信息安全数学基础：第3章：二次剩余

. . . . . . Legendre 符号及 Euler 判别法
二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 二次剩余课件制作：张晓磊 2007-05-20 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 设 n 为正整数，模 n 的缩系中的平方元称为模 n 的二次剩余。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 设 n 为正整数，模 n 的缩系中的平方元称为模 n 的二次剩余。给定一个与 n 互素的一个整数 a，判断 a 是否模 n 的二次剩余，这称为二次剩余问题。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 设 n 为正整数，模 n 的缩系中的平方元称为模 n 的二次剩余。给定一个与 n 互素的一个整数 a，判断 a 是否模 n 的二次剩余，这称为二次剩余问题。当 n 为素数时，利用 Lengendre 符号可以解决二次剩余问题。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 设 n 为正整数，模 n 的缩系中的平方元称为模 n 的二次剩余。给定一个与 n 互素的一个整数 a，判断 a 是否模 n 的二次剩余，这称为二次剩余问题。当 n 为素数时，利用 Lengendre 符号可以解决二次剩余问题。本章将介绍： . . . 1 二次剩余、Euler 判别法； . . . 2 Legendre 符号的定义和计算方法(二次互反律)； . . . 3 Legendre 符号的扩展 Jacobi 符号；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . §3.1 Legendre 符号及 Euler 判别法课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定义 (二次剩余和非剩余) . . . . . . . . 设 m 为大于 1 的正整数，(n, m) = 1，如果方程 x2 ≡ n (mod m) 有解，则 n 称为模 m 的二次剩余，否则称为模 m 的二次非剩余。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (二次剩余的分布) . . . . . . . . 设 p 是奇素数，则模 p 的缩系中有 (p − 1)/2 个二次剩余，有 (p − 1)/2 个二次非剩余. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (二次剩余的分布) . . . . . . . . 设 p 是奇素数，则模 p 的缩系中有 (p − 1)/2 个二次剩余，有 (p − 1)/2 个二次非剩余. . (分析) . . . . . . . . 1, 2, · · · , p−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (二次剩余的分布) . . . . . . . . 设 p 是奇素数，则模 p 的缩系中有 (p − 1)/2 个二次剩余，有 (p − 1)/2 个二次非剩余. . (分析) . . . . . . . . 1, 2, · · · , p−1 2 p − 1, p − 2, · · · , p − p−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (二次剩余的分布) . . . . . . . . 设 p 是奇素数，则模 p 的缩系中有 (p − 1)/2 个二次剩余，有 (p − 1)/2 个二次非剩余. . (分析) . . . . . . . . 1, 2, · · · , p−1 2 p − 1, p − 2, · · · , p − p−1 2 模 p 的全部二次剩余为： 12, 22, · · · , ( 1 2 (p − 1) )2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定义 (Legendre 符号) . . . . . . . . 设 p 为奇素数，n 为整数，关于变量 n 的函数 ( n p ) =    1 若 n 为模 p 的二次剩余, −1 若 n 为模 p 的二次非剩余, 0 p|n 称为模 p 的 Legendre 符号. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Legendre 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod p), 则 ( n1 p ) = ( n2 p ) ; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Legendre 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod p), 则 ( n1 p ) = ( n2 p ) ; . . . 2 若 p n，则 ( n2 p ) = 1; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Legendre 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod p), 则 ( n1 p ) = ( n2 p ) ; . . . 2 若 p n，则 ( n2 p ) = 1; . . . 3 ( 1 p ) = 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Legendre 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod p), 则 ( n1 p ) = ( n2 p ) ; . . . 2 若 p n，则 ( n2 p ) = 1; . . . 3 ( 1 p ) = 1 . . . 4 同余方程 x2 ≡ n (mod p) 的解数为 0 或 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Legendre 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod p), 则 ( n1 p ) = ( n2 p ) ; . . . 