信息安全数学基础：第7章：环（上）

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 环（上）广州大学数学与信息科学学院 October 14, 2009 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . §7.1 环的定义广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . 定义
. . . . . . . . 设 R 是一个非空集合，在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法，并满足下列条件: 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个非空集合，在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法，并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群，即 (R, +) 是一个群，且对任意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个非空集合，在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法，并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群，即 (R, +) 是一个群，且对任意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. . . . 2 R 关于乘法 “·” 适合结合律，即对任意 a, b, c ∈ R, 有 (a · b) · c = a · (b · c); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个非空集合，在 R 定义有两种代数运算 “+” 和 “·” 分别称为加法和乘法，并满足下列条件: . . . 1 (R, +) 是一个交换群，即 (R, +) 是一个群，且对任意 a, b ∈ R, 有 a + b = b + a. . . . 2 R 关于乘法 “·” 适合结合律，即对任意 a, b, c ∈ R, 有 (a · b) · c = a · (b · c); . . . 3 分配律成立，即对任意 a, b, c ∈ R，有 a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = b · a + c · a. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 则称 R 关于 “+” 和 “·” 构成一个环，记为 (R, +, ·). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . Example
. . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是个交换群；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是个交换群； . . . 2 乘法满足结合律；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 整数集 Z 关于整数的加法、乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是个交换群； . . . 2 乘法满足结合律； . . . 3 加法对乘法满足分配律。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合，F[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合，F[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合，F[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (F[x], +) 是一个交换群；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合，F[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (F[x], +) 是一个交换群； . . . 2 F[x] 的乘法 “·” 满足结合律；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 F[x] 表示数域 F 上所有一元多项式组成的集合，F[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (F[x], +) 是一个交换群； . . . 2 F[x] 的乘法 “·” 满足结合律； . . . 3 F[x] 中的加法满足对乘法的分配律。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体，Mn(R) 关于矩阵的加法和乘法构成一个环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体，Mn(R) 关于矩阵的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体，Mn(R) 关于矩阵的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Mn(R), +) 是一个交换群；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体，Mn(R) 关于矩阵的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Mn(R), +) 是一个交换群； . . . 2 Mn(R) 的乘法 “·” 满足结合律；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体，Mn(R) 关于矩阵的加法和乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 (Mn(R), +) 是一个交换群； . . . 2 Mn(R) 的乘法 “·” 满足结合律； . . . 3 Mn(R) 中的加法满足对乘法的分配律。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 在环 R 中，加法的单位元称为零元，记为 0; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 在环 R 中，加法的单位元称为零元，记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元，记为 −a。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 在环 R 中，加法的单位元称为零元，记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元，记为 −a。 . . . 3 如果环 R 的乘法适合交换律，即 ab = ba 对任意 a, b ∈ R 成立，那么称 R 为交换环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 在环 R 中，加法的单位元称为零元，记为 0; . . . 2 a ∈ R 关于加法的逆元称为 a 的负元，记为 −a。 . . . 3 如果环 R 的乘法适合交换律，即 ab = ba 对任意 a, b ∈ R 成立，那么称 R 为交换环。 . . . 4 环的乘法不一定有单位元，若有，则称 R 是有单位元的环，并用 1 表示该环的单位元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . 定理
. . . . . . . . 设 R 是一个环，a, b ∈ R, m, n 是正整数，则广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，a, b ∈ R, m, n 是正整数，则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，a, b ∈ R, m, n 是正整数，则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，a, b ∈ R, m, n 是正整数，则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . 3 m(ab) = (ma)b = a(mb); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，a, b ∈ R, m, n 是正整数，则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . 3 m(ab) = (ma)b = a(mb); . . . 4 am · an = am+n; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，a, b ∈ R, m, n 是正整数，则 . . . 1 a · 0 = 0 · a = 0: . . . 2 a(−b) = (−a)b = −(ab); . . . 3 m(ab) = (ma)b = a(mb); . . . 4 am · an = am+n; . . . 5 (am)n = amn. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 1，a · 0 = 0 · a = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 1，a · 0 = 0 · a = 0； . . . . . . . a · 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 1，a · 0 = 0 · a = 0； . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 1，a · 0 = 0 · a = 0； . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 1，a · 0 = 0 · a = 0； . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 两边加上 −a · 0 有 0 = a · 0。