信息安全数学基础：第7章：环（下）

. . . . . . 多项式环 . . .
. . . . 环（下）广州大学数学与信息科学学院 October 28, 2009 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 多项式环多项式环根，重根本原多项式
. . . . . . . §7.3 多项式环广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 R 是有单位元的交换环，x 是一个不定元，形式和 a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn （其中 ai ∈ R, n 是非负整数）称为环 R 上的一个多项式。通常用符号 f(x), g(x) 等表示多项式，R 上多项式全体记为 R[x]. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . 1 在多项式 f(x) = ∑ n i=0 aixi 中，ai 称为 xi 的系数; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . 1 在多项式 f(x) = ∑ n i=0 aixi 中，ai 称为 xi 的系数; . . . 2 当 ai = 0 时，规定 aix = 0，这一项在 f(x) 的表达式中可以略去; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . 1 在多项式 f(x) = ∑ n i=0 aixi 中，ai 称为 xi 的系数; . . . 2 当 ai = 0 时，规定 aix = 0，这一项在 f(x) 的表达式中可以略去; . . . 3 若 an = 0，则称 n 为多项式 f(x) 的次数，并记为 deg(f); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . 1 在多项式 f(x) = ∑ n i=0 aixi 中，ai 称为 xi 的系数; . . . 2 当 ai = 0 时，规定 aix = 0，这一项在 f(x) 的表达式中可以略去; . . . 3 若 an = 0，则称 n 为多项式 f(x) 的次数，并记为 deg(f); . . . 4 若 deg(f) = n，则称 an 的系数为 f(x) 的首项系数; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . 1 在多项式 f(x) = ∑ n i=0 aixi 中，ai 称为 xi 的系数; . . . 2 当 ai = 0 时，规定 aix = 0，这一项在 f(x) 的表达式中可以略去; . . . 3 若 an = 0，则称 n 为多项式 f(x) 的次数，并记为 deg(f); . . . 4 若 deg(f) = n，则称 an 的系数为 f(x) 的首项系数; . . . 5 零次多项式为非零常数，对多项式 0 不定义次数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) = n ∑ i=0 aixi, g(x) = m ∑ i=0 bixi，如果 m = n,且 ai = bi, i = 0, · · · , m，则称 f(x) 于 g(x) 相等，并记为 f(x) = g(x). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 对环 R 上的两个多项式 f(x) = n ∑ i=0 aixi, g(x) = m ∑ i=0 bixi, n m, 令 bn = bn−1 = · · · = bm+1 = 0, 定义加法和乘法 f(x) + g(x) = n ∑ k=0 (ak + bk)xi f(x)g(x) = m+n ∑ k=0 ckxk, ck = ∑ i+j=k aibj 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环时，R[x] 也为整环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环时，R[x] 也为整环。 . . . . . . . 设 f(x) = n ∑ i=0 aixi, g(x) = m ∑ j=0 bjxj，且 an = 0, bm = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环时，R[x] 也为整环。 . . . . . . . 设 f(x) = n ∑ i=0 aixi, g(x) = m ∑ j=0 bjxj，且 an = 0, bm = 0； f(x) · g(x) = n+m ∑ k=0 ckxk；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环时，R[x] 也为整环。 . . . . . . . 设 f(x) = n ∑ i=0 aixi, g(x) = m ∑ j=0 bjxj，且 an = 0, bm = 0； f(x) · g(x) = n+m ∑ k=0 ckxk； f(x)g(x) 的 m + n 次项的系数为 anbm ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环时，R[x] 也为整环。 . . . . . . . 设 f(x) = n ∑ i=0 aixi, g(x) = m ∑ j=0 bjxj，且 an = 0, bm = 0； f(x) · g(x) = n+m ∑ k=0 ckxk； f(x)g(x) 的 m + n 次项的系数为 anbm ；由于 R 无零因子，所以 anbm = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环时，R[x] 也为整环。 . . . . . . . 设 f(x) = n ∑ i=0 aixi, g(x) = m ∑ j=0 bjxj，且 an = 0, bm = 0； f(x) · g(x) = n+m ∑ k=0 ckxk； f(x)g(x) 的 m + n 次项的系数为 anbm ；由于 R 无零因子，所以 anbm = 0； f(x)g(x) = 0。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 推论 . . . . . . . . R 是无零因子环，f(x), g(x) ∈ R[x]，则 deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 推论 . . . . . . . . R 是无零因子环，f(x), g(x) ∈ R[x]，则 deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x)。 . 注意 . . . . . . . . 这个众所周知的结论在有零因子环上并不成立。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ F[x]，则存在 q(x), r(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = q(x)g(x) + r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg r(x) < deg g(x). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ F[x]，则存在 q(x), r(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = q(x)g(x) + r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg r(x) < deg g(x). . . . . . . . 