2 若 p n，则 ( n2 p ) = 1; . . . 3 ( 1 p ) = 1 . . . 4 同余方程 x2 ≡ n (mod p) 的解数为 0 或 2，也可以写为 1 + ( n p ) 。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . Euler 判别法课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . Euler 判别法如果 (a, p) = 1，有 ap−1 ≡ 1 (mod p)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . Euler 判别法如果 (a, p) = 1，有 ap−1 ≡ 1 (mod p)；所以 ap−1 2 ≡ ±1 (mod p) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . Euler 判别法如果 (a, p) = 1，有 ap−1 ≡ 1 (mod p)；所以 ap−1 2 ≡ ±1 (mod p) 模 p 的全部二次剩余和二次非剩余各有 p−1 2 个; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . Euler 判别法如果 (a, p) = 1，有 ap−1 ≡ 1 (mod p)；所以 ap−1 2 ≡ ±1 (mod p) 模 p 的全部二次剩余和二次非剩余各有 p−1 2 个; 模 p 全部二次剩余就是 xp−1 2 ≡ 1 (mod p) 的全部解; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . Euler 判别法如果 (a, p) = 1，有 ap−1 ≡ 1 (mod p)；所以 ap−1 2 ≡ ±1 (mod p) 模 p 的全部二次剩余和二次非剩余各有 p−1 2 个; 模 p 全部二次剩余就是 xp−1 2 ≡ 1 (mod p) 的全部解; 模 p 全部二次非剩余是 xp−1 2 ≡ −1 (mod p) 的全部解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Euler 判别法) . . . . . . . . 设 p 为奇素数，p n，则 . . . 1 当 np−1 2 ≡ 1 (mod p) 时，n 是二次剩余；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Euler 判别法) . . . . . . . . 设 p 为奇素数，p n，则 . . . 1 当 np−1 2 ≡ 1 (mod p) 时，n 是二次剩余； . . . 2 当 np−1 2 ≡ −1 (mod p) 时，n 是二次非剩余。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Euler 判别法) . . . . . . . . 设 p 为奇素数，p n，则 . . . 1 当 np−1 2 ≡ 1 (mod p) 时，n 是二次剩余； . . . 2 当 np−1 2 ≡ −1 (mod p) 时，n 是二次非剩余。这两个式子也可以合并为 ( n p ) ≡ np−1 2 (mod p). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Euler 判别法) . . . . . . . . 设 p 为奇素数，p n，则 . . . 1 当 np−1 2 ≡ 1 (mod p) 时，n 是二次剩余； . . . 2 当 np−1 2 ≡ −1 (mod p) 时，n 是二次非剩余。这两个式子也可以合并为 ( n p ) ≡ np−1 2 (mod p). . . . . . . . 最后一个式子即使是在 p | n 时也是可以用的。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为奇素数，m, n 为整数，则 ( mn p ) = ( m p ) ( n p ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为奇素数，m, n 为整数，则 ( mn p ) = ( m p ) ( n p ) . . . . . . . . . . 1 ( nm p ) ≡ (nm)p−1 2 (mod p) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为奇素数，m, n 为整数，则 ( mn p ) = ( m p ) ( n p ) . . . . . . . . . . 1 ( nm p ) ≡ (nm)p−1 2 (mod p); . . . 2 ( m p ) ( n p ) ≡ np−1 2 mp−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 设 p 为奇素数，m, n 为整数，则 ( mn p ) = ( m p ) ( n p ) . . . . . . . . . . 1 ( nm p ) ≡ (nm)p−1 2 (mod p); . . . 2 ( m p ) ( n p ) ≡ np−1 2 mp−1 2 ≡ (nm)p−1 2 (mod p)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 如果我们能计算 ( −1 p ) , ( 2 p ) , ( q p ) ，其中 q 是奇素数，则对任意 n，利用其典范分解，我们能计算 ( n p ) 。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，有 ( −1 p ) ≡ (−1)p−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，有 ( −1 p ) ≡ (−1)p−1 2 . 推论 . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，有 ( −1 p ) ≡ (−1)p−1 2 . 推论 . . . . . . . . . . . 1 当 p ≡ 1 (mod 4) 时，−1 是模 p 的二次剩余; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，有 ( −1 p ) ≡ (−1)p−1 2 . 