信息安全数学基础：第6章：群（下）

. . . . . . 等价关系、子群的陪集分解正规子群、商群和同态循环群 .
. . . . . . 群（下）广州大学数学与信息科学学院 2007-05-20 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . §6.4 等价关系、子群的陪集分解广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件： . . . 1 若 x ∈ A，则 x ∼ x; 自反性广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件： . . . 1 若 x ∈ A，则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；对称性广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件： . . . 1 若 x ∈ A，则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；对称性 . . . 3 若 x, y, z ∈ A，x ∼ y, y ∼ z，则 x ∼ z。传递性广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件： . . . 1 若 x ∈ A，则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；对称性 . . . 3 若 x, y, z ∈ A，x ∼ y, y ∼ z，则 x ∼ z。传递性则称 ∼ 为 A 上的一个等价关系。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件： . . . 1 若 x ∈ A，则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；对称性 . . . 3 若 x, y, z ∈ A，x ∼ y, y ∼ z，则 x ∼ z。传递性则称 ∼ 为 A 上的一个等价关系。 . . . . . . . 若 x ∼ y，则称 x 与 y 等价。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)； . . . 2 对称性：若 x ≡ y (mod 7)，则 y ≡ x (mod 7)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)； . . . 2 对称性：若 x ≡ y (mod 7)，则 y ≡ x (mod 7)； . . . 3 传递性：若 x ≡ y (mod 7)，y ≡ z (mod 7)，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)； . . . 2 对称性：若 x ≡ y (mod 7)，则 y ≡ x (mod 7)； . . . 3 传递性：若 x ≡ y (mod 7)，y ≡ z (mod 7)，则有 x ≡ z (mod 7)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1，则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1，则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1，则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; . . . 2 对称性：T = PSP−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1，则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; . . . 2 对称性：T = PSP−1 =⇒ S = P−1T(P−1)−1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1，则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; . . . 2 对称性：T = PSP−1 =⇒ S = P−1T(P−1)−1； . . . 3 传递性：T = PSP−1, S = QUQ−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1，则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; . . . 2 对称性：T = PSP−1 =⇒ S = P−1T(P−1)−1； . . . 3 传递性：T = PSP−1, S = QUQ−1 =⇒ T = (PQ)T(PQ)−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一个指标集，如果广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一个指标集，如果 . . . 1 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一个指标集，如果 . . . 1 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅； . . . 2 i∈I Ui = A。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一个指标集，如果 . . . 1 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅； . . . 2 i∈I Ui = A。则称 {Ui | Ui} 是 A 的一个划分。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一个指标集，如果 . . . 1 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅； . . . 2 i∈I Ui = A。则称 {Ui | Ui} 是 A 的一个划分。 . . . . . . . 就是把一个集合分割成若干个不相交的子集合。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，令 Ui = {7k + i | k ∈ Z}，i = 0, 1, . . . , 6。则容易知道 {U0, U2, . . . , U6} 是整数集 Z 的一个划分。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，令 Ui = {7k + i | k ∈ Z}，i = 0, 1, . . . , 6。则容易知道 {U0, U2, . . . , U6} 是整数集 Z 的一个划分。 . . . . . . . . . . 1 若 i = j，则 Ui ∩ Uj = ∅; 不同子集不相交广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，令 Ui = {7k + i | k ∈ Z}，i = 0, 1, . . . , 6。则容易知道 {U0, U2, . . . , U6} 是整数集 Z 的一个划分。 . . . . . . . . . . 1 若 i = j，则 Ui ∩ Uj = ∅; 不同子集不相交 . . . 2 0 i 6 Ui = Z；合并后得到全集广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 等价关系跟划分有关。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若干个不相交的小组。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’，则 ‘∼’ 显然是个等价关系。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’，则 ‘∼’ 显然是个等价关系。 . . . 2 反之，如果给定了集合 A 上的一个等价关系 ‘∼’，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’，则 ‘∼’ 显然是个等价关系。 . . . 2 反之，如果给定了集合 A 上的一个等价关系 ‘∼’，若把彼此等价的元素分作一组，则得到了集合 A 的一个划分。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 A 是一个集合，若 ∼ 是 A 上一个等价关系，则存在 A 的一个划分 {Ui | ∈∈ I}，使得任意 i 及 x, y ∈ Ui 均有 x ∼ y；反之，若 {Ui | i ∈ I} 是 A 的一个划分，则存在 A 上的一个等价关系 ∼，使得任意 i ∈ I 及 x, y ∈ Ui ，均有 x ∼ y。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，记成 [a]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以由 a 决定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以由 a 决定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。 . . . 2 [a] 中任一元素均可作为代表元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以由 a 决定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。 . . . 2 [a] 中任一元素均可作为代表元。 . . . 3 不同的等价类不相交。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以由 a 决定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。 . . . 2 [a] 中任一元素均可作为代表元。 . . . 3 不同的等价类不相交。 . . . 4 A 是各等价类的并。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导出的等价类是什么？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导出的等价类是什么？ . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导出的等价类是什么？ . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导出的等价类是什么？ . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1； . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导出的等价类是什么？ . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1； . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z； . . . 4 U0, U2, . . . , Um−1 就是全部等价类。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导出的等价类是什么？ . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1； . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z； . . . 4 U0, U2, . . . , Um−1 就是全部等价类。这里的关系 ‘∼’ 其实就是模 m 同余，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导出的等价类是什么？ . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1； . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z； . . . 4 U0, U2, . . . , Um−1 就是全部等价类。这里的关系 ‘∼’ 其实就是模 m 同余，而这里的剩余类其实就是模 m 的同余类。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ； . . . 3 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ； . . . 3 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ； . . . 3 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ； . . . 3 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H ⇒ c−1a ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ； . . . 3 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H ⇒ c−1a ∈ H ⇒ a ∼ c。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下： a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。这是一个等价关系吗？ . . . . . . . . . . 1 自反性：a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a； . . . 2 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ； . . . 3 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H ⇒ c−1a ∈ H ⇒ a ∼ c。这个等价关系记为 RH 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则集合 aH = {ab | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的一个左陪集。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H，即 x ∈ aH。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H，即 x ∈ aH。所以 [a] ⊆ aH。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H，即 x ∈ aH。所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H，即 x ∈ aH。所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH，有 a−1x ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H，即 x ∈ aH。所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH，有 a−1x ∈ H ⇒ a ∼ x。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H，即 x ∈ aH。所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH，有 a−1x ∈ H ⇒ a ∼ x。所以 [a] ⊇ aH。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交； . . . 3 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交； . . . 3 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交； . . . 3 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; . . . 2 理由同上；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交； . . . 3 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; . . . 2 理由同上； . . . 3 aH = bH 意味着对关系 RH 而言，a ∼ b，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群，则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交； . . . 3 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; . . . 2 理由同上； . . . 3 aH = bH 意味着对关系 RH 而言，a ∼ b，即 b−1a ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}； . . . 3 (23)H = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}； . . . 3 (23)H = {(23), (132)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}； . . . 3 (23)H = {(23), (132)}； . . . 4 由于 |S3| = 3! = 6，所以我们已经找出了全部的左陪集。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集构成 G 在关系 RH 下的一个划分。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集构成 G 在关系 RH 下的一个划分。 . 定理 . . . . . . . . . . . 1 G 是 H 在 G 中所有右陪集的并；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集构成 G 在关系 RH 下的一个划分。 . 定理 . . . . . . . . . . . 1 G 是 H 在 G 中所有右陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个右陪集或相等或不相交；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集构成 G 在关系 RH 下的一个划分。 . 定理 . . . . . . . . . . . 1 G 是 H 在 G 中所有右陪集的并； . . . 2 H 在 G 中的两个右陪集或相等或不相交； . . . 3 任意 a, b ∈ G，则 Ha = Hb 当且仅当 ab−1 ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . G 关于 H 左陪集的个数称为 H 在 G 中的指数，记为 [G : H]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . G 关于 H 左陪集的个数称为 H 在 G 中的指数，记为 [G : H]。 . 注意 . . . . . . . . 指数未必就是有限的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |G| |H| 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。 . . . 2 每个左陪集大小是一样的，都为 H；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。 . . . 2 每个左陪集大小是一样的，都为 H； . . . 3 左陪集个数有 |G| |H| 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。 . . . 2 每个左陪集大小是一样的，都为 H； . . . 3 左陪集个数有 |G| |H| 。 . . . . . . . 这个结论对右陪集也成立。所以对有限群来讲，左陪集和右陪集是一样多的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。 . . . 2 G 为有限群，则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。 . . . 2 G 为有限群，则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。 . . . . . . . 证明： . . . 1 [G : H] = |G| |H| ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。 . . . 2 G 为有限群，则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。 . . . . . . . 证明： . . . 1 [G : H] = |G| |H| ； . . . 2 ∀g ∈ G，设 o(g) = d，则 {g, g2, . . . , gd} 是 G 的一个子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群，且 H K G，则 [G : K][K : H] = [G : H]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群，且 H K G，则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群，且 H K G，则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ； . . . 2 [K : H] = |K| |H| ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群，且 H K G，则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ； . . . 