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信息安全数学基础:第7章:环(上)

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October 07, 2012

 信息安全数学基础:第7章:环(上)

信息安全数学基础:第7章:环(上)

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October 07, 2012
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  1. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 环(上) 广州大学数学与信息科学学院 October 14, 2009 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  2. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . §7.1 环的定义 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  3. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个非空集合,在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法,并满足下列条件: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  4. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个非空集合,在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法,并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群,即 (R, +) 是一个群,且对任 意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  5. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个非空集合,在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法,并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群,即 (R, +) 是一个群,且对任 意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. . . . 2 R 关于乘法 “·” 适合结合律,即对任意 a, b, c ∈ R, 有 (a · b) · c = a · (b · c); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  6. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个非空集合,在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法,并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群,即 (R, +) 是一个群,且对任 意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. . . . 2 R 关于乘法 “·” 适合结合律,即对任意 a, b, c ∈ R, 有 (a · b) · c = a · (b · c); . . . 3 分配律成立,即对任意 a, b, c ∈ R,有 a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = b · a + c · a. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  7. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 则称 R 关于 “+” 和 “·” 构成一个环,记为 (R, +, ·). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  8. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  9. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  10. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是个交换群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  11. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是个交换群; . . . 2 乘法满足结合律; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  12. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是个交换群; . . . 2 乘法满足结合律; . . . 3 加法对乘法满足分配律。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  13. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合,F[x] 关于 多项式的加法和乘法构成一个环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  14. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合,F[x] 关于 多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  15. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合,F[x] 关于 多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (F[x], +) 是一个交换群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  16. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合,F[x] 关于 多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (F[x], +) 是一个交换群; . . . 2 F[x] 的乘法 “·” 满足结合律; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  17. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合,F[x] 关于 多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (F[x], +) 是一个交换群; . . . 2 F[x] 的乘法 “·” 满足结合律; . . . 3 F[x] 中的加法满足对乘法的分配律。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  18. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体,Mn(R) 关于矩阵的加 法和乘法构成一个环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  19. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体,Mn(R) 关于矩阵的加 法和乘法构成一个环。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  20. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体,Mn(R) 关于矩阵的加 法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Mn(R), +) 是一个交换群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  21. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体,Mn(R) 关于矩阵的加 法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Mn(R), +) 是一个交换群; . . . 2 Mn(R) 的乘法 “·” 满足结合律; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  22. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体,Mn(R) 关于矩阵的加 法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Mn(R), +) 是一个交换群; . . . 2 Mn(R) 的乘法 “·” 满足结合律; . . . 3 Mn(R) 中的加法满足对乘法的分配律。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  23. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  24. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . . . . 1 在环 R 中,加法的单位元称为零元,记为 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  25. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . . . . 1 在环 R 中,加法的单位元称为零元,记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元,记为 −a。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  26. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . . . . 1 在环 R 中,加法的单位元称为零元,记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元,记为 −a。 . . . 3 如果环 R 的乘法适合交换律,即 ab = ba 对任 意 a, b ∈ R 成立,那么称 R 为交换环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  27. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . . . . 1 在环 R 中,加法的单位元称为零元,记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元,记为 −a。 . . . 3 如果环 R 的乘法适合交换律,即 ab = ba 对任 意 a, b ∈ R 成立,那么称 R 为交换环。 . . . 4 环的乘法不一定有单位元,若有,则称 R 是有单位元的 环,并用 1 表示该环的单位元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  28. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,a, b ∈ R, m, n 是正整数,则 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  29. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,a, b ∈ R, m, n 是正整数,则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  30. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,a, b ∈ R, m, n 是正整数,则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  31. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,a, b ∈ R, m, n 是正整数,则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . 3 m(ab) = (ma)b = a(mb); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  32. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,a, b ∈ R, m, n 是正整数,则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . 3 m(ab) = (ma)b = a(mb); . . . 4 am · an = am+n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  33. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,a, b ∈ R, m, n 是正整数,则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . 3 m(ab) = (ma)b = a(mb); . . . 4 am · an = am+n; . . . 5 (am)n = amn. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  34. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 1,a · 0 = 0 · a = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  35. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 1,a · 0 = 0 · a = 0; . . . . . . . a · 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  36. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 1,a · 0 = 0 · a = 0; . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  37. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 1,a · 0 = 0 · a = 0; . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  38. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 1,a · 0 = 0 · a = 0; . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 两边加上 −a · 0 有 0 = a · 0。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  39. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 1,a · 0 = 0 · a = 0; . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 两边加上 −a · 0 有 0 = a · 0。 类似可以证明:0 · a = 0。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  40. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  41. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . . . . . a(−b) + ab 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  42. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  43. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  44. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  45. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 两边加上 −(ab) 有 a(−b) = −(ab); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  46. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 两边加上 −(ab) 有 a(−b) = −(ab); 类似可以证明:(−a)b = −(ab)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  47. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 证明 2,a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 两边加上 −(ab) 有 a(−b) = −(ab); 类似可以证明:(−a)b = −(ab)。 . . . . . . . 剩下几个小题作为练习,请自己解决。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  48. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集 合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  49. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集 合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  50. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集 合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. . . . . . . . . . . 1 Zn 关于上述加法和乘法构成一个有单位元 [1] 的交换环; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  51. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集 合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. . . . . . . . . . . 1 Zn 关于上述加法和乘法构成一个有单位元 [1] 的交换环; . . . 2 这个环称为整数模 n 的剩余类环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  52. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是一个环,如果存在 a, b ∈ R, a = 0, b = 0, 但 ab = 0, 那么称 R 是有零因子环,否则称 R 为无零因子环. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  53. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 是有零因子环,Z7 是无零因子环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  54. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 是有零因子环,Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  55. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 是有零因子环,Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  56. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 是有零因子环,Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] = 0; . . . 2 列出非零元的乘法表: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  57. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 是有零因子环,Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] = 0; . . . 2 列出非零元的乘法表: · [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [2] [5] [1] [4] [4] [2] [6] [3] [5] [4] [2] [6] [1] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  58. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 请给出其他有零因子环和无零因子环的例子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  59. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环,那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  60. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环,那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c; . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  61. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环,那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c; . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  62. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环,那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c; . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  63. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环,那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c; . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0,且 R 中无零因子,所 以 b − c = 0, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  64. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环,那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c; . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0,且 R 中无零因子,所 以 b − c = 0,即 a = b; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  65. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环,那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c; . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0,且 R 中无零因子,所 以 b − c = 0,即 a = b; . . . 2 证明与上面类似。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  66. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,如果 R 满足 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  67. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,如果 R 满足 . . . 1 有单位元; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  68. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,如果 R 满足 . . . 1 有单位元; . . . 2 乘法交换律; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  69. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,如果 R 满足 . . . 1 有单位元; . . . 2 乘法交换律; . . . 3 无零因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  70. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,如果 R 满足 . . . 1 有单位元; . . . 2 乘法交换律; . . . 3 无零因子。 则称 R 是整环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  71. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是一个环,如果 R 满足 . . . 1 有单位元; . . . 2 乘法交换律; . . . 3 无零因子。 则称 R 是整环。 . . . . . . . 有单位的交换环,无零因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  72. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  73. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; . . . . . . . . . . 1 交换性显然; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  74. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; . . . . . . . . . . 1 交换性显然;有单位元 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  75. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; . . . . . . . . . . 1 交换性显然;有单位元 1;显然无零因子; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  76. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; . . . . . . . . . . 1 交换性显然;有单位元 1;显然无零因子; . . . 2 [2] · [3] = [0],有零因子; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  77. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; . . . . . . . . . . 1 交换性显然;有单位元 1;显然无零因子; . . . 2 [2] · [3] = [0],有零因子; . . . 3 交换性显然; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  78. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; . . . . . . . . . . 1 交换性显然;有单位元 1;显然无零因子; . . . 2 [2] · [3] = [0],有零因子; . . . 3 交换性显然;有单位元 [1]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  79. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . . . . 1 Z 是整环; . . . 2 Z6 不是整环; . . . 3 Z7 是整环; . . . . . . . . . . 1 交换性显然;有单位元 1;显然无零因子; . . . 2 [2] · [3] = [0],有零因子; . . . 3 交换性显然;有单位元 [1];由前面的例子可以知道,没有 零因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  80. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  81. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab,1 < a, b < n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  82. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab,1 < a, b < n; [a] = [0], [b] = [0]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  83. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab,1 < a, b < n; [a] = [0], [b] = [0]; [a] · [b] = [ab] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  84. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab,1 < a, b < n; [a] = [0], [b] = [0]; [a] · [b] = [ab] = [n] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  85. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab,1 < a, b < n; [a] = [0], [b] = [0]; [a] · [b] = [ab] = [n] = [0]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  86. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab,1 < a, b < n; [a] = [0], [b] = [0]; [a] · [b] = [ab] = [n] = [0]; Zn 有零因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  87. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是合数,则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab,1 < a, b < n; [a] = [0], [b] = [0]; [a] · [b] = [ab] = [n] = [0]; Zn 有零因子。 当 n 为合数时,Zn 不是整环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  88. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是素数,则 Zn 是整环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  89. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是素数,则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  90. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是素数,则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]; 有 n | ab; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  91. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是素数,则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]; 有 n | ab; n 是素数,所以 n | a 或 n | b; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  92. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 如果 n 是素数,则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]; 有 n | ab; n 是素数,所以 n | a 或 n | b; [a] = 0 或 [b] = 0。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  93. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Q[x] 是整环吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  94. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Q[x] 是整环吗? . . . . . . . 是整环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  95. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是有单位元的环,a ∈ R,若存在 b ∈ R 使得 ab = ba = 1, 则称 a 是可逆元, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  96. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是有单位元的环,a ∈ R,若存在 b ∈ R 使得 ab = ba = 1, 则称 a 是可逆元,b 称为 a 的逆元,记为 a−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  97. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z7 中哪些元有逆? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  98. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z7 中哪些元有逆? . . . . . . . 列出非零元的乘法表: · [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [6] [5] [4] [3] [2] [1] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  99. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z7 中哪些元有逆? . . . . . . . 列出非零元的乘法表: · [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [6] [5] [4] [3] [2] [1] [1], [2], · · · , [6] 均有逆。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  100. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 中哪些元有逆? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  101. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 中哪些元有逆? . . . . . . . 列出非零元的乘法表: · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  102. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 中哪些元有逆? . . . . . . . 列出非零元的乘法表: · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 只有 [1], [5] 有逆元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  103. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 中哪些元有逆? . . . . . . . 列出非零元的乘法表: · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 只有 [1], [5] 有逆元。 仔细观察不难发现,有逆的元素均与 6 互素。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  104. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . Z6 中哪些元有逆? . . . . . . . 列出非零元的乘法表: · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 只有 [1], [5] 有逆元。 仔细观察不难发现,有逆的元素均与 6 互素。而在上一个 例子 中(Z7),有逆的元素均与 7 互素。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  105. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  106. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环, . . . 1 如果 R 中每个非零元均可逆,则称 R 是一个除环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  107. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环, . . . 1 如果 R 中每个非零元均可逆,则称 R 是一个除环。 . . . 2 交换的除环称为域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  108. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环, . . . 1 如果 R 中每个非零元均可逆,则称 R 是一个除环。 . . . 2 交换的除环称为域。 . . . . . . . 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  109. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 p 是一个素数,则 (Zp, +, ·) 是一个域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  110. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 p 是一个素数,则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0],有 (a, p) = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  111. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 p 是一个素数,则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0],有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  112. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 p 是一个素数,则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0],有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; . . . 3 as ≡ 1 (mod p); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  113. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 p 是一个素数,则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0],有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; . . . 3 as ≡ 1 (mod p); . . . 4 [as] = [1] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  114. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . Example

    . . . . . . . . 设 p 是一个素数,则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0],有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; . . . 3 as ≡ 1 (mod p); . . . 4 [as] = [1] ⇒ [a] · [s] = [1]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  115. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  116. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  117. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  118. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  119. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  120. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  121. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  122. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  123. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  124. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  125. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  126. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  127. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  128. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 0 = mab 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  129. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 0 = mab = (ma)b 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  130. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  131. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0; n m, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  132. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0; n m,故 n = m。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  133. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0; n m,故 n = m。 所以 R 中的非零元的阶要么都无限,要么都有限; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  134. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定理

    . . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环,则 R 中非零元的加法阶相等,或都 为 ∞, 或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0,且 a 的阶为 n = ∞; 设 b = 0,则有 nab = (na)b = 0; 0 = nab = a(nb),由于 R 中没有零因子,所以 nb = 0; 故 b 的阶是个有限数,设为 m,有 m n; mab = a(mb) = 0; 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0; n m,故 n = m。 所以 R 中的非零元的阶要么都无限,要么都有限;在有限 的情形下,不同元素的阶都是一样大的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  135. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  136. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  137. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; xya = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  138. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; xya = 0 ⇒ x(ya) = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  139. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; xya = 0 ⇒ x(ya) = 0; 若 ya = 0,则有 n y, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  140. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; xya = 0 ⇒ x(ya) = 0; 若 ya = 0,则有 n y,但 y 是 n 的因子,所 以 x = 1, y = n; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  141. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; xya = 0 ⇒ x(ya) = 0; 若 ya = 0,则有 n y,但 y 是 n 的因子,所 以 x = 1, y = n; 若 ya = 0,则 ya 的阶也为 n,所以 n x。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  142. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; xya = 0 ⇒ x(ya) = 0; 若 ya = 0,则有 n y,但 y 是 n 的因子,所 以 x = 1, y = n; 若 ya = 0,则 ya 的阶也为 n,所以 n x。由于 x 是 n 的因子,所以有 x = n, y = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  143. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . .

    . . . . . 现在证明剩下的部分:当阶有限时,必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy; xya = 0 ⇒ x(ya) = 0; 若 ya = 0,则有 n y,但 y 是 n 的因子,所 以 x = 1, y = n; 若 ya = 0,则 ya 的阶也为 n,所以 n x。由于 x 是 n 的因子,所以有 x = n, y = 1; 从上面的讨论可知,n 没有非平凡的因子,所以 n 是一个 素数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  144. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  145. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环, . . . 1 当 R 的加法群 (R, +) 中非零元的阶为无限时,称 R 的 特征为零,记为 CharR = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  146. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 . 定义

    . . . . . . . . 设 R 是无零因子环, . . . 1 当 R 的加法群 (R, +) 中非零元的阶为无限时,称 R 的 特征为零,记为 CharR = 0; . . . 2 当 R 的加法群 (R, +) 为素数 p 时,称 R 的特征为 p, 记为 CharR = p. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  147. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . §7.2 子环、理想和商环 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  148. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是一个环,S 是 R 的非空子集,如果 S 关于 R 的运算也构成环,则称 S 是 R 的子环. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  149. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是一个环,S 是 R 的非空子集,如果 S 关于 R 的运算也构成环,则称 S 是 R 的子环. . Example . . . . . . . . 整数环 Z 是有理数环 Q 的子环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  150. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  151. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环; . . . . . . . mZ 在 Z 的加法和乘法下封闭; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  152. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环; . . . . . . . mZ 在 Z 的加法和乘法下封闭; 容易看出 mZ 在 Z 的加法和乘法下构成一个环; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  153. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环; . . . . . . . mZ 在 Z 的加法和乘法下封闭; 容易看出 mZ 在 Z 的加法和乘法下构成一个环; mZ 是 Z 的子环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  154. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个 子环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  155. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个 子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  156. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个 子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 显然在 F[x] 的加乘运算下,F0 是封闭的; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  157. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个 子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 显然在 F[x] 的加乘运算下,F0 是封闭的; 容易看出,在 F[x] 的加乘运算下,F0 构成一个环; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  158. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个 子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 显然在 F[x] 的加乘运算下,F0 是封闭的; 容易看出,在 F[x] 的加乘运算下,F0 构成一个环; F0 是 F[x] 的子环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  159. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集,则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为:对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  160. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集,则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为:对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  161. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集,则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为:对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性 显然 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  162. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集,则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为:对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性 显然 为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  163. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集,则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为:对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性 显然 为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ? . . . 2 充分性 (S, +) 是加法子群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  164. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集,则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为:对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性 显然 为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ? . . . 2 充分性 (S, +) 是加法子群; S 对乘法封闭; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  165. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集,则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为:对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性 显然 为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ? . . . 2 充分性 (S, +) 是加法子群; S 对乘法封闭; 显然满足结合律,分配律等。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  166. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时,有个重要的概念—正规子群。通过它,我们 可以得到 商结构(商群)。那么,正规子群在环中相对应的概 念是什么呢? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  167. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时,有个重要的概念—正规子群。通过它,我们 可以得到 商结构(商群)。那么,正规子群在环中相对应的概 念是什么呢? . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  168. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时,有个重要的概念—正规子群。通过它,我们 可以得到 商结构(商群)。那么,正规子群在环中相对应的概 念是什么呢? . . . . . . . . . . 1 加法群是环的基础部分,可以取一个加法正规子群来构造商 结构(注意交换群的任意子群都是正规的)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  169. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时,有个重要的概念—正规子群。通过它,我们 可以得到 商结构(商群)。那么,正规子群在环中相对应的概 念是什么呢? . . . . . . . . . . 1 加法群是环的基础部分,可以取一个加法正规子群来构造商 结构(注意交换群的任意子群都是正规的)。 . . . 2 (a + N) + (b + N) = (a + b) + N 是自恰的(well-defined); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  170. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时,有个重要的概念—正规子群。通过它,我们 可以得到 商结构(商群)。那么,正规子群在环中相对应的概 念是什么呢? . . . . . . . . . . 1 加法群是环的基础部分,可以取一个加法正规子群来构造商 结构(注意交换群的任意子群都是正规的)。 . . . 2 (a + N) + (b + N) = (a + b) + N 是自恰的(well-defined); . . . 3 (a + N)(b + N) = ab + N 是自恰的吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  171. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  172. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  173. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  174. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  175. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). . . . 5 如果 Nb ⊂ N 以及 a N ⊂ N 就有 ab − a b ∈ N,也就是 (a + N)(b + N) = (a + N)(b + N). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  176. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). . . . 5 如果 Nb ⊂ N 以及 a N ⊂ N 就有 ab − a b ∈ N,也就是 (a + N)(b + N) = (a + N)(b + N). . . . . . . . 对任意 x ∈ R,N 最好能满足 xN ⊂ R 以及 Nx ⊂ R. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  177. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环, I 是 R 的一个子环,如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  178. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环, I 是 R 的一个子环,如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。 . . . . . . . 一个环至少有两个理想, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  179. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环, I 是 R 的一个子环,如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。 . . . . . . . 一个环至少有两个理想,即环 R 本身及 {0},这两个理想称为 环 R 的平凡理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  180. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想,在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算,且 R/I 关于加法,乘法构 成一个环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  181. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想,在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算,且 R/I 关于加法,乘法构 成一个环。 . . . . . . . . . . 1 根据前面的讨论,这里的加、乘运算定义是自恰的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  182. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想,在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算,且 R/I 关于加法,乘法构 成一个环。 . . . . . . . . . . 1 根据前面的讨论,这里的加、乘运算定义是自恰的。 . . . 2 环 R/I 称为 R 关于理想 I 的商环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  183. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想,在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算,且 R/I 关于加法,乘法构 成一个环。 . . . . . . . . . . 1 根据前面的讨论,这里的加、乘运算定义是自恰的。 . . . 2 环 R/I 称为 R 关于理想 I 的商环。 . . . 3 在讨论商环时,我们一般把 x + I 记为 ¯ x。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  184. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 在进一步讨论商环前,我们需要先研究一下理想的性质和结构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  185. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  186. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki , 有 a, b ∈ Ki ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  187. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki , 有 a, b ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 a − b ∈ Ki 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  188. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki , 有 a, b ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  189. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki , 有 a, b ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ; ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R,有 a ∈ Ki ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  190. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki , 有 a, b ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ; ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R,有 a ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 ar, ra ∈ Ki 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  191. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki , 有 a, b ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ; ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R,有 a ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 ar, ra ∈ Ki ⇒ ar, ra ∈ i∈I Ki ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  192. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇,则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki , 有 a, b ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ; ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R,有 a ∈ Ki ; 因为 Ki 是理想,所以 ar, ra ∈ Ki ⇒ ar, ra ∈ i∈I Ki ; i∈I Ki 是 R 的一个理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  193. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集,包含 A 的全部理想的交称为 A 的生 成理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  194. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集,包含 A 的全部理想的交称为 A 的生 成理想。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  195. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集,包含 A 的全部理想的交称为 A 的生 成理想。 . . . . . . . . . . 1 A 的生成理想一定存在吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  196. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集,包含 A 的全部理想的交称为 A 的生 成理想。 . . . . . . . . . . 1 A 的生成理想一定存在吗? . . . 2 A 的生成理想是包含 A 的理想中最小的一个。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  197. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集,包含 A 的全部理想的交称为 A 的生 成理想。 . . . . . . . . . . 1 A 的生成理想一定存在吗? . . . 2 A 的生成理想是包含 A 的理想中最小的一个。 . . . 3 如果 A 只包含一个元素 a, 则 A 的生成理想应该具有什 么样的形式? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  198. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  199. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  200. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  201. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  202. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  203. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. . (为何没有列出) . . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  204. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. . (为何没有列出) . . . . . . . . . . . 1 x1x2a; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  205. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. . (为何没有列出) . . . . . . . . . . . 1 x1x2a; . . . 2 nxa. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  206. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 由 R 中一个元素 a 生成的理想称为主理想,记为 (a), 则 (a) = { ∑ xiayi + sa + at + na | xi, yi, s, t ∈ R, n ∈ Z } , 其中和式 ∑ 为有限和。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  207. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 由 R 中一个元素 a 生成的理想称为主理想,记为 (a), 则 (a) = { ∑ xiayi + sa + at + na | xi, yi, s, t ∈ R, n ∈ Z } , 其中和式 ∑ 为有限和。 . . . . . . . . . . 1 如果 R 是交换环,则 (a) = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z}. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  208. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 由 R 中一个元素 a 生成的理想称为主理想,记为 (a), 则 (a) = { ∑ xiayi + sa + at + na | xi, yi, s, t ∈ R, n ∈ Z } , 其中和式 ∑ 为有限和。 . . . . . . . . . . 1 如果 R 是交换环,则 (a) = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z}. . . . 2 如果 R 是有单位的交换环,则 (a) = {ra | r ∈ R}. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  209. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . Z 的理想 mZ 看由一个元 m 生成,即 (m) = mZ. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  210. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  211. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  212. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想,d 为 I 中最小正整数; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  213. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想,d 为 I 中最小正整数; . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  214. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想,d 为 I 中最小正整数; . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  215. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想,d 为 I 中最小正整数; . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I; . . . 4 所以 r = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  216. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想,d 为 I 中最小正整数; . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I; . . . 4 所以 r = 0; . . . 5 a = dq ∈ (d),也就是 I ⊆ (d)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  217. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想,d 为 I 中最小正整数; . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I; . . . 4 所以 r = 0; . . . 5 a = dq ∈ (d),也就是 I ⊆ (d)。 . . . 6 显然 (d) ⊆ I,故 I = (d)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  218. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想,商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  219. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想,商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  220. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想,商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  221. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想,商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]; a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  222. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想,商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]; a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} = [a]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  223. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想,商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]; a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} = [a]; (a + (n)) + (b + (n)) = (a + b) + n,相当 于 [a] + [b] = [a + b]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  224. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想,商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]; a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} = [a]; (a + (n)) + (b + (n)) = (a + b) + n,相当 于 [a] + [b] = [a + b]; (a + (n))(b + (n)) = (ab) + n,相当于 [a] · [b] = [ab]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  225. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . F 是域,(x) 是环 F[x] 的理想,商环 F[x]/(x) 具有什么形式? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  226. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . F 是域,(x) 是环 F[x] 的理想,商环 F[x]/(x) 具有什么形式? . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  227. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . F 是域,(x) 是环 F[x] 的理想,商环 F[x]/(x) 具有什么形式? . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ; 显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  228. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . F 是域,(x) 是环 F[x] 的理想,商环 F[x]/(x) 具有什么形式? . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ; 显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}; 由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成: f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  229. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . F 是域,(x) 是环 F[x] 的理想,商环 F[x]/(x) 具有什么形式? . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ; 显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}; 由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成: f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 有 f(x) − a = q(x)x ∈ (x),所以 f(x) + (x) = a + (x); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  230. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . F 是域,(x) 是环 F[x] 的理想,商环 F[x]/(x) 具有什么形式? . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ; 显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}; 由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成: f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 有 f(x) − a = q(x)x ∈ (x),所以 f(x) + (x) = a + (x); 所以有: F[x] = {a + (x) | a ∈ F} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  231. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . F 是域,(x) 是环 F[x] 的理想,商环 F[x]/(x) 具有什么形式? . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ; 显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}; 由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成: f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 有 f(x) − a = q(x)x ∈ (x),所以 f(x) + (x) = a + (x); 所以有: F[x] = {a + (x) | a ∈ F} 这个表达还可以进一步精简吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  232. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环,φ 是 R 到 R 的一个映射,如果对于 任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  233. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环,φ 是 R 到 R 的一个映射,如果对于 任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  234. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环,φ 是 R 到 R 的一个映射,如果对于 任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . . . . 1 若 φ 是单射,又是同态,则 φ 称为单同态; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  235. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环,φ 是 R 到 R 的一个映射,如果对于 任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . . . . 1 若 φ 是单射,又是同态,则 φ 称为单同态; . . . 2 若 φ 是满射,又是同态,则 φ 称为满同态; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  236. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环,φ 是 R 到 R 的一个映射,如果对于 任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . . . . 1 若 φ 是单射,又是同态,则 φ 称为单同态; . . . 2 若 φ 是满射,又是同态,则 φ 称为满同态; . . . 3 若 φ 既是单射又是满射,则 φ 称为同构,记为 R R 。 此时也称 R 和 R 是同构的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  237. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想,商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  238. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想,商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射: φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  239. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想,商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射: φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x),则 x|a − b 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  240. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想,商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射: φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x),则 x|a − b,故 a = b; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  241. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想,商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射: φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x),则 x|a − b,故 a = b; 虽然 ϕ 是在剩余类上定义的,但不会产生歧义。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  242. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想,商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射: φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x),则 x|a − b,故 a = b; 虽然 ϕ 是在剩余类上定义的,但不会产生歧义。 