信息安全数学基础：第1章：整数的因子分解

. . . . . . 带余除法和整除性整数的表示最大公因子与辗转相除法整数的惟一分解定理
素数多项式的整除性 . . . . . . . 整数的因子分解课件制作：张晓磊 2007-03-15 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . 1.1 带余除法和整除法课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法定理证明 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法定理证明 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b . . . . . . . 证明 . . . 1 考虑形如 a − nb 形式的数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法定理证明 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b . . . . . . . 证明 . . . 1 考虑形如 a − nb 形式的数. . . . 2 r 应该是这些数中最小的非负数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法定理证明 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b . . . . . . . 证明 . . . 1 考虑形如 a − nb 形式的数. . . . 2 r 应该是这些数中最小的非负数. . . . 3 利用反证法说明 q, r 是惟一的. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法不完全商和余数 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法不完全商和余数 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b . . . 1 上式称为带余除法. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法不完全商和余数 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b . . . 1 上式称为带余除法. . . . 2 q 称为不完全商. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法不完全商和余数 . 定理 . . . . . . . . 设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得 a = qb + r, 0 r < b . . . 1 上式称为带余除法. . . . 2 q 称为不完全商. . . . 3 r 称为余数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . floor 函数 . 定义 . . . . . . . . 设 x ∈ R，小于或等于 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记为 [x]. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . floor 函数 . 定义 . . . . . . . . 设 x ∈ R，小于或等于 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记为 [x]. . . . 1 [x] x < [x] + 1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . floor 函数 . 定义 . . . . . . . . 设 x ∈ R，小于或等于 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记为 [x]. . . . 1 [x] x < [x] + 1. . . . 2 带余除法中的 q 实际上就是 [a b ]. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . floor 函数 . 定义 . . . . . . . . 设 x ∈ R，小于或等于 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记为 [x]. . . . 1 [x] x < [x] + 1. . . . 2 带余除法中的 q 实际上就是 [a b ]. a = bq + r 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . floor 函数 . 定义 . . . . . . . . 设 x ∈ R，小于或等于 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记为 [x]. . . . 1 [x] x < [x] + 1. . . . 2 带余除法中的 q 实际上就是 [a b ]. a = bq + r ⇒ a b = q + r b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . floor 函数 . 定义 . . . . . . . . 设 x ∈ R，小于或等于 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记为 [x]. . . . 1 [x] x < [x] + 1. . . . 2 带余除法中的 q 实际上就是 [a b ]. a = bq + r ⇒ a b = q + r b ⇒ q a b < q + 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 107 = 21 × 5 + 2. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 107 = 21 × 5 + 2. . . . 2 a = −107, b = 5 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 107 = 21 × 5 + 2. . . . 2 a = −107, b = 5 q = [−107 5 ] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 107 = 21 × 5 + 2. . . . 2 a = −107, b = 5 q = [−107 5 ] = [−21.4] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 107 = 21 × 5 + 2. . . . 2 a = −107, b = 5 q = [−107 5 ] = [−21.4] = −22, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 107 = 21 × 5 + 2. . . . 2 a = −107, b = 5 q = [−107 5 ] = [−21.4] = −22, r = −107 − (−22) × 5 = 3, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 带余除法的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 a = 107, b = 5 q = [107 5 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2, 107 = 21 × 5 + 2. . . . 2 a = −107, b = 5 q = [−107 5 ] = [−21.4] = −22, r = −107 − (−22) × 5 = 3, −107 = −22 × 5 + 3. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . a = bq + r，当 r = 0 时，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . a = bq + r，当 r = 0 时， . . . 1 b 能整除 a. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . a = bq + r，当 r = 0 时， . . . 1 b 能整除 a. . . . 2 b 是 a 的因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . a = bq + r，当 r = 0 时， . . . 1 b 能整除 a. . . . 2 b 是 a 的因子. . . . 3 a 是 b 的倍数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . a = bq + r，当 r = 0 时， . . . 1 b 能整除 a. . . . 2 b 是 a 的因子. . . . 3 a 是 b 的倍数. . . . 4 a, b 的这种关系记为 b | a. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . a = bq + r，当 r = 0 时， . . . 1 b 能整除 a. . . . 2 b 是 a 的因子. . . . 3 a 是 b 的倍数. . . . 4 a, b 的这种关系记为 b | a. . . . 5 若 b = 1, b = a 则称 b 为 a 的真因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . . . . . . a = bq + r，当 r = 0 时， . . . 1 b 能整除 a. . . . 2 b 是 a 的因子. . . . 3 a 是 b 的倍数. . . . 4 a, b 的这种关系记为 b | a. . . . 5 若 b = 1, b = a 则称 b 为 a 的真因子. . 注意 . . . . . . . . 当 b | a 时，显然 −b | a. 为了简便，当我们提到整数的因子时，总假定是正的. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质 . . . 1 若 c | b, b | a, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质 . . . 1 若 c | b, b | a, 则 c | a; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质 . . . 1 若 c | b, b | a, 则 c | a; . . . 2 若 b | a, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质 . . . 1 若 c | b, b | a, 则 c | a; . . . 2 若 b | a, 则 bc | ac; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质 . . . 1 若 c | b, b | a, 则 c | a; . . . 2 若 b | a, 则 bc | ac; . . . 3 若 c | a, c | b, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质 . . . 1 若 c | b, b | a, 则 c | a; . . . 2 若 b | a, 则 bc | ac; . . . 3 若 c | a, c | b, 则对任意整数 m, n 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性带余除法取整函数例子整除和因子整除性质 . . 整除的简单性质 . . . . . . . 设 b > 0, c > 0, 整除有如下性质 . . . 1 若 c | b, b | a, 则 c | a; . . . 2 若 b | a, 则 bc | ac; . . . 3 若 c | a, c | b, 则对任意整数 m, n 有 c | ma + nb. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . . . . . . 1.2 整数的表示课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 各种进制 . . . . . . . 整数可以有很多不同的表示方法：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 各种进制 . . . . . . . 整数可以有很多不同的表示方法： . . . 