推论 . . . . . . . . . . . 1 当 p ≡ 1 (mod 4) 时，−1 是模 p 的二次剩余; . . . 2 当 p ≡ 3 (mod 4) 时，−1 是模 p 的二次非剩余. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 (Gauss 引理) . . . . . . . . 设 p 为奇素数，p n，设 (p − 1)/2 个数 n, 2n, · · · , 1 2 (p − 1)n 模 p 的最小正余数中有 m 个大于 p/2，则 ( n p ) = (−1)m. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 分析 . . . . . . . . ( n p ) ≡ np−1 2 (mod p)，如何得到 np−1 2 (mod p) 的信息？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 分析 . . . . . . . . ( n p ) ≡ np−1 2 (mod p)，如何得到 np−1 2 (mod p) 的信息？回顾 Euler 定理，在该定理的证明中，我们是如何处理 aϕ(m) (mod m) 的？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 分析 . . . . . . . . ( n p ) ≡ np−1 2 (mod p)，如何得到 np−1 2 (mod p) 的信息？回顾 Euler 定理，在该定理的证明中，我们是如何处理 aϕ(m) (mod m) 的？用 n 去乘 1, 2, · · · , p − 1 2 怎么样？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 证明： . . . 1 用 n 去乘 1, 2, · · · , p−1 2 ，并除以 p，得到 p − 1 个余数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 证明： . . . 1 用 n 去乘 1, 2, · · · , p−1 2 ，并除以 p，得到 p − 1 个余数. . . . 2 不超过 p/2 的余数有 l 个，记为 a1, · · · , al . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 证明： . . . 1 用 n 去乘 1, 2, · · · , p−1 2 ，并除以 p，得到 p − 1 个余数. . . . 2 不超过 p/2 的余数有 l 个，记为 a1, · · · , al . . . . 3 大于 p/2 的余数有 m 个，记为 b1, · · · , bm . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 证明： . . . 1 用 n 去乘 1, 2, · · · , p−1 2 ，并除以 p，得到 p − 1 个余数. . . . 2 不超过 p/2 的余数有 l 个，记为 a1, · · · , al . . . . 3 大于 p/2 的余数有 m 个，记为 b1, · · · , bm . n · 2n · · · n(p − 1)/2 ≡ np−1 2 ( p − 1 2 ) ! 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 证明： . . . 1 用 n 去乘 1, 2, · · · , p−1 2 ，并除以 p，得到 p − 1 个余数. . . . 2 不超过 p/2 的余数有 l 个，记为 a1, · · · , al . . . . 3 大于 p/2 的余数有 m 个，记为 b1, · · · , bm . n · 2n · · · n(p − 1)/2 ≡ np−1 2 ( p − 1 2 ) ! ≡ (a1 · · · al)(b1 · · · bm) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 证明： . . . 1 用 n 去乘 1, 2, · · · , p−1 2 ，并除以 p，得到 p − 1 个余数. . . . 2 不超过 p/2 的余数有 l 个，记为 a1, · · · , al . . . . 3 大于 p/2 的余数有 m 个，记为 b1, · · · , bm . n · 2n · · · n(p − 1)/2 ≡ np−1 2 ( p − 1 2 ) ! ≡ (a1 · · · al)(b1 · · · bm) ≡ (a1 · · · al)(−1)m(p − b1) · · · (p − bm) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 证明： . . . 1 用 n 去乘 1, 2, · · · , p−1 2 ，并除以 p，得到 p − 1 个余数. . . . 2 不超过 p/2 的余数有 l 个，记为 a1, · · · , al . . . . 3 大于 p/2 的余数有 m 个，记为 b1, · · · , bm . n · 2n · · · n(p − 1)/2 ≡ np−1 2 ( p − 1 2 ) ! ≡ (a1 · · · al)(b1 · · · bm) ≡ (a1 · · · al)(−1)m(p − b1) · · · (p − bm) ≡ (−1)m ( p − 1 2 ) ! (mod p) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，则 ( 2 p ) = (−1)1 8 (p2−1)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，则 ( 2 p ) = (−1)1 8 (p2−1)。 . . . . . . . 考虑 2, 2 · 2, · · · , 2(p − 1)/2,形式为 2k 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，则 ( 2 p ) = (−1)1 8 (p2−1)。 . . . . . . . 