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 对任意 α, β ∈ R 有: (α ± β)q = αq ± βq) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  47. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 对任意 α, β ∈ R 有: (α ± β)q = αq ± βq) = (α ± β); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  48. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 对任意 α, β ∈ R 有: (α ± β)q = αq ± βq) = (α ± β); (αβ)q = αqβq 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  49. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 对任意 α, β ∈ R 有: (α ± β)q = αq ± βq) = (α ± β); (αβ)q = αqβq = (αβ); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  50. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 对任意 α, β ∈ R 有: (α ± β)q = αq ± βq) = (α ± β); (αβ)q = αqβq = (αβ); 如果 β = 0,有 ( α β ) q = αq βq 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  51. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 对任意 α, β ∈ R 有: (α ± β)q = αq ± βq) = (α ± β); (αβ)q = αqβq = (αβ); 如果 β = 0,有 ( α β ) q = αq βq = α β 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  52. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fp = Zp 是含有 p 个元素的素域,q = pn(n 1),那么多 项式 f(x) = xq − x 在 Fp 上的分裂域 E 是一个含有 q 个元素 的有限域,记为 Fq 。 . . . . . . . f = −1, (f, f ) = 1,所以 f 没有重根。设 f 在 E 中全部 根为 R = {α1, α2, . . . , αq}; 对任意 α, β ∈ R 有: (α ± β)q = αq ± βq) = (α ± β); (αβ)q = αqβq = (αβ); 如果 β = 0,有 ( α β ) q = αq βq = α β R 是 E 的子域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  53. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 容易看出 Fp ∈ R; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  54. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 容易看出 Fp ∈ R; f(x) 在 E 上分解成线性因式,且 Fp ⊆ E,所以分裂 域 E = Fp(R) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  55. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 容易看出 Fp ∈ R; f(x) 在 E 上分解成线性因式,且 Fp ⊆ E,所以分裂 域 E = Fp(R) = R; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  56. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 容易看出 Fp ∈ R; f(x) 在 E 上分解成线性因式,且 Fp ⊆ E,所以分裂 域 E = Fp(R) = R; E = R,所以 |E| = |R| = q 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  57. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 容易看出 Fp ∈ R; f(x) 在 E 上分解成线性因式,且 Fp ⊆ E,所以分裂 域 E = Fp(R) = R; E = R,所以 |E| = |R| = q, E 是个大小为 q 的有限 域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  58. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 容易看出 Fp ∈ R; f(x) 在 E 上分解成线性因式,且 Fp ⊆ E,所以分裂 域 E = Fp(R) = R; E = R,所以 |E| = |R| = q, E 是个大小为 q 的有限 域。 . (记号) . . . . . . . . 大小为 q 的有限域常记为 Fq ,或 GF(q)。素域 Zp 的大小为 p,所以常记为 Fp ,或 GF(p)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  59. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    注意 . . . . . . . . . . . 1 由于 xpn − x 在 Fp 上的分裂域是存在的,所以 Fpn 存 在; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  60. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    注意 . . . . . . . . . . . 1 由于 xpn − x 在 Fp 上的分裂域是存在的,所以 Fpn 存 在; . . . 2 由于 xpn − x 在 Fp 上的分裂域在同构的意义下是惟一 的,所以 Fpn 在同构的意义下惟一。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  61. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fq 是 q 元有限域,则乘法群 F∗ q 是一个循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  62. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fq 是 q 元有限域,则乘法群 F∗ q 是一个循环群。 . . . . . . . 目标就是在 F∗ q 中寻找一个 q − 1 阶元; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  63. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fq 是 q 元有限域,则乘法群 F∗ q 是一个循环群。 . . . . . . . 目标就是在 F∗ q 中寻找一个 q − 1 阶元; 设 q − 1 的典范分解式为 p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  64. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fq 是 q 元有限域,则乘法群 F∗ q 是一个循环群。 . . . . . . . 目标就是在 F∗ q 中寻找一个 q − 1 阶元; 设 q − 1 的典范分解式为 p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ; 我们知道这样的结论:若 x, y 的阶为 dx, dy , 且 (dx, dy) = 1,则 xy 的阶就是 dxdy 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  65. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fq 是 q 元有限域,则乘法群 F∗ q 是一个循环群。 . . . . . . . 目标就是在 F∗ q 中寻找一个 q − 1 阶元; 设 q − 1 的典范分解式为 p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ; 我们知道这样的结论:若 x, y 的阶为 dx, dy , 且 (dx, dy) = 1,则 xy 的阶就是 dxdy 。 所以我们可以尝试寻找 F∗ q 中的元素 bi , 使 o(bi) = pi ri ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  66. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fq 是 q 元有限域,则乘法群 F∗ q 是一个循环群。 . . . . . . . 目标就是在 F∗ q 中寻找一个 q − 1 阶元; 设 q − 1 的典范分解式为 p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ; 我们知道这样的结论:若 x, y 的阶为 dx, dy , 且 (dx, dy) = 1,则 xy 的阶就是 dxdy 。 所以我们可以尝试寻找 F∗ q 中的元素 bi , 使 o(bi) = pi ri ; 则 b = b1b2 · · · bt 是 F∗ q 中的一个 q − 1 阶元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  67. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  68. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) . . . . . . . 以 pr1 1 为例; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  69. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) . . . . . . . 以 pr1 1 为例; 阶为 pr1 1 的元素 a 必定满足 apr1−1 1 = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  70. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) . . . . . . . 以 pr1 1 为例; 阶为 pr1 1 的元素 a 必定满足 apr1−1 1 = 1; 考虑 xpri−1 i = 1,此方程最多有 pr1−1 1 个解,所以在 F∗ q 中并定存在一个 a 不是它的解, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  71. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) . . . . . . . 以 pr1 1 为例; 阶为 pr1 1 的元素 a 必定满足 apr1−1 1 = 1; 考虑 xpri−1 i = 1,此方程最多有 pr1−1 1 个解,所以在 F∗ q 中并定存在一个 a 不是它的解,即 apr1−1 1 = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  72. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) . . . . . . . 以 pr1 1 为例; 阶为 pr1 1 的元素 a 必定满足 apr1−1 1 = 1; 考虑 xpri−1 i = 1,此方程最多有 pr1−1 1 个解,所以在 F∗ q 中并定存在一个 a 不是它的解,即 apr1−1 1 = 1; 如果 apr1 1 = 1,则我们有 o(a) = pi。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  73. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) . . . . . . . 以 pr1 1 为例; 阶为 pr1 1 的元素 a 必定满足 apr1−1 1 = 1; 考虑 xpri−1 i = 1,此方程最多有 pr1−1 1 个解,所以在 F∗ q 中并定存在一个 a 不是它的解,即 apr1−1 1 = 1; 如果 apr1 1 = 1,则我们有 o(a) = pi。 但现在无法保证 apr1 1 = 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  74. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 如何在 F∗ q 中寻找 pi ri 阶元?(q − 1 = p1 r1 p2 r2 · · · pt rt ) . . . . . . . 以 pr1 1 为例; 阶为 pr1 1 的元素 a 必定满足 apr1−1 1 = 1; 考虑 xpri−1 i = 1,此方程最多有 pr1−1 1 个解,所以在 F∗ q 中并定存在一个 a 不是它的解,即 apr1−1 1 = 1; 如果 apr1 1 = 1,则我们有 o(a) = pi。 但现在无法保证 apr1 1 = 1,因为 aq−1 = 1,a 的阶可能 是 q − 1 的其它因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  75. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 为确保候选元素的阶不含有其它因子,我们一开始应该考虑 方程 xpr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  76. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 为确保候选元素的阶不含有其它因子,我们一开始应该考虑 方程 xpr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, F∗ q 中元素不可能都是上面方程的解,所以一定存在一个元 素 a 使得 apr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  77. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 为确保候选元素的阶不含有其它因子,我们一开始应该考虑 方程 xpr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, F∗ q 中元素不可能都是上面方程的解,所以一定存在一个元 素 a 使得 apr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, a 的阶具有形式 apr1 1 p r2 2 ···prt t , 其 中 ri ri, i = 2, 3, . . . , t。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  78. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 为确保候选元素的阶不含有其它因子,我们一开始应该考虑 方程 xpr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, F∗ q 中元素不可能都是上面方程的解,所以一定存在一个元 素 a 使得 apr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, a 的阶具有形式 apr1 1 p r2 2 ···prt t , 其 中 ri ri, i = 2, 3, . . . , t。 令 b1 = ap r2 2 p r3 3 ...pt rt ,则有 o(b1) = pr1 t 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  79. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 为确保候选元素的阶不含有其它因子,我们一开始应该考虑 方程 xpr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, F∗ q 中元素不可能都是上面方程的解,所以一定存在一个元 素 a 使得 apr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, a 的阶具有形式 apr1 1 p r2 2 ···prt t , 其 中 ri ri, i = 2, 3, . . . , t。 令 b1 = ap r2 2 p r3 3 ...pt rt ,则有 o(b1) = pr1 t 。 类似可以求出 b2, b3, . . . , bt ,满足 o(bi) = pri i 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  80. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 为确保候选元素的阶不含有其它因子,我们一开始应该考虑 方程 xpr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, F∗ q 中元素不可能都是上面方程的解,所以一定存在一个元 素 a 使得 apr1−1 1 pr2 2 ···prt t = 1, a 的阶具有形式 apr1 1 p r2 2 ···prt t , 其 中 ri ri, i = 2, 3, . . . , t。 令 b1 = ap r2 2 p r3 3 ...pt rt ,则有 o(b1) = pr1 t 。 类似可以求出 b2, b3, . . . , bt ,满足 o(bi) = pri i 。 o(b1b2 · · · bt) = pr1 1 pr2 2 · · · prt t = q − 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  81. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 循环群 F∗ q 的生成元称为 Fq 的本原元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  82. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  83. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  84. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  85. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  86. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  87. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] ⇒ n = [Fq : E]m 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  88. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] ⇒ n = [Fq : E]m ⇒ m | n。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  89. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] ⇒ n = [Fq : E]m ⇒ m | n。 . . . 2 若 m | n, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  90. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] ⇒ n = [Fq : E]m ⇒ m | n。 . . . 2 若 m | n,则 pm − 1 | pn − 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  91. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] ⇒ n = [Fq : E]m ⇒ m | n。 . . . 2 若 m | n,则 pm − 1 | pn − 1 ⇒ xpm−1 − 1 | xpn−1 − 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  92. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] ⇒ n = [Fq : E]m ⇒ m | n。 . . . 2 若 m | n,则 pm − 1 | pn − 1 ⇒ xpm−1 − 1 | xpn−1 − 1, xpm − x | xpn − x,xpn − x 的根包含 xpm − x 的全部根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  93. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 p 为素数,q = pn, . . . 1 则 Fq 的每个子域是 pm 个元素的有限域,其中 m | n; . . . 2 反之,若 m | n 的正因子,则 Fq 包含一个 pm 元子域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 Fq 的一个子域, 则 E 是 Fp 的一个扩域,设 [E : Fp ] = m,有 |E| = pm, [Fq : Fp ] = [Fq : E][E : Fp ] ⇒ n = [Fq : E]m ⇒ m | n。 . . . 2 若 m | n,则 pm − 1 | pn − 1 ⇒ xpm−1 − 1 | xpn−1 − 1, xpm − x | xpn − x,xpn − x 的根包含 xpm − x 的全部根。 所以 xpn − x 在 Fp 上的分裂域 Fq 包含 xpm − x 在 Fp 上的分裂域 Fpm 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  94. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    ? . . . . . . . . 当 n | n 时,Fpn 含有一个大小为 pm 的子域。这样的子域只 有一个吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  95. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 求 F230 的子域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  96. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 求 F230 的子域。 . . . . . . . . . . 1 由于 30 有因子 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  97. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 求 F230 的子域。 . . . . . . . . . . 1 由于 30 有因子 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1, . . . 2 所以 F230 的子域有 F230 , F215 , F210 , F26 , F25 , F23 , F22 , F2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  98. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 求 F230 的子域。 . . . . . . . . . . 1 由于 30 有因子 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1, . . . 2 所以 F230 的子域有 F230 , F215 , F210 , F26 , F25 , F23 , F22 , F2 F 230 zzzzzzzz E E E E E E E E F 26 D D D D D D D D F 210 zzzzzzzz E E E E E E E E F 215 yyyyyyyy F 22 D D D D D D D D F 23 F 25 yyyyyyyy F2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  99. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fpm ⊆ Fpn ,α ∈ Fpn ,则 α ∈ Fpm 当且仅当 αpm = α。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  100. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fpm ⊆ Fpn ,α ∈ Fpn ,则 α ∈ Fpm 当且仅当 αpm = α。 . . . . . . . 由于 Fpm 中的元素就是 xpm − x = 0 的全部解, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  101. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 Fpm ⊆ Fpn ,α ∈ Fpn ,则 α ∈ Fpm 当且仅当 αpm = α。 . . . . . . . 由于 Fpm 中的元素就是 xpm − x = 0 的全部解,所以 α ∈ Fpm 等价于 αpm = α。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  102. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  103. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗?现在我们来说明更一般的结论:Fq 上的 n 次既约多项式 一定是存在的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  104. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗?现在我们来说明更一般的结论:Fq 上的 n 次既约多项式 一定是存在的。 . . . . . . . . . . 1 设 xqn − x 在 Fq 上的分裂域为Fqn ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  105. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗?现在我们来说明更一般的结论:Fq 上的 n 次既约多项式 一定是存在的。 . . . . . . . . . . 1 设 xqn − x 在 Fq 上的分裂域为Fqn ; . . . 2 [Fqn : Fq] = n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  106. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗?现在我们来说明更一般的结论:Fq 上的 n 次既约多项式 一定是存在的。 . . . . . . . . . . 1 设 xqn − x 在 Fq 上的分裂域为Fqn ; . . . 2 [Fqn : Fq] = n; . . . 3 设 Fqn 的一个本原元为 α; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  107. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗?现在我们来说明更一般的结论:Fq 上的 n 次既约多项式 一定是存在的。 . . . . . . . . . . 1 设 xqn − x 在 Fq 上的分裂域为Fqn ; . . . 2 [Fqn : Fq] = n; . . . 3 设 Fqn 的一个本原元为 α; . . . 4 Fqn = Fq(α); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  108. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗?现在我们来说明更一般的结论:Fq 上的 n 次既约多项式 一定是存在的。 . . . . . . . . . . 1 设 xqn − x 在 Fq 上的分裂域为Fqn ; . . . 2 [Fqn : Fq] = n; . . . 3 设 Fqn 的一个本原元为 α; . . . 4 Fqn = Fq(α); . . . 5 α 在 Fq 上的极小多项式次数为 n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  109. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 前面我们提过一个问题,Fp 上的 n 次既约多项式一定存在 吗?现在我们来说明更一般的结论:Fq 上的 n 次既约多项式 一定是存在的。 . . . . . . . . . . 1 设 xqn − x 在 Fq 上的分裂域为Fqn ; . . . 2 [Fqn : Fq] = n; . . . 3 设 Fqn 的一个本原元为 α; . . . 4 Fqn = Fq(α); . . . 5 α 在 Fq 上的极小多项式次数为 n; . . . 6 这样我们就证明了 Fq 上 n 次既约多项式是存在的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  110. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . §9.2 分圆多项式 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  111. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个域,n 是一个正整数, . . . 1 多项式 xn − 1 在 K 上的分裂域称为 K 上的 n 次分圆 域,记为 K(n)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  112. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个域,n 是一个正整数, . . . 1 多项式 xn − 1 在 K 上的分裂域称为 K 上的 n 次分圆 域,记为 K(n)。 . . . 2 xn − 1 在 K(n) 中的根称为 K 上的 n 次单位根, n 次单 位根的全体记成 E(n)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  113. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个域,n 是一个正整数, . . . 1 多项式 xn − 1 在 K 上的分裂域称为 K 上的 n 次分圆 域,记为 K(n)。 . . . 2 xn − 1 在 K(n) 中的根称为 K 上的 n 次单位根, n 次单 位根的全体记成 E(n)。 . . . . . . . 当 K 为有理数域 Q 时,n 次单位根集 E(n) 正好均匀分布在 复平面的单位圆上,而 K(n) 就是将这些单位根添加到 Q 中所 得的扩域,分圆域由此得名。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  114. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  115. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  116. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  117. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  118. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  119. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 若 α ∈ E(n),则 α · αn−1 = αn−1 · α = 1,所以有逆; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  120. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 若 α ∈ E(n),则 α · αn−1 = αn−1 · α = 1,所以有逆; 结合律显然, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  121. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 若 α ∈ E(n),则 α · αn−1 = αn−1 · α = 1,所以有逆; 结合律显然,E(n) 是个乘法交换群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  122. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 若 α ∈ E(n),则 α · αn−1 = αn−1 · α = 1,所以有逆; 结合律显然,E(n) 是个乘法交换群。 E(n) 是个循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  123. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 若 α ∈ E(n),则 α · αn−1 = αn−1 · α = 1,所以有逆; 结合律显然,E(n) 是个乘法交换群。 E(n) 是个循环群。 K(n) 是有限域 K 添加 xn − 1 的 n 个根得到的,所以 Kn 是有限域; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  124. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 若 α ∈ E(n),则 α · αn−1 = αn−1 · α = 1,所以有逆; 结合律显然,E(n) 是个乘法交换群。 E(n) 是个循环群。 K(n) 是有限域 K 添加 xn − 1 的 n 个根得到的,所以 Kn 是有限域; K(n)∗ 是个循环群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  125. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们只关注有限域上的分圆域,设 K 是特征为 p 的有限域。 . . . . . . . E(n) 是个群; 若 α, β ∈ E(n),则 (αβ)n = αnβn = 1。 αβ ∈ En,E(n) 在乘法下封闭; 1 ∈ E(n),所以有单位; 若 α ∈ E(n),则 α · αn−1 = αn−1 · α = 1,所以有逆; 结合律显然,E(n) 是个乘法交换群。 E(n) 是个循环群。 K(n) 是有限域 K 添加 xn − 1 的 n 个根得到的,所以 Kn 是有限域; K(n)∗ 是个循环群; E(n) 是 K(n)∗ 的子群,也是循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  126. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  127. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  128. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  129. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 如果 p n,则 (f , f) = 1,E(n) 是个大小为 n 的循环 群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  130. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 如果 p n,则 (f , f) = 1,E(n) 是个大小为 n 的循环 群。 如果 p | n,则 (f , f) = (0, f) = 1,xn − 1 = 0 有重根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  131. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 如果 p n,则 (f , f) = 1,E(n) 是个大小为 n 的循环 群。 