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 1，a · 0 = 0 · a = 0； . . . . . . . a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 两边加上 −a · 0 有 0 = a · 0。类似可以证明：0 · a = 0。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)； . . . . . . . a(−b) + ab 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)； . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)； . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)； . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)； . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 两边加上 −(ab) 有 a(−b) = −(ab)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)； . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 两边加上 −(ab) 有 a(−b) = −(ab)；类似可以证明：(−a)b = −(ab)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 证明 2，a(−b) = (−a)b = −(ab)； . . . . . . . a(−b) + ab = a(−b + b) = a · 0 = 0 两边加上 −(ab) 有 a(−b) = −(ab)；类似可以证明：(−a)b = −(ab)。 . . . . . . . 剩下几个小题作为练习，请自己解决。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. . . . . . . . . . . 1 Zn 关于上述加法和乘法构成一个有单位元 [1] 的交换环；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} 为整数模 n 的剩余类构成的集合。在 Zn 上定义加法和乘法 [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b]. . . . . . . . . . . 1 Zn 关于上述加法和乘法构成一个有单位元 [1] 的交换环； . . . 2 这个环称为整数模 n 的剩余类环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是一个环，如果存在 a, b ∈ R, a = 0, b = 0，但 ab = 0, 那么称 R 是有零因子环，否则称 R 为无零因子环. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 是有零因子环，Z7 是无零因子环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 是有零因子环，Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 是有零因子环，Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 是有零因子环，Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] = 0； . . . 2 列出非零元的乘法表：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 是有零因子环，Z7 是无零因子环。 . . . . . . . . . . 1 [2] · [3] = [6] = 0； . . . 2 列出非零元的乘法表： · [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [2] [5] [1] [4] [4] [2] [6] [3] [5] [4] [2] [6] [1] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 请给出其他有零因子环和无零因子环的例子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0，且 R 中无零因子，所以 b − c = 0，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0，且 R 中无零因子，所以 b − c = 0，即 a = b；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，那么 . . . 1 若 a = 0, ab = ac, 则 b = c； . . . 2 若 a = 0, ba = ca, 则 b = c。 . . . . . . . . . . 1 ab = ac ⇒ ab − ac = 0 ⇒ a(b − c) = 0 因为 a = 0，且 R 中无零因子，所以 b − c = 0，即 a = b； . . . 2 证明与上面类似。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，如果 R 满足广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，如果 R 满足 . . . 1 有单位元；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，如果 R 满足 . . . 1 有单位元； . . . 2 乘法交换律；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，如果 R 满足 . . . 1 有单位元； . . . 2 乘法交换律； . . . 3 无零因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，如果 R 满足 . . . 1 有单位元； . . . 2 乘法交换律； . . . 3 无零因子。则称 R 是整环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个环，如果 R 满足 . . . 1 有单位元； . . . 2 乘法交换律； . . . 3 无零因子。则称 R 是整环。 . . . . . . . 有单位的交换环，无零因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环； . . . . . . . . . . 1 交换性显然；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环； . . . . . . . . . . 1 交换性显然；有单位元 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环； . . . . . . . . . . 1 交换性显然；有单位元 1；显然无零因子；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环； . . . . . . . . . . 1 交换性显然；有单位元 1；显然无零因子； . . . 2 [2] · [3] = [0]，有零因子；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环； . . . . . . . . . . 1 交换性显然；有单位元 1；显然无零因子； . . . 2 [2] · [3] = [0]，有零因子； . . . 3 交换性显然；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环； . . . . . . . . . . 1 交换性显然；有单位元 1；显然无零因子； . . . 2 [2] · [3] = [0]，有零因子； . . . 3 交换性显然；有单位元 [1]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . . . 1 Z 是整环； . . . 2 Z6 不是整环； . . . 3 Z7 是整环； . . . . . . . . . . 1 交换性显然；有单位元 1；显然无零因子； . . . 2 [2] · [3] = [0]，有零因子； . . . 3 交换性显然；有单位元 [1]；由前面的例子可以知道，没有零因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab，1 < a, b < n；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab，1 < a, b < n； [a] = [0], [b] = [0]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab，1 < a, b < n； [a] = [0], [b] = [0]； [a] · [b] = [ab] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab，1 < a, b < n； [a] = [0], [b] = [0]； [a] · [b] = [ab] = [n] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab，1 < a, b < n； [a] = [0], [b] = [0]； [a] · [b] = [ab] = [n] = [0]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab，1 < a, b < n； [a] = [0], [b] = [0]； [a] · [b] = [ab] = [n] = [0]； Zn 有零因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是合数，则 Zn 不是整环。 . . . . . . . 设 n = ab，1 < a, b < n； [a] = [0], [b] = [0]； [a] · [b] = [ab] = [n] = [0]； Zn 有零因子。