请自行证明；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ F[x]，则存在 q(x), r(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = q(x)g(x) + r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg r(x) < deg g(x). . . . . . . . 请自行证明；这个结论对环 R 上的多项式环 R[x] 并不成立。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ F[x], ( f(x), g(x) ) 为 f(x), g(x) 的最大公因子，则存在 m(x), n(x) ∈ F[x]，使得 ( f(x), g(x) ) = m(x)f(x) + n(x)g(x). 若 min { deg f(x), deg g(x) } = n, 则在辗转相除中，最多经过 n 次带余除法就可以求出 ( f(x), g(x) ) . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ F[x], ( f(x), g(x) ) 为 f(x), g(x) 的最大公因子，则存在 m(x), n(x) ∈ F[x]，使得 ( f(x), g(x) ) = m(x)f(x) + n(x)g(x). 若 min { deg f(x), deg g(x) } = n, 则在辗转相除中，最多经过 n 次带余除法就可以求出 ( f(x), g(x) ) . . . . . . . . 请自行证明。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式为 f(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式为 f(x); . . . 2 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到 g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式为 f(x); . . . 2 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到 g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f; . . . 3 r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式为 f(x); . . . 2 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到 g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f; . . . 3 r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I； . . . 4 由于 f(x) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = 0。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式为 f(x); . . . 2 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到 g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f; . . . 3 r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I； . . . 4 由于 f(x) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = 0。 . . . 5 I ⊆ ( f(x) ) ，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式为 f(x); . . . 2 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到 g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f; . . . 3 r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I； . . . 4 由于 f(x) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = 0。 . . . 5 I ⊆ ( f(x) ) ，而显然 ( f(x) ) ⊆ I，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . F[x] 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式为 f(x); . . . 2 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到 g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f; . . . 3 r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I； . . . 4 由于 f(x) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = 0。 . . . 5 I ⊆ ( f(x) ) ，而显然 ( f(x) ) ⊆ I，有 I = ( f(x) ) 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . F[x] 的理想 I 是主理想 ( f(x) ) ，则其商环具有什么形式？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . F[x] 的理想 I 是主理想 ( f(x) ) ，则其商环具有什么形式？ . . . . . . . . . . 1 具有形式 g(x) + ( f(x) ) ; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . F[x] 的理想 I 是主理想 ( f(x) ) ，则其商环具有什么形式？ . . . . . . . . . . 1 具有形式 g(x) + ( f(x) ) ; . . . 2 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . F[x] 的理想 I 是主理想 ( f(x) ) ，则其商环具有什么形式？ . . . . . . . . . . 1 具有形式 g(x) + ( f(x) ) ; . . . 2 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x); . . . 3 g(x) − r(x) ∈ ( f(x) ) ，即 g(x) = r(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . F[x] 的理想 I 是主理想 ( f(x) ) ，则其商环具有什么形式？ . . . . . . . . . . 1 具有形式 g(x) + ( f(x) ) ; . . . 2 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x); . . . 3 g(x) − r(x) ∈ ( f(x) ) ，即 g(x) = r(x); . . . 4 陪集 g(x) + ( f(x) ) 可以写成 r(x) + ( f(x) ) 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . F[x] 的理想 I 是主理想 ( f(x) ) ，则其商环具有什么形式？ . . . . . . . . . . 1 具有形式 g(x) + ( f(x) ) ; . . . 2 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x); . . . 