1 我们日常使用 10 进制去表示整数，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 各种进制 . . . . . . . 整数可以有很多不同的表示方法： . . . 1 我们日常使用 10 进制去表示整数，比如今年是 2007 年. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 各种进制 . . . . . . . 整数可以有很多不同的表示方法： . . . 1 我们日常使用 10 进制去表示整数，比如今年是 2007 年. . . . 2 有时我们也用一点 60 进制，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 各种进制 . . . . . . . 整数可以有很多不同的表示方法： . . . 1 我们日常使用 10 进制去表示整数，比如今年是 2007 年. . . . 2 有时我们也用一点 60 进制，比如 1 分 50 秒. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 各种进制 . . . . . . . 整数可以有很多不同的表示方法： . . . 1 我们日常使用 10 进制去表示整数，比如今年是 2007 年. . . . 2 有时我们也用一点 60 进制，比如 1 分 50 秒. . . . 3 计算机科学里经常使用的有 2 进制、8 进制和 16 进制. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 各种进制 . . . . . . . 整数可以有很多不同的表示方法： . . . 1 我们日常使用 10 进制去表示整数，比如今年是 2007 年. . . . 2 有时我们也用一点 60 进制，比如 1 分 50 秒. . . . 3 计算机科学里经常使用的有 2 进制、8 进制和 16 进制. 我们准备抽象地讨论一下这个问题，考虑一般的 b 进制。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . . Example . . . . . . . . (10)10 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . . Example . . . . . . . . (10)10 = (12)8 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . . Example . . . . . . . . (10)10 = (12)8 = (22)4 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . . Example . . . . . . . . (10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . . Example . . . . . . . . (10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2 = (101)3 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . . Example . . . . . . . . (10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2 = (101)3 = (20)5 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . b 进制表示 . . . . . . . 设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 n = rtbt + rt−1bt−1 + · · · + r1b + r0 其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为 (rt · · · r1r0)b . . Example . . . . . . . . (10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2 = (101)3 = (20)5 = (A)16 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r： . . . 1 设 a = (ar · · · a0)b ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r： . . . 1 设 a = (ar · · · a0)b ，则 a0 = r 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r： . . . 1 设 a = (ar · · · a0)b ，则 a0 = r = a − [a b ]b. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r： . . . 1 设 a = (ar · · · a0)b ，则 a0 = r = a − [a b ]b. . . . 2 设 a = (ar · · · a0)b ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r： . . . 1 设 a = (ar · · · a0)b ，则 a0 = r = a − [a b ]b. . . . 2 设 a = (ar · · · a0)b ，则 (ar · · · a1)b = q 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r： . . . 1 设 a = (ar · · · a0)b ，则 a0 = r = a − [a b ]b. . . . 2 设 a = (ar · · · a0)b ，则 (ar · · · a1)b = q = [a b ] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 用带余除法求 b 进表示 . . . . . . . 通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。若 a = bq + r： . . . 1 设 a = (ar · · · a0)b ，则 a0 = r = a − [a b ]b. . . . 2 设 a = (ar · · · a0)b ，则 (ar · · · a1)b = q = [a b ] . . . 3 递归地使用上面两个步骤，直到第二步求出的结果为 0，可以得到 a 的 b 进表示. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 9 = 2 · 4 + 1 −→ 10000010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 9 = 2 · 4 + 1 −→ 10000010 4 = 2 · 2 + 0 −→ 010000010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 9 = 2 · 4 + 1 −→ 10000010 4 = 2 · 2 + 0 −→ 010000010 2 = 2 · 1 + 0 −→ 0010000010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 9 = 2 · 4 + 1 −→ 10000010 4 = 2 · 2 + 0 −→ 010000010 2 = 2 · 1 + 0 −→ 0010000010 1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 9 = 2 · 4 + 1 −→ 10000010 4 = 2 · 2 + 0 −→ 010000010 2 = 2 · 1 + 0 −→ 0010000010 1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010 . . . 1 若是偶数，则输出 0，然后除以 2; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 9 = 2 · 4 + 1 −→ 10000010 4 = 2 · 2 + 0 −→ 010000010 2 = 2 · 1 + 0 −→ 0010000010 1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010 . . . 1 若是偶数，则输出 0，然后除以 2; . . . 2 若是奇数，则输出 1，然后减 1 除 2; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 进制转换的例子 . Example ((1154)10 的二进制表示为) . . . . . . . . 1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0 577 = 2 · 288 + 1 −→ 10 288 = 2 · 144 + 0 −→ 010 144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010 18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010 9 = 2 · 4 + 1 −→ 10000010 4 = 2 · 2 + 0 −→ 010000010 2 = 2 · 1 + 0 −→ 0010000010 1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010 . . . 1 若是偶数，则输出 0，然后除以 2; . . . 2 若是奇数，则输出 1，然后减 1 除 2; . . . 3 直到变为 0. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 二、十、十六进制转换表十进制十六进制二进制十进制十六进制二进制 0 0 0000 8 8 1000 1 1 0001 9 9 1001 2 2 0010 10 A 1010 3 3 0011 11 B 1011 4 4 0100 12 C 1100 5 5 0101 13 D 1101 6 6 0110 14 E 1110 7 7 0111 15 F 1111 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 基转换的例子 . Example . . . . . . . . 计算 4618 的十六进制表示。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 基转换的例子 . Example . . . . . . . . 计算 4618 的十六进制表示。 . (解) . . . . . . . . 4618 = (1001000001010)2 2 进表示课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 基转换的例子 . Example . . . . . . . . 计算 4618 的十六进制表示。 . (解) . . . . . . . . 4618 = (1001000001010)2 2 进表示 = (1, 0010, 0000, 1010)2 4 位一段课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 基转换的例子 . Example . . . . . . . . 计算 4618 的十六进制表示。 . (解) . . . . . . . . 4618 = (1001000001010)2 2 进表示 = (1, 0010, 0000, 1010)2 4 位一段 = ( (1)2(0010)2(0000)2(1010)2 ) 16 各自转换课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性各种进制 b 进制表示求 b 进表示例子二、十、十六进制转换表例子 . . 基转换的例子 . Example . . . . . . . . 计算 4618 的十六进制表示。 . (解) . . . . . . . . 4618 = (1001000001010)2 2 进表示 = (1, 0010, 0000, 1010)2 4 位一段 = ( (1)2(0010)2(0000)2(1010)2 ) 16 各自转换 = (120A)16 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . . . . . . 1.3 最大公因子与辗转相除法课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定义 (公因子) . . . . . . . . 