当 n 为合数时，Zn 不是整环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是素数，则 Zn 是整环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是素数，则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是素数，则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]；有 n | ab；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是素数，则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]；有 n | ab； n 是素数，所以 n | a 或 n | b；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 如果 n 是素数，则 Zn 是整环。 . . . . . . . 设 [a] · [b] = [0]；有 n | ab； n 是素数，所以 n | a 或 n | b； [a] = 0 或 [b] = 0。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Q[x] 是整环吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Q[x] 是整环吗？ . . . . . . . 是整环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是有单位元的环，a ∈ R，若存在 b ∈ R 使得 ab = ba = 1, 则称 a 是可逆元，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是有单位元的环，a ∈ R，若存在 b ∈ R 使得 ab = ba = 1, 则称 a 是可逆元，b 称为 a 的逆元，记为 a−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z7 中哪些元有逆？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z7 中哪些元有逆？ . . . . . . . 列出非零元的乘法表： · [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [6] [5] [4] [3] [2] [1] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z7 中哪些元有逆？ . . . . . . . 列出非零元的乘法表： · [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [6] [5] [4] [3] [2] [1] [1], [2], · · · , [6] 均有逆。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 中哪些元有逆？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 中哪些元有逆？ . . . . . . . 列出非零元的乘法表： · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 中哪些元有逆？ . . . . . . . 列出非零元的乘法表： · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 只有 [1], [5] 有逆元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 中哪些元有逆？ . . . . . . . 列出非零元的乘法表： · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 只有 [1], [5] 有逆元。仔细观察不难发现，有逆的元素均与 6 互素。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . Z6 中哪些元有逆？ . . . . . . . 列出非零元的乘法表： · [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [4] [1] 只有 [1], [5] 有逆元。仔细观察不难发现，有逆的元素均与 6 互素。而在上一个例子中(Z7)，有逆的元素均与 7 互素。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环， . . . 1 如果 R 中每个非零元均可逆，则称 R 是一个除环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环， . . . 1 如果 R 中每个非零元均可逆，则称 R 是一个除环。 . . . 2 交换的除环称为域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是至少含有两个元素的环， . . . 1 如果 R 中每个非零元均可逆，则称 R 是一个除环。 . . . 2 交换的除环称为域。 . . . . . . . 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 p 是一个素数，则 (Zp, +, ·) 是一个域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 p 是一个素数，则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0]，有 (a, p) = 1; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 p 是一个素数，则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0]，有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 p 是一个素数，则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0]，有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; . . . 3 as ≡ 1 (mod p); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 p 是一个素数，则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0]，有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; . . . 3 as ≡ 1 (mod p); . . . 4 [as] = [1] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 p 是一个素数，则 (Zp, +, ·) 是一个域。 . . . . . . . . . . 1 假定 [a] = [0]，有 (a, p) = 1; . . . 2 存在 s, t ∈ Z 使得 as + pt = 1; . . . 3 as ≡ 1 (mod p); . . . 4 [as] = [1] ⇒ [a] · [s] = [1]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0； 0 = mab 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0； 0 = mab = (ma)b 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0； 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0； 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0； n m，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0； 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0； n m，故 n = m。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0； 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0； n m，故 n = m。所以 R 中的非零元的阶要么都无限，要么都有限；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是一个无零因子环，则 R 中非零元的加法阶相等，或都为 ∞，或都为某一有限素数。 . . . . . . . 设 a = 0，且 a 的阶为 n = ∞；设 b = 0，则有 nab = (na)b = 0； 0 = nab = a(nb)，由于 R 中没有零因子，所以 nb = 0；故 b 的阶是个有限数，设为 m，有 m n； mab = a(mb) = 0； 0 = mab = (ma)b ⇒ ma = 0； n m，故 n = m。所以 R 中的非零元的阶要么都无限，要么都有限；在有限的情形下，不同元素的阶都是一样大的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0；若 ya = 0，则有 n y，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0；若 ya = 0，则有 n y，但 y 是 n 的因子，所以 x = 1, y = n；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0；若 ya = 0，则有 n y，但 y 是 n 的因子，所以 x = 1, y = n；若 ya = 0，则 ya 的阶也为 n，所以 n x。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0；若 ya = 0，则有 n y，但 y 是 n 的因子，所以 x = 1, y = n；若 ya = 0，则 ya 的阶也为 n，所以 n x。由于 x 是 n 的因子，所以有 x = n, y = 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环 . .