3 g(x) − r(x) ∈ ( f(x) ) ，即 g(x) = r(x); . . . 4 陪集 g(x) + ( f(x) ) 可以写成 r(x) + ( f(x) ) 。 . . . 5 若 deg f(x) = n, 则商环的元素总可以写成 a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 + ( f(x) ) 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 注意 . . . . . . . . 设 f(x) 是 F[x] 中一个 n 次多项式。若 a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 = b0 + b1x + · · · + bn−1xn−1 则 a0 + · · · + an−1xn−1 + (f(x)) = b0 + · · · + bn−1xn−1 + (f(x)) 所以这种表示是唯一的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 注意 . . . . . . . . 设 f(x) 是 F[x] 中一个 n 次多项式。若 a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 = b0 + b1x + · · · + bn−1xn−1 则 a0 + · · · + an−1xn−1 + (f(x)) = b0 + · · · + bn−1xn−1 + (f(x)) 所以这种表示是唯一的。或者说，F[x] 对 f(x) 的陪集的次数低于 n 的代表元是唯一的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的多项式，若有次数大于零的多项式 g(x) 和 h(x) 使得 f(x) = g(x)h(x)，则称 f(x) 为可约多项式，否则称 f(x) 为不可约多项式。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的多项式，若有次数大于零的多项式 g(x) 和 h(x) 使得 f(x) = g(x)h(x)，则称 f(x) 为可约多项式，否则称 f(x) 为不可约多项式。 . . . . . . . 类似于 Q[x] 上的惟一分解，可以证明任一域 F 上的多项式均可以分解为不可约多项式的乘积。在不考虑相差一个域 F 中非零因子及因子次序的前提下，这种分解是惟一的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ； g(x) ∈ ( f(x) ) ，所以 f(x) g(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ； g(x) ∈ ( f(x) ) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ； g(x) ∈ ( f(x) ) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ； g(x) ∈ ( f(x) ) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1; f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ； g(x) ∈ ( f(x) ) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1; f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；对任意 h(x) ∈ R，有 h(x) · 1 ∈ I，所以 R ⊆ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ； g(x) ∈ ( f(x) ) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1; f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；对任意 h(x) ∈ R，有 h(x) · 1 ∈ I，所以 R ⊆ I； I = R，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的不可约多项式，则 ( f(x) ) 是 F[x] 的极大理想，从而 F[x]/ ( f(x) ) 是一个域。 . . . . . . . 设 F[x] ⊆ I ( f(x) ) ，令 g(x) ∈ I\ ( f(x) ) ； g(x) ∈ ( f(x) ) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得 s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1; f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；对任意 h(x) ∈ R，有 h(x) · 1 ∈ I，所以 R ⊆ I； I = R， ( f(x) ) 是极大的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

设 I 是 F[x] 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使得 I = ( f(x) ) 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

设 I 是 F[x] 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使得 I = ( f(x) ) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为： a0 + a1x + · · · + an−1xn−1. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

设 I 是 F[x] 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使得 I = ( f(x) ) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为： a0 + a1x + · · · + an−1xn−1. R/I 中两个元素的乘法为： a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 · b0 + b1x + · · · + bn−1xn−1 =c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1, 其中广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

设 I 是 F[x] 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使得 I = ( f(x) ) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为： a0 + a1x + · · · + an−1xn−1. R/I 中两个元素的乘法为： a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 · b0 + b1x + · · · + bn−1xn−1 =c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1, 其中 c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 =(a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1)(b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1) (mod f(x)) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