设 a, b 为两个非零整数，d 为正整数，若 d | a, d | b, 则 d 称为 a 和 b 的公因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定义 (公因子) . . . . . . . . 设 a, b 为两个非零整数，d 为正整数，若 d | a, d | b, 则 d 称为 a 和 b 的公因子. . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . a, b 公因子中最大者称为 a 和 b 的最大公因子，记为 (a, b). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定义 (公因子) . . . . . . . . 设 a, b 为两个非零整数，d 为正整数，若 d | a, d | b, 则 d 称为 a 和 b 的公因子. . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . a, b 公因子中最大者称为 a 和 b 的最大公因子，记为 (a, b). . 讨论 . . . . . . . . . . . 1 若 a > 0，则 a 与 0 的最大公因子为？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定义 (公因子) . . . . . . . . 设 a, b 为两个非零整数，d 为正整数，若 d | a, d | b, 则 d 称为 a 和 b 的公因子. . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . a, b 公因子中最大者称为 a 和 b 的最大公因子，记为 (a, b). . 讨论 . . . . . . . . . . . 1 若 a > 0，则 a 与 0 的最大公因子为？ . . . 2 0 和 0 的最大公因子呢？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定义 (公因子) . . . . . . . . 设 a, b 为两个非零整数，d 为正整数，若 d | a, d | b, 则 d 称为 a 和 b 的公因子. . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . a, b 公因子中最大者称为 a 和 b 的最大公因子，记为 (a, b). . 讨论 . . . . . . . . . . . 1 若 a > 0，则 a 与 0 的最大公因子为？ . . . 2 0 和 0 的最大公因子呢？(把它定义为 0.) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a, b, c 为三个正整数，且 a = bq + c, 其中 q 为整数，则 (a, b) = (b, c). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a, b, c 为三个正整数，且 a = bq + c, 其中 q 为整数，则 (a, b) = (b, c). . . . . . . . 证明： . . . 1 a, b 的公因子是 b, c 的公因子；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a, b, c 为三个正整数，且 a = bq + c, 其中 q 为整数，则 (a, b) = (b, c). . . . . . . . 证明： . . . 1 a, b 的公因子是 b, c 的公因子； . . . 2 b, c 的公因子是 a, b 的公因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) b = r0q1 + r1 → (b, r0) = (r0, r1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) b = r0q1 + r1 → (b, r0) = (r0, r1) r0 = r1q2 + r2 → (r0, r1) = (r1, r2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) b = r0q1 + r1 → (b, r0) = (r0, r1) r0 = r1q2 + r2 → (r0, r1) = (r1, r2) . . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) b = r0q1 + r1 → (b, r0) = (r0, r1) r0 = r1q2 + r2 → (r0, r1) = (r1, r2) . . . . . . . . . ri−2 = ri−1qi + ri → (ri−2, ri−1) = (ri−1, ri) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) b = r0q1 + r1 → (b, r0) = (r0, r1) r0 = r1q2 + r2 → (r0, r1) = (r1, r2) . . . . . . . . . ri−2 = ri−1qi + ri → (ri−2, ri−1) = (ri−1, ri) . . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) b = r0q1 + r1 → (b, r0) = (r0, r1) r0 = r1q2 + r2 → (r0, r1) = (r1, r2) . . . . . . . . . ri−2 = ri−1qi + ri → (ri−2, ri−1) = (ri−1, ri) . . . . . . . . . rn−1 = rnqn+1 → (rn−1, rn) = rn 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 辗转相除法 . (求 a, b 的最大公因子) . . . . . . . . a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0) b = r0q1 + r1 → (b, r0) = (r0, r1) r0 = r1q2 + r2 → (r0, r1) = (r1, r2) . . . . . . . . . ri−2 = ri−1qi + ri → (ri−2, ri−1) = (ri−1, ri) . . . . . . . . . rn−1 = rnqn+1 → (rn−1, rn) = rn . . . . . . . a → b → r0 → r1 → · · · → rn−1 → rn → 0 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 一些观察 . (关键步骤) . . . . . . . . (ri−2, ri−1) −→ (ri−1, ri) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 一些观察 . (关键步骤) . . . . . . . . (ri−2, ri−1) −→ (ri−1, ri) ri−2 = ri−1qi + ri 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 一些观察 . (关键步骤) . . . . . . . . (ri−2, ri−1) −→ (ri−1, ri) ri−2 = ri−1qi + ri . (矩阵表示) . . . . . . . . ( 0 1 1 −qi ) ( ri−2 ri−1 ) = ( ri−1 ri ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 一些观察 . (关键步骤) . . . . . . . . (ri−2, ri−1) −→ (ri−1, ri) ri−2 = ri−1qi + ri . (矩阵表示) . . . . . . . . ( 0 1 1 −qi ) ( ri−2 ri−1 ) = ( ri−1 ri ) 令 Qi = ( 0 1 1 −qi ) ， Ri = ( ri−1 ri ) ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 一些观察 . (关键步骤) . . . . . . . . (ri−2, ri−1) −→ (ri−1, ri) ri−2 = ri−1qi + ri . (矩阵表示) . . . . . . . . ( 0 1 1 −qi ) ( ri−2 ri−1 ) = ( ri−1 ri ) 令 Qi = ( 0 1 1 −qi ) ， Ri = ( ri−1 ri ) ，有 QiRi−1 = Ri . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 更多观察 . . . . . . . 令 R0 = ( b r0 ) , R−1 = ( a b ) . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 更多观察 . . . . . . . 令 R0 = ( b r0 ) , R−1 = ( a b ) . 有 Q0R−1 = R0 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 更多观察 . . . . . . . 令 R0 = ( b r0 ) , R−1 = ( a b ) . 有 Q0R−1 = R0 Q1R0 = R1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 更多观察 . . . . . . . 令 R0 = ( b r0 ) , R−1 = ( a b ) . 有 Q0R−1 = R0 Q1R0 = R1 . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 更多观察 . . . . . . . 令 R0 = ( b r0 ) , R−1 = ( a b ) . 有 Q0R−1 = R0 Q1R0 = R1 . . . QnRn−1 = Rn 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 更多观察 . . . . . . . 令 R0 = ( b r0 ) , R−1 = ( a b ) . 有 Q0R−1 = R0 Q1R0 = R1 . . . QnRn−1 = Rn 依次代入后有 Qn · · · Q0R−1 = Rn 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 对任意两个正整数 a, b，存在整数 x 和 y，使 (a, b) = xa + yb. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 对任意两个正整数 a, b，存在整数 x 和 y，使 (a, b) = xa + yb. . . . . . . . 证明：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 对任意两个正整数 a, b，存在整数 x 和 y，使 (a, b) = xa + yb. . . . . . . . 证明： . . . 1 Qn · · · Q0R−1 = Rn 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 对任意两个正整数 a, b，存在整数 x 和 y，使 (a, b) = xa + yb. . . . . . . . 证明： . . . 1 Qn · · · Q0R−1 = Rn . . . 2 ( u v x y ) ( a b ) = ( rn−1 rn ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 对任意两个正整数 a, b，存在整数 x 和 y，使 (a, b) = xa + yb. . . . . . . . 证明： . . . 1 Qn · · · Q0R−1 = Rn . . . 2 ( u v x y ) ( a b ) = ( rn−1 rn ) . Corollary . . . . . . . . 设 d 是 a 和 b 的任一公因子，则 d | (a, b). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 求最大公因子举例 . Example . . . . . . . . 求 (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 求最大公因子举例 . Example . . . . . . . . 求 (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y. . . . . . . . . . . 1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 求最大公因子举例 . Example . . . . . . . . 