. . . . . 现在证明剩下的部分：当阶有限时，必定是个素数。 . . . . . . . 设 a 的阶为 n = xy； xya = 0 ⇒ x(ya) = 0；若 ya = 0，则有 n y，但 y 是 n 的因子，所以 x = 1, y = n；若 ya = 0，则 ya 的阶也为 n，所以 n x。由于 x 是 n 的因子，所以有 x = n, y = 1；从上面的讨论可知，n 没有非平凡的因子，所以 n 是一个素数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环， . . . 1 当 R 的加法群 (R, +) 中非零元的阶为无限时，称 R 的特征为零，记为 CharR = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . 设 R 是无零因子环， . . . 1 当 R 的加法群 (R, +) 中非零元的阶为无限时，称 R 的特征为零，记为 CharR = 0； . . . 2 当 R 的加法群 (R, +) 为素数 p 时，称 R 的特征为 p，记为 CharR = p. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 环的定义子环、理想和商环子环理想和商环
同态 . . . . . . . §7.2 子环、理想和商环广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是一个环，S 是 R 的非空子集，如果 S 关于 R 的运算也构成环，则称 S 是 R 的子环. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是一个环，S 是 R 的非空子集，如果 S 关于 R 的运算也构成环，则称 S 是 R 的子环. . Example . . . . . . . . 整数环 Z 是有理数环 Q 的子环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环； . . . . . . . mZ 在 Z 的加法和乘法下封闭；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环； . . . . . . . mZ 在 Z 的加法和乘法下封闭；容易看出 mZ 在 Z 的加法和乘法下构成一个环；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (mZ, +, ·) = {mk | k ∈ Z} 是整数环 Z 的子环； . . . . . . . mZ 在 Z 的加法和乘法下封闭；容易看出 mZ 在 Z 的加法和乘法下构成一个环； mZ 是 Z 的子环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个子环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 显然在 F[x] 的加乘运算下，F0 是封闭的；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 显然在 F[x] 的加乘运算下，F0 是封闭的；容易看出，在 F[x] 的加乘运算下，F0 构成一个环；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 数域 F 上常数项为 0 的多项式全体构成多项式环 F[x] 的一个子环。 . . . . . . . 设 F 上常数项为 0 的多项式集合为 F0 = {f(x) | f(x) ∈ F[x], f(0) = 0}; 显然在 F[x] 的加乘运算下，F0 是封闭的；容易看出，在 F[x] 的加乘运算下，F0 构成一个环； F0 是 F[x] 的子环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件为：对任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件为：对任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件为：对任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性显然广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件为：对任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性显然为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件为：对任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性显然为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ？ . . . 2 充分性 (S, +) 是加法子群；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件为：对任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性显然为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ？ . . . 2 充分性 (S, +) 是加法子群； S 对乘法封闭；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 S 是环 R 的非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件为：对任意 a, b ∈ S, 均有 a − b ∈ S, ab ∈ S。 . . . . . . . . . . 1 必要性显然为什么是 ab ∈ S 而不是 ab−1 ∈ S ？ . . . 2 充分性 (S, +) 是加法子群； S 对乘法封闭；显然满足结合律，分配律等。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时，有个重要的概念—正规子群。通过它，我们可以得到商结构（商群）。那么，正规子群在环中相对应的概念是什么呢？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时，有个重要的概念—正规子群。通过它，我们可以得到商结构（商群）。那么，正规子群在环中相对应的概念是什么呢？ . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时，有个重要的概念—正规子群。通过它，我们可以得到商结构（商群）。那么，正规子群在环中相对应的概念是什么呢？ . . . . . . . . . . 1 加法群是环的基础部分，可以取一个加法正规子群来构造商结构(注意交换群的任意子群都是正规的)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时，有个重要的概念—正规子群。通过它，我们可以得到商结构（商群）。那么，正规子群在环中相对应的概念是什么呢？ . . . . . . . . . . 1 加法群是环的基础部分，可以取一个加法正规子群来构造商结构(注意交换群的任意子群都是正规的)。 . . . 2 (a + N) + (b + N) = (a + b) + N 是自恰的(well-defined); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (?) . . . . . . . . 在学习群的理论时，有个重要的概念—正规子群。通过它，我们可以得到商结构（商群）。那么，正规子群在环中相对应的概念是什么呢？ . . . . . . . . . . 1 加法群是环的基础部分，可以取一个加法正规子群来构造商结构(注意交换群的任意子群都是正规的)。 . . . 2 (a + N) + (b + N) = (a + b) + N 是自恰的(well-defined); . . . 3 (a + N)(b + N) = ab + N 是自恰的吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). . . . 5 如果 Nb ⊂ N 以及 a N ⊂ N 就有 ab − a b ∈ N，也就是 (a + N)(b + N) = (a + N)(b + N). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . . . . 1 设 a + N = a + N, b + N = b + N; . . . 2 (a + N)(b + N) 应该等于 (a + N)(b + N); . . . 3 ab + N 应该等于 a b + N, 也就是 ab − a b ∈ N; . . . 4 ab − a b + a b − a b = (a − a )b + a (b − b ). . . . 5 如果 Nb ⊂ N 以及 a N ⊂ N 就有 ab − a b ∈ N，也就是 (a + N)(b + N) = (a + N)(b + N). . . . . . . . 对任意 x ∈ R，N 最好能满足 xN ⊂ R 以及 Nx ⊂ R. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环， I 是 R 的一个子环，如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环， I 是 R 的一个子环，如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。 . . . . . . . 一个环至少有两个理想，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 (R, +, ·) 是环， I 是 R 的一个子环，如果对任意的 a ∈ I 和任意 r ∈ R, 均有 ra ∈ I, ar ∈ I, 则称 I 是 R 的一个理想。 . . . . . . . 一个环至少有两个理想，即环 R 本身及 {0}，这两个理想称为环 R 的平凡理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想，在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算，且 R/I 关于加法，乘法构成一个环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想，在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算，且 R/I 关于加法，乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 根据前面的讨论，这里的加、乘运算定义是自恰的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想，在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算，且 R/I 关于加法，乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 根据前面的讨论，这里的加、乘运算定义是自恰的。 . . . 2 环 R/I 称为 R 关于理想 I 的商环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 I 是环 R 的理想，在加法商群 R/I 上定义如下的乘法 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (x + I) · (y + I) = (xy) + I 则上述定义是 R/I 上一个乘法运算，且 R/I 关于加法，乘法构成一个环。 . . . . . . . . . . 1 根据前面的讨论，这里的加、乘运算定义是自恰的。 . . . 2 环 R/I 称为 R 关于理想 I 的商环。 . . . 3 在讨论商环时，我们一般把 x + I 记为 ¯ x。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 在进一步讨论商环前，我们需要先研究一下理想的性质和结构。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ，有 a, b ∈ Ki ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ，有 a, b ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ，有 a, b ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ，有 a, b ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ，有 a, b ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 ar, ra ∈ Ki 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ，有 a, b ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 ar, ra ∈ Ki ⇒ ar, ra ∈ i∈I Ki ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 Ki, i ∈ I 是环 R 的理想簇，则 i∈I Ki 是环 R 的理想。 . . . . . . . ∀a, b ∈ i∈I Ki ，有 a, b ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 a − b ∈ Ki ⇒ a − b ∈ i∈I Ki ； ∀a ∈ I∈I Ki, r ∈ R，有 a ∈ Ki ；因为 Ki 是理想，所以 ar, ra ∈ Ki ⇒ ar, ra ∈ i∈I Ki ； i∈I Ki 是 R 的一个理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集，包含 A 的全部理想的交称为 A 的生成理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集，包含 A 的全部理想的交称为 A 的生成理想。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集，包含 A 的全部理想的交称为 A 的生成理想。 . . . . . . . . . . 1 A 的生成理想一定存在吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集，包含 A 的全部理想的交称为 A 的生成理想。 . . . . . . . . . . 1 A 的生成理想一定存在吗？ . . . 2 A 的生成理想是包含 A 的理想中最小的一个。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . A 是环 R 的一个子集，包含 A 的全部理想的交称为 A 的生成理想。 . . . . . . . . . . 1 A 的生成理想一定存在吗？ . . . 2 A 的生成理想是包含 A 的理想中最小的一个。 . . . 3 如果 A 只包含一个元素 a, 则 A 的生成理想应该具有什么样的形式？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. . (为何没有列出) . . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. . (为何没有列出) . . . . . . . . . . . 1 x1x2a; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . (应该包含形式) . . . . . . . . . . . 1 xa; . . . 2 ay; . . . 3 xay; . . . 4 na. . (为何没有列出) . . . . . . . . . . . 1 x1x2a; . . . 2 nxa. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 由 R 中一个元素 a 生成的理想称为主理想，记为 (a), 则 (a) = { ∑ xiayi + sa + at + na | xi, yi, s, t ∈ R, n ∈ Z } , 其中和式 ∑ 为有限和。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 由 R 中一个元素 a 生成的理想称为主理想，记为 (a), 则 (a) = { ∑ xiayi + sa + at + na | xi, yi, s, t ∈ R, n ∈ Z } , 其中和式 ∑ 为有限和。 . . . . . . . . . . 1 如果 R 是交换环，则 (a) = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z}. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 由 R 中一个元素 a 生成的理想称为主理想，记为 (a), 则 (a) = { ∑ xiayi + sa + at + na | xi, yi, s, t ∈ R, n ∈ Z } , 其中和式 ∑ 为有限和。 . . . . . . . . . . 1 如果 R 是交换环，则 (a) = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z}. . . . 2 如果 R 是有单位的交换环，则 (a) = {ra | r ∈ R}. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . Z 的理想 mZ 看由一个元 m 生成，即 (m) = mZ. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想，d 为 I 中最小正整数；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想，d 为 I 中最小正整数； . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想，d 为 I 中最小正整数； . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想，d 为 I 中最小正整数； . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I； . . . 4 所以 r = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想，d 为 I 中最小正整数； . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I； . . . 4 所以 r = 0； . . . 5 a = dq ∈ (d)，也就是 I ⊆ (d)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 整数环 Z 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 设 I 是 Z 中任一非零理想，d 为 I 中最小正整数； . . . 2 对 I 中任一元素 a, 有带余除法 a = dq + r, 0 r < d。 . . . 3 r = a − dq ∈ I； . . . 4 所以 r = 0； . . . 5 a = dq ∈ (d)，也就是 I ⊆ (d)。 . . . 