设 I 是 F[x] 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使得 I = ( f(x) ) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为： a0 + a1x + · · · + an−1xn−1. R/I 中两个元素的乘法为： a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 · b0 + b1x + · · · + bn−1xn−1 =c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1, 其中 c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 =(a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1)(b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1) (mod f(x)) F[x]/ ( f(x) ) 中的元素也可以记为向量 (a0, · · · , an−1). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则 Q[x]/ ( f(x) ) = {a0 + a1x + a2x2 | ai ∈ Q} = {(a0, a1, a2) | ai ∈ Q}. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则 Q[x]/ ( f(x) ) = {a0 + a1x + a2x2 | ai ∈ Q} = {(a0, a1, a2) | ai ∈ Q}. . . . . . . . (a0, a1, a2) + (b0, b1, b2) = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则 Q[x]/ ( f(x) ) = {a0 + a1x + a2x2 | ai ∈ Q} = {(a0, a1, a2) | ai ∈ Q}. . . . . . . . (a0, a1, a2) + (b0, b1, b2) = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2) (a0, a1, a2)(b0, b1, b2) = (c0, c1, c2) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则 Q[x]/ ( f(x) ) = {a0 + a1x + a2x2 | ai ∈ Q} = {(a0, a1, a2) | ai ∈ Q}. . . . . . . . (a0, a1, a2) + (b0, b1, b2) = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2) (a0, a1, a2)(b0, b1, b2) = (c0, c1, c2) 其中 c0 = a0b0 − (a2b1 + a1b2) c1 = a1b0 + a0b1 − a2b2 c2 = a2b0 + a1b1 + a0b2. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 设 F = Q, g(x) = x2 + x + 1, 则 Q[x]/ ( f(x) ) = { a0 + a1x | a0, a1 ∈ Q } = { (a0, a1) | a0, a1 ∈ Q } . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 设 F = Q, g(x) = x2 + x + 1, 则 Q[x]/ ( f(x) ) = { a0 + a1x | a0, a1 ∈ Q } = { (a0, a1) | a0, a1 ∈ Q } . . . . . . . . (a0, a1)(b0, b1) = (c0, c1), 其中广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 设 F = Q, g(x) = x2 + x + 1, 则 Q[x]/ ( f(x) ) = { a0 + a1x | a0, a1 ∈ Q } = { (a0, a1) | a0, a1 ∈ Q } . . . . . . . . (a0, a1)(b0, b1) = (c0, c1), 其中 c0 = a0b0 − a1b1, c1 = a0b1 + a1b0 − a1b1. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x], c ∈ F, 若 f(c) = 0，则称 c 是多项式 f(x) 的一个根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). . . . . . . . . . . 1 若 (x − c) | f(x) 存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). . . . . . . . . . . 1 若 (x − c) | f(x) 存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). . . . . . . . . . . 1 若 (x − c) | f(x) 存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。 . . . 2 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). . . . . . . . . . . 1 若 (x − c) | f(x) 存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。 . . . 2 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0； f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = (x − c)q(x) + r 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). . . . . . . . . . . 1 若 (x − c) | f(x) 存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。 . . . 2 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0； f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = (x − c)q(x) + r 把 c 代入有 f(c) = (c − c)q(c) + r 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). . . . . . . . . . . 1 若 (x − c) | f(x) 存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。 . . . 2 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0； f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = (x − c)q(x) + r 把 c 代入有 f(c) = (c − c)q(c) + r ⇒ 0 = r；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x). . . . . . . . . . . 