求 (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y. . . . . . . . . . . 1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471) . . . 2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 求最大公因子举例 . Example . . . . . . . . 求 (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y. . . . . . . . . . . 1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471) . . . 2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式 . . . 3 2176 = −1 · α + 1 · β 2 式减 3 式课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 求最大公因子举例 . Example . . . . . . . . 求 (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y. . . . . . . . . . . 1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471) . . . 2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式 . . . 3 2176 = −1 · α + 1 · β 2 式减 3 式 . . . 4 119 = 2 · α + (−1) · β 3 式减 4 式乘 18 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 求最大公因子举例 . Example . . . . . . . . 求 (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y. . . . . . . . . . . 1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471) . . . 2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式 . . . 3 2176 = −1 · α + 1 · β 2 式减 3 式 . . . 4 119 = 2 · α + (−1) · β 3 式减 4 式乘 18 . . . 5 34 = −37 · α + 19 · β 4 式减 5 式乘 3 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 求最大公因子举例 . Example . . . . . . . . 求 (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y. . . . . . . . . . . 1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471) . . . 2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式 . . . 3 2176 = −1 · α + 1 · β 2 式减 3 式 . . . 4 119 = 2 · α + (−1) · β 3 式减 4 式乘 18 . . . 5 34 = −37 · α + 19 · β 4 式减 5 式乘 3 . . . 6 17 = 113 · α + (−58·)β (x, y) = (113, −58) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . n 个数的最大公因子 . 定义 (n 个数的最大公因子) . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . n 个数的最大公因子 . 定义 (n 个数的最大公因子) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是整数，若正整数 d 满足：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . n 个数的最大公因子 . 定义 (n 个数的最大公因子) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是整数，若正整数 d 满足： . . . 1 d | ai, 1 i n; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . n 个数的最大公因子 . 定义 (n 个数的最大公因子) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是整数，若正整数 d 满足： . . . 1 d | ai, 1 i n; . . . 2 对任一正整数 c，若 c | ai, 1 i n，则 c | d. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . n 个数的最大公因子 . 定义 (n 个数的最大公因子) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是整数，若正整数 d 满足： . . . 1 d | ai, 1 i n; . . . 2 对任一正整数 c，若 c | ai, 1 i n，则 c | d. 则 d 称为 a1, a2, . . . , an 的最大公因子，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . n 个数的最大公因子 . 定义 (n 个数的最大公因子) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是整数，若正整数 d 满足： . . . 1 d | ai, 1 i n; . . . 2 对任一正整数 c，若 c | ai, 1 i n，则 c | d. 则 d 称为 a1, a2, . . . , an 的最大公因子，记为 d = (a1, a2, . . . , an). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是 n 个整数，令 (a1, a2) = d1, (d1, a3) = d2, . . . , (dn−2, an) = dn−1, 则 (a1, a2, . . . , an) = dn−1 。且存在整数 u1, u2, . . . , un ，满足： a1u1 + a2u2 + · · · + anun = (a1, a2, . . . , an). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是 n 个整数，令 (a1, a2) = d1, (d1, a3) = d2, . . . , (dn−2, an) = dn−1, 则 (a1, a2, . . . , an) = dn−1 。且存在整数 u1, u2, . . . , un ，满足： a1u1 + a2u2 + · · · + anun = (a1, a2, . . . , an). . . . . . . . 证明：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是 n 个整数，令 (a1, a2) = d1, (d1, a3) = d2, . . . , (dn−2, an) = dn−1, 则 (a1, a2, . . . , an) = dn−1 。且存在整数 u1, u2, . . . , un ，满足： a1u1 + a2u2 + · · · + anun = (a1, a2, . . . , an). . . . . . . . 证明： . . . 1 dn−1 是 a1, a2, · · · , an 的公因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是 n 个整数，令 (a1, a2) = d1, (d1, a3) = d2, . . . , (dn−2, an) = dn−1, 则 (a1, a2, . . . , an) = dn−1 。且存在整数 u1, u2, . . . , un ，满足： a1u1 + a2u2 + · · · + anun = (a1, a2, . . . , an). . . . . . . . 证明： . . . 1 dn−1 是 a1, a2, · · · , an 的公因子. . . . 2 a1, a2, · · · , an 的任何公因子都整除 dn−1 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 计算公因子举例 . Example . . . . . . . . 计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 计算公因子举例 . Example . . . . . . . . 计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子. . . . . . . . (4389, 5313, 399, 105) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 计算公因子举例 . Example . . . . . . . . 计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子. . . . . . . . (4389, 5313, 399, 105) = ( (4389, 5213), 399, 105 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 计算公因子举例 . Example . . . . . . . . 计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子. . . . . . . . (4389, 5313, 399, 105) = ( (4389, 5213), 399, 105 ) = (231, 399, 105) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 计算公因子举例 . Example . . . . . . . . 计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子. . . . . . . . (4389, 5313, 399, 105) = ( (4389, 5213), 399, 105 ) = (231, 399, 105) = ( (231, 399), 105 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 计算公因子举例 . Example . . . . . . . . 计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子. . . . . . . . (4389, 5313, 399, 105) = ( (4389, 5213), 399, 105 ) = (231, 399, 105) = ( (231, 399), 105 ) = (21, 105) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性公因子和最大公因子预备定理辗转相除法例子多个数的最大公因子定理例子 . . 计算公因子举例 . Example . . . . . . . . 计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子. . . . . . . . (4389, 5313, 399, 105) = ( (4389, 5213), 399, 105 ) = (231, 399, 105) = ( (231, 399), 105 ) = (21, 105) = 21. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . . . . . . 1.4 整数的惟一分解定理课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 若干定义 . 定义 . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 若干定义 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 一个大于 1 的正整数 p，如果没有真因子，则称 p 为素数。