6 显然 (d) ⊆ I，故 I = (d)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想，商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想，商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想，商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想，商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]； a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想，商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]； a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} = [a]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想，商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]； a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} = [a]； (a + (n)) + (b + (n)) = (a + b) + n，相当于 [a] + [b] = [a + b]；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . I = (n) 是整数环 Z 的一个理想，商环 Z/(n) 就是整数模 n 的剩余类环。 . . . . . . . (n) = {nk | k ∈ Z} = [0]； a + (n) = {a + nk | k ∈ Z} = [a]； (a + (n)) + (b + (n)) = (a + b) + n，相当于 [a] + [b] = [a + b]； (a + (n))(b + (n)) = (ab) + n，相当于 [a] · [b] = [ab]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . F 是域，(x) 是环 F[x] 的理想，商环 F[x]/(x) 具有什么形式？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . F 是域，(x) 是环 F[x] 的理想，商环 F[x]/(x) 具有什么形式？ . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . F 是域，(x) 是环 F[x] 的理想，商环 F[x]/(x) 具有什么形式？ . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ；显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . F 是域，(x) 是环 F[x] 的理想，商环 F[x]/(x) 具有什么形式？ . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ；显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}；由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . F 是域，(x) 是环 F[x] 的理想，商环 F[x]/(x) 具有什么形式？ . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ；显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}；由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 有 f(x) − a = q(x)x ∈ (x)，所以 f(x) + (x) = a + (x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . F 是域，(x) 是环 F[x] 的理想，商环 F[x]/(x) 具有什么形式？ . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ；显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}；由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 有 f(x) − a = q(x)x ∈ (x)，所以 f(x) + (x) = a + (x)；所以有： F[x] = {a + (x) | a ∈ F} 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . F 是域，(x) 是环 F[x] 的理想，商环 F[x]/(x) 具有什么形式？ . . . . . . . (x) = { xf(x) f(x) ∈ F[x] } ；显然 {f(x) + (x) | f(x) ∈ F}；由于任意 f(x) 总可以用带余除法写成： f(x) = q(x)x + a, a ∈ F 有 f(x) − a = q(x)x ∈ (x)，所以 f(x) + (x) = a + (x)；所以有： F[x] = {a + (x) | a ∈ F} 这个表达还可以进一步精简吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环，φ 是 R 到 R 的一个映射，如果对于任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环，φ 是 R 到 R 的一个映射，如果对于任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环，φ 是 R 到 R 的一个映射，如果对于任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . . . . 1 若 φ 是单射，又是同态，则 φ 称为单同态；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环，φ 是 R 到 R 的一个映射，如果对于任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . . . . 1 若 φ 是单射，又是同态，则 φ 称为单同态； . . . 2 若 φ 是满射，又是同态，则 φ 称为满同态；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 R 和 R 是两个环，φ 是 R 到 R 的一个映射，如果对于任意 a, b ∈ R 均有 φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b), 那么称 φ 是从 R 到 R 的一个环同态映射。 . . . . . . . . . . 1 若 φ 是单射，又是同态，则 φ 称为单同态； . . . 2 若 φ 是满射，又是同态，则 φ 称为满同态； . . . 3 若 φ 既是单射又是满射，则 φ 称为同构，记为 R R 。此时也称 R 和 R 是同构的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想，商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想，商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射： φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想，商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射： φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x)，则 x|a − b 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想，商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射： φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x)，则 x|a − b，故 a = b；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想，商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射： φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x)，则 x|a − b，故 a = b；虽然 ϕ 是在剩余类上定义的，但不会产生歧义。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . (x) 是环 F[x] 的一个理想，商环 F[x]/(x) 具有形式 {a + (x) | a ∈ F}. 定义 F[x]/(x) 到 F 的映射： φ | a + (x) → a, ϕ 是 F[x]/(x) 到 F 的同构映射。 . . . . . . . 若 a + (x) = b + (x)，则 x|a − b，故 a = b；虽然 ϕ 是在剩余类上定义的，但不会产生歧义。