2 [K : H] = |K| |H| ； . . . 3 [G : K] · [K : H] = |G| |K| · |K| |H| 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群，且 H K G，则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ； . . . 2 [K : H] = |K| |H| ； . . . 3 [G : K] · [K : H] = |G| |K| · |K| |H| = |G| |H| ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群，且 H K G，则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ； . . . 2 [K : H] = |K| |H| ； . . . 3 [G : K] · [K : H] = |G| |K| · |K| |H| = |G| |H| ； . . . 4 [G : H] = |G| |H| 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个； . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个； . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}； . . . 3 [1] + H = {[1], [4]}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个； . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}； . . . 3 [1] + H = {[1], [4]}； . . . 4 [2] + H = {[3], [7]}。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个； . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}； . . . 3 [1] + H = {[1], [4]}； . . . 4 [2] + H = {[3], [7]}。 . . . 5 [0] + H, [1] + H, [2] + H 就是全部左陪集。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}； . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}； . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}； . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}； . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}； . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}； . . . 5 (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}； . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}； . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}； . . . 5 (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}； . . . 6 (123)K4 = {(123), (134), (243), (142)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}； . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}； . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}； . . . 5 (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}； . . . 6 (123)K4 = {(123), (134), (243), (142)}； . . . 7 (124)K4 = {(124), (143), (132), (234)}; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . §6.5 正规子群、商群和同态广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 设 G 是群，H 是 G 的一个子群，则 G 可以分解成 H 的一些左陪集的不相交并。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 设 G 是群，H 是 G 的一个子群，则 G 可以分解成 H 的一些左陪集的不相交并。因此得到一个新集合，即 G 关于 H 的所有左陪集构成的集合，常记为 G/H = {aH | a ∈ G}。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 设 G 是群，H 是 G 的一个子群，则 G 可以分解成 H 的一些左陪集的不相交并。因此得到一个新集合，即 G 关于 H 的所有左陪集构成的集合，常记为 G/H = {aH | a ∈ G}。我们希望能在 G/H 引人代数运算。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保： aH · bH = a H · b H, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保： aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保： aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H，即 b −1a −1ab ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保： aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H，即 b −1a −1ab ∈ H。有 a −1a ∈ b Hb−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保： aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H，即 b −1a −1ab ∈ H。有 a −1a ∈ b Hb−1 = bHb−1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G/H 中引入代数运算？ . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保： aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H，即 b −1a −1ab ∈ H。有 a −1a ∈ b Hb−1 = bHb−1；即我们定义的运算是自恰的，当且仅当对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，有 a −1a ∈ bHb−1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，实际上 a −1a 能跑遍 H；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，实际上 a −1a 能跑遍 H； . . . 2 如果前面的条件成立，我们将有 H ⊆ bHb−1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，实际上 a −1a 能跑遍 H； . . . 2 如果前面的条件成立，我们将有 H ⊆ bHb−1； . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，实际上 a −1a 能跑遍 H； . . . 2 如果前面的条件成立，我们将有 H ⊆ bHb−1； . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H；由于 b 的任意性，我们实际上能得到 bHb−1 ⊆ H；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，实际上 a −1a 能跑遍 H； . . . 2 如果前面的条件成立，我们将有 H ⊆ bHb−1； . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H；由于 b 的任意性，我们实际上能得到 bHb−1 ⊆ H； . . . 4 H 与 bHb−1 彼此包含，所以是相等的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，实际上 a −1a 能跑遍 H； . . . 2 如果前面的条件成立，我们将有 H ⊆ bHb−1； . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H；由于 b 的任意性，我们实际上能得到 bHb−1 ⊆ H； . . . 4 H 与 bHb−1 彼此包含，所以是相等的。 . . . 5 好，最后我们得到了一个比较漂亮的条件：对任意的 b ∈ G，有 H = bHb−1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ，a −1a ∈ bHb−1。这个条件看上去不是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H，实际上 a −1a 能跑遍 H； . . . 2 如果前面的条件成立，我们将有 H ⊆ bHb−1； . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H；由于 b 的任意性，我们实际上能得到 bHb−1 ⊆ H； . . . 4 H 与 bHb−1 彼此包含，所以是相等的。 . . . 5 好，最后我们得到了一个比较漂亮的条件：对任意的 b ∈ G，有 H = bHb−1。这个条件也可以写为 ∀b ∈ G, bH = Hb。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群，且任意 a ∈ G，均有 aH = Ha，即 a 关于 H 的左右陪集相等，则称 H 是 G 的正规子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群，且任意 a ∈ G，均有 aH = Ha，即 a 关于 H 的左右陪集相等，则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群，且任意 a ∈ G，均有 aH = Ha，即 a 关于 H 的左右陪集相等，则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等； . . . 