如果 p | n,则 (f , f) = (0, f) = 1,xn − 1 = 0 有重根。 设 n = pem, p m,有 xn − 1 = xpem − 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  132. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 如果 p n,则 (f , f) = 1,E(n) 是个大小为 n 的循环 群。 如果 p | n,则 (f , f) = (0, f) = 1,xn − 1 = 0 有重根。 设 n = pem, p m,有 xn − 1 = xpem − 1 = (xm − 1)pe 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  133. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 如果 p n,则 (f , f) = 1,E(n) 是个大小为 n 的循环 群。 如果 p | n,则 (f , f) = (0, f) = 1,xn − 1 = 0 有重根。 设 n = pem, p m,有 xn − 1 = xpem − 1 = (xm − 1)pe 。 xpe − 1 无重根,所以 xn − 1 的根都是 pe 重的; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  134. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 如果 p n,则 (f , f) = 1,E(n) 是个大小为 n 的循环 群。 如果 p | n,则 (f , f) = (0, f) = 1,xn − 1 = 0 有重根。 设 n = pem, p m,有 xn − 1 = xpem − 1 = (xm − 1)pe 。 xpe − 1 无重根,所以 xn − 1 的根都是 pe 重的; 显然 xm − 1 于 xn − 1 在 K 上的分裂域是相同的, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  135. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 循环群 E(n) 的大小是多少呢?如果没有重根,那就是 n。 . . . . . . . 令 f(x) = xn − 1,考虑 (f , f) = (nxn−1, xn − 1); 如果 p n,则 (f , f) = 1,E(n) 是个大小为 n 的循环 群。 如果 p | n,则 (f , f) = (0, f) = 1,xn − 1 = 0 有重根。 设 n = pem, p m,有 xn − 1 = xpem − 1 = (xm − 1)pe 。 xpe − 1 无重根,所以 xn − 1 的根都是 pe 重的; 显然 xm − 1 于 xn − 1 在 K 上的分裂域是相同的,所 以 K(n) = K(m),E(n) = E(m) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  136. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们把前面的讨论总结成如下的定理。 . 定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,则有 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  137. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们把前面的讨论总结成如下的定理。 . 定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,则有 . . . 1 若 p n,则 E(n) 关于 K(n) 的乘法构成一个 n 阶循环 群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  138. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们把前面的讨论总结成如下的定理。 . 定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,则有 . . . 1 若 p n,则 E(n) 关于 K(n) 的乘法构成一个 n 阶循环 群; . . . 2 若 p|n,设 n = mpe, p m,则 K(n) = K(m), E(n) = E(m). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  139. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 我们把前面的讨论总结成如下的定理。 . 定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,则有 . . . 1 若 p n,则 E(n) 关于 K(n) 的乘法构成一个 n 阶循环 群; . . . 2 若 p|n,设 n = mpe, p m,则 K(n) = K(m), E(n) = E(m). xn − 1 的在 K(n) 中的根正好是 E(m) 中的 m 个元,每个 元是 pe 重根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  140. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    注意 . . . . . . . . 由前面的定理可以知道,我们不必去研究 xn − 1, p | n 的情 形。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  141. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    注意 . . . . . . . . 由前面的定理可以知道,我们不必去研究 xn − 1, p | n 的情 形。因为这种情形总可以转换成 xm − 1, p m 的情形。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  142. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    注意 . . . . . . . . 由前面的定理可以知道,我们不必去研究 xn − 1, p | n 的情 形。因为这种情形总可以转换成 xm − 1, p m 的情形。 我们 只要把后者研究清楚就可以了。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  143. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,循环 群 E(n) 的生成元称为 K 上的 n 次本原单位根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  144. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,循环 群 E(n) 的生成元称为 K 上的 n 次本原单位根。 . . . . . . . . . . 1 勿与本原元混淆。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  145. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,循环 群 E(n) 的生成元称为 K 上的 n 次本原单位根。 . . . . . . . . . . 1 勿与本原元混淆。 . . . 2 若 ζ 是 n 次本原单位根,则对任意正整 数 k, 1 k < n, ζk = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  146. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,循环 群 E(n) 的生成元称为 K 上的 n 次本原单位根。 . . . . . . . . . . 1 勿与本原元混淆。 . . . 2 若 ζ 是 n 次本原单位根,则对任意正整 数 k, 1 k < n, ζk = 1; . . . 3 E(n) 中任一元均可唯一写成 ζt, 0 t < n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  147. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,循环 群 E(n) 的生成元称为 K 上的 n 次本原单位根。 . . . . . . . . . . 1 勿与本原元混淆。 . . . 2 若 ζ 是 n 次本原单位根,则对任意正整 数 k, 1 k < n, ζk = 1; . . . 3 E(n) 中任一元均可唯一写成 ζt, 0 t < n; . . . 4 n 次本原单位根共有 ϕ(n) 个。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  148. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n, ζ 是 K 上的一个 n 此本原单位根,令 Qn(x) = ∏ (s,n)=1 (x − ζs), Qn(x) 称为 K 上的 n 次分圆多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  149. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n, ζ 是 K 上的一个 n 此本原单位根,令 Qn(x) = ∏ (s,n)=1 (x − ζs), Qn(x) 称为 K 上的 n 次分圆多项式。 . . . . . . . . . . 1 由于 {ζs | (s, n) = 1} 是 K(n) 生成元的集合,所以这个定 义不依赖于 ζ 的选取。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  150. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定义 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n, ζ 是 K 上的一个 n 此本原单位根,令 Qn(x) = ∏ (s,n)=1 (x − ζs), Qn(x) 称为 K 上的 n 次分圆多项式。 . . . . . . . . . . 1 由于 {ζs | (s, n) = 1} 是 K(n) 生成元的集合,所以这个定 义不依赖于 ζ 的选取。 . . . 2 deg Qn(x) = ϕ(n)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  151. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,则 . . . 1 xn − 1 = ∏ d|n Qd(x); . . . 2 Qn(x) 的系数属于 K 的素域 Zp 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  152. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,则 . . . 1 xn − 1 = ∏ d|n Qd(x); . . . 2 Qn(x) 的系数属于 K 的素域 Zp 。 . . . . . . . d | n ⇒ xd − 1 | xn − 1,所以 K(n) ⊇ K(d), E(n) ⊇ E(d)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  153. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,则 . . . 1 xn − 1 = ∏ d|n Qd(x); . . . 2 Qn(x) 的系数属于 K 的素域 Zp 。 . . . . . . . d | n ⇒ xd − 1 | xn − 1,所以 K(n) ⊇ K(d), E(n) ⊇ E(d)。 Qd(x), xn − 1 均无重根,Qd(x)|xn − 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  154. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,则 . . . 1 xn − 1 = ∏ d|n Qd(x); . . . 