考虑 2, 2 · 2, · · · , 2(p − 1)/2,形式为 2k 从 p/2 < 2k < p 知道 m = [ p 2 ] − [ p 4 ] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，则 ( 2 p ) = (−1)1 8 (p2−1)。 . . . . . . . 考虑 2, 2 · 2, · · · , 2(p − 1)/2,形式为 2k 从 p/2 < 2k < p 知道 m = [ p 2 ] − [ p 4 ] 设 p 的二进制表示为 (xn · · · x2x11)2 , 有 m = (xn · · · x1)2 − (xn · · · x2)2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，则 ( 2 p ) = (−1)1 8 (p2−1)。 . . . . . . . 考虑 2, 2 · 2, · · · , 2(p − 1)/2,形式为 2k 从 p/2 < 2k < p 知道 m = [ p 2 ] − [ p 4 ] 设 p 的二进制表示为 (xn · · · x2x11)2 , 有 m = (xn · · · x1)2 − (xn · · · x2)2 当 x1 = x2 ，即 p ≡ ±1 (mod 8) 时，2 是 p 的二次剩余. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 定理 . . . . . . . . 若 p 为奇素数，则 ( 2 p ) = (−1)1 8 (p2−1)。 . . . . . . . 考虑 2, 2 · 2, · · · , 2(p − 1)/2,形式为 2k 从 p/2 < 2k < p 知道 m = [ p 2 ] − [ p 4 ] 设 p 的二进制表示为 (xn · · · x2x11)2 , 有 m = (xn · · · x1)2 − (xn · · · x2)2 当 x1 = x2 ，即 p ≡ ±1 (mod 8) 时，2 是 p 的二次剩余. 当 x1 = x2 ，即 p ≡ ±3 (mod 8) 时，2 是 p 的二次非剩余. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . §3.2 二次互反律课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 问题 . . . . . . . . 现在我们已经知道了计算 ( −1 p ) 和 ( 2 p ) 的方法，但 ( p q ) 又如何计算呢？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . 问题 . . . . . . . . 现在我们已经知道了计算 ( −1 p ) 和 ( 2 p ) 的方法，但 ( p q ) 又如何计算呢？ . 定理 (二次互反律) . . . . . . . . 设 p, q 是奇素数，p = q，则 ( p q ) = (−1)p−1 2 q−1 2 ( q p ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . (一段引言) . . . . . . . . 此乃初等数论中最著名且重要之 Gauss 氏互逆定理 (Low of reciprocity). Gauss 称此为 Legendre 之互逆定理。但 Legendre 虽发现此定理而未能确切证明之。此定理 Gauss 称之谓“数论之酵母”。后来 Kummer, Eisenstein, Hilbert, 高木贞治, Artin, Furwngler 等代数数论之研究，证明此说，实深且切也。Gauss 氏之深湛研究，曾作原则方面大相径庭之证明，由此而发生的研究实难于列举. ------华罗庚，《数论导引》，第 43 页。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . ( p q ) = (−1)m，主要是获取 m 的信息—奇偶性。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . ( p q ) = (−1)m，主要是获取 m 的信息—奇偶性。 p q2 − 1 8 = p · 1 + p · 2 + · · · + p(q − 1)/2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . ( p q ) = (−1)m，主要是获取 m 的信息—奇偶性。 p q2 − 1 8 = p · 1 + p · 2 + · · · + p(q − 1)/2 = q−1 2 ∑ k=1 [ pk q ] q + l ∑ i=1 ai + m ∑ j=1 bj 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . ( p q ) = (−1)m，主要是获取 m 的信息—奇偶性。 p q2 − 1 8 = p · 1 + p · 2 + · · · + p(q − 1)/2 = q−1 2 ∑ k=1 [ pk q ] q + l ∑ i=1 ai + m ∑ j=1 bj = ∑ [ pk q ] q + ∑ ai + ∑ (bj − p) + mp 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . ( p q ) = (−1)m，主要是获取 m 的信息—奇偶性。 p q2 − 1 8 = p · 1 + p · 2 + · · · + p(q − 1)/2 = q−1 2 ∑ k=1 [ pk q ] q + l ∑ i=1 ai + m ∑ j=1 bj = ∑ [ pk q ] q + ∑ ai + ∑ (bj − p) + mp = ∑ [ pk q ] q+ ∑ ai + ∑ (p−bj)+2 ∑ (bj −p)+mp 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . ( p q ) = (−1)m，主要是获取 m 的信息—奇偶性。 