2 aH = Ha 并不意味着对任何 h ∈ H，有 ah = ha；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群，且任意 a ∈ G，均有 aH = Ha，即 a 关于 H 的左右陪集相等，则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等； . . . 2 aH = Ha 并不意味着对任何 h ∈ H，有 ah = ha； . . . 3 对任意 h ∈ H，ah 在 aH 中，从而在 Ha 中，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群，且任意 a ∈ G，均有 aH = Ha，即 a 关于 H 的左右陪集相等，则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等； . . . 2 aH = Ha 并不意味着对任何 h ∈ H，有 ah = ha； . . . 3 对任意 h ∈ H，ah 在 aH 中，从而在 Ha 中，所以必定存在 h ∈ H，使得 ah = h a。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群，它是正规的吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群，它是正规的吗？ . . . . . . . . . . 1 (13)H = {(13), (123)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群，它是正规的吗？ . . . . . . . . . . 1 (13)H = {(13), (123)}； . . . 2 H(13) = {(13), (132)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群，它是正规的吗？ . . . . . . . . . . 1 (13)H = {(13), (123)}； . . . 2 H(13) = {(13), (132)}； . . . 3 (13)H = H(13), 所以 H 不是正规子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . N = {(1), (123), (132)} 是 S3 的子群，它是正规子群吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 交换群的子群都是正规的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 交换群的子群都是正规的。 . . . . . . . 此时条件 ∀a ∈ G, aH = Ha 显然成立。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群，a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群，a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价： . . . 1 N 是 G 的正规子群; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群，a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价： . . . 1 N 是 G 的正规子群; . . . 2 ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群，a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价： . . . 1 N 是 G 的正规子群; . . . 2 ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N； . . . 3 ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群，a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价： . . . 1 N 是 G 的正规子群; . . . 2 ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N； . . . 3 ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N； . . . 4 ∀ a ∈ G, a−1Na = N。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N； . . . . . . . . . . 1 a−1n ∈ a−1N = Na−1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N； . . . . . . . . . . 1 a−1n ∈ a−1N = Na−1； . . . 2 存在 n ∈ N，使得 a−1n = n a−1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N； . . . . . . . . . . 1 a−1n ∈ a−1N = Na−1； . . . 2 存在 n ∈ N，使得 a−1n = n a−1； . . . 3 a−1na = n ∈ N。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2 ⇒ 3) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N =⇒ ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2 ⇒ 3) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, n ∈ N，有 a−1na ∈ N =⇒ ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N； . . . . . . . 显然。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N，由 a 的任意性，有 aNa−1 ⊆ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N，由 a 的任意性，有 aNa−1 ⊆ N； . . . 2 对任意 n ∈ N，有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N，由 a 的任意性，有 aNa−1 ⊆ N； . . . 2 对任意 n ∈ N，有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N； . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N，由 a 的任意性，有 aNa−1 ⊆ N； . . . 2 对任意 n ∈ N，有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N； . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ； . . . 4 n = a−1n a ∈ aNa−1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N，由 a 的任意性，有 aNa−1 ⊆ N； . . . 2 对任意 n ∈ N，有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N； . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ； . . . 4 n = a−1n a ∈ aNa−1； . . . 5 a−1Na ⊇ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N，由 a 的任意性，有 aNa−1 ⊆ N； . . . 2 对任意 n ∈ N，有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N； . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ； . . . 4 n = a−1n a ∈ aNa−1； . . . 5 a−1Na ⊇ N； . . . 6 a−1Na = N。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an； . . . 2 n ∈ N = a−1Na，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an； . . . 2 n ∈ N = a−1Na，存在 n ∈ N，使得 n = a−1n a；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an； . . . 2 n ∈ N = a−1Na，存在 n ∈ N，使得 n = a−1n a； . . . 3 x = an = aa−1n a 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an； . . . 2 n ∈ N = a−1Na，存在 n ∈ N，使得 n = a−1n a； . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an； . . . 2 n ∈ N = a−1Na，存在 n ∈ N，使得 n = a−1n a； . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na，所以 aN ⊆ Na；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an； . . . 2 n ∈ N = a−1Na，存在 n ∈ N，使得 n = a−1n a； . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na，所以 aN ⊆ Na； . . . 4 类似可以证明 aN ⊇ Na; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN，存在 n ∈ N，使得 x = an； . . . 2 n ∈ N = a−1Na，存在 n ∈ N，使得 n = a−1n a； . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na，所以 aN ⊆ Na； . . . 4 类似可以证明 aN ⊇ Na; . . . 