剩下的验证是平凡的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y)； f(xy) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y)； f(xy) = [xy] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y)； f(xy) = [xy] = [x] · [y] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y)； f(xy) = [xy] = [x] · [y] = f(x) · f(y)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y)； f(xy) = [xy] = [x] · [y] = f(x) · f(y)； f 显然是满的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 设 f : Z → Zn 是整数环到整数模 n 的剩余类环的映 f(x) = [x]。 f 是一个满同态。 . . . . . . . f(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = f(x) + f(y)； f(xy) = [xy] = [x] · [y] = f(x) · f(y)； f 显然是满的。 f 是 Z 到 Zn 的满同态。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态，那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想，且 R/Ker(f) R . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态，那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想，且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态，那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想，且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } . . . 2 {f−1(b) | b ∈ R } 构成 R 的一个划分。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态，那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想，且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } . . . 2 {f−1(b) | b ∈ R } 构成 R 的一个划分。 . . . 3 而 f−1(0) = Ker(f) 是 R 的一个理想；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 环同态基本定理设 f 是从环 R 到 R 的一个满同态，那么 f 的核 Ker(f) = { a ∈ R | f(a) = 0 } 是 R 的理想，且 R/Ker(f) R . . . . . . . . . . . 1 考虑 R 中元素 b 在 R 中的原像 f−1(b) = { x | x ∈ R, f(x) = b. } . . . 2 {f−1(b) | b ∈ R } 构成 R 的一个划分。 . . . 3 而 f−1(0) = Ker(f) 是 R 的一个理想； . . . 4 这个划分刚好对应 R 对 Ker(f) 的陪集划分。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 推论 . . . . . . . . 设 R 是一个环，I 是 R 的一个理想，则从 R 到 R/I 总有一个满同态 φ : φ(a) = a + I. φ 称为自然同态。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 P 是环 R 的一个理想，若任意 a, b ∈ R，且 ab ∈ P, 都有 a ∈ P 或 b ∈ P, 则称 P 是 R 的一个素理想. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是素理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5)，有 5 | xy；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5)，有 5 | xy；由于 5 是个素数，所以 5 | x 或 5 | y；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5)，有 5 | xy；由于 5 是个素数，所以 5 | x 或 5 | y；于是有 x ∈ (5) 或 y ∈ (5)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (5)，有 5 | xy；由于 5 是个素数，所以 5 | x 或 5 | y；于是有 x ∈ (5) 或 y ∈ (5)； (5) 是个素理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是素理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p)，有 5 | xy；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p)，有 5 | xy；由于 p 是个素数，所以 p | x 或 p | y；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p)，有 5 | xy；由于 p 是个素数，所以 p | x 或 p | y；于是有 x ∈ (p) 或 y ∈ (p)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是素理想。 . . . . . . . 设 xy ∈ (p)，有 5 | xy；由于 p 是个素数，所以 p | x 或 p | y；于是有 x ∈ (p) 或 y ∈ (p)； (p) 是个素理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 M 是环 R 的一个理想，若 R 中任一理想 I，满足 I ⊃ M, I = M, 均有 I = R，则称 M 是 R 的极大理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)； x ∈ (5)，故 5 x；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)； x ∈ (5)，故 5 x；由于 5 是个素数，所以 (5, x) = 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)； x ∈ (5)，故 5 x；由于 5 是个素数，所以 (5, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)； x ∈ (5)，故 5 x；由于 5 是个素数，所以 (5, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1； 5, x ∈ I，所以 1 = 5s + st ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)； x ∈ (5)，故 5 x；由于 5 是个素数，所以 (5, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1； 5, x ∈ I，所以 1 = 5s + st ∈ I；对任意 r ∈ R，由于 1 ∈ I，有 r · 1 ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)； x ∈ (5)，故 5 x；由于 5 是个素数，所以 (5, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1； 5, x ∈ I，所以 1 = 5s + st ∈ I；对任意 r ∈ R，由于 1 ∈ I，有 r · 1 ∈ I； I = R, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，5 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (5)，取 x ∈ I\(5)； x ∈ (5)，故 5 x；由于 5 是个素数，所以 (5, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 5s + xt = 1； 5, x ∈ I，所以 1 = 5s + st ∈ I；对任意 r ∈ R，由于 1 ∈ I，有 r · 1 ∈ I； I = R, ，故 (5) 是极大理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)； x ∈ (p)，故 p x；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)； x ∈ (p)，故 p x；由于 p 是个素数，所以 (p, x) = 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)； x ∈ (p)，故 p x；由于 p 是个素数，所以 (p, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)； x ∈ (p)，故 p x；由于 p 是个素数，所以 (p, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1； p, x ∈ I，所以 1 = ps + st ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)； x ∈ (p)，故 p x；由于 p 是个素数，所以 (p, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1； p, x ∈ I，所以 1 = ps + st ∈ I；对任意 r ∈ R，由于 1 ∈ I，有 r · 1 ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)； x ∈ (p)，故 p x；由于 p 是个素数，所以 (p, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1； p, x ∈ I，所以 1 = ps + st ∈ I；对任意 r ∈ R，由于 1 ∈ I，有 r · 1 ∈ I； I = R, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . Example . . . . . . . . 