1 若 (x − c) | f(x) 存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。 . . . 2 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0； f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = (x − c)q(x) + r 把 c 代入有 f(c) = (c − c)q(c) + r ⇒ 0 = r；于是有 f(x) = (x − c)q(x)，即 (x − c) | f(x)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x], c ∈ F, 如果 (x − c)r|f(x), (x − c)r+1 f(x), 则称 c 是 f(x) 的 r 重根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 , 令 f (x) = nanxn−1 + (n − 1)an−1xn−2 + · · · + 2a2x + a1, 称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 , 令 f (x) = nanxn−1 + (n − 1)an−1xn−2 + · · · + 2a2x + a1, 称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 , 令 f (x) = nanxn−1 + (n − 1)an−1xn−2 + · · · + 2a2x + a1, 称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。 . . . . . . . . . . 1 ( f(x) + g(x) ) = f (x) + g (x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 , 令 f (x) = nanxn−1 + (n − 1)an−1xn−2 + · · · + 2a2x + a1, 称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。 . . . . . . . . . . 1 ( f(x) + g(x) ) = f (x) + g (x); . . . 2 ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 设 f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 , 令 f (x) = nanxn−1 + (n − 1)an−1xn−2 + · · · + 2a2x + a1, 称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。 . . . . . . . . . . 1 ( f(x) + g(x) ) = f (x) + g (x); . . . 2 ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x); . . . 3 若 a ∈ F，则 a = 0. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) = (x − c)rg(x), (x − c) g(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) = (x − c)rg(x), (x − c) g(x); . . . 2 f (x) = r(x − c)r−1g(x) + (x − c)rg (x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) = (x − c)rg(x), (x − c) g(x); . . . 2 f (x) = r(x − c)r−1g(x) + (x − c)rg (x) = (x − c)r−1 ( rg(x) + (x − c)g (x) ) ; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) = (x − c)rg(x), (x − c) g(x); . . . 2 f (x) = r(x − c)r−1g(x) + (x − c)rg (x) = (x − c)r−1 ( rg(x) + (x − c)g (x) ) ; . . . 3 显然 (x − c)r−1|f (x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) = (x − c)rg(x), (x − c) g(x); . . . 2 f (x) = r(x − c)r−1g(x) + (x − c)rg (x) = (x − c)r−1 ( rg(x) + (x − c)g (x) ) ; . . . 3 显然 (x − c)r−1|f (x); . . . 4 由于 x − c g(x)，所以 (x − c)r f (x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) = (x − c)rg(x), (x − c) g(x); . . . 2 f (x) = r(x − c)r−1g(x) + (x − c)rg (x) = (x − c)r−1 ( rg(x) + (x − c)g (x) ) ; . . . 3 显然 (x − c)r−1|f (x); . . . 4 由于 x − c g(x)，所以 (x − c)r f (x); . . . 5 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Corollary . . . . . . . . 若 ( f(x), f (x) ) = 1，则 f(x) 没有重根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Corollary . . . . . . . . 若 ( f(x), f (x) ) = 1，则 f(x) 没有重根。 . . . . . . . 设 α 是 f(x) 的 k 重根；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Corollary . . . . . . . . 若 ( f(x), f (x) ) = 1，则 f(x) 没有重根。 . . . . . . . 设 α 是 f(x) 的 k 重根； (x − α)k−1 | f (x), (x − α)k f (x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Corollary . . . . . . . . 若 ( f(x), f (x) ) = 1，则 f(x) 没有重根。 . . . . . . . 设 α 是 f(x) 的 k 重根； (x − α)k−1 | f (x), (x − α)k f (x)； (x − α)k−1 | ( f(x), f (x)) = 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Corollary . . . . . . . . 若 ( f(x), f (x) ) = 1，则 f(x) 没有重根。 . . . . . . . 设 α 是 f(x) 的 k 重根； (x − α)k−1 | f (x), (x − α)k f (x)； (x − α)k−1 | ( f(x), f (x)) = 1；所以 k = 1，f(x) 没有重根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根的个数 n。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根的个数 n。