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 若干定义 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 一个大于 1 的正整数 p，如果没有真因子，则称 p 为素数。 . . . 2 一个大于 1 的非素数称为复合数，简称合数。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 若干定义 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 一个大于 1 的正整数 p，如果没有真因子，则称 p 为素数。 . . . 2 一个大于 1 的非素数称为复合数，简称合数。 . . . 3 若两个整数 a, b 的最大公因子为 1，则称 a, b 互素。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1. . . . 2 (p, ab) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1. . . . 2 (p, ab) = ( (p, pa), ab ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1. . . . 2 (p, ab) = ( (p, pa), ab ) = ( p, (pa, ab) ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1. . . . 2 (p, ab) = ( (p, pa), ab ) = ( p, (pa, ab) ) = ( p, (p, b)a ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1. . . . 2 (p, ab) = ( (p, pa), ab ) = ( p, (pa, ab) ) = ( p, (p, b)a ) = (p, a) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . . 素性定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1. . . . 2 (p, ab) = ( (p, pa), ab ) = ( p, (pa, ab) ) = ( p, (p, b)a ) = (p, a). . . . 3 由于 (p, a) = 1，所以 (p, ab) = 1，即 p ab. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 (惟一分解定理) . . . . . . . . 任意不为 1 的正整数 n 均可惟一表示为 n = pa1 1 pa2 2 · · · pak k , 这里 p1 < p2 < · · · < pk 为素数，a1, a2, · · · , ak 为自然数. 上式称为 n 的标准分解式. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 (惟一分解定理) . . . . . . . . 任意不为 1 的正整数 n 均可惟一表示为 n = pa1 1 pa2 2 · · · pak k , 这里 p1 < p2 < · · · < pk 为素数，a1, a2, · · · , ak 为自然数. 上式称为 n 的标准分解式. . (存在性) . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 (惟一分解定理) . . . . . . . . 任意不为 1 的正整数 n 均可惟一表示为 n = pa1 1 pa2 2 · · · pak k , 这里 p1 < p2 < · · · < pk 为素数，a1, a2, · · · , ak 为自然数. 上式称为 n 的标准分解式. . (存在性) . . . . . . . . . . . 1 若 n 为素数，命题显然成立. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 (惟一分解定理) . . . . . . . . 任意不为 1 的正整数 n 均可惟一表示为 n = pa1 1 pa2 2 · · · pak k , 这里 p1 < p2 < · · · < pk 为素数，a1, a2, · · · , ak 为自然数. 上式称为 n 的标准分解式. . (存在性) . . . . . . . . . . . 1 若 n 为素数，命题显然成立. . . . 2 令 p1 为 n 的最小正因子，则 p1 是素数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 (惟一分解定理) . . . . . . . . 任意不为 1 的正整数 n 均可惟一表示为 n = pa1 1 pa2 2 · · · pak k , 这里 p1 < p2 < · · · < pk 为素数，a1, a2, · · · , ak 为自然数. 上式称为 n 的标准分解式. . (存在性) . . . . . . . . . . . 1 若 n 为素数，命题显然成立. . . . 2 令 p1 为 n 的最小正因子，则 p1 是素数. . . . 3 n = p1n1 ，再对 n1 进行讨论. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . . . . 2 设第一个不同的幂项是 pai i 和 qbi i . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . . . . 2 设第一个不同的幂项是 pai i 和 qbi i . 若 pi = qi ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . . . . 2 设第一个不同的幂项是 pai i 和 qbi i . 若 pi = qi ，不失一般性，设置 pi < qi ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . . . . 2 设第一个不同的幂项是 pai i 和 qbi i . 若 pi = qi ，不失一般性，设置 pi < qi ，则 pi 整除式子的左边，不整除式子的右边，矛盾。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . . . . 2 设第一个不同的幂项是 pai i 和 qbi i . 若 pi = qi ，不失一般性，设置 pi < qi ，则 pi 整除式子的左边，不整除式子的右边，矛盾。 pi = qi 但 ai = bi ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . . . . 2 设第一个不同的幂项是 pai i 和 qbi i . 若 pi = qi ，不失一般性，设置 pi < qi ，则 pi 整除式子的左边，不整除式子的右边，矛盾。 pi = qi 但 ai = bi ，不失一般性，设 ai < bi ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (惟一性) . . . . . . . . . . . 1 设 n = p1 a1 · · · pak k = q1 b1 · · · ql bl . . . . 2 设第一个不同的幂项是 pai i 和 qbi i . 若 pi = qi ，不失一般性，设置 pi < qi ，则 pi 整除式子的左边，不整除式子的右边，矛盾。 pi = qi 但 ai = bi ，不失一般性，设 ai < bi ，有 pi bi 整除式子的右边，但不整除式子的左边，矛盾。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . (大数分解的困难) . . . . . . . . 当 n 很大时，例如一百多位的十进制数，要将它因子分解，是非常困难的事情。1990 年几百名研究员利用互联网的一千多台计算机，运行六个星期，将 n = 229 + 1 分解成三个素数之积，分别有 7 位，49 位,和 99 位。n 有 155 位，此成果被列为 1990 年世界十大科技成果之一。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若 ai | m, 1 i n; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若 ai | m, 1 i n; 对任一正数 u，若 ai | u, 1 i n，则 m | u. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若 ai | m, 1 i n; 对任一正数 u，若 ai | u, 1 i n，则 m | u. 则称 m 为 a1, a2, . . . , an 的最小公倍数，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若 ai | m, 1 i n; 对任一正数 u，若 ai | u, 1 i n，则 m | u. 则称 m 为 a1, a2, . . . , an 的最小公倍数，记为 [a1, a2, . . . , an]. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若 ai | m, 1 i n; 对任一正数 u，若 ai | u, 1 i n，则 m | u. 则称 m 为 a1, a2, . . . , an 的最小公倍数，记为 [a1, a2, . . . , an]. . . . . . . . 显然 [a1, a2, . . . , an] = [ |a1|, |a2|, . . . , |an| ] ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若 ai | m, 1 i n; 对任一正数 u，若 ai | u, 1 i n，则 m | u. 则称 m 为 a1, a2, . . . , an 的最小公倍数，记为 [a1, a2, . . . , an]. . . . . . . . 显然 [a1, a2, . . . , an] = [ |a1|, |a2|, . . . , |an| ] ，所以只需对正整数讨论最小公倍数。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定义 (n 个数的最小公倍数) . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若 ai | m, 1 i n; 对任一正数 u，若 ai | u, 1 i n，则 m | u. 则称 m 为 a1, a2, . . . , an 的最小公倍数，记为 [a1, a2, . . . , an]. . . . . . . . 显然 [a1, a2, . . . , an] = [ |a1|, |a2|, . . . , |an| ] ，所以只需对正整数讨论最小公倍数。计算 n 个数的最小公倍数可以转化成计算一系列的两个整数的最小公倍数。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a = p1 a1 · · · pk ak , b = p1 b1 · · · pk bk ，其中 pi 为素数，则课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a = p1 a1 · · · pk ak , b = p1 b1 · · · pk bk ，其中 pi 为素数，则 (a, b) = p1 min(a1,b1) · · · pk min(ak,bk) [a, b] = p1 max(a1,b1) · · · pk max(ak,bk) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a = p1 a1 · · · pk ak , b = p1 b1 · · · pk bk ，其中 pi 为素数，则 (a, b) = p1 min(a1,b1) · · · pk min(ak,bk) [a, b] = p1 max(a1,b1) · · · pk max(ak,bk) ab = (a, b)[a, b] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 为 n 个非零整数，令 [a1, a2] = m1, [m1, a3] = m2, . . . , [mn−2, an] = mn−1, 则 [a1, a2, . . . , an] = mn−1 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 为 n 个非零整数，令 [a1, a2] = m1, [m1, a3] = m2, . . . , [mn−2, an] = mn−1, 则 [a1, a2, . . . , an] = mn−1 . . . . . . . . 