在整数环 Z 中，素数 p 生成的理想是极大理想。 . . . . . . . 设有理想 I ⊂ (p)，取 x ∈ I\(p)； x ∈ (p)，故 p x；由于 p 是个素数，所以 (p, x) = 1；存在 s, t ∈ Z 使得 ps + xt = 1； p, x ∈ I，所以 1 = ps + st ∈ I；对任意 r ∈ R，由于 1 ∈ I，有 r · 1 ∈ I； I = R, ，故 (p) 是极大理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 A 是环 R 的子集，则包含 A 的最小理想称为 A 生成的理想，记作 A 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定义 . . . . . . . . 设 A 是环 R 的子集，则包含 A 的最小理想称为 A 生成的理想，记作 A 。 . . . . . . . 以前我们讨论过一个元素 a 生成的理想 (a)，它实际上就是集合 {a} 生成的理想 {a} 。关于此点，可以根据定义自行验证。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; . . . 2 设 B 是任意包含 I ∪ {a} 的理想,有 B ⊃ A; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 引理 . . . . . . . . 若 I 是环 R 的一个理想，a ∈ R\I，则 I ∪ {a} 生成的理想是 I ∪ {a} = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R}, 通常把这个理想记为 I + (a). . . . . . . . . . . 1 A = {i + a · r | i ∈ I, r ∈ R} 是 I 的理想; . . . 2 设 B 是任意包含 I ∪ {a} 的理想,有 B ⊃ A; . . . 3 A 是包含 I ∪ {a} 的最小理想，即 I ∪ {a} 的生成理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 R 是一个有单位元的交换环，I 是 R 的理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 R 是一个有单位元的交换环，I 是 R 的理想。 . . . 1 若 I 是 R 的素理想，则 R/I 是一个整环；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . 定理 . . . . . . . . 设 R 是一个有单位元的交换环，I 是 R 的理想。 . . . 1 若 I 是 R 的素理想，则 R/I 是一个整环； . . . 2 若 I 是 R 的极大理想，则 R/I 是域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 整环部分：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 整环部分： . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 整环部分： . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 整环部分： . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 整环部分： . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; . . . 3 由于 I 是素理想，所以 a ∈ I 或者 b ∈ I；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 整环部分： . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; . . . 3 由于 I 是素理想，所以 a ∈ I 或者 b ∈ I； . . . 4 这也就是 ¯ a = ¯ 0 或 ¯ b = ¯ 0, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 整环部分： . . . . . . . . . . 1 设法证明 R/I 中没有非零零因子。 . . . 2 设 ¯ a · ¯ b = ¯ 0, 有 ab = ¯ 0⇒ ab ∈ I; . . . 3 由于 I 是素理想，所以 a ∈ I 或者 b ∈ I； . . . 4 这也就是 ¯ a = ¯ 0 或 ¯ b = ¯ 0, R/I 中没有零因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分： . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分： . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆； . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0，即 a / ∈ I; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分： . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆； . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0，即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大，所以 I + (a) = R; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分： . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆； . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0，即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大，所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a)，所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分： . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆； . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0，即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大，所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a)，所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; . . . 5 ra = 1 + i ∈ 1 + I; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分： . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆； . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0，即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大，所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a)，所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; . . . 5 ra = 1 + i ∈ 1 + I; . . . 6 ra = ¯ 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态 . . . . . . . 域部分： . . . . . . . . . . 1 欲证明 R/I 中每个元素都有逆； . . . 2 设 ¯ a ∈ R/I 且 ¯ a = ¯ 0，即 a / ∈ I; . . . 3 由于 I 极大，所以 I + (a) = R; . . . 4 1 ∈ I + (a)，所以存在 i ∈ I, r ∈ R 使得 1 = i + r · a; . . . 5 ra = 1 + i ∈ 1 + I; . . . 6 ra = ¯ 1 =⇒ ¯ r¯ a = ¯ 1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

同态本节完，谢谢！磊张印晓广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第7章：环（上）

信息安全数学基础：第7章：环（上）

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