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α1, α2, . . . , αm ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根的个数 n。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α1, α2, . . . , αm ； . . . 2 (x − αi) | f(x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根的个数 n。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α1, α2, . . . , αm ； . . . 2 (x − αi) | f(x)； . . . 3 m 个一次多项式 x − αi 两两互素，有 m ∏ i=1 (x − αi) | f(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根的个数 n。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α1, α2, . . . , αm ； . . . 2 (x − αi) | f(x)； . . . 3 m 个一次多项式 x − αi 两两互素，有 m ∏ i=1 (x − αi) | f(x); . . . 4 m deg f(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根的个数 n。 . . . . . . . . . . 1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α1, α2, . . . , αm ； . . . 2 (x − αi) | f(x)； . . . 3 m 个一次多项式 x − αi 两两互素，有 m ∏ i=1 (x − αi) | f(x); . . . 4 m deg f(x) ⇒ m n。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Corollary . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ F[x] 是两个次数 n 的多项式，若有 n + 1 个不同的元素 c1, c2, . . . , cn+1 ∈ F ，使得 f(ci) = g(ci), i = 1, 2, . . . , n + 1, 则 f(x) = g(x). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Corollary . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ F[x] 是两个次数 n 的多项式，若有 n + 1 个不同的元素 c1, c2, . . . , cn+1 ∈ F ，使得 f(ci) = g(ci), i = 1, 2, . . . , n + 1, 则 f(x) = g(x). . . . . . . . 引人辅助函数 F[x] = f(x) − g(x). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 若给定域 F 中的 n + 1 个不同元素 a1, a2, . . . , an+1 已及任意 n + 1 元素 b1, b2, ..., bn+1 ，则在 F[x] 中至多存在一个次数不超过 n 的多项式 f(x)，使得 f(ai) = bi, i = 1, 2, . . . , n + 1. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 若给定域 F 中的 n + 1 个不同元素 a1, a2, . . . , an+1 已及任意 n + 1 元素 b1, b2, ..., bn+1 ，则在 F[x] 中至多存在一个次数不超过 n 的多项式 f(x)，使得 f(ai) = bi, i = 1, 2, . . . , n + 1. . (?) . . . . . . . . 但这样的多项式一定存在吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

M(x) = n+1 ∏ i=1 (x − ai), Mj(x) = M(x) (x − aj) , 1 j n + 1. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

M(x) = n+1 ∏ i=1 (x − ai), Mj(x) = M(x) (x − aj) , 1 j n + 1. Mi(x) Mi(ai) = { 1 x = ai 0 x = aj, j = i 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

M(x) = n+1 ∏ i=1 (x − ai), Mj(x) = M(x) (x − aj) , 1 j n + 1. Mi(x) Mi(ai) = { 1 x = ai 0 x = aj, j = i . (Lagrange 插值) . . . . . . . . f(x) = n+1 ∑ i=1 Mi(x) Mi(ai) bi 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得 f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得 f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3. . . . . . . . (x + 1)(x − 2) (1 + 1)(1 − 2) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得 f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3. . . . . . . . (x + 1)(x − 2) (1 + 1)(1 − 2) , (x − 1)(x − 2) (−1 − 1)(−1 − 2) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得 f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3. . . . . . . . (x + 1)(x − 2) (1 + 1)(1 − 2) , (x − 1)(x − 2) (−1 − 1)(−1 − 2) , (x − 1)(x + 1) (2 − 1)(2 + 1) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得 f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3. . . . . . . . (x + 1)(x − 2) (1 + 1)(1 − 2) , (x − 1)(x − 2) (−1 − 1)(−1 − 2) , (x − 1)(x + 1) (2 − 1)(2 + 1) 得到： f(x) = (x + 1)(x − 2) (1 + 1)(1 − 2) ·1+ (x − 1)(x − 2) (−1 − 1)(−1 − 2) ·3+ (x − 1)(x + 1) (2 − 1)(2 + 1) ·3 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Example . . . . . . . . 求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得 f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3. . . . . . . . (x + 1)(x − 2) (1 + 1)(1 − 2) , (x − 1)(x − 2) (−1 − 1)(−1 − 2) , (x − 1)(x + 1) (2 − 1)(2 + 1) 得到： f(x) = (x + 1)(x − 2) (1 + 1)(1 − 2) ·1+ (x − 1)(x − 2) (−1 − 1)(−1 − 2) ·3+ (x − 1)(x + 1) (2 − 1)(2 + 1) ·3 = x2 + x + 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定义 . . . . . . . . 