证明： . . . 1 mn−1 是 a1, a2, · · · , an 的公倍数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . 定理 . . . . . . . . 设 a1, a2, . . . , an 为 n 个非零整数，令 [a1, a2] = m1, [m1, a3] = m2, . . . , [mn−2, an] = mn−1, 则 [a1, a2, . . . , an] = mn−1 . . . . . . . . 证明： . . . 1 mn−1 是 a1, a2, · · · , an 的公倍数. . . . 2 mn−1 是 a1, a2, · · · , an 的任意公倍数的因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . Example . . . . . . . . 计算 [2295, 4471]. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . Example . . . . . . . . 计算 [2295, 4471]. . . . . . . . 解： (2295, 4471) = 17, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . Example . . . . . . . . 计算 [2295, 4471]. . . . . . . . 解： (2295, 4471) = 17, [2295, 4471] = 2295 × 4471 17 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性若干定义素性定理惟一分解定理最小公倍数例子 . Example . . . . . . . . 计算 [2295, 4471]. . . . . . . . 解： (2295, 4471) = 17, [2295, 4471] = 2295 × 4471 17 = 603585 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . . . . . . 1.5 素数课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . Euclid 的证明，无尽的素数课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . Euclid 的证明，无尽的素数 . 定理 . . . . . . . . 素数有无穷多个. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . Euclid 的证明，无尽的素数 . 定理 . . . . . . . . 素数有无穷多个. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定全部的素数为 p1, p2, · · · , pn 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . Euclid 的证明，无尽的素数 . 定理 . . . . . . . . 素数有无穷多个. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定全部的素数为 p1, p2, · · · , pn . . . 2 考虑 1 + p1p2 · · · pn ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . Euclid 的证明，无尽的素数 . 定理 . . . . . . . . 素数有无穷多个. . . . . . . . 证明： . . . 1 假定全部的素数为 p1, p2, · · · , pn . . . 2 考虑 1 + p1p2 · · · pn ，它没有素因子！课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . . 1 素数有无穷多个，但分布很不规律。容易证明存在任意长的连续整数序列，其中不包含素数：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . . 1 素数有无穷多个，但分布很不规律。容易证明存在任意长的连续整数序列，其中不包含素数： n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . . 1 素数有无穷多个，但分布很不规律。容易证明存在任意长的连续整数序列，其中不包含素数： n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n. . . . 2 用 π(x) 表示区间 [1, x] 中素数个数，可以证明 lim x→+∞ π(x) x = 0 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . . 1 素数有无穷多个，但分布很不规律。容易证明存在任意长的连续整数序列，其中不包含素数： n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n. . . . 2 用 π(x) 表示区间 [1, x] 中素数个数，可以证明 lim x→+∞ π(x) x = 0 . . . 3 Euclid 孪生素数猜想：有无穷多个素数 P 使得 p + 2 也是素数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . . 1 素数有无穷多个，但分布很不规律。容易证明存在任意长的连续整数序列，其中不包含素数： n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n. . . . 2 用 π(x) 表示区间 [1, x] 中素数个数，可以证明 lim x→+∞ π(x) x = 0 . . . 3 Euclid 孪生素数猜想：有无穷多个素数 P 使得 p + 2 也是素数. . . . 4 Goldbach 猜想：每个充分大的偶数可以表为两个素数之和. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 设 n > 1，若 an − 1 为素数，则 a = 2，且 n 为素数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 设 n > 1，若 an − 1 为素数，则 a = 2，且 n 为素数. . . . . . . . . . . 1 an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 · · · + a + 1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 设 n > 1，若 an − 1 为素数，则 a = 2，且 n 为素数. . . . . . . . . . . 1 an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 · · · + a + 1) . . . 2 2st − 1 = (2s − 1)((2s)t−1 + · · · + 2s + 1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定义 . . . . . . . . 整数 Mn = 2n − 1 称为第 n 个 Mersenne 数，当 Mn 是素时，Mn 称为 Mersenne 素数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定义 . . . . . . . . 整数 Mn = 2n − 1 称为第 n 个 Mersenne 数，当 Mn 是素时，Mn 称为 Mersenne 素数. . . . . . . . 目前已经知道的 Mersenne 素数共有 44 个，最近的一个发现于 2006 年 9 月 4 日，它是 M32582557 = 232582657 − 1, 共 9, 808, 358 个 10 进位. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 若 2m + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 若 2m + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂. . . . . . . . 证明：若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 若 2m + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂. . . . . . . . 证明：若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，则 2m − 1 = 2nk − 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 若 2m + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂. . . . . . . . 证明：若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，则 2m − 1 = 2nk − 1 = (2n)k + 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 若 2m + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂. . . . . . . . 证明：若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，则 2m − 1 = 2nk − 1 = (2n)k + 1 = (2n + 1) ( (2n)k−1 − (2n)k−1 + · · · + 1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 若 2m + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂. . . . . . . . 证明：若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，则 2m − 1 = 2nk − 1 = (2n)k + 1 = (2n + 1) ( (2n)k−1 − (2n)k−1 + · · · + 1) 由于 1 < 2k + 1 < 2m + 1，所以 2k + 1 是 2m + 1 的一个真因子，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定理 . . . . . . . . 若 2m + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂. . . . . . . . 证明：若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，则 2m − 1 = 2nk − 1 = (2n)k + 1 = (2n + 1) ( (2n)k−1 − (2n)k−1 + · · · + 1) 由于 1 < 2k + 1 < 2m + 1，所以 2k + 1 是 2m + 1 的一个真因子，2m + 1 不是素数。这是一个矛盾。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定义 . . . . . . . . 形如 Fn = 22n + 1 的数称为 Fermat 数，若 Fn 是素数，则称其为 Fermat 素数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定义 . . . . . . . . 形如 Fn = 22n + 1 的数称为 Fermat 数，若 Fn 是素数，则称其为 Fermat 素数. . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定义 . . . . . . . . 形如 Fn = 22n + 1 的数称为 Fermat 数，若 Fn 是素数，则称其为 Fermat 素数. . . . . . . . . . . 1 Fermat 称形如 Fn = 22n + 1, n ∈ N 的数总是素数 (1630 ∼ 1640)，容易验证 F0, F1, F2, F3, F4 都是素数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定义 . . . . . . . . 形如 Fn = 22n + 1 的数称为 Fermat 数，若 Fn 是素数，则称其为 Fermat 素数. . . . . . . . . . . 