Pro Yearly is on sale from $80 to $50! »

信息安全数学基础:第6章:群(下)

Ff55ca691280ee7c7e7e2452276a4af9?s=47 zxl
October 07, 2012

 信息安全数学基础:第6章:群(下)

信息安全数学基础:第6章:群(下)

Ff55ca691280ee7c7e7e2452276a4af9?s=128

zxl

October 07, 2012
Tweet

Transcript

  1. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 群(下) 广州大学数学与信息科学学院 2007-05-20 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  2. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . §6.4 等价关系、 子群的陪集分解 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  3. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼,满足下列条件: . . . 1 若 x ∈ A,则 x ∼ x; 自反性 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  4. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼,满足下列条件: . . . 1 若 x ∈ A,则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A,且 x ∼ y,则 y ∼ x; 对称性 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  5. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼,满足下列条件: . . . 1 若 x ∈ A,则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A,且 x ∼ y,则 y ∼ x; 对称性 . . . 3 若 x, y, z ∈ A,x ∼ y, y ∼ z,则 x ∼ z。 传递性 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  6. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼,满足下列条件: . . . 1 若 x ∈ A,则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A,且 x ∼ y,则 y ∼ x; 对称性 . . . 3 若 x, y, z ∈ A,x ∼ y, y ∼ z,则 x ∼ z。 传递性 则称 ∼ 为 A 上的一个等价关系。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  7. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设集合 A 上的一个二元关系 ∼,满足下列条件: . . . 1 若 x ∈ A,则 x ∼ x; 自反性 . . . 2 若 x, y ∈ A,且 x ∼ y,则 y ∼ x; 对称性 . . . 3 若 x, y, z ∈ A,x ∼ y, y ∼ z,则 x ∼ z。 传递性 则称 ∼ 为 A 上的一个等价关系。 . . . . . . . 若 x ∼ y,则称 x 与 y 等价。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  8. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  9. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性:∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  10. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性:∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7); . . . 2 对称性:若 x ≡ y (mod 7),则 y ≡ x (mod 7); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  11. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性:∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7); . . . 2 对称性:若 x ≡ y (mod 7),则 y ≡ x (mod 7); . . . 3 传递性:若 x ≡ y (mod 7),y ≡ z (mod 7), 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  12. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。 . . . . . . . . . . 1 自反性:∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7); . . . 2 对称性:若 x ≡ y (mod 7),则 y ≡ x (mod 7); . . . 3 传递性:若 x ≡ y (mod 7),y ≡ z (mod 7),则 有 x ≡ z (mod 7)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  13. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中 任意两个矩阵,若存在可逆实数矩阵 P,使 T = PSP−1,则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  14. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中 任意两个矩阵,若存在可逆实数矩阵 P,使 T = PSP−1,则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:∀S ∈ A,IAI−1 = A; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  15. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中 任意两个矩阵,若存在可逆实数矩阵 P,使 T = PSP−1,则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:∀S ∈ A,IAI−1 = A; . . . 2 对称性:T = PSP−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  16. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中 任意两个矩阵,若存在可逆实数矩阵 P,使 T = PSP−1,则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:∀S ∈ A,IAI−1 = A; . . . 2 对称性:T = PSP−1 =⇒ S = P−1T(P−1)−1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  17. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中 任意两个矩阵,若存在可逆实数矩阵 P,使 T = PSP−1,则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:∀S ∈ A,IAI−1 = A; . . . 2 对称性:T = PSP−1 =⇒ S = P−1T(P−1)−1; . . . 3 传递性:T = PSP−1, S = QUQ−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  18. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Mn(R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T, S 为 A 中 任意两个矩阵,若存在可逆实数矩阵 P,使 T = PSP−1,则称 T 与 S 相似。相似是等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:∀S ∈ A,IAI−1 = A; . . . 2 对称性:T = PSP−1 =⇒ S = P−1T(P−1)−1; . . . 3 传递性:T = PSP−1, S = QUQ−1 =⇒ T = (PQ)T(PQ)−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  19. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合,{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族,其中 I 是一 个指标集,如果 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  20. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合,{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族,其中 I 是一 个指标集,如果 . . . 1 当 i = j 时,Ui ∩ Uj = ∅; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  21. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合,{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族,其中 I 是一 个指标集,如果 . . . 1 当 i = j 时,Ui ∩ Uj = ∅; . . . 2 i∈I Ui = A。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  22. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合,{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族,其中 I 是一 个指标集,如果 . . . 1 当 i = j 时,Ui ∩ Uj = ∅; . . . 2 i∈I Ui = A。 则称 {Ui | Ui} 是 A 的一个划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  23. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 A 是一个集合,{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族,其中 I 是一 个指标集,如果 . . . 1 当 i = j 时,Ui ∩ Uj = ∅; . . . 2 i∈I Ui = A。 则称 {Ui | Ui} 是 A 的一个划分。 . . . . . . . 就是把一个集合分割成若干个不相交的子集合。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  24. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,令 Ui = {7k + i | k ∈ Z},i = 0, 1, . . . , 6。则容易知 道 {U0, U2, . . . , U6} 是整数集 Z 的一个划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  25. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,令 Ui = {7k + i | k ∈ Z},i = 0, 1, . . . , 6。则容易知 道 {U0, U2, . . . , U6} 是整数集 Z 的一个划分。 . . . . . . . . . . 1 若 i = j,则 Ui ∩ Uj = ∅; 不同子集不相交 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  26. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,令 Ui = {7k + i | k ∈ Z},i = 0, 1, . . . , 6。则容易知 道 {U0, U2, . . . , U6} 是整数集 Z 的一个划分。 . . . . . . . . . . 1 若 i = j,则 Ui ∩ Uj = ∅; 不同子集不相交 . . . 2 0 i 6 Ui = Z; 合并后得到全集 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  27. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 等价关系跟划分有关。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  28. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分,这也相当于把集合分成若 干个不相交的小组。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  29. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分,这也相当于把集合分成若 干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’, 则 ‘∼’ 显然是个等价关系。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  30. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分,这也相当于把集合分成若 干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’, 则 ‘∼’ 显然是个等价关系。 . . . 2 反之,如果给定了集合 A 上的一个等价关系 ‘∼’, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  31. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 等价关系跟划分有关。 . . . . . . . . . . 1 如果给定了集合 A 的一个划分,这也相当于把集合分成若 干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’, 则 ‘∼’ 显然是个等价关系。 . . . 2 反之,如果给定了集合 A 上的一个等价关系 ‘∼’,若把 彼此等价的元素分作一组,则得到了集合 A 的一个划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  32. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 A 是一个集合,若 ∼ 是 A 上一个等价关系,则存在 A 的 一个划分 {Ui | ∈∈ I},使得任意 i 及 x, y ∈ Ui 均有 x ∼ y; 反之,若 {Ui | i ∈ I} 是 A 的一个划分,则存在 A 上的一个 等 价关系 ∼,使得任意 i ∈ I 及 x, y ∈ Ui ,均有 x ∼ y。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  33. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系,a ∈ A,则与 a 等价的所 有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类, 记成 [a]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  34. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系,a ∈ A,则与 a 等价的所 有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类, 记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  35. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系,a ∈ A,则与 a 等价的所 有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类, 记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a],则 [a] = [b], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  36. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系,a ∈ A,则与 a 等价的所 有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类, 记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a],则 [a] = [b],即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 定,也可以由该等价类中任一其它元素所决定。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  37. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系,a ∈ A,则与 a 等价的所 有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类, 记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a],则 [a] = [b],即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 定,也可以由该等价类中任一其它元素所决定。 . . . 2 [a] 中任一元素均可作为代表元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  38. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系,a ∈ A,则与 a 等价的所 有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类, 记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a],则 [a] = [b],即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 定,也可以由该等价类中任一其它元素所决定。 . . . 2 [a] 中任一元素均可作为代表元。 . . . 3 不同的等价类不相交。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  39. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系,a ∈ A,则与 a 等价的所 有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类, 记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。 . . . . . . . . . . 1 若 b ∈ [a],则 [a] = [b],即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 定,也可以由该等价类中任一其它元素所决定。 . . . 2 [a] 中任一元素均可作为代表元。 . . . 3 不同的等价类不相交。 . . . 4 A 是各等价类的并。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  40. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  41. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导 出的等价类是什么? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  42. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导 出的等价类是什么? . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  43. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导 出的等价类是什么? . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}; . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  44. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导 出的等价类是什么? . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}; . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1; . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  45. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导 出的等价类是什么? . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}; . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1; . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z; . . . 4 U0, U2, . . . , Um−1 就是全部等价类。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  46. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导 出的等价类是什么? . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}; . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1; . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z; . . . 4 U0, U2, . . . , Um−1 就是全部等价类。 这里的关系 ‘∼’ 其实就是模 m 同余, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  47. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 A = Z,m 是一正整数,定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被 m 整除,则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导 出的等价类是什么? . . . . . . . . . . 1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}; . . . 2 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1; . . . 3 显然 0 i<m Ui = Z; . . . 4 U0, U2, . . . , Um−1 就是全部等价类。 这里的关系 ‘∼’ 其实就是模 m 同余, 而这里的剩余类其实 就是模 m 的同余类。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  48. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  49. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  50. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  51. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  52. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  53. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  54. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  55. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  56. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ; . . . 3 传递性:若 a ∼ b, b ∼ c, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  57. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ; . . . 3 传递性:若 a ∼ b, b ∼ c,有 b−1a, c−1b ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  58. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ; . . . 3 传递性:若 a ∼ b, b ∼ c,有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  59. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ; . . . 3 传递性:若 a ∼ b, b ∼ c,有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H ⇒ c−1a ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  60. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ; . . . 3 传递性:若 a ∼ b, b ∼ c,有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H ⇒ c−1a ∈ H ⇒ a ∼ c。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  61. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 G 是群,H 为 G 一子群,在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下: a ∼ b 当且仅当 b−1a ∈ H。 这是一个等价关系吗? . . . . . . . . . . 1 自反性:a−1a ∈ H ⇒ a ∼ a; . . . 2 对称性:若 a ∼ b,有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H ⇒ a−1b ∈ H ⇒ b ∼ a ; . . . 3 传递性:若 a ∼ b, b ∼ c,有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒ c−1b · b−1a ∈ H ⇒ c−1a ∈ H ⇒ a ∼ c。 这个等价关系记为 RH 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  62. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则集合 aH = {ab | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的一个左陪集。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  63. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  64. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  65. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  66. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  67. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H,即 x ∈ aH。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  68. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H,即 x ∈ aH。 所以 [a] ⊆ aH。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  69. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H,即 x ∈ aH。 所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  70. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H,即 x ∈ aH。 所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH,有 a−1x ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  71. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H,即 x ∈ aH。 所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH,有 a−1x ∈ H ⇒ a ∼ x。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  72. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,a ∈ G,则在等价关系 RH 下,a 的等价 类 [a] = aH。 . . . . . . . . . . 1 ∀x ∈ [a],有 x ∼ a ⇒ a−1x ∈ H,即 x ∈ aH。 所以 [a] ⊆ aH。 . . . 2 ∀x ∈ aH,有 a−1x ∈ H ⇒ a ∼ x。 所以 [a] ⊇ aH。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  73. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  74. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  75. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  76. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交; . . . 3 任意 a, b ∈ G,则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  77. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交; . . . 3 任意 a, b ∈ G,则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  78. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交; . . . 3 任意 a, b ∈ G,则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; . . . 2 理由同上; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  79. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交; . . . 3 任意 a, b ∈ G,则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; . . . 2 理由同上; . . . 3 aH = bH 意味着对关系 RH 而言,a ∼ b, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  80. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 H 是 G 的子群,则 . . . 1 G 是 H 在 G 中所有左陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交; . . . 3 任意 a, b ∈ G,则 aH = bH 当且仅当 b−1a ∈ H。 . . . . . . . . . . 1 这是因为左陪集是划分; . . . 2 理由同上; . . . 3 aH = bH 意味着对关系 RH 而言,a ∼ b,即 b−1a ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  81. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  82. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  83. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  84. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  85. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  86. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}; . . . 3 (23)H = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  87. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}; . . . 3 (23)H = {(23), (132)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  88. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 为 S3 一子群,求 S3 对 H 的左陪集划分。 . . . . . . . . . . 1 (1)H = {(1), (12)}; . . . 2 (13)H = {(13), (123)}; . . . 3 (23)H = {(23), (132)}; . . . 4 由于 |S3| = 3! = 6,所以我们已经找出了全部的左陪集。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  89. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 模仿 RH ,我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  90. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 模仿 RH ,我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。 