5 aN = Na, N 是正规子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的，若 aN = a N, bN = b N，有 (a b )−1ab = b −1a −1ab 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的，若 aN = a N, bN = b N，有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的，若 aN = a N, bN = b N，有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的，若 aN = a N, bN = b N，有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N；所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的，若 aN = a N, bN = b N，有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N；所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。 . . . 2 容易验证封闭性和结合律; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的，若 aN = a N, bN = b N，有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N；所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。 . . . 2 容易验证封闭性和结合律; . . . 3 eN 是单位元，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群，G/N = {aN | a ∈ G}，在 G/N 上定义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法，且 G/N 关于这个乘法构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的，若 aN = a N, bN = b N，有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N；所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。 . . . 2 容易验证封闭性和结合律; . . . 3 eN 是单位元，aN 的逆为 a−1N。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上，我们刚才定义的乘法 aH · bH = abH 是无效的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上，我们刚才定义的乘法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法，应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上，我们刚才定义的乘法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法，应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上，我们刚才定义的乘法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法，应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; . . . 3 而 (13)H = {(13), (123)}; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上，我们刚才定义的乘法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法，应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; . . . 3 而 (13)H = {(13), (123)}; . . . 4 (132)H = {(132), (23)}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上，我们刚才定义的乘法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法，应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; . . . 3 而 (13)H = {(13), (123)}; . . . 4 (132)H = {(132), (23)}； . . . 5 xy = (13)H = (132)H = xy, 矛盾。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态，则 G1 和 G2 在某种意义下是“相似” 的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态，则 G1 和 G2 在某种意义下是“相似” 的。左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态，则 G1 和 G2 在某种意义下是“相似” 的。左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。如果是同构，则左边和右边在某种意义下是一样的，只不过换了个名字而已。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态，则 G1 和 G2 在某种意义下是“相似” 的。左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。如果是同构，则左边和右边在某种意义下是一样的，只不过换了个名字而已。同态与同构不同的地方在于：元素不是一一对应的，有可能多个元素映成一个元素。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态，则 G1 和 G2 在某种意义下是“相似” 的。左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。如果是同构，则左边和右边在某种意义下是一样的，只不过换了个名字而已。同态与同构不同的地方在于：元素不是一一对应的，有可能多个元素映成一个元素。不难产生这样的想法：把经过 f 映射后变成同一个元素的元素粘在一起，看成一个“超级”的元素，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态，则 G1 和 G2 在某种意义下是“相似” 的。左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。如果是同构，则左边和右边在某种意义下是一样的，只不过换了个名字而已。同态与同构不同的地方在于：元素不是一一对应的，有可能多个元素映成一个元素。不难产生这样的想法：把经过 f 映射后变成同一个元素的元素粘在一起，看成一个“超级”的元素，这样好像就能把多一对应变成一一对应了。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。此分割导出一个等价关系 ∼，满足：a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。此分割导出一个等价关系 ∼，满足：a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a]，显然 [a] 中元素被映射成 f(a), 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。此分割导出一个等价关系 ∼，满足：a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a]，显然 [a] 中元素被映射成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。此分割导出一个等价关系 ∼，满足：a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a]，显然 [a] 中元素被映射成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。此分割导出一个等价关系 ∼，满足：a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a]，显然 [a] 中元素被映射成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。G1/∼ 中的元素跟 G2 中的元素是一一对应的，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。此分割导出一个等价关系 ∼，满足：a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a]，显然 [a] 中元素被映射成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。G1/∼ 中的元素跟 G2 中的元素是一一对应的，如果我们在 G1/∼ 中引人代数运算，它能跟 G2 同构吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说，按 f 下不同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。此分割导出一个等价关系 ∼，满足：a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a]，显然 [a] 中元素被映射成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。G1/∼ 中的元素跟 G2 中的元素是一一对应的，如果我们在 G1/∼ 中引人代数运算，它能跟 G2 同构吗？看上去很有希望。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ]，我们的定义没有问题。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ]，我们的定义没有问题。容易验证封闭性和结合律；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ]，我们的定义没有问题。容易验证封闭性和结合律；单位元是 [e], 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ]，我们的定义没有问题。容易验证封闭性和结合律；单位元是 [e], [a] 的逆元是 [a−1]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ]，我们的定义没有问题。容易验证封闭性和结合律；单位元是 [e], [a] 的逆元是 [a−1]。 G1/∼ 在我们定义的运算下，构成一个群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了，不过凡是在等价类上定义运算，就要小心自恰的问题。