1 Fermat 称形如 Fn = 22n + 1, n ∈ N 的数总是素数 (1630 ∼ 1640)，容易验证 F0, F1, F2, F3, F4 都是素数. . . . 2 1732 年，Euler 把 F5 = 4294967297 分解为 641 × 6700417. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . 定义 . . . . . . . . 形如 Fn = 22n + 1 的数称为 Fermat 数，若 Fn 是素数，则称其为 Fermat 素数. . . . . . . . . . . 1 Fermat 称形如 Fn = 22n + 1, n ∈ N 的数总是素数 (1630 ∼ 1640)，容易验证 F0, F1, F2, F3, F4 都是素数. . . . 2 1732 年，Euler 把 F5 = 4294967297 分解为 641 × 6700417. . . . 3 1750 年，Euler 发表了 “THEOREMATA CIRCA DIVISORSES NVMERORVM”, 一文，文中公开了分解 F5 的方法. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 欧拉的方法 . (素因子的形式) . . . . . . . . 如果 (a, b) = 1，则课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 欧拉的方法 . (素因子的形式) . . . . . . . . 如果 (a, b) = 1，则 . . . 1 a2 + b2 的素因子具有形式 4k + 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 欧拉的方法 . (素因子的形式) . . . . . . . . 如果 (a, b) = 1，则 . . . 1 a2 + b2 的素因子具有形式 4k + 1 . . . 2 a4 + b4 的素因子具有形式 8k + 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 欧拉的方法 . (素因子的形式) . . . . . . . . 如果 (a, b) = 1，则 . . . 1 a2 + b2 的素因子具有形式 4k + 1 . . . 2 a4 + b4 的素因子具有形式 8k + 1 . . . 3 a8 + b8 的素因子具有形式 16k + 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 欧拉的方法 . (素因子的形式) . . . . . . . . 如果 (a, b) = 1，则 . . . 1 a2 + b2 的素因子具有形式 4k + 1 . . . 2 a4 + b4 的素因子具有形式 8k + 1 . . . 3 a8 + b8 的素因子具有形式 16k + 1 . . . 4 a16 + b16 的素因子具有形式 32k + 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 欧拉的方法 . (素因子的形式) . . . . . . . . 如果 (a, b) = 1，则 . . . 1 a2 + b2 的素因子具有形式 4k + 1 . . . 2 a4 + b4 的素因子具有形式 8k + 1 . . . 3 a8 + b8 的素因子具有形式 16k + 1 . . . 4 a16 + b16 的素因子具有形式 32k + 1 . . . 5 a32 + b32 的素因子具有形式 64k + 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 欧拉的方法 . (素因子的形式) . . . . . . . . 如果 (a, b) = 1，则 . . . 1 a2 + b2 的素因子具有形式 4k + 1 . . . 2 a4 + b4 的素因子具有形式 8k + 1 . . . 3 a8 + b8 的素因子具有形式 16k + 1 . . . 4 a16 + b16 的素因子具有形式 32k + 1 . . . 5 a32 + b32 的素因子具有形式 64k + 1 . (穷举) . . . . . . . . 测试 64 × 1 + 1, 64 × 2 + 1, · · · ，不久就能发现 641. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 一个验证 . Example (验证) . . . . . . . . 54 + 24 = 641 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 一个验证 . Example (验证) . . . . . . . . 54 + 24 = 641 232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 一个验证 . Example (验证) . . . . . . . . 54 + 24 = 641 232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641) = −54 × 228 + 1 (mod 641) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 一个验证 . Example (验证) . . . . . . . . 54 + 24 = 641 232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641) = −54 × 228 + 1 (mod 641) = −(5 × 27)4 + 1 (mod 641) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 一个验证 . Example (验证) . . . . . . . . 54 + 24 = 641 232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641) = −54 × 228 + 1 (mod 641) = −(5 × 27)4 + 1 (mod 641) = −6404 + 1 (mod 641) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 . . 一个验证 . Example (验证) . . . . . . . . 54 + 24 = 641 232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641) = −54 × 228 + 1 (mod 641) = −(5 × 27)4 + 1 (mod 641) = −6404 + 1 (mod 641) = −(−1)4 + 1 (mod 641) = 0 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 Fermat 猜想是错的，但 Fermat 其实比较倒霉。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 Fermat 猜想是错的，但 Fermat 其实比较倒霉。他并非不够谨慎，事实上他验证了前 5 个 Fermat 数，F0, F1, F2, F3, F4 ，它们都是素的。而其它的 Fermat 数，个头实在有点大，难以验证。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 Fermat 猜想是错的，但 Fermat 其实比较倒霉。他并非不够谨慎，事实上他验证了前 5 个 Fermat 数，F0, F1, F2, F3, F4 ，它们都是素的。而其它的 Fermat 数，个头实在有点大，难以验证。更倒霉的是，F0, F1, F2, F3, F4 实际上是全部已知的 Fermat 素数，现在倾向于认为几乎全部 Fermat 数都不是素的，而 Fermat 选的样本刚好就覆盖了全部已知的素的情形！课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性素数有无穷多个 Mersenne 素数 Fermat 素数 Fermat 猜想是错的，但 Fermat 其实比较倒霉。他并非不够谨慎，事实上他验证了前 5 个 Fermat 数，F0, F1, F2, F3, F4 ，它们都是素的。而其它的 Fermat 数，个头实在有点大，难以验证。更倒霉的是，F0, F1, F2, F3, F4 实际上是全部已知的 Fermat 素数，现在倾向于认为几乎全部 Fermat 数都不是素的，而 Fermat 选的样本刚好就覆盖了全部已知的素的情形！但是， Fermat 的霉运实在不仅这些，将来我们会学习著名的 Fermat 小定理，用这个 Fermat 自己提出来的定理，只要花上一点耐心和体力，就可以计算出 F5 其实是个合数！课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . . . . . . . 1.6 多项式的整除法课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 有理数定义为： Q = { a b | a, b ∈ Z, b = 0 } . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 有理数定义为： Q = { a b | a, b ∈ Z, b = 0 } . . . . 2 所有系数为有理数的多项式集合定义为： Q[x] = { a0 + a1x + · · · + anxn | ai ∈ Q, 0 i n } . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 有理数定义为： Q = { a b | a, b ∈ Z, b = 0 } . . . . 2 所有系数为有理数的多项式集合定义为： Q[x] = { a0 + a1x + · · · + anxn | ai ∈ Q, 0 i n } . . . . . . . . Q[x] 与整数集合 Z 有很多类似的性质，如在 Q[x] 上有带余除法，也有最大公因子的概念，也有惟一分解定理等。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 有理数定义为： Q = { a b | a, b ∈ Z, b = 0 } . . . . 2 所有系数为有理数的多项式集合定义为： Q[x] = { a0 + a1x + · · · + anxn | ai ∈ Q, 0 i n } . . . . . . . . Q[x] 与整数集合 Z 有很多类似的性质，如在 Q[x] 上有带余除法，也有最大公因子的概念，也有惟一分解定理等。下面我们就把 Z 上的一些性质定理推广到 Q[x] 上来。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (约定) . . . . . . . . 多项式 f(x) 的次数记为 deg f(x) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (约定) . . . . . . . . 多项式 f(x) 的次数记为 deg f(x) . 定理 (多项式的带余除法) . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ Q[x], g(x) = 0, 则有 q(x), r(x) ∈ Q[x] 使得 f(x) = q(x)g(x) + r(x), r(x) = 0 或 r(x) = 0, deg r(x) < deg g(x). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (证明) . . . . . . . . . . . 1 考虑集合 I = {f(x) − g(x)a(x) : a(x) ∈ Q[x]}. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (证明) . . . . . . . . . . . 1 考虑集合 I = {f(x) − g(x)a(x) : a(x) ∈ Q[x]}. . . . 2 若 0 ∈ I，则存在 q(x)，使得 f(x) − q(x)g(x) = 0. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (证明) . . . . . . . . . . . 1 考虑集合 I = {f(x) − g(x)a(x) : a(x) ∈ Q[x]}. . . . 2 若 0 ∈ I，则存在 q(x)，使得 f(x) − q(x)g(x) = 0. . . . 3 若 0 / ∈ I，设其中次数最小的多项式为 r(x), 必有 deg r(x) < deg g(x). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (证明) . . . . . . . . . . . 