令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  91. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 模仿 RH ,我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。 令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集,全体右陪集 构成 G 在关系 RH 下的一个划分。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  92. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 模仿 RH ,我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。 令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集,全体右陪集 构成 G 在关系 RH 下的一个划分。 . 定理 . . . . . . . . . . . 1 G 是 H 在 G 中所有右陪集的并; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  93. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 模仿 RH ,我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。 令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集,全体右陪集 构成 G 在关系 RH 下的一个划分。 . 定理 . . . . . . . . . . . 1 G 是 H 在 G 中所有右陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个右陪集或相等或不相交; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  94. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 模仿 RH ,我们可以定义另一种等价关系 RH : a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。 令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集,全体右陪集 构成 G 在关系 RH 下的一个划分。 . 定理 . . . . . . . . . . . 1 G 是 H 在 G 中所有右陪集的并; . . . 2 H 在 G 中的两个右陪集或相等或不相交; . . . 3 任意 a, b ∈ G,则 Ha = Hb 当且仅当 ab−1 ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  95. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . G 关于 H 左陪集的个数称为 H 在 G 中的指数,记为 [G : H]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  96. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . G 关于 H 左陪集的个数称为 H 在 G 中的指数,记为 [G : H]。 . 注意 . . . . . . . . 指数未必就是有限的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  97. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群,若 H 是 G 的子群,那么 [G : H] = |G| |H| 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  98. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群,若 H 是 G 的子群,那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  99. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群,若 H 是 G 的子群,那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  100. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群,若 H 是 G 的子群,那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。 . . . 2 每个左陪集大小是一样的,都为 H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  101. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群,若 H 是 G 的子群,那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。 . . . 2 每个左陪集大小是一样的,都为 H; . . . 3 左陪集个数有 |G| |H| 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  102. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是一个有限群,若 H 是 G 的子群,那么 [G : H] = |G| |H| 。 . . . . . . . . . . 1 |aH| = |H|; 这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。 . . . 2 每个左陪集大小是一样的,都为 H; . . . 3 左陪集个数有 |G| |H| 。 . . . . . . . 这个结论对右陪集也成立。所以对有限群来讲,左陪集和右陪集 是一样多的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  103. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  104. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。 . . . 2 G 为有限群,则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  105. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。 . . . 2 G 为有限群,则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。 . . . . . . . 证明: . . . 1 [G : H] = |G| |H| ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  106. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    推论 . . . . . . . . . . . 1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。 . . . 2 G 为有限群,则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。 . . . . . . . 证明: . . . 1 [G : H] = |G| |H| ; . . . 2 ∀g ∈ G,设 o(g) = d,则 {g, g2, . . . , gd} 是 G 的 一个子 群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  107. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群,且 H K G,则 [G : K][K : H] = [G : H]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  108. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群,且 H K G,则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  109. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群,且 H K G,则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ; . . . 2 [K : H] = |K| |H| ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  110. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群,且 H K G,则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ; . . . 2 [K : H] = |K| |H| ; . . . 3 [G : K] · [K : H] = |G| |K| · |K| |H| 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  111. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群,且 H K G,则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ; . . . 2 [K : H] = |K| |H| ; . . . 3 [G : K] · [K : H] = |G| |K| · |K| |H| = |G| |H| ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  112. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 若 G 是有限群,且 H K G,则 [G : K][K : H] = [G : H]。 . . . . . . . . . . 1 [G : K] = |G| |K| ; . . . 2 [K : H] = |K| |H| ; . . . 3 [G : K] · [K : H] = |G| |K| · |K| |H| = |G| |H| ; . . . 4 [G : H] = |G| |H| 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  113. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}, H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  114. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}, H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  115. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}, H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个; . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  116. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}, H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个; . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}; . . . 3 [1] + H = {[1], [4]}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  117. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}, H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个; . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}; . . . 3 [1] + H = {[1], [4]}; . . . 4 [2] + H = {[3], [7]}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  118. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}, H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6 对 H 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集有 6/2 = 3 个; . . . 2 [0] + H = {[0], [3]}; . . . 3 [1] + H = {[1], [4]}; . . . 4 [2] + H = {[3], [7]}。 . . . 5 [0] + H, [1] + H, [2] + H 就是全部左陪集。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  119. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  120. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  121. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  122. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}; . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  123. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}; . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}; . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  124. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}; . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}; . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}; . . . 5 (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  125. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}; . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}; . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}; . . . 5 (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}; . . . 6 (123)K4 = {(123), (134), (243), (142)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  126. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 在 S4 中,令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4 对 K4 的左陪集分解。 . . . . . . . . . . 1 左陪集个数有 |S4|/|K4| = 24/4 = 6 个; . . . 2 (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}; . . . 3 (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}; . . . 4 (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}; . . . 5 (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}; . . . 6 (123)K4 = {(123), (134), (243), (142)}; . . . 7 (124)K4 = {(124), (143), (132), (234)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  127. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . §6.5 正规子群、商群和同态 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  128. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 设 G 是群,H 是 G 的一个子群,则 G 可以分解成 H 的一 些左陪集的不相交并。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  129. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 设 G 是群,H 是 G 的一个子群,则 G 可以分解成 H 的一 些左陪集的不相交并。因此得到一个新集合,即 G 关于 H 的 所有左陪集构成的集合,常记为 G/H = {aH | a ∈ G}。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  130. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 设 G 是群,H 是 G 的一个子群,则 G 可以分解成 H 的一 些左陪集的不相交并。因此得到一个新集合,即 G 关于 H 的 所有左陪集构成的集合,常记为 G/H = {aH | a ∈ G}。我们希 望能在 G/H 引人代数运算。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  131. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  132. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  133. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 但由于这个定义涉及代表元,我们必须验证其是否自恰。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  134. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 但由于这个定义涉及代表元,我们必须验证其是否自恰。 若 aH = a H, bH = b H,那么我们定义的乘法应确保: aH · bH = a H · b H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  135. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 但由于这个定义涉及代表元,我们必须验证其是否自恰。 若 aH = a H, bH = b H,那么我们定义的乘法应确保: aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  136. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 但由于这个定义涉及代表元,我们必须验证其是否自恰。 若 aH = a H, bH = b H,那么我们定义的乘法应确保: aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H,即 b −1a −1ab ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  137. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 但由于这个定义涉及代表元,我们必须验证其是否自恰。 若 aH = a H, bH = b H,那么我们定义的乘法应确保: aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H,即 b −1a −1ab ∈ H。 有 a −1a ∈ b Hb−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  138. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 但由于这个定义涉及代表元,我们必须验证其是否自恰。 若 aH = a H, bH = b H,那么我们定义的乘法应确保: aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H,即 b −1a −1ab ∈ H。 有 a −1a ∈ b Hb−1 = bHb−1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  139. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G/H 中引入代数运算? . . . . . . . 一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 但由于这个定义涉及代表元,我们必须验证其是否自恰。 若 aH = a H, bH = b H,那么我们定义的乘法应确保: aH · bH = a H · b H, 也就是 abH = a b H,即 b −1a −1ab ∈ H。 有 a −1a ∈ b Hb−1 = bHb−1; 即我们定义的运算是自恰的,当且仅当对任意 的 a ∼ a , b ∼ b , 有 a −1a ∈ bHb−1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  140. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  141. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  142. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  143. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H,实际上 a −1a 能跑遍 H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  144. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H,实际上 a −1a 能跑遍 H; . . . 2 如果前面的条件成立,我们将有 H ⊆ bHb−1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  145. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H,实际上 a −1a 能跑遍 H; . . . 2 如果前面的条件成立,我们将有 H ⊆ bHb−1; . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  146. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H,实际上 a −1a 能跑遍 H; . . . 2 如果前面的条件成立,我们将有 H ⊆ bHb−1; . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H;由于 b 的任意性, 我们实 际上能得到 bHb−1 ⊆ H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  147. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H,实际上 a −1a 能跑遍 H; . . . 2 如果前面的条件成立,我们将有 H ⊆ bHb−1; . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H;由于 b 的任意性, 我们实 际上能得到 bHb−1 ⊆ H; . . . 4 H 与 bHb−1 彼此包含,所以是相等的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  148. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H,实际上 a −1a 能跑遍 H; . . . 2 如果前面的条件成立,我们将有 H ⊆ bHb−1; . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H;由于 b 的任意性, 我们实 际上能得到 bHb−1 ⊆ H; . . . 4 H 与 bHb−1 彼此包含,所以是相等的。 . . . 5 好,最后我们得到了一个比较漂亮的条件: 对任意的 b ∈ G,有 H = bHb−1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  149. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 对任意的 a ∼ a , b ∼ b ,a −1a ∈ bHb−1。 这个条件看上去不 是普遍成立的。 . . . 1 注意到 a −1a ∈ H,实际上 a −1a 能跑遍 H; . . . 2 如果前面的条件成立,我们将有 H ⊆ bHb−1; . . . 3 这样马上能得到 b−1Hb ⊆ H;由于 b 的任意性, 我们实 际上能得到 bHb−1 ⊆ H; . . . 4 H 与 bHb−1 彼此包含,所以是相等的。 . . . 5 好,最后我们得到了一个比较漂亮的条件: 对任意的 b ∈ G,有 H = bHb−1。 这个条件也可以写为 ∀b ∈ G, bH = Hb。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  150. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群,且任意 a ∈ G,均有 aH = Ha,即 a 关于 H 的左右陪集相等,则称 H 是 G 的正规子群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  151. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群,且任意 a ∈ G,均有 aH = Ha,即 a 关于 H 的左右陪集相等,则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  152. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群,且任意 a ∈ G,均有 aH = Ha,即 a 关于 H 的左右陪集相等,则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等; . . . 2 aH = Ha 并不意味着对任何 h ∈ H,有 ah = ha; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  153. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群,且任意 a ∈ G,均有 aH = Ha,即 a 关于 H 的左右陪集相等,则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等; . . . 2 aH = Ha 并不意味着对任何 h ∈ H,有 ah = ha; . . . 3 对任意 h ∈ H,ah 在 aH 中,从而在 Ha 中, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  154. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 若 H 是群 G 的子群,且任意 a ∈ G,均有 aH = Ha,即 a 关于 H 的左右陪集相等,则称 H 是 G 的正规子群。 . 注意 . . . . . . . . . . . 1 aH = Ha 是两个集合的相等; . . . 2 aH = Ha 并不意味着对任何 h ∈ H,有 ah = ha; . . . 3 对任意 h ∈ H,ah 在 aH 中,从而在 Ha 中,所以必定 存在 h ∈ H,使得 ah = h a。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  155. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群,它是正规的吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  156. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群,它是正规的吗? . . . . . . . . . . 1 (13)H = {(13), (123)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  157. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群,它是正规的吗? . . . . . . . . . . 1 (13)H = {(13), (123)}; . . . 2 H(13) = {(13), (132)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  158. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 是对称群 S3 的子群,它是正规的吗? . . . . . . . . . . 1 (13)H = {(13), (123)}; . . . 2 H(13) = {(13), (132)}; . . . 3 (13)H = H(13), 所以 H 不是正规子群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  159. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . N = {(1), (123), (132)} 是 S3 的子群,它是正规子群吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  160. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 交换群的子群都是正规的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  161. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 交换群的子群都是正规的。 . . . . . . . 此时条件 ∀a ∈ G, aH = Ha 显然成立。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  162. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群,a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  163. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群,a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价: . . . 1 N 是 G 的正规子群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  164. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群,a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价: . . . 1 N 是 G 的正规子群; . . . 2 ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  165. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群,a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价: . . . 1 N 是 G 的正规子群; . . . 2 ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N; . . . 3 ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  166. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是群 G 的子群,a ∈ G。令 a−1Na = {a−1na | n ∈ N}, 则下列条件等价: . . . 1 N 是 G 的正规子群; . . . 2 ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N; . . . 3 ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N; . . . 4 ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  167. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  168. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N; . . . . . . . . . . 1 a−1n ∈ a−1N = Na−1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  169. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N; . . . . . . . . . . 1 a−1n ∈ a−1N = Na−1; . . . 2 存在 n ∈ N,使得 a−1n = n a−1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  170. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (1 ⇒ 2) . . . . . . . . N 是 G 的正规子群 =⇒ ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N; . . . . . . . . . . 1 a−1n ∈ a−1N = Na−1; . . . 2 存在 n ∈ N,使得 a−1n = n a−1; . . . 3 a−1na = n ∈ N。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  171. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (2 ⇒ 3) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N =⇒ ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  172. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (2 ⇒ 3) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, n ∈ N,有 a−1na ∈ N =⇒ ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N; . . . . . . . 显然。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  173. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  174. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N,由 a 的任意性,有 aNa−1 ⊆ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  175. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N,由 a 的任意性,有 aNa−1 ⊆ N; . . . 2 对任意 n ∈ N,有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  176. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N,由 a 的任意性,有 aNa−1 ⊆ N; . . . 2 对任意 n ∈ N,有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N; . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  177. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N,由 a 的任意性,有 aNa−1 ⊆ N; . . . 2 对任意 n ∈ N,有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N; . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ; . . . 4 n = a−1n a ∈ aNa−1; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  178. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N,由 a 的任意性,有 aNa−1 ⊆ N; . . . 2 对任意 n ∈ N,有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N; . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ; . . . 4 n = a−1n a ∈ aNa−1; . . . 5 a−1Na ⊇ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  179. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (3 ⇒ 4) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, 有 a−1Na ⊆ N =⇒ ∀ a ∈ G, a−1Na = N。 . . . . . . . . . . 1 已知 a−1Na ⊆ N,由 a 的任意性,有 aNa−1 ⊆ N; . . . 2 对任意 n ∈ N,有 ana−1 ∈ a−1Na ⊆ N; . . . 3 存在 n ∈ N 使得 ana−1 = n ; . . . 4 n = a−1n a ∈ aNa−1; . . . 5 a−1Na ⊇ N; . . . 6 a−1Na = N。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  180. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  181. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  182. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; . . . 2 n ∈ N = a−1Na, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  183. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; . . . 2 n ∈ N = a−1Na,存在 n ∈ N,使 得 n = a−1n a; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  184. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; . . . 2 n ∈ N = a−1Na,存在 n ∈ N,使 得 n = a−1n a; . . . 3 x = an = aa−1n a 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  185. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; . . . 2 n ∈ N = a−1Na,存在 n ∈ N,使 得 n = a−1n a; . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  186. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; . . . 2 n ∈ N = a−1Na,存在 n ∈ N,使 得 n = a−1n a; . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na,所以 aN ⊆ Na; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  187. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; . . . 2 n ∈ N = a−1Na,存在 n ∈ N,使 得 n = a−1n a; . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na,所以 aN ⊆ Na; . . . 4 类似可以证明 aN ⊇ Na; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  188. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    (4 ⇒ 1) . . . . . . . . ∀ a ∈ G, a−1Na = N =⇒ N 是 G 的正规子群。 . . . . . . . . . . 1 对任意 x ∈ aN,存在 n ∈ N,使得 x = an; . . . 2 n ∈ N = a−1Na,存在 n ∈ N,使 得 n = a−1n a; . . . 3 x = an = aa−1n a = n a ∈ Na,所以 aN ⊆ Na; . . . 4 类似可以证明 aN ⊇ Na; . . . 5 aN = Na, N 是正规子群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  189. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  190. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的,若 aN = a N, bN = b N,有 (a b )−1ab = b −1a −1ab 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  191. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的,若 aN = a N, bN = b N,有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  192. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的,若 aN = a N, bN = b N,有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  193. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的,若 aN = a N, bN = b N,有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N; 所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  194. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的,若 aN = a N, bN = b N,有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N; 所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。 . . . 2 容易验证封闭性和结合律; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  195. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的,若 aN = a N, bN = b N,有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N; 所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。 . . . 2 容易验证封闭性和结合律; . . . 3 eN 是单位元, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  196. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 N 是 G 的正规子群,G/N = {aN | a ∈ G},在 G/N 上定 义运算 aN · bN = (ab)N, 则上述定义给出 G/N 上的一个乘法,且 G/N 关于这个乘法 构成一个群。这个群称为 G 关于正规子群 N 的商群。 . . . . . . . . . . 1 这个定义是自恰的,若 aN = a N, bN = b N,有 (a b )−1ab = b −1a −1ab ∈ b −1Nb = b −1bN ⊆ N; 所以 aN · bN = abN = a b N = a N · b N。 . . . 2 容易验证封闭性和结合律; . . . 3 eN 是单位元,aN 的逆为 a−1N。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  197. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集 合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上,我们刚才定义的乘 法 aH · bH = abH 是无效的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  198. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集 合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上,我们刚才定义的乘 法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法,应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  199. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集 合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上,我们刚才定义的乘 法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法,应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  200. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集 合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上,我们刚才定义的乘 法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法,应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; . . . 3 而 (13)H = {(13), (123)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  201. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集 合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上,我们刚才定义的乘 法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法,应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; . . . 3 而 (13)H = {(13), (123)}; . . . 4 (132)H = {(132), (23)}; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  202. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . H = {(1), (12)} 不是 S3 的正规子群。在S3 的左陪集集 合 S3/H = {(1)H, (13)H, (23)H} 上,我们刚才定义的乘 法 aH · bH = abH 是无效的。 . . . . . . . 令 x = (1)H = (12)H, y = (13)H, 按我们定义的乘法,应该有 . . . 1 xy = (1)H(13)H = (1)(13)H = (13)H; . . . 2 xy = (12)H(13)H = (12)(13)H = (132)H; . . . 3 而 (13)H = {(13), (123)}; . . . 4 (132)H = {(132), (23)}; . . . 5 xy = (13)H = (132)H = xy, 矛盾。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  203. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  204. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态,则 G1 和 G2 在某种意义 下是“相似” 的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  205. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态,则 G1 和 G2 在某种意义 下是“相似” 的。 左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  206. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态,则 G1 和 G2 在某种意义 下是“相似” 的。 左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。 如果是同构,则左边和右边在某种意义下是一样的,只不过 换了个名字而已。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  207. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态,则 G1 和 G2 在某种意义 下是“相似” 的。 左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。 如果是同构,则左边和右边在某种意义下是一样的,只不过 换了个名字而已。 同态与同构不同的地方在于:元素不是一一对应的,有可能 多个元素映成一个元素。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  208. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态,则 G1 和 G2 在某种意义 下是“相似” 的。 左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。 如果是同构,则左边和右边在某种意义下是一样的,只不过 换了个名字而已。 同态与同构不同的地方在于:元素不是一一对应的,有可能 多个元素映成一个元素。 不难产生这样的想法:把经过 f 映射后变成同一个元素的 元素粘在一起,看成一个“超级”的元素, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  209. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 接下来我们要讨论重要的同态基本定理。 . . . . . . . 设 f 是群 G1 到 G2 的满同态,则 G1 和 G2 在某种意义 下是“相似” 的。 左边的元素 a + b 被映射成右边的 f(a) + f(b)。 如果是同构,则左边和右边在某种意义下是一样的,只不过 换了个名字而已。 同态与同构不同的地方在于:元素不是一一对应的,有可能 多个元素映成一个元素。 不难产生这样的想法:把经过 f 映射后变成同一个元素的 元素粘在一起,看成一个“超级”的元素,这样好像就能把 多一对应变成一一对应了。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  210. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  211. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  212. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  213. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 此分割导出一个等价关系 ∼,满足:a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  214. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 此分割导出一个等价关系 ∼,满足:a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a],显然 [a] 中元素被映射 成 f(a), 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  215. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 此分割导出一个等价关系 ∼,满足:a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a],显然 [a] 中元素被映射 成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  216. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 此分割导出一个等价关系 ∼,满足:a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a],显然 [a] 中元素被映射 成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。 把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  217. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 此分割导出一个等价关系 ∼,满足:a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a],显然 [a] 中元素被映射 成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。 把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。G1/∼ 中的元素跟 G2 中的 元素是一一对应的, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  218. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 此分割导出一个等价关系 ∼,满足:a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a],显然 [a] 中元素被映射 成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。 把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。G1/∼ 中的元素跟 G2 中的 元素是一一对应的,如果我们在 G1/∼ 中引人代数运算, 它能跟 G2 同构吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  219. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 把经过 f 映射成相同元素的元素粘在一起。或者说,按 f 下不 同的像进行分组。 . . . . . . . 这显然构成一 G1 的一个分割。 此分割导出一个等价关系 ∼,满足:a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). 把 a 所在的等价类记为 [a],显然 [a] 中元素被映射 成 f(a), 且 [a] 是 f(a) 的原像集合。 把全体 [a], a ∈ G 记为 G1/∼ 。G1/∼ 中的元素跟 G2 中的 元素是一一对应的,如果我们在 G1/∼ 中引人代数运算, 它能跟 G2 同构吗? 看上去很有希望。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  220. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  221. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  222. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  223. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  224. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  225. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  226. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  227. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ], 我们的定义没有问题。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  228. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ], 我们的定义没有问题。 容易验证封闭性和结合律; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  229. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ], 我们的定义没有问题。 容易验证封闭性和结合律; 单位元是 [e], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  230. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ], 我们的定义没有问题。 容易验证封闭性和结合律; 单位元是 [e], [a] 的逆元是 [a−1]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  231. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ], 我们的定义没有问题。 容易验证封闭性和结合律; 单位元是 [e], [a] 的逆元是 [a−1]。 G1/∼ 在我们定义的运算下,构成一个群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  232. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在 G1/∼ 中引人代数运算。 . . . . . . . 最自然的定义当然是 [a] · [b] = [a · b] 了,不过凡是在等价 类 上定义运算,就要小心自恰的问题。 若 [a] = [a ], [b] = [b ],则 f(a · b) = f(a) · f(b) = f(a ) · f(b ) = f(a · b ) 这表明 [a · b] = [a · b ], 我们的定义没有问题。 容易验证封闭性和结合律; 单位元是 [e], [a] 的逆元是 [a−1]。 G1/∼ 在我们定义的运算下,构成一个群。它跟 G2 是 同 构的吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  233. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  234. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  235. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  236. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  237. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  238. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  239. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  240. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  241. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  242. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  243. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  244. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) = f(a) · f(b) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  245. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) = f(a) · f(b) = ϕ([a]) · ϕ([b])。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  246. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . G1/∼ 与 G2 是同构的吗? . . . . . . . 同构是相对于某个映射而言的,我们知道,在 G1/∼ 与 G2 间存在一个一一对应。只要把这个对应关系明确写出来,然 后验证是否同态就可以了。 令 G1/∼ 到 G2 的映射为为 ϕ : [a] → f(a); 通过代表元来定义等价类上的映射同样会遇到自恰的问 题。等价类可以有多个代表元,如果不同的代表元导出的像 不一致,定义就是无效的。我们这里显然不存在这个问题。 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a · b]) = f(a · b) = f(a) · f(b) = ϕ([a]) · ϕ([b])。 双射 ϕ 满足 ϕ([a] · [b]) = ϕ([a]) · ϕ([b]), 此为同构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  247. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  248. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  249. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  250. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  251. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  252. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  253. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  254. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  255. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  256. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  257. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  258. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。 对任意 a ∈ G, x ∈ [e], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  259. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。 对任意 a ∈ G, x ∈ [e], 有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  260. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。 对任意 a ∈ G, x ∈ [e], 有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  261. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。 对任意 a ∈ G, x ∈ [e], 有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) = f(e) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  262. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。 对任意 a ∈ G, x ∈ [e], 有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) = f(e) = e。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  263. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 现在我们知道,给定 G1 到 G2 的满同态,我们可导出 G1/∼ 到 G2 的一个同构。只要仔细考察一下 G1/∼ 就会发现,这其 实是 G1 的一个商群。 . . . . . . . 在众多等价类中,[e] 很特殊,它是 G2 的一个子群。 封闭 设 x, y ∈ [e],有 f(x · y) = f(x) · f(y) = e; 单位 e ∈ [e]; 逆元 设 x ∈ [e],有 f(xx−1) = f(e) ⇒ f(x)f(x−1) = e 得 f(x−1) = e,即 x−1 ∈ [e]。 [e] 是正规的。 对任意 a ∈ G, x ∈ [e], 有 f(a−1xa) = f(a−1)f(x)f(a) = f(a−1)ef(a) = f(a−1a) = f(e) = e。即 有 a−1xa ∈ [e]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  264. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’, a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  265. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’, a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e,即 f(b−1a) = e。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  266. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’, a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e,即 f(b−1a) = e。所 以 ‘∼’ 也可以写为: a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  267. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’, a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e,即 f(b−1a) = e。所 以 ‘∼’ 也可以写为: a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  268. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’, a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e,即 f(b−1a) = e。所 以 ‘∼’ 也可以写为: a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] ,其划分出的等价类正是 G1 对 [e] 的左陪集。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  269. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’, a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e,即 f(b−1a) = e。所 以 ‘∼’ 也可以写为: a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] ,其划分出的等价类正是 G1 对 [e] 的左陪集。 . . . . . . . G/∼ 其实是个商群 G/[e]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  270. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . . . . 1 现在回顾一下用于划分等价类的关系 ‘∼’, a ∼ b ⇔ f(a) = f(b); . . . 2 f(a) = f(b) 相当于 f(b)−1f(a) = e,即 f(b−1a) = e。所 以 ‘∼’ 也可以写为: a ∼ b ⇔ b−1a ∈ [e] . . . 3 ‘∼’ 其实就是 R[e] ,其划分出的等价类正是 G1 对 [e] 的左陪集。 . . . . . . . G/∼ 其实是个商群 G/[e]。综合前面所述,我们得到重要的 “群同态基本定理”。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  271. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 (群同态基本定理) . . . . . . . . 设 f : G1 → G2 是群的满同态映射,记 ker(f) = a ∈ G1 f(a) = e2, e2 是 G2 的单位元 。 