信息安全数学基础：第8章：域（上）

信息安全数学基础：第8章：域（上）

Transcript

1. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 域（上） 广州大学数学与信息科学学院 November 10, 2009 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
2. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 交换的除环称为域。在域上不仅可以进行加、减、乘法运算，而 且可以进行除法运算，因此域的应用比环更为广泛。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
3. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 交换的除环称为域。在域上不仅可以进行加、减、乘法运算，而 且可以进行除法运算，因此域的应用比环更为广泛。这一章介绍 域的基本性质以及域的构造方法，包括： . . . 1 分式域； . . . 2 素域； . . . 3 单扩张与代数扩张； . . . 4 高斯数域和三次分圆域； . . . 5 分裂域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
4. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . §8.1 分式域 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
5. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足： . . . 1 D ⊆ F； . . . 2 D = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}。 则称 F 是 D 的分式域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
6. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足： . . . 1 D ⊆ F； . . . 2 D = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}。 则称 F 是 D 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 ab−1 也可以写为 a b 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
7. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足： . . . 1 D ⊆ F； . . . 2 D = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}。 则称 F 是 D 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 ab−1 也可以写为 a b 。 . . . 2 整环与其分式域的关系，可以理解成整数与分数的关系； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
8. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足： . . . 1 D ⊆ F； . . . 2 D = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}。 则称 F 是 D 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 ab−1 也可以写为 a b 。 . . . 2 整环与其分式域的关系，可以理解成整数与分数的关系； . . . 3 可以证明任一整环 D 都存在分式域，且在同构的意义下惟 一（定理的证明可以参考一般的近世代数教程）。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
9. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 Z 为整数环，则有理数域 Q 满足： . . . 1 Z ⊆ Q； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
10. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 Z 为整数环，则有理数域 Q 满足： . . . 1 Z ⊆ Q； . . . 2 Q = { ab−1 a, b ∈ Z, b = 0 } ， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
11. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 Z 为整数环，则有理数域 Q 满足： . . . 1 Z ⊆ Q； . . . 2 Q = { ab−1 a, b ∈ Z, b = 0 } ，或者 Q = { a b a, b ∈ Z, b = 0 } 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
12. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F 是任一个域，F[x] 是 F 上的多项式环，x 称为 F 的一个 不定元。F 上的有理函数域定义为 F{x} = { f(x) g(x) f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 } , 则 F{x} 是 F[x] 的分式域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
13. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F 是任一个域，F[x] 是 F 上的多项式环，x 称为 F 的一个 不定元。F 上的有理函数域定义为 F{x} = { f(x) g(x) f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 } , 则 F{x} 是 F[x] 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 显然 F[x] ⊆ F{x}； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
14. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F 是任一个域，F[x] 是 F 上的多项式环，x 称为 F 的一个 不定元。F 上的有理函数域定义为 F{x} = { f(x) g(x) f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 } , 则 F{x} 是 F[x] 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 显然 F[x] ⊆ F{x}； . . . 2 F{x} = { f(x)g(x)−1 f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 } 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
15. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 为什么要考虑整环的分式域呢？ 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
16. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 为什么要考虑整环的分式域呢？ . . . . . . . . . . 1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
17. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 为什么要考虑整环的分式域呢？ . . . . . . . . . . 1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； . . . 2 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只 有整环才能嵌入到域中。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
18. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 为什么要考虑整环的分式域呢？ . . . . . . . . . . 1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； . . . 2 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只 有整环才能嵌入到域中。 . . . 3 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定 理就是个很好的例子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
19. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 为什么要考虑整环的分式域呢？ . . . . . . . . . . 1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； . . . 2 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只 有整环才能嵌入到域中。 . . . 3 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定 理就是个很好的例子。这个定理只在整数范围内考虑就很难 解决， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
20. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 为什么要考虑整环的分式域呢？ . . . . . . . . . . 1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； . . . 2 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只 有整环才能嵌入到域中。 . . . 3 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定 理就是个很好的例子。这个定理只在整数范围内考虑就很难 解决，标准的处理方法是把考虑的对象扩充到有理数域上的 多项式环 Q[x]，解决了 Q[x] 上 的惟一分解定理， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
21. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 为什么要考虑整环的分式域呢？ . . . . . . . . . . 1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； . . . 2 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只 有整环才能嵌入到域中。 . . . 3 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定 理就是个很好的例子。这个定理只在整数范围内考虑就很难 解决，标准的处理方法是把考虑的对象扩充到有理数域上的 多项式环 Q[x]，解决了 Q[x] 上 的惟一分解定理，然后再 降回到 Z[x] 上，得到 Z[x] 上的惟一分解定理。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
22. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
23. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
24. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}; . . . 2 容易验证，F 是 E 的一个子域； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
25. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}; . . . 2 容易验证，F 是 E 的一个子域； . . . 3 显然 D ⊆ F； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
26. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}; . . . 2 容易验证，F 是 E 的一个子域； . . . 3 显然 D ⊆ F； . . . 4 F 是 D 的分式域； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
27. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0}; . . . 2 容易验证，F 是 E 的一个子域； . . . 3 显然 D ⊆ F； . . . 4 F 是 D 的分式域； . . . 5 包含 D 的域都包含 D 的分式域，所以它是最小的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
28. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . §8.2 素域 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
29. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 如果域 F 是域 E 的子域，那么就称 E 是 F 的扩域或扩张。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
30. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Examples . . . . . . . . . . . 1 复数域 C 是实数域 R 的扩张； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
31. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Examples . . . . . . . . . . . 1 复数域 C 是实数域 R 的扩张； . . . 2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
32. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Examples . . . . . . . . . . . 1 复数域 C 是实数域 R 的扩张； . . . 2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张； . . . 3 任何一个域都是其子域的扩张， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
33. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Examples . . . . . . . . . . . 1 复数域 C 是实数域 R 的扩张； . . . 2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张； . . . 3 任何一个域都是其子域的扩张，或者说任何一个域都可以从 其子域通过扩张得到。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
34. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Examples . . . . . . . . . . . 1 复数域 C 是实数域 R 的扩张； . . . 2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张； . . . 3 任何一个域都是其子域的扩张，或者说任何一个域都可以从 其子域通过扩张得到。 . 想法 . . . . . . . . 如果能弄清楚扩张的结构以及最小域的结构，那么任一个域的结 构从理论上将都可以弄清楚。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
35. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 如果一个域不含真子域，则称之为素域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
36. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是一个域， . . . 1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
37. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是一个域， . . . 1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域; . . . 2 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
38. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是一个域， . . . 1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域; . . . 2 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。 . . . . . . . 设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R 是 E 的 一个子环； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
39. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是一个域， . . . 1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域; . . . 2 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。 . . . . . . . 设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R 是 E 的 一个子环； R 是一个整环，且 CharR = CharE。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
40. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是一个域， . . . 1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域; . . . 2 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。 . . . . . . . 设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R 是 E 的 一个子环； R 是一个整环，且 CharR = CharE。 考虑 Z 到 R 的映射 ϕ : n → ne， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
41. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是一个域， . . . 1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域; . . . 2 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。 . . . . . . . 设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R 是 E 的 一个子环； R 是一个整环，且 CharR = CharE。 考虑 Z 到 R 的映射 ϕ : n → ne，容易验证这是一个环 同态。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
42. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . E 中包含一个 D 的分式域 F; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
43. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . E 中包含一个 D 的分式域 F; 如果 CharE = ∞，则 Z R； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
44. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . E 中包含一个 D 的分式域 F; 如果 CharE = ∞，则 Z R； Z 的分式域 Q F； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
45. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . E 中包含一个 D 的分式域 F; 如果 CharE = ∞，则 Z R； Z 的分式域 Q F； 如果 CharE = p，则 Zp R； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
46. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . E 中包含一个 D 的分式域 F; 如果 CharE = ∞，则 Z R； Z 的分式域 Q F； 如果 CharE = p，则 Zp R； R 本身就是个域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
47. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 推论 . . . . . . . . 若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
48. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 推论 . . . . . . . . 若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。 . . . . . . . . . . 1 若 CharE = ∞，则它包含一个与 Q 同构的域； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
49. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 推论 . . . . . . . . 若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。 . . . . . . . . . . 1 若 CharE = ∞，则它包含一个与 Q 同构的域； . . . 2 若 CharE = p，则它包含一个与 Zp 同构的域； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
50. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 推论 . . . . . . . . 若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。 . . . . . . . . . . 1 若 CharE = ∞，则它包含一个与 Q 同构的域； . . . 2 若 CharE = p，则它包含一个与 Zp 同构的域； . . . 3 而素域不能真包含一个域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
51. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩张，S 是 E 的子集，用 F(S) 表示 E 中包 含 F 和 S 的最小子域，并称之为添加集合 S 于 F 所得到的扩 张。如果 S 是一个有限集 {α1, α2, . . . , αk}，则把 F(S) 记 为 F(α1, α2, . . . , αk)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
52. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩张，S 是 E 的子集，用 F(S) 表示 E 中包 含 F 和 S 的最小子域，并称之为添加集合 S 于 F 所得到的扩 张。如果 S 是一个有限集 {α1, α2, . . . , αk}，则把 F(S) 记 为 F(α1, α2, . . . , αk)。 . . . . . . . 由于域中可以进行四则运算，所以 F(S) 中的元素具有如下形 式： f(α1, α2, . . . , αk) g(α1, α2, . . . , αk) , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
53. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩张，S 是 E 的子集，用 F(S) 表示 E 中包 含 F 和 S 的最小子域，并称之为添加集合 S 于 F 所得到的扩 张。如果 S 是一个有限集 {α1, α2, . . . , αk}，则把 F(S) 记 为 F(α1, α2, . . . , αk)。 . . . . . . . 由于域中可以进行四则运算，所以 F(S) 中的元素具有如下形 式： f(α1, α2, . . . , αk) g(α1, α2, . . . , αk) , 其中 α1, α2, . . . , αk 是 S 中的元素， f, g 是 F 上的两个多元 多项式，且 g(α1, α2, . . . , αk = 0)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
54. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F = Q, E = C, S = { √ 2} ⊆ E，求 F(S)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
55. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F = Q, E = C, S = { √ 2} ⊆ E，求 F(S)。 . . . . . . . . . . 1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
56. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F = Q, E = C, S = { √ 2} ⊆ E，求 F(S)。 . . . . . . . . . . 1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式； . . . 2 F(S) 中的元素为： { f( √ 2) g( √ 2) f, g ∈ Q[x] } ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
57. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F = Q, E = C, S = { √ 2} ⊆ E，求 F(S)。 . . . . . . . . . . 1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式； . . . 2 F(S) 中的元素为： { f( √ 2) g( √ 2) f, g ∈ Q[x] } ; . . . 3 因 √ 2 2 = 2 ，故 f( √ 2) 具有形式 {a + b √ 2 | a, b ∈ Q}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
58. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F = Q, E = C, S = { √ 2} ⊆ E，求 F(S)。 . . . . . . . . . . 1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式； . . . 2 F(S) 中的元素为： { f( √ 2) g( √ 2) f, g ∈ Q[x] } ; . . . 3 因 √ 2 2 = 2 ，故 f( √ 2) 具有形式 {a + b √ 2 | a, b ∈ Q}; . . . 4 而 a + b √ 2 a + b √ 2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
59. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F = Q, E = C, S = { √ 2} ⊆ E，求 F(S)。 . . . . . . . . . . 1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式； . . . 2 F(S) 中的元素为： { f( √ 2) g( √ 2) f, g ∈ Q[x] } ; . . . 3 因 √ 2 2 = 2 ，故 f( √ 2) 具有形式 {a + b √ 2 | a, b ∈ Q}; . . . 4 而 a + b √ 2 a + b √ 2 = A + B √ 2，其中 A, B ∈ Q； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
60. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 F = Q, E = C, S = { √ 2} ⊆ E，求 F(S)。 . . . . . . . . . . 1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式； . . . 2 F(S) 中的元素为： { f( √ 2) g( √ 2) f, g ∈ Q[x] } ; . . . 3 因 √ 2 2 = 2 ，故 f( √ 2) 具有形式 {a + b √ 2 | a, b ∈ Q}; . . . 4 而 a + b √ 2 a + b √ 2 = A + B √ 2，其中 A, B ∈ Q； . . . 5 所以 F(S) 中的元素最终可以表示为 {a + b √ 2 | a, b ∈ Q}. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
61. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
62. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 . . . . . . . . . . 1 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
63. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 . . . . . . . . . . 1 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域； . . . 2 F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
64. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 . . . . . . . . . . 1 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域； . . . 2 F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2 ，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
65. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 . . . . . . . . . . 1 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域； . . . 2 F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2 ，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)； . . . 3 S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
66. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 . . . . . . . . . . 1 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域； . . . 2 F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2 ，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)； . . . 3 S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2)，故 F(S1)(S2) ⊆ F(S1 ∪ S2)； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
67. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 . . . . . . . . . . 1 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域； . . . 2 F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2 ，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)； . . . 3 S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2)，故 F(S1)(S2) ⊆ F(S1 ∪ S2)； . . . 4 F(S1)(S2) = F(S1 ∪ S2)； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
68. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则 F(S1)(S2) = F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 . . . . . . . . . . 1 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域； . . . 2 F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2 ，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)； . . . 3 S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2)，故 F(S1)(S2) ⊆ F(S1 ∪ S2)； . . . 4 F(S1)(S2) = F(S1 ∪ S2)； . . . 5 类似有 F(S2)(S1) = F(S1 ∪ S2)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
69. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 注意 . . . . . . . . 由前面的定理可以知道， F(α1, α2, . . . , αn) = F(α1)F(α2) · · · F(αn), 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
70. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 注意 . . . . . . . . 由前面的定理可以知道， F(α1, α2, . . . , αn) = F(α1)F(α2) · · · F(αn), 即添加一个有限集于子域上所得到的扩张等于陆续添加单个元素 所得的扩张。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
71. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 注意 . . . . . . . . 由前面的定理可以知道， F(α1, α2, . . . , αn) = F(α1)F(α2) · · · F(αn), 即添加一个有限集于子域上所得到的扩张等于陆续添加单个元素 所得的扩张。因此，研究添加一个元素的扩张尤为重要。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
72. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . §8.3 单扩张 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
73. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . 添加一个元素 α 于域 F 所得到的扩张 F(α) 称为 域 F 的一 个单扩张。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
74. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Examples . . . . . . . . . . . 1 复数域 C 是实数域 R 添加虚根单位 E 得到的单扩张。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
75. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Examples . . . . . . . . . . . 1 复数域 C 是实数域 R 添加虚根单位 E 得到的单扩张。 . . . 2 {a + bE | a, b ∈ Q} 是一个域，而且是 Q 上的单扩张 Q(E); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
76. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
77. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。若已 知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2(α)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
78. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。若已 知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2(α)。 . . . . . . . . . . 1 Z2(α) = { g(α) h(α) g, h ∈ Z2[x] } ； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
79. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。若已 知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2(α)。 . . . . . . . . . . 1 Z2(α) = { g(α) h(α) g, h ∈ Z2[x] } ； . . . 2 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化 为 {a + bα | a, b ∈ Z2} 的形式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
80. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。若已 知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2(α)。 . . . . . . . . . . 1 Z2(α) = { g(α) h(α) g, h ∈ Z2[x] } ； . . . 2 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化 为 {a + bα | a, b ∈ Z2} 的形式。 . . . 3 h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
81. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。若已 知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2(α)。 . . . . . . . . . . 1 Z2(α) = { g(α) h(α) g, h ∈ Z2[x] } ； . . . 2 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化 为 {a + bα | a, b ∈ Z2} 的形式。 . . . 3 h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α； . . . 4 α(1 + α) = 1 ⇒ 1 α = 1 + α, 1 1+α = α， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
82. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。若已 知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2(α)。 . . . . . . . . . . 1 Z2(α) = { g(α) h(α) g, h ∈ Z2[x] } ； . . . 2 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化 为 {a + bα | a, b ∈ Z2} 的形式。 . . . 3 h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α； . . . 4 α(1 + α) = 1 ⇒ 1 α = 1 + α, 1 1+α = α，所以 1, α 和 1 + α 均可逆。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
83. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。若已 知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2(α)。 . . . . . . . . . . 1 Z2(α) = { g(α) h(α) g, h ∈ Z2[x] } ； . . . 2 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化 为 {a + bα | a, b ∈ Z2} 的形式。 . . . 3 h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α； . . . 4 α(1 + α) = 1 ⇒ 1 α = 1 + α, 1 1+α = α，所以 1, α 和 1 + α 均可逆。 . . . 5 Z2(α) 最终可以写为 {a + bα | a, b ∈ Z2} 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
84. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . Z2(α) 的运算表: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
85. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . Z2(α) 的运算表: . . . . . . . + 0 1 α α + 1 0 0 1 α α + 1 1 1 0 α + 1 α α α α + 1 0 1 α + 1 α + 1 α α + 1 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
86. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . Z2(α) 的运算表: . . . . . . . + 0 1 α α + 1 0 0 1 α α + 1 1 1 0 α + 1 α α α α + 1 0 1 α + 1 α + 1 α α + 1 0 × 0 1 α α + 1 0 0 0 0 0 1 0 1 α α + 1 α 0 α α + 1 1 α + 1 0 α + 1 1 α 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
87. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 刚才的例子假定了 f(x) = x2 + x + 1 在 Z2 的某个扩域上有 根，这样的域一定存在吗？ 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
88. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 刚才的例子假定了 f(x) = x2 + x + 1 在 Z2 的某个扩域上有 根，这样的域一定存在吗？ . . . . . . . f(x) 在 Z2[x] 上是既约的； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
89. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 刚才的例子假定了 f(x) = x2 + x + 1 在 Z2 的某个扩域上有 根，这样的域一定存在吗？ . . . . . . . f(x) 在 Z2[x] 上是既约的； Z2[x]/f(x) 是一个域； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
90. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 刚才的例子假定了 f(x) = x2 + x + 1 在 Z2 的某个扩域上有 根，这样的域一定存在吗？ . . . . . . . f(x) 在 Z2[x] 上是既约的； Z2[x]/f(x) 是一个域； Z2[x] 具有形式 {0 + (f), 1 + (f), x + (f), 1 + x + (f)} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
91. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 刚才的例子假定了 f(x) = x2 + x + 1 在 Z2 的某个扩域上有 根，这样的域一定存在吗？ . . . . . . . f(x) 在 Z2[x] 上是既约的； Z2[x]/f(x) 是一个域； Z2[x] 具有形式 {0 + (f), 1 + (f), x + (f), 1 + x + (f)} 列出部分运算表： + 0 + (f) 1 + (f) 0 + (f) 0 + (f) 1 + (f) 1 + (f) 1 + (f) 0 + (f) × 0 + (f) 1 + (f) 0 + (f) 0 + (f) 0 + (f) 1 + (f) 0 + (f) 1 + (f) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
92. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
93. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
94. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
95. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
96. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
97. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
98. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 x + (f) 2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
99. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 x + (f) 2 = x2 + (f) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
100. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 x + (f) 2 = x2 + (f) = x + 1 + (f)； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
101. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 x + (f) 2 = x2 + (f) = x + 1 + (f)； x + f(x) 2 + x + f(x) + 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
102. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 x + (f) 2 = x2 + (f) = x + 1 + (f)； x + f(x) 2 + x + f(x) + 1 = x + 1 + x + 1 + (f) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
103. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 x + (f) 2 = x2 + (f) = x + 1 + (f)； x + f(x) 2 + x + f(x) + 1 = x + 1 + x + 1 + (f) = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
104. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。 可以认为 Z2 就在 Z2[x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。 0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到 Z2[x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)} 现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2[x]/(f(x)) 上多项式。 x + (f) 2 = x2 + (f) = x + 1 + (f)； x + f(x) 2 + x + f(x) + 1 = x + 1 + x + 1 + (f) = 0 所以在 Z2 的扩域 Z2[x]/(f(x)) 上，f(x) 有根 x + (f). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
105. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。 记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则 . . . 1 F[α] 是一个整环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
106. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。 记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则 . . . 1 F[α] 是一个整环。 . . . 2 F(α) 是 F[α] 的分式域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
107. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。 记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则 . . . 1 F[α] 是一个整环。 . . . 2 F(α) 是 F[α] 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
108. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。 记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则 . . . 1 F[α] 是一个整环。 . . . 2 F(α) 是 F[α] 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]； f(α)g(α) = (f · g)(α)； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
109. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。 记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则 . . . 1 F[α] 是一个整环。 . . . 2 F(α) 是 F[α] 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]； f(α)g(α) = (f · g)(α)； F[α] 是 F 的子环，故为整环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
110. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。 记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则 . . . 1 F[α] 是一个整环。 . . . 2 F(α) 是 F[α] 的分式域。 . . . . . . . . . . 1 f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]； f(α)g(α) = (f · g)(α)； F[α] 是 F 的子环，故为整环。 . . . 2 F(α) 具有形式 { f(α) g(α) | f, g ∈ F[x], 且 g(α) = 0 } ， 是 F[α] 的分式域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
111. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . F ⊂ E 为域扩张，α ∈ E，如果存在 F 上不全为 0 的元 素 a0, a1, . . . , an ，使得 a0 + a1α + · · · + anαn = 0, 则称 α 是 F 上的一个代数元， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
112. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . F ⊂ E 为域扩张，α ∈ E，如果存在 F 上不全为 0 的元 素 a0, a1, . . . , an ，使得 a0 + a1α + · · · + anαn = 0, 则称 α 是 F 上的一个代数元，或 称 α 在 F 上代数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
113. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定义 . . . . . . . . F ⊂ E 为域扩张，α ∈ E，如果存在 F 上不全为 0 的元 素 a0, a1, . . . , an ，使得 a0 + a1α + · · · + anαn = 0, 则称 α 是 F 上的一个代数元，或 称 α 在 F 上代数。否则 称 α 为 F 上的超越元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
114. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
115. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
116. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 所以 (f + g)(α) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
117. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
118. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0, ⇒ f + g ∈ R 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
119. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0, ⇒ f + g ∈ R 若 f ∈ R, g ∈ F[x]，则有 f(α) = 0， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
120. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0, ⇒ f + g ∈ R 若 f ∈ R, g ∈ F[x]，则有 f(α) = 0，所 以 (fg)(α) = f(α)g(α) = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
121. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0, ⇒ f + g ∈ R 若 f ∈ R, g ∈ F[x]，则有 f(α) = 0，所 以 (fg)(α) = f(α)g(α) = 0 ⇒ fg ∈ R; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
122. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x] 中的一个理想。 . . . . . . . 若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， 所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0, ⇒ f + g ∈ R 若 f ∈ R, g ∈ F[x]，则有 f(α) = 0，所 以 (fg)(α) = f(α)g(α) = 0 ⇒ fg ∈ R; R 是 F[x] 中的一个理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
123. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 由于域上多项式环的理想都是主理想，所以 R 由某个多项式 p(x) 生成，即 R = p(x) 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
124. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 由于域上多项式环的理想都是主理想，所以 R 由某个多项式 p(x) 生成，即 R = p(x) 。R 中的元素都是 p(x) 的倍元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
125. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 代数，则使得 p(α) = 0 的次数最低的多项式 p(x) 惟一 存在，且是不可约多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
126. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 代数，则使得 p(α) = 0 的次数最低的多项式 p(x) 惟一 存在，且是不可约多项式。这样的多项式称为 α 在 F 上的极小 多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
127. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 代数，则使得 p(α) = 0 的次数最低的多项式 p(x) 惟一 存在，且是不可约多项式。这样的多项式称为 α 在 F 上的极小 多项式。 . . . . . . . . . . 1 设 R = {f(x) | f ∈ F[x], 且 f(α) = 0}； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
128. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 代数，则使得 p(α) = 0 的次数最低的多项式 p(x) 惟一 存在，且是不可约多项式。这样的多项式称为 α 在 F 上的极小 多项式。 . . . . . . . . . . 1 设 R = {f(x) | f ∈ F[x], 且 f(α) = 0}； . . . 2 R 是个主理想，存在 p(x) ∈ R，使得 R = (p(x))。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
129. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 代数，则使得 p(α) = 0 的次数最低的多项式 p(x) 惟一 存在，且是不可约多项式。这样的多项式称为 α 在 F 上的极小 多项式。 . . . . . . . . . . 1 设 R = {f(x) | f ∈ F[x], 且 f(α) = 0}； . . . 2 R 是个主理想，存在 p(x) ∈ R，使得 R = (p(x))。 . . . 3 R 中任意元素均为 p(x) 的倍元，所以 p(x) 的次数是最低 的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
130. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 代数，则使得 p(α) = 0 的次数最低的多项式 p(x) 惟一 存在，且是不可约多项式。这样的多项式称为 α 在 F 上的极小 多项式。 . . . . . . . . . . 1 设 R = {f(x) | f ∈ F[x], 且 f(α) = 0}； . . . 2 R 是个主理想，存在 p(x) ∈ R，使得 R = (p(x))。 . . . 3 R 中任意元素均为 p(x) 的倍元，所以 p(x) 的次数是最低 的。 . . . 4 若 q(x) ∈ R，且次数与 p(x) 相同，则 p(x), q(x) 只相差 一个常数因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
131. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 代数，则使得 p(α) = 0 的次数最低的多项式 p(x) 惟一 存在，且是不可约多项式。这样的多项式称为 α 在 F 上的极小 多项式。 . . . . . . . . . . 1 设 R = {f(x) | f ∈ F[x], 且 f(α) = 0}； . . . 2 R 是个主理想，存在 p(x) ∈ R，使得 R = (p(x))。 . . . 3 R 中任意元素均为 p(x) 的倍元，所以 p(x) 的次数是最低 的。 . . . 4 若 q(x) ∈ R，且次数与 p(x) 相同，则 p(x), q(x) 只相差 一个常数因子。 . . . 5 所以首一的多项式 p(x) 是惟一的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
132. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在有理数域 Q 上的极小多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
133. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在有理数域 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 E 在 Q 上的极小多项式为 ax + b, a, b ∈ Q， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
134. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在有理数域 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 E 在 Q 上的极小多项式为 ax + b, a, b ∈ Q，则 aE + b = 0 ⇒ E = −b/a ∈ Q 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
135. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在有理数域 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 E 在 Q 上的极小多项式为 ax + b, a, b ∈ Q，则 aE + b = 0 ⇒ E = −b/a ∈ Q，这显然是不可能的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
136. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在有理数域 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 E 在 Q 上的极小多项式为 ax + b, a, b ∈ Q，则 aE + b = 0 ⇒ E = −b/a ∈ Q，这显然是不可能的。 . . . 2 令 f(x) = x2 + 1， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
137. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在有理数域 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 E 在 Q 上的极小多项式为 ax + b, a, b ∈ Q，则 aE + b = 0 ⇒ E = −b/a ∈ Q，这显然是不可能的。 . . . 2 令 f(x) = x2 + 1，有 f(E) = 0； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
138. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在有理数域 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 E 在 Q 上的极小多项式为 ax + b, a, b ∈ Q，则 aE + b = 0 ⇒ E = −b/a ∈ Q，这显然是不可能的。 . . . 2 令 f(x) = x2 + 1，有 f(E) = 0； . . . 3 E 在 Q 上的极小多项式为 x2 + 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
139. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在复数域 C 上的极小多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
140. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在复数域 C 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 令 f(x) = x − E ∈ C[x]， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
141. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在复数域 C 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 令 f(x) = x − E ∈ C[x]，有 f(E) = 0。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
142. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求虚根单位 E 在复数域 C 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 令 f(x) = x − E ∈ C[x]，有 f(E) = 0。 . . . 2 E 在 C 上的极小多项式为 x − E。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
143. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求 √ 2 在 Q 上的极小多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
144. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求 √ 2 在 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 这个极小多项式显然不是一次的； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
145. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求 √ 2 在 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 这个极小多项式显然不是一次的； . . . 2 不难看出 (x − √ 2)(x + √ 2) = x2 − 2 是 √ 2 的极小多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
146. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求 1 + √ 2 在 Q 上的极小多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
147. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求 1 + √ 2 在 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 这个极小多项式显然不是一次的； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
148. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . Example . . . . . . . . 求 1 + √ 2 在 Q 上的极小多项式。 . . . . . . . . . . 1 这个极小多项式显然不是一次的； . . . 2 不难看出 x − 1 + √ 2 x − 1 − √ 2 = x2 − 2x + 1 是 1 + √ 2 的极小多项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
149. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 如果觉得 1 + √ 2 的极小多项式不容易直接看出，下面是另一个 做法： . . . 1 √ 2 的极小多项式是 x2 − 2； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
150. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 如果觉得 1 + √ 2 的极小多项式不容易直接看出，下面是另一个 做法： . . . 1 √ 2 的极小多项式是 x2 − 2； . . . 2 1 + √ 2 是 (x − 1)2 − 2 的根； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
151. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 如果觉得 1 + √ 2 的极小多项式不容易直接看出，下面是另一个 做法： . . . 1 √ 2 的极小多项式是 x2 − 2； . . . 2 1 + √ 2 是 (x − 1)2 − 2 的根； . . . 3 1 + √ 2 的极小多项式是 x2 − 2x − 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
152. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
153. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， . . . 2 若 α 是 F 上的代数元，其极小多项式为 p(x), 则 F(α) F[x]/(p(x))。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
154. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， . . . 2 若 α 是 F 上的代数元，其极小多项式为 p(x), 则 F(α) F[x]/(p(x))。 . . . . . . . F[x] 到 F(α) 的映射 ϕ : f(x) → f[α] 是个满同态； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
155. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， . . . 2 若 α 是 F 上的代数元，其极小多项式为 p(x), 则 F(α) F[x]/(p(x))。 . . . . . . . F[x] 到 F(α) 的映射 ϕ : f(x) → f[α] 是个满同态； 若 α 是个超越元，则 ker f = 0, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
156. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， . . . 2 若 α 是 F 上的代数元，其极小多项式为 p(x), 则 F(α) F[x]/(p(x))。 . . . . . . . F[x] 到 F(α) 的映射 ϕ : f(x) → f[α] 是个满同态； 若 α 是个超越元，则 ker f = 0, ϕ 是个同构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
157. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， . . . 2 若 α 是 F 上的代数元，其极小多项式为 p(x), 则 F(α) F[x]/(p(x))。 . . . . . . . F[x] 到 F(α) 的映射 ϕ : f(x) → f[α] 是个满同态； 若 α 是个超越元，则 ker f = 0, ϕ 是个同构。 F[x] 的分式域 F{x} 同构于 F[α] 的分式域 F(α)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
158. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， . . . 2 若 α 是 F 上的代数元，其极小多项式为 p(x), 则 F(α) F[x]/(p(x))。 . . . . . . . F[x] 到 F(α) 的映射 ϕ : f(x) → f[α] 是个满同态； 若 α 是个超越元，则 ker f = 0, ϕ 是个同构。 F[x] 的分式域 F{x} 同构于 F[α] 的分式域 F(α)。 若 α 代数，且极小多项式为 p(x)，则 ker ϕ = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
159. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . 定理 . . . . . . . . F 是域： . . . 1 若 α 是域 F 上的超越元，则 F(α) F{x}， . . . 2 若 α 是 F 上的代数元，其极小多项式为 p(x), 则 F(α) F[x]/(p(x))。 . . . . . . . F[x] 到 F(α) 的映射 ϕ : f(x) → f[α] 是个满同态； 若 α 是个超越元，则 ker f = 0, ϕ 是个同构。 F[x] 的分式域 F{x} 同构于 F[α] 的分式域 F(α)。 若 α 代数，且极小多项式为 p(x)，则 ker ϕ = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} = (p(x)) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
160. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . F(x)/ ker(ϕ) F[α]， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
161. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . F(x)/ ker(ϕ) F[α]， 即 F(x)/(p(x)) F[α]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
162. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . F(x)/ ker(ϕ) F[α]， 即 F(x)/(p(x)) F[α]。 由于 p(x) 既约， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
163. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . F(x)/ ker(ϕ) F[α]， 即 F(x)/(p(x)) F[α]。 由于 p(x) 既约，所以 (p(x)) 是极大理想，F[x]/(p(x)) 是域。 也就是说整环 F[α] 是个域， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
164. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . F(x)/ ker(ϕ) F[α]， 即 F(x)/(p(x)) F[α]。 由于 p(x) 既约，所以 (p(x)) 是极大理想，F[x]/(p(x)) 是域。 也就是说整环 F[α] 是个域，其分式域 F(α) 就是自身 F[α]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
165. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . F(x)/ ker(ϕ) F[α]， 即 F(x)/(p(x)) F[α]。 由于 p(x) 既约，所以 (p(x)) 是极大理想，F[x]/(p(x)) 是域。 也就是说整环 F[α] 是个域，其分式域 F(α) 就是自身 F[α]。 于是有： F[x]/(p(x)) F(α)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
166. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 超越扩张 F(α) 元素的形式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
167. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 超越扩张 F(α) 元素的形式。 . . . . . . . 超越扩张 F(α) 与 F{x} 同构, 其元素形式为 { f(α) g(α) f, g ∈ F[x] } 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
168. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 超越扩张 F(α) 元素的形式。 . . . . . . . 超越扩张 F(α) 与 F{x} 同构, 其元素形式为 { f(α) g(α) f, g ∈ F[x] } 。 元素的四则运算类似于多项式的四则运算。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
169. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 的元素形式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
170. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 的元素形式。 . . . . . . . 设 α 的极小多项式 p(x) 的次数为 n； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
171. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 的元素形式。 . . . . . . . 设 α 的极小多项式 p(x) 的次数为 n； F(α) 就是 F[α]； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
172. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 的元素形式。 . . . . . . . 设 α 的极小多项式 p(x) 的次数为 n； F(α) 就是 F[α]； 对任意 f(α) ∈ F[α]，有 f(x) = p(x)q(x) + r(x)，其 中 r(x) = 0, 或 deg r(x) < n； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
173. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 的元素形式。 . . . . . . . 设 α 的极小多项式 p(x) 的次数为 n； F(α) 就是 F[α]； 对任意 f(α) ∈ F[α]，有 f(x) = p(x)q(x) + r(x)，其 中 r(x) = 0, 或 deg r(x) < n； f(α) = p(α)q(α) + r(α) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
174. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 的元素形式。 . . . . . . . 设 α 的极小多项式 p(x) 的次数为 n； F(α) 就是 F[α]； 对任意 f(α) ∈ F[α]，有 f(x) = p(x)q(x) + r(x)，其 中 r(x) = 0, 或 deg r(x) < n； f(α) = p(α)q(α) + r(α) = r(α)， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
175. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 的元素形式。 . . . . . . . 设 α 的极小多项式 p(x) 的次数为 n； F(α) 就是 F[α]； 对任意 f(α) ∈ F[α]，有 f(x) = p(x)q(x) + r(x)，其 中 r(x) = 0, 或 deg r(x) < n； f(α) = p(α)q(α) + r(α) = r(α)， F(α) 中的元素具有形式 {a0 + a1α + · · · + an−1αn−1 | ai ∈ F} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
176. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 这种表示是惟一的，若 a0 + a1α + · · · + an−1αn−1 = b0 + b1α + · · · + bn−1αn−1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
177. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 这种表示是惟一的，若 a0 + a1α + · · · + an−1αn−1 = b0 + b1α + · · · + bn−1αn−1, 有 a0 − b0 + (a1 − b1)α + · · · + (an−1 − bn−1)αn−1 = 0, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
178. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 这种表示是惟一的，若 a0 + a1α + · · · + an−1αn−1 = b0 + b1α + · · · + bn−1αn−1, 有 a0 − b0 + (a1 − b1)α + · · · + (an−1 − bn−1)αn−1 = 0, 但 α 的极小多项式次数为 n，所以 ai = bi, 0 i < n。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
179. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 中元素的运算，α 的极小多项式 为 p(x), deg(g) = n。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
180. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 中元素的运算，α 的极小多项式 为 p(x), deg(g) = n。 . . . . . . . 加法、减法是显然的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
181. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 中元素的运算，α 的极小多项式 为 p(x), deg(g) = n。 . . . . . . . 加法、减法是显然的。 乘法也可以直接乘，但结果有可能包含 α 的高次幂， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
182. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 中元素的运算，α 的极小多项式 为 p(x), deg(g) = n。 . . . . . . . 加法、减法是显然的。 乘法也可以直接乘，但结果有可能包含 α 的高次幂，此时 可以通过带余除法降为低次。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
183. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 中元素的运算，α 的极小多项式 为 p(x), deg(g) = n。 . . . . . . . 加法、减法是显然的。 乘法也可以直接乘，但结果有可能包含 α 的高次幂，此时 可以通过带余除法降为低次。 比如直接计算的结果为 f(α)， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
184. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 中元素的运算，α 的极小多项式 为 p(x), deg(g) = n。 . . . . . . . 加法、减法是显然的。 乘法也可以直接乘，但结果有可能包含 α 的高次幂，此时 可以通过带余除法降为低次。 比如直接计算的结果为 f(α)，总有 f(x) = p(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < n, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
185. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 代数扩张 F(α) 中元素的运算，α 的极小多项式 为 p(x), deg(g) = n。 . . . . . . . 加法、减法是显然的。 乘法也可以直接乘，但结果有可能包含 α 的高次幂，此时 可以通过带余除法降为低次。 比如直接计算的结果为 f(α)，总有 f(x) = p(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < n, 所以 f(α) = r(α)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
186. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 求逆麻烦一些。若 f(α) = 0，则 f(x) ∈ (p(x))， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
187. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 求逆麻烦一些。若 f(α) = 0，则 f(x) ∈ (p(x))，而 p(x) 是既约的，所以 f(x), p(x) = 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
188. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 求逆麻烦一些。若 f(α) = 0，则 f(x) ∈ (p(x))，而 p(x) 是既约的，所以 f(x), p(x) = 1。 存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)p(x) = 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
189. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 求逆麻烦一些。若 f(α) = 0，则 f(x) ∈ (p(x))，而 p(x) 是既约的，所以 f(x), p(x) = 1。 存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)p(x) = 1。 把 α 代入后得到 s(α)f(α) = 1， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
190. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 求逆麻烦一些。若 f(α) = 0，则 f(x) ∈ (p(x))，而 p(x) 是既约的，所以 f(x), p(x) = 1。 存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)p(x) = 1。 把 α 代入后得到 s(α)f(α) = 1，所以 f(α)−1 = s(α)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
191. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 . . . . . . . 求逆麻烦一些。若 f(α) = 0，则 f(x) ∈ (p(x))，而 p(x) 是既约的，所以 f(x), p(x) = 1。 存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)p(x) = 1。 把 α 代入后得到 s(α)f(α) = 1，所以 f(α)−1 = s(α)。 . 注意 . . . . . . . . 要构造 F 的单代数扩张，实际上就是要寻找域 F 上的不可约多 项式。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
192. . . . . . . 分式域 素域 单扩张 本节完，谢谢！ 磊张 印晓 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》