若 [a] = [a ], [b] = [b ]，则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ]，我们的定义没有问题。容易验证封闭性和结合律；单位元是 [e], [a] 的逆元是 [a−1]。 G1/∼ 在我们定义的运算下，构成一个群。它跟 G2 是同构的吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) = f(a) · f(b) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) = f(a) · f(b) = ϕ([a]) · ϕ([b])。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗？ . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的，我们知道，在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来，然后验证是否同态就可以了。令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a)；通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问题。等价类可以有多个代表元，如果不同的代表元导出的像不一致，定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) = f(a) · f(b) = ϕ([a]) · ϕ([b])。双射 ϕ 满足 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a]) · ϕ([b])，此为同构。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。对任意 a ∈ G, x ∈ [e]，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。对任意 a ∈ G, x ∈ [e]，有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。对任意 a ∈ G, x ∈ [e]，有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。对任意 a ∈ G, x ∈ [e]，有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) = f(e) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。对任意 a ∈ G, x ∈ [e]，有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) = f(e) = e。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 现在我们知道，给定 G1 到 G2 的满同态，我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现，这其实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中，[e] 很特殊，它是 G2 的一个子群。封闭设 x, y ∈ [e]，有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e；单位 e ∈ [e]; 逆元设 x ∈ [e]，有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。对任意 a ∈ G, x ∈ [e]，有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) = f(e) = e。即有 a−1xa ∈ [e]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’， a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’， a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e，即 f(b−1a) = e。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’， a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e，即 f(b−1a) = e。所以 ‘∼’ 也可以写为： a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’， a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e，即 f(b−1a) = e。所以 ‘∼’ 也可以写为： a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] ，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’， a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e，即 f(b−1a) = e。所以 ‘∼’ 也可以写为： a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] ，其划分出的等价类正是 G1 对 [e] 的左陪集。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’， a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e，即 f(b−1a) = e。所以 ‘∼’ 也可以写为： a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] ，其划分出的等价类正是 G1 对 [e] 的左陪集。 . . . . . . . G/∼ 其实是个商群 G/[e]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’， a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e，即 f(b−1a) = e。所以 ‘∼’ 也可以写为： a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] ，其划分出的等价类正是 G1 对 [e] 的左陪集。 . . . . . . . G/∼ 其实是个商群 G/[e]。综合前面所述，我们得到重要的 “群同态基本定理”。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (群同态基本定理) . . . . . . . . 设 f : G1 → G2 是群的满同态映射，记 ker(f) = a ∈ G1 f(a) = e2, e2 是 G2 的单位元。则 ker(f) 是 G1 的正规子群，且 G1/ ker(f) G2 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (群同态基本定理) . . . . . . . . 设 f : G1 → G2 是群的满同态映射，记 ker(f) = a ∈ G1 f(a) = e2, e2 是 G2 的单位元。则 ker(f) 是 G1 的正规子群，且 G1/ ker(f) G2 。 . . . . . . . 不难看出，这个 ker(f) 其实就是前面的 [e]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . f : Z → Zm, f(a) = [a] 是群的满同态（加法群），求 ker(f)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . f : Z → Zm, f(a) = [a] 是群的满同态（加法群），求 ker(f)。 . . . . . . . ker(f) = {mk | k ∈ Z}，记为 mZ。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . f : Z → Zm, f(a) = [a] 是群的满同态（加法群），求 ker(f)。 . . . . . . . ker(f) = {mk | k ∈ Z}，记为 mZ。由同态基本定理知道 Z/mZ Zm 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . §6.6 循环群广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 在本章的最后一节，我们介绍一类特殊的群，这类群是比较常见的，其结构也很简单，这就是循环群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 G 是群，a ∈ G，令 a = {ak | k ∈ Z}，它是由 a 生成的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 G 是群，a ∈ G，令 a = {ak | k ∈ Z}，它是由 a 生成的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 . . . . . . . . . . 1 容易验证这的确是一个群封闭性、结合律容易验证；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 G 是群，a ∈ G，令 a = {ak | k ∈ Z}，它是由 a 生成的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 . . . . . . . . . . 1 容易验证这的确是一个群封闭性、结合律容易验证； a0 = e，ak 的逆是 a−k；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 G 是群，a ∈ G，令 a = {ak | k ∈ Z}，它是由 a 生成的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 . . . . . . . . . . 1 容易验证这的确是一个群封闭性、结合律容易验证； a0 = e，ak 的逆是 a−k； . . . 2 看上去 a 中有很多元素，其实不一定，有一些是可能是重复的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中，G 是一个所谓的乘法群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中，G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中，G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积，即 ak = a · a · · · a k 个广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中，G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积，即 ak = a · a · · · a k 个如果 G 是个加法群，则 ak 的对应物是 k 个 a 之和，常记为 k · a。