. . . . . . . . 设 R 是一个非空集合，在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法，并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群，即 (R, +) 是一个群，且对任 意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. . . . 2 R 关于乘法 “·” 适合结合律，即对任意 a, b, c ∈ R, 有 (a · b) · c = a · (b · c); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . . . . 设 R 是一个非空集合，在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法，并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群，即 (R, +) 是一个群，且对任 意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. . . . 2 R 关于乘法 “·” 适合结合律，即对任意 a, b, c ∈ R, 有 (a · b) · c = a · (b · c); . . . 3 分配律成立，即对任意 a, b, c ∈ R，有 a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = b · a + c · a. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . . . . . . . 1 在环 R 中，加法的单位元称为零元，记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元，记为 −a。 . . . 3 如果环 R 的乘法适合交换律，即 ab = ba 对任 意 a, b ∈ R 成立，那么称 R 为交换环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . . . . . . . 1 在环 R 中，加法的单位元称为零元，记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元，记为 −a。 . . . 3 如果环 R 的乘法适合交换律，即 ab = ba 对任 意 a, b ∈ R 成立，那么称 R 为交换环。 . . . 4 环的乘法不一定有单位元，若有，则称 R 是有单位元的 环，并用 1 表示该环的单位元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0，且 R 中无零因子，所 以 b − c = 0， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0，且 R 中无零因子，所 以 b − c = 0，即 a = b； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0，且 R 中无零因子，所 以 b − c = 0，即 a = b； . . . 2 证明与上面类似。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0； 若 ya = 0，则有 n y，但 y 是 n 的因子，所 以 x = 1, y = n； 若 ya = 0，则 ya 的阶也为 n，所以 n x。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0； 若 ya = 0，则有 n y，但 y 是 n 的因子，所 以 x = 1, y = n； 若 ya = 0，则 ya 的阶也为 n，所以 n x。由于 x 是 n 的因子，所以有 x = n, y = 1； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0； 若 ya = 0，则有 n y，但 y 是 n 的因子，所 以 x = 1, y = n； 若 ya = 0，则 ya 的阶也为 n，所以 n x。由于 x 是 n 的因子，所以有 x = n, y = 1； 从上面的讨论可知，n 没有非平凡的因子，所以 n 是一个 素数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件 为：对 任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性 显然 为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ？ 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). . . . 5 如果 Nb ⊂ N 以及 a N ⊂ N 就有 ab − a b ∈ N，也就是 (a + N)(b + N) = (a + N)(b + N). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). . . . 5 如果 Nb ⊂ N 以及 a N ⊂ N 就有 ab − a b ∈ N，也就是 (a + N)(b + N) = (a + N)(b + N). . . . . . . . 对任意 x ∈ R，N 最好能满足 xN ⊂ R 以及 Nx ⊂ R. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环， I 是 R 的一个子环，如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。 . . . . . . . 一个环至少有两个理想， 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环， I 是 R 的一个子环，如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。 . . . . . . . 一个环至少有两个理想，即环 R 本身及 {0}，这两个理想称为 环 R 的平凡理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ， 有 a, b ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ， 有 a, b ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ， 有 a, b ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ， 有 a, b ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 ar, ra ∈ Ki 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ， 有 a, b ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 ar, ra ∈ Ki ⇒ ar, ra ∈ i∈I Ki ； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的 理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ， 有 a, b ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ； 因为 Ki 是理想，所以 ar, ra ∈ Ki ⇒ ar, ra ∈ i∈I Ki ； i∈I Ki 是 R 的一个理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环，φ 是 R 到 R 的一个映射，如果对于 任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理 设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态，那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想，且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } . . . 2 {f−1(b) | b ∈ R } 构成 R 的一个划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; . . . 2 设 B 是任意包含 I ∪ {a} 的理想,有 B ⊃ A; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; . . . 2 设 B 是任意包含 I ∪ {a} 的理想,有 B ⊃ A; . . . 3 A 是包含 I ∪ {a} 的最小理想，即 I ∪ {a} 的生成理想。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
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