如果整系数多项式 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn 的系数满足 (a0, a1, . . . , an) = 1, 则 f(x) 称为 Z[x] 中的一个本原多项式。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Lemma (高斯引理) . . . . . . . . 本原多项式与本原多项式的乘积是本原多项式。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Lemma (高斯引理) . . . . . . . . 本原多项式与本原多项式的乘积是本原多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 f, g 为 Z[x] 上的本原多项式, h = fg; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Lemma (高斯引理) . . . . . . . . 本原多项式与本原多项式的乘积是本原多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 f, g 为 Z[x] 上的本原多项式, h = fg; . . . 2 对任意素数 p, 把 f, g 表示为 f = pf1 + f2, g = pg1 + g2. 其中 f1, f2 的每个非零系数都不是 p 的倍数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Lemma (高斯引理) . . . . . . . . 本原多项式与本原多项式的乘积是本原多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 f, g 为 Z[x] 上的本原多项式, h = fg; . . . 2 对任意素数 p, 把 f, g 表示为 f = pf1 + f2, g = pg1 + g2. 其中 f1, f2 的每个非零系数都不是 p 的倍数。 . . . 3 h = fg = p2f1g1 + p(f1g2 + f2g1) + f2g2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Lemma (高斯引理) . . . . . . . . 本原多项式与本原多项式的乘积是本原多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 f, g 为 Z[x] 上的本原多项式, h = fg; . . . 2 对任意素数 p, 把 f, g 表示为 f = pf1 + f2, g = pg1 + g2. 其中 f1, f2 的每个非零系数都不是 p 的倍数。 . . . 3 h = fg = p2f1g1 + p(f1g2 + f2g1) + f2g2 . . . 4 p 不整除 f2g2 的首项系数；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. Lemma (高斯引理) . . . . . . . . 本原多项式与本原多项式的乘积是本原多项式。 . . . . . . . . . . 1 若 f, g 为 Z[x] 上的本原多项式, h = fg; . . . 2 对任意素数 p, 把 f, g 表示为 f = pf1 + f2, g = pg1 + g2. 其中 f1, f2 的每个非零系数都不是 p 的倍数。 . . . 3 h = fg = p2f1g1 + p(f1g2 + f2g1) + f2g2 . . . 4 p 不整除 f2g2 的首项系数； . . . 5 p 不能整除 h = fg 的全部系数， h 是本原的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ Z[x], g(x), h(x) ∈ Q[x] 满足 f(x) = g(x)h(x)，则存在有理数 r，使 rg(x), 1 r h(x) ∈ Z[x]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ Z[x], g(x), h(x) ∈ Q[x] 满足 f(x) = g(x)h(x)，则存在有理数 r，使 rg(x), 1 r h(x) ∈ Z[x]。 . . . . . . . 存在 M1, M2 ∈ Z，使得 M1g(x), M2h(x) ∈ Z[x]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ Z[x], g(x), h(x) ∈ Q[x] 满足 f(x) = g(x)h(x)，则存在有理数 r，使 rg(x), 1 r h(x) ∈ Z[x]。 . . . . . . . 存在 M1, M2 ∈ Z，使得 M1g(x), M2h(x) ∈ Z[x]； M1M2f(x) = M1g(x)M2g(x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ Z[x], g(x), h(x) ∈ Q[x] 满足 f(x) = g(x)h(x)，则存在有理数 r，使 rg(x), 1 r h(x) ∈ Z[x]。 . . . . . . . 存在 M1, M2 ∈ Z，使得 M1g(x), M2h(x) ∈ Z[x]； M1M2f(x) = M1g(x)M2g(x)；存在 N, N1, N2 ∈ Z 使得 M1M2Nf0(x) = N1g0(x)N2h0(x), 其中 f0, g0, h0 均为 Z[x] 上的本原多项式。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；取 r = M1 N1 ，则有 f(x) = rg(x) · 1 r h(x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；取 r = M1 N1 ，则有 f(x) = rg(x) · 1 r h(x)； rg(x) = M1 N1 g(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；取 r = M1 N1 ，则有 f(x) = rg(x) · 1 r h(x)； rg(x) = M1 N1 g(x) = g0(x) ∈ Z[x]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；取 r = M1 N1 ，则有 f(x) = rg(x) · 1 r h(x)； rg(x) = M1 N1 g(x) = g0(x) ∈ Z[x]； 1 r h(x) = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；取 r = M1 N1 ，则有 f(x) = rg(x) · 1 r h(x)； rg(x) = M1 N1 g(x) = g0(x) ∈ Z[x]； 1 r h(x) = N1 M1 h(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；取 r = M1 N1 ，则有 f(x) = rg(x) · 1 r h(x)； rg(x) = M1 N1 g(x) = g0(x) ∈ Z[x]； 1 r h(x) = N1 M1 h(x) = NM2 N2 h(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 调整一下次序有 M1M2N f0(x) = N1N2 g0(x)h0(x); 由于 g0(x)h0(x) 是本原的，所以 M1M2N = N1N2 ； g0(x) = M1 N1 g(x), h0(x) = M2 N2 h(x)； f(x) = g(x)h(x) = M1 N1 g(x) N1 M1 h(x)；取 r = M1 N1 ，则有 f(x) = rg(x) · 1 r h(x)； rg(x) = M1 N1 g(x) = g0(x) ∈ Z[x]； 1 r h(x) = N1 M1 h(x) = NM2 N2 h(x) = Nh0(x) ∈ Z[x]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 注意 . . . . . . . . 