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中，G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积，即 ak = a · a · · · a k 个如果 G 是个加法群，则 ak 的对应物是 k 个 a 之和，常记为 k · a。但这里的 k · a 不是 k 乘以 a。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中，G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积，即 ak = a · a · · · a k 个如果 G 是个加法群，则 ak 的对应物是 k 个 a 之和，常记为 k · a。但这里的 k · a 不是 k 乘以 a。k 是个整数，而 a 则是加法群 G 中的一个元素。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中，G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积，即 ak = a · a · · · a k 个如果 G 是个加法群，则 ak 的对应物是 k 个 a 之和，常记为 k · a。但这里的 k · a 不是 k 乘以 a。k 是个整数，而 a 则是加法群 G 中的一个元素。k · a 的惟一含义就是： k · a = a + a + · · · + a k 个广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 (循环群定义的加法群形式) . . . . . . . . 设 G 是群，a ∈ G，令 a = {k · a | k ∈ Z}，它是由 a 生成的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 整数加群 (Z, +) 就是由 1 或 −1 生成的循环群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ， . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时，G = {a0, . . . , am−1}； . . . 2 当 o(a) = ∞ 时， G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ， . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时，G = {a0, . . . , am−1}； . . . 2 当 o(a) = ∞ 时， G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m，则对任意 ak，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ， . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时，G = {a0, . . . , am−1}； . . . 2 当 o(a) = ∞ 时， G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m，则对任意 ak，总可以用带余除法把 k 写成 k = mq + r, 0 r < m − 1; 有 ak = (am)qar = ar；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ， . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时，G = {a0, . . . , am−1}； . . . 2 当 o(a) = ∞ 时， G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m，则对任意 ak，总可以用带余除法把 k 写成 k = mq + r, 0 r < m − 1; 有 ak = (am)qar = ar； . . . 2 若 o(a) = ∞，则对任意 i = j 均有 ai = aj。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ， . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时，G = {a0, . . . , am−1}； . . . 2 当 o(a) = ∞ 时， G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m，则对任意 ak，总可以用带余除法把 k 写成 k = mq + r, 0 r < m − 1; 有 ak = (am)qar = ar； . . . 2 若 o(a) = ∞，则对任意 i = j 均有 ai = aj。否则有 ai−j = e，矛盾。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 整数模 m 的加群 (Zm, +) 也可由 1 的同余类 [1] 生成，故 (Zm, +) 也是一个循环群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 整数模 m 的加群 (Zm, +) 也可由 1 的同余类 [1] 生成，故 (Zm, +) 也是一个循环群。 . . . . . . . Zm = {[0], [1], [2], · · · , [m − 1]} 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 整数模 m 的加群 (Zm, +) 也可由 1 的同余类 [1] 生成，故 (Zm, +) 也是一个循环群。 . . . . . . . Zm = {[0], [1], [2], · · · , [m − 1]} = [1] 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射：ϕ : k → ak。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射：ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射：ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射，有 Z/ ker(ϕ) G; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射：ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射，有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞，则 ker(ϕ) = {0}，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射：ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射，有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞，则 ker(ϕ) = {0}， Z/{0} = Z，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射：ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射，有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞，则 ker(ϕ) = {0}， Z/{0} = Z，所以 Z G；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞，则 G (Z, +)； . . . 2 若 o(a) = m < ∞，则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射：ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射，有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞，则 ker(ϕ) = {0}， Z/{0} = Z，所以 Z G； . . . 4 若 o(a) = m，则 ker(ϕ)) = {mt | t ∈ Z} = mZ。 Z/mZ G，也就是 (Zm, +) G。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1，所以 n (n,k) d；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1，所以 n (n,k) d； . . . 2 (ak) n (n,k) = (an) k (n,k) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1，所以 n (n,k) d； . . . 2 (ak) n (n,k) = (an) k (n,k) = 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群，k 是一个正整数，则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟？这个就是原根那章里某个定理的翻版，我们把证明抄过来。设 ak 阶为 d，有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1，所以 n (n,k) d； . . . 2 (ak) n (n,k) = (an) k (n,k) = 1 ⇒ d n (n,k) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Corollary . . . . . . . . 若 G = a ，且 |G| = n，则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Corollary . . . . . . . . 若 G = a ，且 |G| = n，则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式，其中 k ∈ Z。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Corollary . . . . . . . . 若 G = a ，且 |G| = n，则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式，其中 k ∈ Z。如果是生成元，则必定满足 o(ak) = n，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Corollary . . . . . . . . 若 G = a ，且 |G| = n，则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式，其中 k ∈ Z。