2 Qn(x) 的系数属于 K 的素域 Zp 。 . . . . . . . d | n ⇒ xd − 1 | xn − 1,所以 K(n) ⊇ K(d), E(n) ⊇ E(d)。 Qd(x), xn − 1 均无重根,Qd(x)|xn − 1; 因 Qd(x) 的根阶为 d,若 d = d 有 (Qd(x), Qd (x)) = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  155. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K 是一个特征 p 的有限域,n 是一个正整数,p n,则 . . . 1 xn − 1 = ∏ d|n Qd(x); . . . 2 Qn(x) 的系数属于 K 的素域 Zp 。 . . . . . . . d | n ⇒ xd − 1 | xn − 1,所以 K(n) ⊇ K(d), E(n) ⊇ E(d)。 Qd(x), xn − 1 均无重根,Qd(x)|xn − 1; 因 Qd(x) 的根阶为 d,若 d = d 有 (Qd(x), Qd (x)) = 1; ∏ d|n Qd(x) | xn − 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  156. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 反之,若 α 为 xn − 1 一根,其阶必为 n 的一个因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  157. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 反之,若 α 为 xn − 1 一根,其阶必为 n 的一个因子。 设 o(α) = d,则 α 是 E(d) 的生成元,所以 α 是 Qd(x) 的根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  158. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 反之,若 α 为 xn − 1 一根,其阶必为 n 的一个因子。 设 o(α) = d,则 α 是 E(d) 的生成元,所以 α 是 Qd(x) 的根。 xn − 1 ∏ d|n Qd(x)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  159. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 反之,若 α 为 xn − 1 一根,其阶必为 n 的一个因子。 设 o(α) = d,则 α 是 E(d) 的生成元,所以 α 是 Qd(x) 的根。 xn − 1 ∏ d|n Qd(x)。 . (另一种方法) . . . . . . . . 因为 deg Qd(x) = ϕ(d),所以 ∏ d|n Qd(x) 的次数为 ∑ d|n ϕ(d) = n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  160. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 反之,若 α 为 xn − 1 一根,其阶必为 n 的一个因子。 设 o(α) = d,则 α 是 E(d) 的生成元,所以 α 是 Qd(x) 的根。 xn − 1 ∏ d|n Qd(x)。 . (另一种方法) . . . . . . . . 因为 deg Qd(x) = ϕ(d),所以 ∏ d|n Qd(x) 的次数为 ∑ d|n ϕ(d) = n; 所以在得到 ∏ n|d Qd(x) | xn − 1 后,马上可以有相等的结 论。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  161. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . Qn(x) 的系数在 Zp 中? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  162. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . Qn(x) 的系数在 Zp 中? . . . . . . . Q1(x) = x − 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  163. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . Qn(x) 的系数在 Zp 中? . . . . . . . Q1(x) = x − 1; 设 n < k 时 Qn(x) ∈ Zp[x]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  164. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . Qn(x) 的系数在 Zp 中? . . . . . . . Q1(x) = x − 1; 设 n < k 时 Qn(x) ∈ Zp[x]; 当 n = k 时: Qk(x) = xk − 1 ∏ d|k,d<k Qd(x) , 由归纳假设有 Qk(x) ∈ Zp[x]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  165. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 设 r 是一个素数,k 是正整数,求 Qr(x), Qr2 (x), · · · 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  166. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 设 r 是一个素数,k 是正整数,求 Qr(x), Qr2 (x), · · · . . . . . . . Qr0 (x) = Q1(x) = x − 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  167. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 设 r 是一个素数,k 是正整数,求 Qr(x), Qr2 (x), · · · . . . . . . . Qr0 (x) = Q1(x) = x − 1; Qr1 (x) = xr − 1 Q1(x) = xr − 1 x − 1 ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  168. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 设 r 是一个素数,k 是正整数,求 Qr(x), Qr2 (x), · · · . . . . . . . Qr0 (x) = Q1(x) = x − 1; Qr1 (x) = xr − 1 Q1(x) = xr − 1 x − 1 ; Qr2 (x) = xr2 − 1 Q1(x)Qr(x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  169. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 设 r 是一个素数,k 是正整数,求 Qr(x), Qr2 (x), · · · . . . . . . . Qr0 (x) = Q1(x) = x − 1; Qr1 (x) = xr − 1 Q1(x) = xr − 1 x − 1 ; Qr2 (x) = xr2 − 1 Q1(x)Qr(x) = xr2 − 1 xr − 1 ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  170. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 设 r 是一个素数,k 是正整数,求 Qr(x), Qr2 (x), · · · . . . . . . . Qr0 (x) = Q1(x) = x − 1; Qr1 (x) = xr − 1 Q1(x) = xr − 1 x − 1 ; Qr2 (x) = xr2 − 1 Q1(x)Qr(x) = xr2 − 1 xr − 1 ; · · · Qrk (x) = xk − 1 Q1(x)Qr(x) · · · Qrk−1 (x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  171. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 设 r 是一个素数,k 是正整数,求 Qr(x), Qr2 (x), · · · . . . . . . . Qr0 (x) = Q1(x) = x − 1; Qr1 (x) = xr − 1 Q1(x) = xr − 1 x − 1 ; Qr2 (x) = xr2 − 1 Q1(x)Qr(x) = xr2 − 1 xr − 1 ; · · · Qrk (x) = xk − 1 Q1(x)Qr(x) · · · Qrk−1 (x) = xk − 1 xrk−1 − 1 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  172. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  173. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 . . . . . . . xn − 1 的根构成乘法循环群 E(n),若 α 是一个 n 次本原 单位根,则 K(n) = K(α); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  174. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 . . . . . . . xn − 1 的根构成乘法循环群 E(n),若 α 是一个 n 次本原 单位根,则 K(n) = K(α); 若 [K(α) : K] = d,则 K(α) 与 K 之间的中间域为: F qd , d |d, d < d; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  175. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 . . . . . . . xn − 1 的根构成乘法循环群 E(n),若 α 是一个 n 次本原 单位根,则 K(n) = K(α); 若 [K(α) : K] = d,则 K(α) 与 K 之间的中间域为: F qd , d |d, d < d; α 不在这些中间域内,所以 αqd = α,也就 是 αqd −1 = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  176. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 . . . . . . . xn − 1 的根构成乘法循环群 E(n),若 α 是一个 n 次本原 单位根,则 K(n) = K(α); 若 [K(α) : K] = d,则 K(α) 与 K 之间的中间域为: F qd , d |d, d < d; α 不在这些中间域内,所以 αqd = α,也就 是 αqd −1 = 1; α 在 K(α) = Fqd 上,所以 αqd = α,也就 是 αqd−1 = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  177. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 . . . . . . . xn − 1 的根构成乘法循环群 E(n),若 α 是一个 n 次本原 单位根,则 K(n) = K(α); 若 [K(α) : K] = d,则 K(α) 与 K 之间的中间域为: F qd , d |d, d < d; α 不在这些中间域内,所以 αqd = α,也就 是 αqd −1 = 1; α 在 K(α) = Fqd 上,所以 αqd = α,也就 是 αqd−1 = 1; 由于 α 的阶为 n,所以 qd ≡ 1 (mod n), d |d, d < d, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  178. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 . . . . . . . xn − 1 的根构成乘法循环群 E(n),若 α 是一个 n 次本原 单位根,则 K(n) = K(α); 若 [K(α) : K] = d,则 K(α) 与 K 之间的中间域为: F qd , d |d, d < d; α 不在这些中间域内,所以 αqd = α,也就 是 αqd −1 = 1; α 在 K(α) = Fqd 上,所以 αqd = α,也就 是 αqd−1 = 1; 由于 α 的阶为 n,所以 qd ≡ 1 (mod n), d |d, d < d, qd = 1 (mod n), 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  179. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 现在我们来看一下 K(n) 的大小。 . . . . . . . xn − 1 的根构成乘法循环群 E(n),若 α 是一个 n 次本原 单位根,则 K(n) = K(α); 若 [K(α) : K] = d,则 K(α) 与 K 之间的中间域为: F qd , d |d, d < d; α 不在这些中间域内,所以 αqd = α,也就 是 αqd −1 = 1; α 在 K(α) = Fqd 上,所以 αqd = α,也就 是 αqd−1 = 1; 由于 α 的阶为 n,所以 qd ≡ 1 (mod n), d |d, d < d, qd = 1 (mod n),即 d 在 Z∗ n 中的阶为 d。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  180. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K = Fq 是 q 元有限域,q = pm, n 是一个正整数,p n, d 是 q 模 n 的乘法阶,则 . . . 1 [K(n) : K] = d; . . . 2 Qn(x) 在 K 上分解为 ϕ(n) d 个不同的首项系数为 1 的 d 次不可约多项式的乘积。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  181. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K = Fq 是 q 元有限域,q = pm, n 是一个正整数,p n, d 是 q 模 n 的乘法阶,则 . . . 1 [K(n) : K] = d; . . . 2 Qn(x) 在 K 上分解为 ϕ(n) d 个不同的首项系数为 1 的 d 次不可约多项式的乘积。 . . . . . . . . . . 1 由前面的讨论可知。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  182. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    定理 . . . . . . . . 设 K = Fq 是 q 元有限域,q = pm, n 是一个正整数,p n, d 是 q 模 n 的乘法阶,则 . . . 1 [K(n) : K] = d; . . . 2 Qn(x) 在 K 上分解为 ϕ(n) d 个不同的首项系数为 1 的 d 次不可约多项式的乘积。 . . . . . . . . . . 1 由前面的讨论可知。 . . . 2 n 次单位根的极小多项式次数为 d,所以 Qn(x) 在 K 上 分解成 ϕ(n) d 个既约多项式的乘积。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  183. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  184. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  185. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  186. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  187. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; Q4 = x4 − 1 Q1Q2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  188. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; Q4 = x4 − 1 Q1Q2 = x2 + 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  189. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; Q4 = x4 − 1 Q1Q2 = x2 + 1; x12 − 1 = (x6 − 1)(x2 + 1)Q12 ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  190. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; Q4 = x4 − 1 Q1Q2 = x2 + 1; x12 − 1 = (x6 − 1)(x2 + 1)Q12 ; Q12 = x12 − 1 (x6 − 1)(x2 + 1) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  191. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; Q4 = x4 − 1 Q1Q2 = x2 + 1; x12 − 1 = (x6 − 1)(x2 + 1)Q12 ; Q12 = x12 − 1 (x6 − 1)(x2 + 1) = (x6 + 1)(x6 − 1) (x6 − 1)(x2 + 1) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  192. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; Q4 = x4 − 1 Q1Q2 = x2 + 1; x12 − 1 = (x6 − 1)(x2 + 1)Q12 ; Q12 = x12 − 1 (x6 − 1)(x2 + 1) = (x6 + 1)(x6 − 1) (x6 − 1)(x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 − x2 + 1) x2 + 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  193. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    Example . . . . . . . . 在 F11 上,求 Q12(x)。 . . . . . . . x12 − 1 = Q1Q2Q3Q4Q6Q12 ; x6 − 1=Q1Q2Q3Q6 ;x2 − 1 = Q1Q2 ; Q4 = x4 − 1 Q1Q2 = x2 + 1; x12 − 1 = (x6 − 1)(x2 + 1)Q12 ; Q12 = x12 − 1 (x6 − 1)(x2 + 1) = (x6 + 1)(x6 − 1) (x6 − 1)(x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 − x2 + 1) x2 + 1 = x4 − x2 + 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  194. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 由于 F11 (12) 在 F11 上的扩张次数是 11 模 12 的阶, 即 2; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  195. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 由于 F11 (12) 在 F11 上的扩张次数是 11 模 12 的阶, 即 2; 所以 Q12 = x4 − x2 + 1 在 Z11 上分解为 ϕ(12) 2 = 2 个既 约因式的乘积。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  196. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 .

    . . . . . . 由于 F11 (12) 在 F11 上的扩张次数是 11 模 12 的阶, 即 2; 所以 Q12 = x4 − x2 + 1 在 Z11 上分解为 ϕ(12) 2 = 2 个既 约因式的乘积。 实际上 x4 − x2 + 1 = (x2 + 5x + 1)(x2 − 5x + 1)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  197. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . §9.3 有限域中元素 的表示方法 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  198. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 有限域的应用要涉及有限域上的运算,而运算的速度与有限域中 元素的表示方法有关系。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  199. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 有限域的应用要涉及有限域上的运算,而运算的速度与有限域中 元素的表示方法有关系。这一节介绍有限域中元素的几种表示方 法。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  200. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 多项式表示: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  201. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 多项式表示: . . . . . . . 设 q = pn,则 Fq 是 Fp 的 n 次扩张,所以只要找到一个 n 次既约多项式 f(x),就有 Fq = Fp[x]/ ( f(x) ) 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  202. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 多项式表示: . . . . . . . 设 q = pn,则 Fq 是 Fp 的 n 次扩张,所以只要找到一个 n 次既约多项式 f(x),就有 Fq = Fp[x]/ ( f(x) ) 。 如果令 α 是 f(x) 在 Fq[x]/ ( f(x) ) 的一个解,Fqn 也可以写为 F(α) = {a0 + a1α + · · · + an−1αn−1 | ai ∈ Fq} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  203. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . F9 是 F2 的一个 2 次扩张,f(x) = x2 + 1 ∈ F3[x] 是既约的。 利用 f(x) 写出 F9 中的元素。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  204. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . F9 是 F2 的一个 2 次扩张,f(x) = x2 + 1 ∈ F3[x] 是既约的。 利用 f(x) 写出 F9 中的元素。 . . . . . . . F9 = {a0 + a1α | a0, a1 ∈ F3} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  205. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . F9 是 F2 的一个 2 次扩张,f(x) = x2 + 1 ∈ F3[x] 是既约的。 利用 f(x) 写出 F9 中的元素。 . . . . . . . F9 = {a0 + a1α | a0, a1 ∈ F3} = {0, 1, 2, α, 1 + α, 2 + α, 2α, 1 + 2α, 2 + 2α}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  206. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . F9 是 F2 的一个 2 次扩张,f(x) = x2 + 1 ∈ F3[x] 是既约的。 利用 f(x) 写出 F9 中的元素。 . . . . . . . F9 = {a0 + a1α | a0, a1 ∈ F3} = {0, 1, 2, α, 1 + α, 2 + α, 2α, 1 + 2α, 2 + 2α}。 光给出元素的形式还不够,还要给出运算规律。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  207. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 • 0 1 2 α 1 + α 2 + α 2α 1 + 2α 2 + 2α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 α 1 + α 2 + α 2α 1 + 2α 2 + 2α 2 0 2 1 2α 2 + 2α 1 + 2α α 2 + α 1 + α α 0 α 2α 2 2 + α 2 + 2α 1 1 + α 1 + 2α 1 + α 0 1 + α 2 + 2α 2 + α 2α 1 1 + 2α 2 α 2 + α 0 2 + α 1 + 2α 2 + 2α 1 α 1 + α 2α 2 2α 0 2α α 1 1 + 2α 1 + α 2 2 + 2α 2 + α 1 + 2α 0 1 + 2α 2 + α 1 + α 2 2α 2 + 2α α 1 2 + 2α 0 2 + 2α 1 + α 1 + 2α α 2 2 + α 1 2α 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  208. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 本原元表示: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  209. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 本原元表示: . . . . . . . 设 Fq 的一个本原元为 ζ,则 Fq = Fp(ζ)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  210. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 本原元表示: . . . . . . . 设 Fq 的一个本原元为 ζ,则 Fq = Fp(ζ)。由于 ζ 是 F∗ q 的 生成元,所以 Fq = {0, ζ, ζ2, · · · , ζq−1}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  211. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 本原元表示: . . . . . . . 设 Fq 的一个本原元为 ζ,则 Fq = Fp(ζ)。由于 ζ 是 F∗ q 的 生成元,所以 Fq = {0, ζ, ζ2, · · · , ζq−1}。 这种表示的优点是乘法容易计算,但加法则稍复杂一些。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  212. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  213. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 . . . . . . . 设 ζ 是 F9 的一个本原元,则 F9 = {0, ζ, . . . , ζ8}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  214. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 . . . . . . . 设 ζ 是 F9 的一个本原元,则 F9 = {0, ζ, . . . , ζ8}。 要计算乘法是容易的,比如 ζ5ζ8 = ζ13 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  215. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 . . . . . . . 设 ζ 是 F9 的一个本原元,则 F9 = {0, ζ, . . . , ζ8}。 要计算乘法是容易的,比如 ζ5ζ8 = ζ13 = ζ4; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  216. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 . . . . . . . 设 ζ 是 F9 的一个本原元,则 F9 = {0, ζ, . . . , ζ8}。 要计算乘法是容易的,比如 ζ5ζ8 = ζ13 = ζ4; 如果要计算加法,则我们要把 ζ 的身份弄得更清楚一些。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  217. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 . . . . . . . 设 ζ 是 F9 的一个本原元,则 F9 = {0, ζ, . . . , ζ8}。 要计算乘法是容易的,比如 ζ5ζ8 = ζ13 = ζ4; 如果要计算加法,则我们要把 ζ 的身份弄得更清楚一些。 本原元 ζ 是 Q8(x) 的根,经过计算,可以得到: Q8(x) = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  218. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 . . . . . . . 设 ζ 是 F9 的一个本原元,则 F9 = {0, ζ, . . . , ζ8}。 要计算乘法是容易的,比如 ζ5ζ8 = ζ13 = ζ4; 如果要计算加法,则我们要把 ζ 的身份弄得更清楚一些。 本原元 ζ 是 Q8(x) 的根,经过计算,可以得到: Q8(x) = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2); 设 ζ 为 x2 + x + 2 的根; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  219. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的本原元表示。 . . . . . . . 设 ζ 是 F9 的一个本原元,则 F9 = {0, ζ, . . . , ζ8}。 要计算乘法是容易的,比如 ζ5ζ8 = ζ13 = ζ4; 如果要计算加法,则我们要把 ζ 的身份弄得更清楚一些。 本原元 ζ 是 Q8(x) 的根,经过计算,可以得到: Q8(x) = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2); 设 ζ 为 x2 + x + 2 的根; 我们在前面已经得到了 F9 的多项式表示,代入检查会发现 1 + α 是 x2 + x + 2 的一个根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  220. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 可以预先计算出: ζ = 1 + α, ζ2 = 2α, ζ3 = 1 + 2α, ζ4 = 2, ζ2 = 2 + 2α, ζ6 = α, ζ7 = 2 + α, ζ8 = 1. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  221. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 可以预先计算出: ζ = 1 + α, ζ2 = 2α, ζ3 = 1 + 2α, ζ4 = 2, ζ2 = 2 + 2α, ζ6 = α, ζ7 = 2 + α, ζ8 = 1. 把上面的表格保存,就能很容易地计算出加法,比如 ζ3 + ζ4 = ζ2, ζ1 + ζ6 = ζ3。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  222. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 伴随矩阵表示 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  223. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 伴随矩阵表示 . . . . . . . 这其实是多项式表示的一个变种。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  224. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 伴随矩阵表示 . . . . . . . 这其实是多项式表示的一个变种。 若 α 是 Fq 上一个代数元,其极小多项式的次数为 n,则 Fqn = F(α)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  225. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 伴随矩阵表示 . . . . . . . 这其实是多项式表示的一个变种。 若 α 是 Fq 上一个代数元,其极小多项式的次数为 n,则 Fqn = F(α)。 上述说法有点抽象,α 到底是个什么东西,不是很清楚。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  226. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 伴随矩阵表示 . . . . . . . 这其实是多项式表示的一个变种。 若 α 是 Fq 上一个代数元,其极小多项式的次数为 n,则 Fqn = F(α)。 上述说法有点抽象,α 到底是个什么东西,不是很清楚。 以前我们说过可以通过构造商域(环)来得到代数元, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  227. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 伴随矩阵表示 . . . . . . . 这其实是多项式表示的一个变种。 若 α 是 Fq 上一个代数元,其极小多项式的次数为 n,则 Fqn = F(α)。 上述说法有点抽象,α 到底是个什么东西,不是很清楚。 以前我们说过可以通过构造商域(环)来得到代数元,即若 f(x) 是 Fq 上一个 n 次既约多项式,则 Fq 可以看成商 域 F[x]/ ( f(x) ) 的子环,而 ¯ x 则是 Fq 上的一个 n 次代数 元。 是否有构造代数元 α 的其它方法呢? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  228. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 回顾一下高等代数里学过的 Hamilton-Caylay 定理,它告 诉我们一个矩阵可以作为自身特征多项式的一个根; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  229. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 回顾一下高等代数里学过的 Hamilton-Caylay 定理,它告 诉我们一个矩阵可以作为自身特征多项式的一个根; 而多项式 f 的伴随矩阵的特征多项式就是 f; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  230. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 回顾一下高等代数里学过的 Hamilton-Caylay 定理,它告 诉我们一个矩阵可以作为自身特征多项式的一个根; 而多项式 f 的伴随矩阵的特征多项式就是 f; 若 Fq 上 n 次既约多项式 f 为 a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 + xn, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  231. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 回顾一下高等代数里学过的 Hamilton-Caylay 定理,它告 诉我们一个矩阵可以作为自身特征多项式的一个根; 而多项式 f 的伴随矩阵的特征多项式就是 f; 若 Fq 上 n 次既约多项式 f 为 a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 + xn, f 的伴随矩阵 A =        0 0 0 · · · 0 −a0 1 0 0 · · · 0 −a1 0 1 0 · · · 0 −a2 ... · · · 0 0 0 · · · 1 −an−1        是 f(x) 的一个根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  232. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 矩阵运算的结果还是矩阵,那 f(A) = 0 是什么意思呢? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  233. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 矩阵运算的结果还是矩阵,那 f(A) = 0 是什么意思呢? 定义 Fq 到 Fq 上的 n 阶矩阵环上的一个映射 ϕ: ϕ : a →      a 0 · · · 0 0 a · · · 0 . . . · · · ... 0 0 0 · · · a      广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  234. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 矩阵运算的结果还是矩阵,那 f(A) = 0 是什么意思呢? 定义 Fq 到 Fq 上的 n 阶矩阵环上的一个映射 ϕ: ϕ : a →      a 0 · · · 0 0 a · · · 0 . . . · · · ... 0 0 0 · · · a      ϕ 是一个单同态,所以 Fq 可以嵌入到 n 阶矩阵环当中。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  235. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 矩阵运算的结果还是矩阵,那 f(A) = 0 是什么意思呢? 定义 Fq 到 Fq 上的 n 阶矩阵环上的一个映射 ϕ: ϕ : a →      a 0 · · · 0 0 a · · · 0 . . . · · · ... 0 0 0 · · · a      ϕ 是一个单同态,所以 Fq 可以嵌入到 n 阶矩阵环当中。 用 Fq 取代所有对角矩阵,或者说等同于所有对角阵; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  236. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . . . . . . . 矩阵运算的结果还是矩阵,那 f(A) = 0 是什么意思呢? 定义 Fq 到 Fq 上的 n 阶矩阵环上的一个映射 ϕ: ϕ : a →      a 0 · · · 0 0 a · · · 0 . . . · · · ... 0 0 0 · · · a      ϕ 是一个单同态,所以 Fq 可以嵌入到 n 阶矩阵环当中。 用 Fq 取代所有对角矩阵,或者说等同于所有对角阵;并 把 f(x) 中的系数理解成对角矩阵,则 f(A) = 0 就合理 了。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  237. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  238. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  239. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  240. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, 1, 2, A, 1 + A, 2 + A, 2A, 1 + 2A, 2 + 2A}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  241. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, 1, 2, A, 1 + A, 2 + A, 2A, 1 + 2A, 2 + 2A}; A + (1 + A) = 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  242. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, 1, 2, A, 1 + A, 2 + A, 2A, 1 + 2A, 2 + 2A}; A + (1 + A) = 1 A · (1 + A) = A + A2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  243. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, 1, 2, A, 1 + A, 2 + A, 2A, 1 + 2A, 2 + 2A}; A + (1 + A) = 1 A · (1 + A) = A + A2 = ( 2 2 1 2 ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  244. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, 1, 2, A, 1 + A, 2 + A, 2A, 1 + 2A, 2 + 2A}; A + (1 + A) = 1 A · (1 + A) = A + A2 = ( 2 2 1 2 ) = 2 + A. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  245. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, 1, 2, A, 1 + A, 2 + A, 2A, 1 + 2A, 2 + 2A}; A + (1 + A) = 1 A · (1 + A) = A + A2 = ( 2 2 1 2 ) = 2 + A. 容易看出,这里的 A 跟多项式表示中的 α 没有太大的区 别, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  246. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 给出 F9 的一个伴随矩阵表示。 . . . . . . . x2 + 1 是 F3 上的既约多项式; A = ( 0 2 1 0 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, 1, 2, A, 1 + A, 2 + A, 2A, 1 + 2A, 2 + 2A}; A + (1 + A) = 1 A · (1 + A) = A + A2 = ( 2 2 1 2 ) = 2 + A. 容易看出,这里的 A 跟多项式表示中的 α 没有太大的区 别,A 就是个具体的 α。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  247. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  248. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 . . . . . . . 在前面的例子中,如果我们选择 f(x) = x2 + x + 2 ,由于 它是 Q8(x) 的一个既约因式,所以 f(x) 的根是 F9 的本 原元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  249. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 . . . . . . . 在前面的例子中,如果我们选择 f(x) = x2 + x + 2 ,由于 它是 Q8(x) 的一个既约因式,所以 f(x) 的根是 F9 的本 原元。 A = ( 0 1 1 2 ) 是 f(x) 的一个根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  250. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 . . . . . . . 在前面的例子中,如果我们选择 f(x) = x2 + x + 2 ,由于 它是 Q8(x) 的一个既约因式,所以 f(x) 的根是 F9 的本 原元。 A = ( 0 1 1 2 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, A, A2, · · · , A8}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  251. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 . . . . . . . 在前面的例子中,如果我们选择 f(x) = x2 + x + 2 ,由于 它是 Q8(x) 的一个既约因式,所以 f(x) 的根是 F9 的本 原元。 A = ( 0 1 1 2 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, A, A2, · · · , A8}。 A6 + A = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  252. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 . . . . . . . 在前面的例子中,如果我们选择 f(x) = x2 + x + 2 ,由于 它是 Q8(x) 的一个既约因式,所以 f(x) 的根是 F9 的本 原元。 A = ( 0 1 1 2 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, A, A2, · · · , A8}。 A6 + A = ( 2 1 1 1 ) + ( 0 1 1 2 ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  253. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 . . . . . . . 在前面的例子中,如果我们选择 f(x) = x2 + x + 2 ,由于 它是 Q8(x) 的一个既约因式,所以 f(x) 的根是 F9 的本 原元。 A = ( 0 1 1 2 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, A, A2, · · · , A8}。 A6 + A = ( 2 1 1 1 ) + ( 0 1 1 2 ) = ( 2 2 2 0 ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  254. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 . Example . . . . . . . . 用矩阵也可以表示一个具体的本原元。 . . . . . . . 在前面的例子中,如果我们选择 f(x) = x2 + x + 2 ,由于 它是 Q8(x) 的一个既约因式,所以 f(x) 的根是 F9 的本 原元。 A = ( 0 1 1 2 ) 是 f(x) 的一个根。 F9 = {0, A, A2, · · · , A8}。 A6 + A = ( 2 1 1 1 ) + ( 0 1 1 2 ) = ( 2 2 2 0 ) = A3。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  255. . . . . . . 有限域的刻划 分圆多项式 有限域中元素的表示方法 多项式表示

    本原元表示 伴随矩阵表示 本节完,谢谢! 磊张 印晓 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》