前面的定理表明，整系数多项式在有理数域上不可约当且仅当它在整数环上不可约。通俗地讲，就是把系数从整数环扩展到有理数域，并不能增加因式分解的能力。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ； . . . 2 p | ci, 0 i n − 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ； . . . 2 p | ci, 0 i n − 1； . . . 3 p2 c0 ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ； . . . 2 p | ci, 0 i n − 1； . . . 3 p2 c0 ；则 f(x) 在 Z[x] 上不可约(从而在 Q[x] 上也不可约)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ； . . . 2 p | ci, 0 i n − 1； . . . 3 p2 c0 ；则 f(x) 在 Z[x] 上不可约(从而在 Q[x] 上也不可约)。 . . . . . . . 设 f(x) = g(x)h(x)，且 deg g < deg f, deg h < deg f；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ； . . . 2 p | ci, 0 i n − 1； . . . 3 p2 c0 ；则 f(x) 在 Z[x] 上不可约(从而在 Q[x] 上也不可约)。 . . . . . . . 设 f(x) = g(x)h(x)，且 deg g < deg f, deg h < deg f；设 g(x) = b0+b1x+· · ·+bsxs, h(x) = c0+c1x+· · ·+ctxt；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ； . . . 2 p | ci, 0 i n − 1； . . . 3 p2 c0 ；则 f(x) 在 Z[x] 上不可约(从而在 Q[x] 上也不可约)。 . . . . . . . 设 f(x) = g(x)h(x)，且 deg g < deg f, deg h < deg f；设 g(x) = b0+b1x+· · ·+bsxs, h(x) = c0+c1x+· · ·+ctxt； p bs, p ct; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. 定理 (Eisenstein 判别法) . . . . . . . . 设 f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x]，p 是一个素数。若 . . . 1 p cn ； . . . 2 p | ci, 0 i n − 1； . . . 3 p2 c0 ；则 f(x) 在 Z[x] 上不可约(从而在 Q[x] 上也不可约)。 . . . . . . . 设 f(x) = g(x)h(x)，且 deg g < deg f, deg h < deg f；设 g(x) = b0+b1x+· · ·+bsxs, h(x) = c0+c1x+· · ·+ctxt； p bs, p ct; 而 p 仅整除 b0, c0 中的一个，设 p | b0, p c0 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); anxn + pf1(x) = ( g0(x) + pg1(x) )( h0(x) + ph1(x) ) ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); anxn + pf1(x) = ( g0(x) + pg1(x) )( h0(x) + ph1(x) ) ；化简得到：anxn − g0(x)h0(x) = p(· · · )；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); anxn + pf1(x) = ( g0(x) + pg1(x) )( h0(x) + ph1(x) ) ；化简得到：anxn − g0(x)h0(x) = p(· · · )；所以多项式 anxn − g0(x)h0(x) 的系数应该都是 p 的倍数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); anxn + pf1(x) = ( g0(x) + pg1(x) )( h0(x) + ph1(x) ) ；化简得到：anxn − g0(x)h0(x) = p(· · · )；所以多项式 anxn − g0(x)h0(x) 的系数应该都是 p 的倍数。 h0(x) = c0 + · · · + ctxt；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); anxn + pf1(x) = ( g0(x) + pg1(x) )( h0(x) + ph1(x) ) ；化简得到：anxn − g0(x)h0(x) = p(· · · )；所以多项式 anxn − g0(x)h0(x) 的系数应该都是 p 的倍数。 h0(x) = c0 + · · · + ctxt；设 g0(x) 最低次项为 buxn，有 g0(x) = buxu + · · · + bsxs；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); anxn + pf1(x) = ( g0(x) + pg1(x) )( h0(x) + ph1(x) ) ；化简得到：anxn − g0(x)h0(x) = p(· · · )；所以多项式 anxn − g0(x)h0(x) 的系数应该都是 p 的倍数。 h0(x) = c0 + · · · + ctxt；设 g0(x) 最低次项为 buxn，有 g0(x) = buxu + · · · + bsxs； g0(x)h0(x) 的最低次项为 c0buxu, u s < n，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . 把 f(x), g(x), h(x) 中的项按系数是否 p 的倍数分类，写成 f(x) = anxn + pf1(x), g(x) = g0(x) + pg1(x), h(x) = h0(x) + ph1(x); anxn + pf1(x) = ( g0(x) + pg1(x) )( h0(x) + ph1(x) ) ；化简得到：anxn − g0(x)h0(x) = p(· · · )；所以多项式 anxn − g0(x)h0(x) 的系数应该都是 p 的倍数。 h0(x) = c0 + · · · + ctxt；设 g0(x) 最低次项为 buxn，有 g0(x) = buxu + · · · + bsxs； g0(x)h0(x) 的最低次项为 c0buxu, u s < n， anxn − g0(x)h0(x) 最低次项系数不是 p 的倍数，矛盾。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

本节完，谢谢！磊张印晓广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第7章：环（下）

信息安全数学基础：第7章：环（下）

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