如果是生成元，则必定满足 o(ak) = n，这相当于 n (n, k) = n 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Corollary . . . . . . . . 若 G = a ，且 |G| = n，则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式，其中 k ∈ Z。如果是生成元，则必定满足 o(ak) = n，这相当于 n (n, k) = n ⇒ (n, k) = 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群，[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群，[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1]，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群，[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1]，故其阶为 36 (36, 6) = 6；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群，[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1]，故其阶为 36 (36, 6) = 6； . . . 2 [8] = 8 · [1]，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群，[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1]，故其阶为 36 (36, 6) = 6； . . . 2 [8] = 8 · [1]，故其阶为 36 (8, 36) = 9。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 p 是素数，Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的剩余类集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证： Z∗ p 关于剩余类的乘法构成一个循环群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 p 是素数，Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的剩余类集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证： Z∗ p 关于剩余类的乘法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性：设 [x], [y] ∈ Z∗，有 (x, p) = (y, p) = 1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 p 是素数，Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的剩余类集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证： Z∗ p 关于剩余类的乘法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性：设 [x], [y] ∈ Z∗，有 (x, p) = (y, p) = 1。于是 (xy, p) = 1，有 [x] · [y] = [xy] ∈ Z∗。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 p 是素数，Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的剩余类集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证： Z∗ p 关于剩余类的乘法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性：设 [x], [y] ∈ Z∗，有 (x, p) = (y, p) = 1。于是 (xy, p) = 1，有 [x] · [y] = [xy] ∈ Z∗。结合律容易验证。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设 p 是素数，Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的剩余类集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证： Z∗ p 关于剩余类的乘法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性：设 [x], [y] ∈ Z∗，有 (x, p) = (y, p) = 1。于是 (xy, p) = 1，有 [x] · [y] = [xy] ∈ Z∗。结合律容易验证。单位元是 [1]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射，但 Z∗ 是有限的，单射也就是满射，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射，但 Z∗ 是有限的，单射也就是满射，所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗，使得 [x] · [y] = [1]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射，但 Z∗ 是有限的，单射也就是满射，所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗，使得 [x] · [y] = [1]。是个循环群设 g 是模 p 的原根，则 [g] 在 Z∗ 中的阶为 p − 1，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射，但 Z∗ 是有限的，单射也就是满射，所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗，使得 [x] · [y] = [1]。是个循环群设 g 是模 p 的原根，则 [g] 在 Z∗ 中的阶为 p − 1，Z∗ 的大小恰为 p − 1，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 有逆元对任意 [x] ∈ Z∗，考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射： f : [y] → [x] · [y]。若 f([y]) = f([z])，即 [x][y] = [x][z]，有 [x(y − z)] = [0]。从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射，但 Z∗ 是有限的，单射也就是满射，所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗，使得 [x] · [y] = [1]。是个循环群设 g 是模 p 的原根，则 [g] 在 Z∗ 中的阶为 p − 1，Z∗ 的大小恰为 p − 1，所以 Z∗ 是个循环群，[g] 是其一个生成元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1，设 d 是最小的正整数，使得 ad ∈ H；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1，设 d 是最小的正整数，使得 ad ∈ H； . . . 3 对任意 ak ∈ H，令 k = dq + r, 0 r < d，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1，设 d 是最小的正整数，使得 ad ∈ H； . . . 3 对任意 ak ∈ H，令 k = dq + r, 0 r < d，有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数，所以 r = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1，设 d 是最小的正整数，使得 ad ∈ H； . . . 3 对任意 ak ∈ H，令 k = dq + r, 0 r < d，有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数，所以 r = 0； . . . 5 于是 d|k，ak = (ad)k d 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1，设 d 是最小的正整数，使得 ad ∈ H； . . . 3 对任意 ak ∈ H，令 k = dq + r, 0 r < d，有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数，所以 r = 0； . . . 5 于是 d|k，ak = (ad)k d 。有 H ⊆ ad 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1，设 d 是最小的正整数，使得 ad ∈ H； . . . 3 对任意 ak ∈ H，令 k = dq + r, 0 r < d，有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数，所以 r = 0； . . . 5 于是 d|k，ak = (ad)k d 。有 H ⊆ ad 。 . . . 6 由于 ad ∈ H，显然有 ad ⊆ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 设 G = a ，H 是 G 的一个子群，则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e}，则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1，设 d 是最小的正整数，使得 ad ∈ H； . . . 3 对任意 ak ∈ H，令 k = dq + r, 0 r < d，有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数，所以 r = 0； . . . 5 于是 d|k，ak = (ad)k d 。有 H ⊆ ad 。 . . . 6 由于 ad ∈ H，显然有 ad ⊆ H。 . . . 7 最后有 H = ad 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 等价关系、子群的陪集分解正规子群、商群和同态循环群本节完，谢谢！
磊张印晓广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第6章：群（下）

信息安全数学基础：第6章：群（下）

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