剩下的验证是平凡的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  243. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  244. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  245. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  246. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  247. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  248. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y); f(xy) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  249. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y); f(xy) = [xy] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  250. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y); f(xy) = [xy] = [x] · [y] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  251. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y); f(xy) = [xy] = [x] · [y] = f(x) · f(y); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  252. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y); f(xy) = [xy] = [x] · [y] = f(x) · f(y); f 显然是满的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  253. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y); f(xy) = [xy] = [x] · [y] = f(x) · f(y); f 显然是满的。 f 是 Z 到 Zn 的满同态。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  254. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理 设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态,那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想,且 R/Ker(f) R . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  255. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理 设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态,那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想,且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  256. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理 设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态,那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想,且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } . . . 2 {f−1(b) | b ∈ R } 构成 R 的一个划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  257. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理 设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态,那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想,且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } . . . 2 {f−1(b) | b ∈ R } 构成 R 的一个划分。 . . . 3 而 f−1(0) = Ker(f) 是 R 的一个理想; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  258. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理 设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态,那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想,且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } . . . 2 {f−1(b) | b ∈ R } 构成 R 的一个划分。 . . . 3 而 f−1(0) = Ker(f) 是 R 的一个理想; . . . 4 这个划分刚好对应 R 对 Ker(f) 的陪集划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  259. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 推论 . . . . . . . . 设 R 是一个环,I 是 R 的一个理想,则从 R 到 R/I 总有一个 满同态 φ : φ(a) = a + I. φ 称为自然同态。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  260. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 P 是环 R 的一个理想,若任意 a, b ∈ R,且 ab ∈ P, 都 有 a ∈ P 或 b ∈ P, 则称 P 是 R 的一个素理想. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  261. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是素理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  262. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5),有 5 | xy; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  263. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5),有 5 | xy; 由于 5 是个素数,所以 5 | x 或 5 | y; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  264. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5),有 5 | xy; 由于 5 是个素数,所以 5 | x 或 5 | y; 于是有 x ∈ (5) 或 y ∈ (5); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  265. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5),有 5 | xy; 由于 5 是个素数,所以 5 | x 或 5 | y; 于是有 x ∈ (5) 或 y ∈ (5); (5) 是个素理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  266. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是素理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  267. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p),有 5 | xy; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  268. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p),有 5 | xy; 由于 p 是个素数,所以 p | x 或 p | y; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  269. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p),有 5 | xy; 由于 p 是个素数,所以 p | x 或 p | y; 于是有 x ∈ (p) 或 y ∈ (p); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  270. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p),有 5 | xy; 由于 p 是个素数,所以 p | x 或 p | y; 于是有 x ∈ (p) 或 y ∈ (p); (p) 是个素理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  271. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 M 是环 R 的一个理想,若 R 中任一理想 I,满 足 I ⊃ M, I = M, 均有 I = R,则称 M 是 R 的极大理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  272. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  273. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  274. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); x ∈ (5),故 5 x; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  275. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); x ∈ (5),故 5 x; 由于 5 是个素数,所以 (5, x) = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  276. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); x ∈ (5),故 5 x; 由于 5 是个素数,所以 (5, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  277. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); x ∈ (5),故 5 x; 由于 5 是个素数,所以 (5, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1; 5, x ∈ I,所以 1 = 5s + st ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  278. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); x ∈ (5),故 5 x; 由于 5 是个素数,所以 (5, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1; 5, x ∈ I,所以 1 = 5s + st ∈ I; 对任意 r ∈ R,由于 1 ∈ I,有 r · 1 ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  279. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); x ∈ (5),故 5 x; 由于 5 是个素数,所以 (5, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1; 5, x ∈ I,所以 1 = 5s + st ∈ I; 对任意 r ∈ R,由于 1 ∈ I,有 r · 1 ∈ I; I = R, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  280. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5),取 x ∈ I\(5); x ∈ (5),故 5 x; 由于 5 是个素数,所以 (5, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1; 5, x ∈ I,所以 1 = 5s + st ∈ I; 对任意 r ∈ R,由于 1 ∈ I,有 r · 1 ∈ I; I = R, ,故 (5) 是极大理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  281. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  282. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  283. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); x ∈ (p),故 p x; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  284. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); x ∈ (p),故 p x; 由于 p 是个素数,所以 (p, x) = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  285. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); x ∈ (p),故 p x; 由于 p 是个素数,所以 (p, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  286. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); x ∈ (p),故 p x; 由于 p 是个素数,所以 (p, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1; p, x ∈ I,所以 1 = ps + st ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  287. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); x ∈ (p),故 p x; 由于 p 是个素数,所以 (p, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1; p, x ∈ I,所以 1 = ps + st ∈ I; 对任意 r ∈ R,由于 1 ∈ I,有 r · 1 ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  288. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); x ∈ (p),故 p x; 由于 p 是个素数,所以 (p, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1; p, x ∈ I,所以 1 = ps + st ∈ I; 对任意 r ∈ R,由于 1 ∈ I,有 r · 1 ∈ I; I = R, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  289. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中,素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p),取 x ∈ I\(p); x ∈ (p),故 p x; 由于 p 是个素数,所以 (p, x) = 1; 存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1; p, x ∈ I,所以 1 = ps + st ∈ I; 对任意 r ∈ R,由于 1 ∈ I,有 r · 1 ∈ I; I = R, ,故 (p) 是极大理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  290. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 A 是环 R 的子集,则包含 A 的最小理想称为 A 生成的理 想,记 作 A 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  291. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定义 . . . . . . . . 设 A 是环 R 的子集,则包含 A 的最小理想称为 A 生成的理 想,记 作 A 。 . . . . . . . 以前我们讨论过一个元素 a 生成的理想 (a),它实际上就是集 合 {a} 生成的理想 {a} 。关于此点,可以根据定义自行验证。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  292. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想,a ∈ R\I,则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  293. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想,a ∈ R\I,则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  294. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想,a ∈ R\I,则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; . . . 2 设 B 是任意包含 I ∪ {a} 的理想,有 B ⊃ A; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  295. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想,a ∈ R\I,则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; . . . 2 设 B 是任意包含 I ∪ {a} 的理想,有 B ⊃ A; . . . 3 A 是包含 I ∪ {a} 的最小理想,即 I ∪ {a} 的生成理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  296. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 R 是一个有单位元的交换环,I 是 R 的理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  297. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 R 是一个有单位元的交换环,I 是 R 的理想。 . . . 1 若 I 是 R 的素理想,则 R/I 是一个整环; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  298. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . 定理 . . . . . . . . 设 R 是一个有单位元的交换环,I 是 R 的理想。 . . . 1 若 I 是 R 的素理想,则 R/I 是一个整环; . . . 2 若 I 是 R 的极大理想,则 R/I 是域。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  299. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 整环部分: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  300. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 整环部分: . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  301. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 整环部分: . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  302. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 整环部分: . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  303. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 整环部分: . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; . . . 3 由于 I 是素理想,所以 a ∈ I 或者 b ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  304. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 整环部分: . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; . . . 3 由于 I 是素理想,所以 a ∈ I 或者 b ∈ I; . . . 4 这也就是 ¯ a = ¯ 0 或 ¯ b = ¯ 0, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  305. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 整环部分: . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; . . . 3 由于 I 是素理想,所以 a ∈ I 或者 b ∈ I; . . . 4 这也就是 ¯ a = ¯ 0 或 ¯ b = ¯ 0, R/I 中没有零因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  306. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  307. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  308. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆; . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0,即 a / ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  309. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆; . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0,即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大,所以 I + (a) = R; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  310. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆; . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0,即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大,所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a),所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  311. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆; . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0,即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大,所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a),所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; . . . 5 ra = 1 + i ∈ 1 + I; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  312. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆; . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0,即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大,所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a),所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; . . . 5 ra = 1 + i ∈ 1 + I; . . . 6 ra = ¯ 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  313. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 . . . . . . . 域部分: . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆; . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0,即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大,所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a),所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; . . . 5 ra = 1 + i ∈ 1 + I; . . . 6 ra = ¯ 1 =⇒ ¯ r¯ a = ¯ 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  314. . . . . . . 环的定义 子环、理想和商环 子环 理想和商环

    同态 本节完,谢谢! 磊张 印晓 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》