则 ker(f) 是 G1 的正规子群,且 G1/ ker(f) G2 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  272. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 (群同态基本定理) . . . . . . . . 设 f : G1 → G2 是群的满同态映射,记 ker(f) = a ∈ G1 f(a) = e2, e2 是 G2 的单位元 。 则 ker(f) 是 G1 的正规子群,且 G1/ ker(f) G2 。 . . . . . . . 不难看出,这个 ker(f) 其实就是前面的 [e]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  273. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . f : Z → Zm, f(a) = [a] 是群的满同态(加法群),求 ker(f)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  274. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . f : Z → Zm, f(a) = [a] 是群的满同态(加法群),求 ker(f)。 . . . . . . . ker(f) = {mk | k ∈ Z},记为 mZ。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  275. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . f : Z → Zm, f(a) = [a] 是群的满同态(加法群),求 ker(f)。 . . . . . . . ker(f) = {mk | k ∈ Z},记为 mZ。 由同态基本定理知道 Z/mZ Zm 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  276. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . §6.6 循环群 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  277. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 在本章的最后一节,我们介绍一类特殊的群,这类群是比较常见 的,其结构也很简单,这就是循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  278. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 G 是群,a ∈ G,令 a = {ak | k ∈ Z},它 是由 a 生成 的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  279. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 G 是群,a ∈ G,令 a = {ak | k ∈ Z},它 是由 a 生成 的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 . . . . . . . . . . 1 容易验证这的确是一个群 封闭性、结合律容易验证; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  280. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 G 是群,a ∈ G,令 a = {ak | k ∈ Z},它 是由 a 生成 的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 . . . . . . . . . . 1 容易验证这的确是一个群 封闭性、结合律容易验证; a0 = e,ak 的逆是 a−k; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  281. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 . . . . . . . . 设 G 是群,a ∈ G,令 a = {ak | k ∈ Z},它 是由 a 生成 的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 . . . . . . . . . . 1 容易验证这的确是一个群 封闭性、结合律容易验证; a0 = e,ak 的逆是 a−k; . . . 2 看上去 a 中有很多元素,其实不一定,有一些是可能是 重复的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  282. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中,G 是一个所谓的乘法群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  283. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中,G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  284. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中,G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积,即 ak = a · a · · · a k 个 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  285. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中,G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积,即 ak = a · a · · · a k 个 如果 G 是个加法群,则 ak 的对应物是 k 个 a 之和,常记 为 k · a。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  286. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中,G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积,即 ak = a · a · · · a k 个 如果 G 是个加法群,则 ak 的对应物是 k 个 a 之和,常记 为 k · a。但这里的 k · a 不是 k 乘以 a。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  287. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中,G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积,即 ak = a · a · · · a k 个 如果 G 是个加法群,则 ak 的对应物是 k 个 a 之和,常记 为 k · a。但这里的 k · a 不是 k 乘以 a。k 是个整数,而 a 则是加法群 G 中的一个元素。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  288. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    注意 . . . . . . . . 前面给出的循环群定义中,G 是一个所谓的乘法群。ak, k > 0 表示 k 个 a 的乘积,即 ak = a · a · · · a k 个 如果 G 是个加法群,则 ak 的对应物是 k 个 a 之和,常记 为 k · a。但这里的 k · a 不是 k 乘以 a。k 是个整数,而 a 则是加法群 G 中的一个元素。k · a 的惟一含义就是: k · a = a + a + · · · + a k 个 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  289. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定义 (循环群定义的加法群形式) . . . . . . . . 设 G 是群,a ∈ G,令 a = {k · a | k ∈ Z},它是由 a 生成 的 G 的子群。 a 称为 G 的一个生成元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  290. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 整数加群 (Z, +) 就是由 1 或 −1 生成的循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  291. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a , . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时,G = {a0, . . . , am−1}; . . . 2 当 o(a) = ∞ 时, G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  292. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a , . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时,G = {a0, . . . , am−1}; . . . 2 当 o(a) = ∞ 时, G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m,则对任意 ak, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  293. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a , . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时,G = {a0, . . . , am−1}; . . . 2 当 o(a) = ∞ 时, G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m,则对任意 ak,总可以用带余除法把 k 写 成 k = mq + r, 0 r < m − 1; 有 ak = (am)qar = ar; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  294. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a , . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时,G = {a0, . . . , am−1}; . . . 2 当 o(a) = ∞ 时, G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m,则对任意 ak,总可以用带余除法把 k 写 成 k = mq + r, 0 r < m − 1; 有 ak = (am)qar = ar; . . . 2 若 o(a) = ∞,则对任意 i = j 均有 ai = aj。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  295. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a , . . . 1 当 o(a) = m 为有限整数时,G = {a0, . . . , am−1}; . . . 2 当 o(a) = ∞ 时, G = {. . . , a−k, . . . , a−1, e, a1, . . . , ak, . . .}. . . . . . . . . . . 1 若 o(a) = m,则对任意 ak,总可以用带余除法把 k 写 成 k = mq + r, 0 r < m − 1; 有 ak = (am)qar = ar; . . . 2 若 o(a) = ∞,则对任意 i = j 均有 ai = aj。否则 有 ai−j = e,矛盾。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  296. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 整数模 m 的加群 (Zm, +) 也可由 1 的同余类 [1] 生成,故 (Zm, +) 也是一个循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  297. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 整数模 m 的加群 (Zm, +) 也可由 1 的同余类 [1] 生成,故 (Zm, +) 也是一个循环群。 . . . . . . . Zm = {[0], [1], [2], · · · , [m − 1]} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  298. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 整数模 m 的加群 (Zm, +) 也可由 1 的同余类 [1] 生成,故 (Zm, +) 也是一个循环群。 . . . . . . . Zm = {[0], [1], [2], · · · , [m − 1]} = [1] 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  299. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  300. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  301. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射:ϕ : k → ak。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  302. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射:ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  303. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射:ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射,有 Z/ ker(ϕ) G; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  304. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射:ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射,有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞,则 ker(ϕ) = {0}, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  305. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射:ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射,有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞,则 ker(ϕ) = {0}, Z/{0} = Z, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  306. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射:ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射,有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞,则 ker(ϕ) = {0}, Z/{0} = Z,所以 Z G; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  307. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G 是由 a 生成的循环群。则 . . . 1 若 o(a) = ∞,则 G (Z, +); . . . 2 若 o(a) = m < ∞,则 G (Zm, +)。 . . . . . . . . . . 1 定义 Z 到 G 上的映射:ϕ : k → ak。 . . . 2 容易验证这是一个同态满射,有 Z/ ker(ϕ) G; . . . 3 若 o(a) = ∞,则 ker(ϕ) = {0}, Z/{0} = Z,所以 Z G; . . . 4 若 o(a) = m,则 ker(ϕ)) = {mt | t ∈ Z} = mZ。 Z/mZ G,也就是 (Zm, +) G。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  308. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  309. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  310. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  311. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  312. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  313. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  314. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  315. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  316. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1,所以 n (n,k) d; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  317. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1,所以 n (n,k) d; . . . 2 (ak) n (n,k) = (an) k (n,k) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  318. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1,所以 n (n,k) d; . . . 2 (ak) n (n,k) = (an) k (n,k) = 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  319. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a 是 n 阶循环群,k 是一个正整数, 则 o(ak) = n (k,n) 。 . . . . . . . 是不是有点眼熟?这个就是原根那章里某个定理的翻版,我们把 证明抄过来。设 ak 阶为 d,有 . . . 1 (ak)d = 1 ⇒ akd = 1 ⇒ n | kd ⇒ n (n,k) k (n,k) d 由于 n (n,k) , k (n,k) = 1,所以 n (n,k) d; . . . 2 (ak) n (n,k) = (an) k (n,k) = 1 ⇒ d n (n,k) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  320. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Corollary . . . . . . . . 若 G = a ,且 |G| = n,则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  321. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Corollary . . . . . . . . 若 G = a ,且 |G| = n,则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式,其中 k ∈ Z。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  322. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Corollary . . . . . . . . 若 G = a ,且 |G| = n,则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式,其中 k ∈ Z。如果是生成元,则必 定满足 o(ak) = n, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  323. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Corollary . . . . . . . . 若 G = a ,且 |G| = n,则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式,其中 k ∈ Z。如果是生成元,则必 定满足 o(ak) = n,这相当于 n (n, k) = n 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  324. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Corollary . . . . . . . . 若 G = a ,且 |G| = n,则 G 的全部生成元为 {ak | (k, n) = 1}, 共有 ϕ(n) 个。 . . . . . . . G 中的元都有 ak 的形式,其中 k ∈ Z。如果是生成元,则必 定满足 o(ak) = n,这相当于 n (n, k) = n ⇒ (n, k) = 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  325. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群,[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  326. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群,[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  327. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群,[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1],故其阶为 36 (36, 6) = 6; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  328. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群,[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1],故其阶为 36 (36, 6) = 6; . . . 2 [8] = 8 · [1], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  329. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 加法群 Z36 是一个循环群,[1] 是生成元。求 [6], [8] 的阶。 . . . . . . . . . . 1 [6] = 6 · [1],故其阶为 36 (36, 6) = 6; . . . 2 [8] = 8 · [1], 故其阶为 36 (8, 36) = 9。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  330. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 p 是素数,Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的 剩余类 集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证: Z∗ p 关于剩余类的乘 法构成一个循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  331. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 p 是素数,Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的 剩余类 集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证: Z∗ p 关于剩余类的乘 法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性: 设 [x], [y] ∈ Z∗,有 (x, p) = (y, p) = 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  332. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 p 是素数,Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的 剩余类 集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证: Z∗ p 关于剩余类的乘 法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性: 设 [x], [y] ∈ Z∗,有 (x, p) = (y, p) = 1。于 是 (xy, p) = 1,有 [x] · [y] = [xy] ∈ Z∗。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  333. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 p 是素数,Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的 剩余类 集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证: Z∗ p 关于剩余类的乘 法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性: 设 [x], [y] ∈ Z∗,有 (x, p) = (y, p) = 1。于 是 (xy, p) = 1,有 [x] · [y] = [xy] ∈ Z∗。 结合律容易验证。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  334. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    Example . . . . . . . . 设 p 是素数,Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]} 是整数模 p 的 剩余类 集。令 Z∗ = {[1], [2], . . . , [p − 1]}。求证: Z∗ p 关于剩余类的乘 法构成一个循环群。 . . . . . . . 封闭性: 设 [x], [y] ∈ Z∗,有 (x, p) = (y, p) = 1。于 是 (xy, p) = 1,有 [x] · [y] = [xy] ∈ Z∗。 结合律容易验证。 单位元是 [1]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  335. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  336. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z], 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  337. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  338. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  339. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  340. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射, 但 Z∗ 是有限的,单射也就是满射, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  341. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射, 但 Z∗ 是有限的,单射也就是满射,所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗,使得 [x] · [y] = [1]。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  342. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射, 但 Z∗ 是有限的,单射也就是满射,所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗,使得 [x] · [y] = [1]。 是个循环群 设 g 是模 p 的原根,则 [g] 在 Z∗ 中的阶为 p − 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  343. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射, 但 Z∗ 是有限的,单射也就是满射,所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗,使得 [x] · [y] = [1]。 是个循环群 设 g 是模 p 的原根,则 [g] 在 Z∗ 中的阶为 p − 1,Z∗ 的大小恰为 p − 1, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  344. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    . . . . . . 有逆元 对任意 [x] ∈ Z∗,考虑 Z∗ 到 Z∗ 的映射: f : [y] → [x] · [y]。 若 f([y]) = f([z]),即 [x][y] = [x][z],有 [x(y − z)] = [0]。 从而 p | x(y − z) ⇒ p | (x − y) ⇒ [x] = [y]。f 是个单射, 但 Z∗ 是有限的,单射也就是满射,所以必定存在某个 [y] ∈ Z∗,使得 [x] · [y] = [1]。 是个循环群 设 g 是模 p 的原根,则 [g] 在 Z∗ 中的阶为 p − 1,Z∗ 的大小恰为 p − 1,所以 Z∗ 是个循环群,[g] 是其一个生 成元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  345. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  346. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  347. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1,设 d 是最小的正整数,使得 ad ∈ H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  348. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1,设 d 是最小的正整数,使得 ad ∈ H; . . . 3 对任意 ak ∈ H,令 k = dq + r, 0 r < d, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  349. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1,设 d 是最小的正整数,使得 ad ∈ H; . . . 3 对任意 ak ∈ H,令 k = dq + r, 0 r < d, 有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数,所以 r = 0; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  350. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1,设 d 是最小的正整数,使得 ad ∈ H; . . . 3 对任意 ak ∈ H,令 k = dq + r, 0 r < d, 有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数,所以 r = 0; . . . 5 于是 d|k,ak = (ad)k d 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  351. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1,设 d 是最小的正整数,使得 ad ∈ H; . . . 3 对任意 ak ∈ H,令 k = dq + r, 0 r < d, 有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数,所以 r = 0; . . . 5 于是 d|k,ak = (ad)k d 。有 H ⊆ ad 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  352. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1,设 d 是最小的正整数,使得 ad ∈ H; . . . 3 对任意 ak ∈ H,令 k = dq + r, 0 r < d, 有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数,所以 r = 0; . . . 5 于是 d|k,ak = (ad)k d 。有 H ⊆ ad 。 . . . 6 由于 ad ∈ H,显然有 ad ⊆ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  353. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 .

    定理 . . . . . . . . 设 G = a ,H 是 G 的一个子群,则 H 也是循环群。 . . . . . . . . . . 1 若 H = {e},则 H = e 是个循环群。 . . . 2 若 |H| > 1,设 d 是最小的正整数,使得 ad ∈ H; . . . 3 对任意 ak ∈ H,令 k = dq + r, 0 r < d, 有 ak = (ad)q · ar ⇒ ar = ak · (ad)−q ∈ H . . . 4 由于 d 是满足 ad ∈ H 的最小正整数,所以 r = 0; . . . 5 于是 d|k,ak = (ad)k d 。有 H ⊆ ad 。 . . . 6 由于 ad ∈ H,显然有 ad ⊆ H。 . . . 7 最后有 H = ad 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  354. . . . . . . 等价关系、子群的陪集分解 正规子群、商群和同态 循环群 本节完,谢谢!

    磊张 印晓 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》