1 考虑集合 I = {f(x) − g(x)a(x) : a(x) ∈ Q[x]}. . . . 2 若 0 ∈ I，则存在 q(x)，使得 f(x) − q(x)g(x) = 0. . . . 3 若 0 / ∈ I，设其中次数最小的多项式为 r(x), 必有 deg r(x) < deg g(x). . . . 4 还要考虑惟一性. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (证明) . . . . . . . . . . . 1 考虑集合 I = {f(x) − g(x)a(x) : a(x) ∈ Q[x]}. . . . 2 若 0 ∈ I，则存在 q(x)，使得 f(x) − q(x)g(x) = 0. . . . 3 若 0 / ∈ I，设其中次数最小的多项式为 r(x), 必有 deg r(x) < deg g(x). . . . 4 还要考虑惟一性. . . . . . . . 这个证明类似与 Z 中带余除法的证明，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (证明) . . . . . . . . . . . 1 考虑集合 I = {f(x) − g(x)a(x) : a(x) ∈ Q[x]}. . . . 2 若 0 ∈ I，则存在 q(x)，使得 f(x) − q(x)g(x) = 0. . . . 3 若 0 / ∈ I，设其中次数最小的多项式为 r(x), 必有 deg r(x) < deg g(x). . . . 4 还要考虑惟一性. . . . . . . . 这个证明类似与 Z 中带余除法的证明，可以看出，多项式的次数在证明中起的作用当与整数的绝对值在相应证明中起的作用。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若 f(x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f(x)，记作 g(x) | f(x). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若 f(x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f(x)，记作 g(x) | f(x). . . . 2 若 g(x) | f(x)，则称 g(x) 是 f(x) 的因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若 f(x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f(x)，记作 g(x) | f(x). . . . 2 若 g(x) | f(x)，则称 g(x) 是 f(x) 的因子. . . . 3 若 g(x) 是 f(x) 的因子，且 0 < deg g(x) < deg f(x)，则称 g(x) 是 f(x) 的真因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若 f(x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f(x)，记作 g(x) | f(x). . . . 2 若 g(x) | f(x)，则称 g(x) 是 f(x) 的因子. . . . 3 若 g(x) 是 f(x) 的因子，且 0 < deg g(x) < deg f(x)，则称 g(x) 是 f(x) 的真因子. . . . 4 若 f(x) 无真因子，称 f(x) 为不可约多项式. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (整除性质) . . . . . . . . 若 g(x) = 0, h(x) = 0，有课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . (整除性质) . . . . . . . . 若 g(x) = 0, h(x) = 0，有 . . . 1 若 h(x) | g(x), g(x) | f(x) 则 h(x) | f(x)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . 设 f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . 设 f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若 . . . 1 h(x) | f(x), h(x) | g(x); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . 设 f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若 . . . 1 h(x) | f(x), h(x) | g(x); . . . 2 对任一多项式 d(x) = 0, d(x) | f(x), d(x) | g(x)，有 d(x) | h(x)，则称 h(x) 为 f(x) 与 g(x) 的最大公因子. . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . 设 f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若 . . . 1 h(x) | f(x), h(x) | g(x); . . . 2 对任一多项式 d(x) = 0, d(x) | f(x), d(x) | g(x)，有 d(x) | h(x)，则称 h(x) 为 f(x) 与 g(x) 的最大公因子. . . . . . . . . . . 1 若 d(x) 为 f(x) 和 g(x) 的最大公因子，c = 0，则 c · d(x) 也是 f(x), g(x) 的最大公因子. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . 设 f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若 . . . 1 h(x) | f(x), h(x) | g(x); . . . 2 对任一多项式 d(x) = 0, d(x) | f(x), d(x) | g(x)，有 d(x) | h(x)，则称 h(x) 为 f(x) 与 g(x) 的最大公因子. . . . . . . . . . . 1 若 d(x) 为 f(x) 和 g(x) 的最大公因子，c = 0，则 c · d(x) 也是 f(x), g(x) 的最大公因子. . . . 2 把 f(x), g(x) 的首项系数为 1 的公因式记为 ( f(x), g(x) ) . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . 设 f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若 . . . 1 h(x) | f(x), h(x) | g(x); . . . 2 对任一多项式 d(x) = 0, d(x) | f(x), d(x) | g(x)，有 d(x) | h(x)，则称 h(x) 为 f(x) 与 g(x) 的最大公因子. . . . . . . . . . . 1 若 d(x) 为 f(x) 和 g(x) 的最大公因子，c = 0，则 c · d(x) 也是 f(x), g(x) 的最大公因子. . . . 2 把 f(x), g(x) 的首项系数为 1 的公因式记为 ( f(x), g(x) ) . . . . 3 (0, 0) 约定为 0. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定义 (最大公因子) . . . . . . . . 设 f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若 . . . 1 h(x) | f(x), h(x) | g(x); . . . 2 对任一多项式 d(x) = 0, d(x) | f(x), d(x) | g(x)，有 d(x) | h(x)，则称 h(x) 为 f(x) 与 g(x) 的最大公因子. . . . . . . . . . . 1 若 d(x) 为 f(x) 和 g(x) 的最大公因子，c = 0，则 c · d(x) 也是 f(x), g(x) 的最大公因子. . . . 2 把 f(x), g(x) 的首项系数为 1 的公因式记为 ( f(x), g(x) ) . . . . 3 (0, 0) 约定为 0. . . . 4 显然 ( f(x), 0 ) = f(x). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定理 . . . . . . . . 设 f(x), g(x) ∈ Q[x],存在 m(x), n(x) ∈ Q[x], 使得 ( f(x), g(x) ) = m(x)f(x) + n(x)g(x) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . Example . . . . . . . . f(x) = x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 g(x) = x5 + x3 − x2 − 1，计算 ( f(x), g(x) ) 及 m(x), n(x)，使得 ( f(x), g(x) ) = m(x)f(x) + n(x)g(x). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g 2 − 2x3 = (1 − x) · f + (x2 + x − 1)g 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g 2 − 2x3 = (1 − x) · f + (x2 + x − 1)g 4(x2 + x + 1) = 3 − x2 2 · f + x3 + 2x2 − 2x − 5 2 · g 0 =? 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g 2 − 2x3 = (1 − x) · f + (x2 + x − 1)g 4(x2 + x + 1) = 3 − x2 2 · f + x3 + 2x2 − 2x − 5 2 · g 0 =? . . . . . . . (x2 + x + 1) = 3 − x2 8 · f + x3 + 2x2 − 2x − 5 8 · g 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p(x) ∈ Q[x] 为不可约多项式，且 p(x) | f(x)g(x)，则 p(x) | f(x) 或 p(x) | g(x). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定理 . . . . . . . . 设 p(x) ∈ Q[x] 为不可约多项式，且 p(x) | f(x)g(x)，则 p(x) | f(x) 或 p(x) | g(x). . . . . . . . 此定理的证明与整数中的相应情形类似，请自行证明。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定理 (惟一分解定理) . . . . . . . . Q[x] 中任一非常数多项式 f(x) 均可表示为 f(x) = p1(x)a1 p2(x)a2 · · · pk(x)ak , 这里 p1(x), p2(x), . . . , pk(x) 为 Q[x] 中的不可约多项式， a1, a2, . . . , ak 为正整数. 若不考虑相差一个非零常数因子及不可约因子的次序时，这种分解是惟一的. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理 . 定理 (惟一分解定理) . . . . . . . . Q[x] 中任一非常数多项式 f(x) 均可表示为 f(x) = p1(x)a1 p2(x)a2 · · · pk(x)ak , 这里 p1(x), p2(x), . . . , pk(x) 为 Q[x] 中的不可约多项式， a1, a2, . . . , ak 为正整数. 若不考虑相差一个非零常数因子及不可约因子的次序时，这种分解是惟一的. . . . . . . . 此定理的证明与整数中的相应情形类似，请自行证明。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

素数多项式的整除性多项式带余除法整除性公因子惟一分解定理本节完，谢谢！磊张印晓课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第1章：整数的因子分解

信息安全数学基础：第1章：整数的因子分解

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