p q2 − 1 8 = p · 1 + p · 2 + · · · + p(q − 1)/2 = q−1 2 ∑ k=1 [ pk q ] q + l ∑ i=1 ai + m ∑ j=1 bj = ∑ [ pk q ] q + ∑ ai + ∑ (bj − p) + mp = ∑ [ pk q ] q+ ∑ ai + ∑ (p−bj)+2 ∑ (bj −p)+mp = ∑ [ pk q ] q + q2 − 1 8 − 2 ∑ (bj − p) + mp 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . p q2 − 1 8 = ∑ [ pk q ] q + q2 − 1 8 + 2 ∑ (bj − p) + mp 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . p q2 − 1 8 = ∑ [ pk q ] q + q2 − 1 8 + 2 ∑ (bj − p) + mp . . . . . . . 两边模 2 有: q−1 2 ∑ k=1 [ pk q ] + m ≡ 0 (mod 2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . p q2 − 1 8 = ∑ [ pk q ] q + q2 − 1 8 + 2 ∑ (bj − p) + mp . . . . . . . 两边模 2 有: q−1 2 ∑ k=1 [ pk q ] + m ≡ 0 (mod 2) 也就是 m 与 q−1 2 ∑ k=1 [ pk q ] 同奇偶课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . (中间结论) . . . . . . . . ( p q ) ( q p ) =(−1) q−1 2 ∑ i=1 [pi q ] · (−1) p−1 2 ∑ j=1 [qj p ] =(−1) q−1 2 ∑ i=1 [pi q ]+ p−1 2 ∑ j=1 [qj p ] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . (中间结论) . . . . . . . . ( p q ) ( q p ) =(−1) q−1 2 ∑ i=1 [pi q ] · (−1) p−1 2 ∑ j=1 [qj p ] =(−1) q−1 2 ∑ i=1 [pi q ]+ p−1 2 ∑ j=1 [qj p ] . . . . . . . 接下来要分析 q−1 2 ∑ i=1 [ pi q ] + p−1 2 ∑ j=1 [ qj p ] 的奇偶性。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . (0,0) . (0, q 2 ) . ( p 2 , q 2 ) . ( p 2 ,0) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . (0,0) . (0, q 2 ) . ( p 2 , q 2 ) . ( p 2 ,0) . . . 1 ∑q−1 2 i=1 [ pi q ] 是上三角内部整点的个数；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . (0,0) . (0, q 2 ) . ( p 2 , q 2 ) . ( p 2 ,0) . . . 1 ∑q−1 2 i=1 [ pi q ] 是上三角内部整点的个数； . . . 2 ∑p−1 2 j=1 [ qj p ] 是下三角内部整点的个数；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . (0,0) . (0, q 2 ) . ( p 2 , q 2 ) . ( p 2 ,0) . . . 1 ∑q−1 2 i=1 [ pi q ] 是上三角内部整点的个数； . . . 2 ∑p−1 2 j=1 [ qj p ] 是下三角内部整点的个数； . . . 3 对角线上无整点；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . (0,0) . (0, q 2 ) . ( p 2 , q 2 ) . ( p 2 ,0) . . . 1 ∑q−1 2 i=1 [ pi q ] 是上三角内部整点的个数； . . . 2 ∑p−1 2 j=1 [ qj p ] 是下三角内部整点的个数； . . . 3 对角线上无整点； . . . 4 q−1 2 ∑ i=1 [ pi q ] + p−1 2 ∑ j=1 [ qj p ] 就是矩形内部整点个数，即课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . (0,0) . (0, q 2 ) . ( p 2 , q 2 ) . ( p 2 ,0) . . . 1 ∑q−1 2 i=1 [ pi q ] 是上三角内部整点的个数； . . . 2 ∑p−1 2 j=1 [ qj p ] 是下三角内部整点的个数； . . . 3 对角线上无整点； . . . 4 q−1 2 ∑ i=1 [ pi q ] + p−1 2 ∑ j=1 [ qj p ] 就是矩形内部整点个数，即 p − 1 2 q − 1 2 。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . (最终结论) . . . . . . . . 因为 q−1 2 ∑ i=1 [ pi q ] + p−1 2 ∑ j=1 [ qj p ] = p − 1 2 · q − 1 2 , 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . (最终结论) . . . . . . . . 因为 q−1 2 ∑ i=1 [ pi q ] + p−1 2 ∑ j=1 [ qj p ] = p − 1 2 · q − 1 2 , 所以 ( p q ) ( q p ) = (−1)p−1 2 q−1 2 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . (最终结论) . . . . . . . . 因为 q−1 2 ∑ i=1 [ pi q ] + p−1 2 ∑ j=1 [ qj p ] = p − 1 2 · q − 1 2 , 所以 ( p q ) ( q p ) = (−1)p−1 2 q−1 2 . . . . . . . . 上述结果也可以写为： ( p q ) = (−1)p−1 2 q−1 2 ( q p ) . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。 . . . . . . . ( 137 227 ) = ( −90 227 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。 . . . . . . . ( 137 227 ) = ( −90 227 ) = ( −1 227 ) ( 2 · 32 · 5 237 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。 . . . . . . . ( 137 227 ) = ( −90 227 ) = ( −1 227 ) ( 2 · 32 · 5 237 ) = (−1) ( 2 227 ) ( 32 227 ) ( 5 227 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。 . . . . . . . ( 137 227 ) = ( −90 227 ) = ( −1 227 ) ( 2 · 32 · 5 237 ) = (−1) ( 2 227 ) ( 32 227 ) ( 5 227 ) = − ( 2 227 ) ( 5 227 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。 . . . . . . . ( 137 227 ) = ( −90 227 ) = ( −1 227 ) ( 2 · 32 · 5 237 ) = (−1) ( 2 227 ) ( 32 227 ) ( 5 227 ) = − ( 2 227 ) ( 5 227 ) = (−1)(−1)2272−1 8 ( 227 5 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。 . . . . . . . ( 137 227 ) = ( −90 227 ) = ( −1 227 ) ( 2 · 32 · 5 237 ) = (−1) ( 2 227 ) ( 32 227 ) ( 5 227 ) = − ( 2 227 ) ( 5 227 ) = (−1)(−1)2272−1 8 ( 227 5 ) = ( 2 5 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求 ( 137 227 ) 。 . . . . . . . ( 137 227 ) = ( −90 227 ) = ( −1 227 ) ( 2 · 32 · 5 237 ) = (−1) ( 2 227 ) ( 32 227 ) ( 5 227 ) = − ( 2 227 ) ( 5 227 ) = (−1)(−1)2272−1 8 ( 227 5 ) = ( 2 5 ) = −1。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ −1 (mod 137) 是否有解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ −1 (mod 137) 是否有解。 . . . . . . . 因为 137 是素数，可以计算 Legendre 符号如下： ( −1 137 ) = (−1)137−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ −1 (mod 137) 是否有解。 . . . . . . . 因为 137 是素数，可以计算 Legendre 符号如下： ( −1 137 ) = (−1)137−1 2 = 1，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ −1 (mod 137) 是否有解。 . . . . . . . 因为 137 是素数，可以计算 Legendre 符号如下： ( −1 137 ) = (−1)137−1 2 = 1，所以方程有解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ 2 (mod 227) 是否有解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ 2 (mod 227) 是否有解。 . . . . . . . 因为 227 是素数，可以计算 Legendre 符号如下： ( 2 227 ) = (−1)2272−1 8 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ 2 (mod 227) 是否有解。 . . . . . . . 因为 227 是素数，可以计算 Legendre 符号如下： ( 2 227 ) = (−1)2272−1 8 = −1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 判断同余方程 x2 ≡ 2 (mod 227) 是否有解。 . . . . . . . 因为 227 是素数，可以计算 Legendre 符号如下： ( 2 227 ) = (−1)2272−1 8 = −1 所以方程无解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 3，它以 3 为二次剩余。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 3，它以 3 为二次剩余。 . . . . . . . ( 3 p ) = ( p 3 ) (−1)p−1 2 ；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 3，它以 3 为二次剩余。 . . . . . . . ( 3 p ) = ( p 3 ) (−1)p−1 2 ； ( p 3 ) = { 1 p ≡ 1 (mod 3) −1 p ≡ 2 (mod 3) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 3，它以 3 为二次剩余。 . . . . . . . ( 3 p ) = ( p 3 ) (−1)p−1 2 ； ( p 3 ) = { 1 p ≡ 1 (mod 3) −1 p ≡ 2 (mod 3) (−1)p−1 2 = { 1 p ≡ 1 (mod 4) −1 p ≡ 3 (mod 4) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 3，它以 3 为二次剩余。 . . . . . . . ( 3 p ) = ( p 3 ) (−1)p−1 2 ； ( p 3 ) = { 1 p ≡ 1 (mod 3) −1 p ≡ 2 (mod 3) (−1)p−1 2 = { 1 p ≡ 1 (mod 4) −1 p ≡ 3 (mod 4) 当且仅当 ( p 3 ) 与 (−1)p−1 2 同符号时， ( 3 p ) 为 1。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . . . . . . . 于是有： { p ≡ 1 (mod 3) p ≡ 1 (mod 4) { p ≡ −1 (mod 3) p ≡ −1 (mod 4) 最后得到： p ≡ ±1 (mod 12) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 11，它以 11 为其二次剩余。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 11，它以 11 为其二次剩余。 . . . . . . . ( 11 p ) = ( p 11 ) (−1)p−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 11，它以 11 为其二次剩余。 . . . . . . . ( 11 p ) = ( p 11 ) (−1)p−1 2 ( p 11 ) = { 1 p ≡ 1, 3, 4, 5, 9 (mod 11) −1 p ≡ 2, 6, 7, 8, 10 (mod 11) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 11，它以 11 为其二次剩余。 . . . . . . . ( 11 p ) = ( p 11 ) (−1)p−1 2 ( p 11 ) = { 1 p ≡ 1, 3, 4, 5, 9 (mod 11) −1 p ≡ 2, 6, 7, 8, 10 (mod 11) (−1)p−1 2 = { 1 p ≡ 1 (mod 4) −1 p ≡ 3 (mod 4) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 11，它以 11 为其二次剩余。 . . . . . . . ( 11 p ) = ( p 11 ) (−1)p−1 2 ( p 11 ) = { 1 p ≡ 1, 3, 4, 5, 9 (mod 11) −1 p ≡ 2, 6, 7, 8, 10 (mod 11) (−1)p−1 2 = { 1 p ≡ 1 (mod 4) −1 p ≡ 3 (mod 4) 当且仅当 ( p 11 ) 与 (−1)p−1 2 同符号时， ( 11 p ) 为 1。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 . Example . . . . . . . . 求所有奇素数 p = 11，它以 11 为其二次剩余。 . . . . . . . ( 11 p ) = ( p 11 ) (−1)p−1 2 ( p 11 ) = { 1 p ≡ 1, 3, 4, 5, 9 (mod 11) −1 p ≡ 2, 6, 7, 8, 10 (mod 11) (−1)p−1 2 = { 1 p ≡ 1 (mod 4) −1 p ≡ 3 (mod 4) 当且仅当 ( p 11 ) 与 (−1)p−1 2 同符号时， ( 11 p ) 为 1。通过中国剩余定理可以求出： p ≡ ±1, ±5, ±7, ±9, ±19 (mod 44) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . . . . . . §3.3 Jacobi 符号和二次剩余问题课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定义 . . . . . . . . 设 m > 1 为正奇数，m = ∏ s i=1 pi ，pi 为素数，n 为整数，定义 ( n m ) = ( n p1 ) ( n p2 ) · · · ( n ps ) , 把 ( n m ) 称为 Legendre 符号. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定义 . . . . . . . . 设 m > 1 为正奇数，m = ∏ s i=1 pi ，pi 为素数，n 为整数，定义 ( n m ) = ( n p1 ) ( n p2 ) · · · ( n ps ) , 把 ( n m ) 称为 Legendre 符号. . 事实 . . . . . . . . 当 m 为奇素数时，Jacobi 符号与 Legendre 符号相同。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 (Jacobi 符号的性质) . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 (Jacobi 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod m)，则 ( n1 m ) = ( n2 m ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 (Jacobi 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod m)，则 ( n1 m ) = ( n2 m ) . . . 2 若 (m, n) = 1, 则 ( n2 m ) = ( n m2 ) = 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 (Jacobi 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod m)，则 ( n1 m ) = ( n2 m ) . . . 2 若 (m, n) = 1, 则 ( n2 m ) = ( n m2 ) = 1 . . . 3 ( 1 m ) = 1; 若 (m, n) = 1，则 ( n m ) = 0; 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 (Jacobi 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod m)，则 ( n1 m ) = ( n2 m ) . . . 2 若 (m, n) = 1, 则 ( n2 m ) = ( n m2 ) = 1 . . . 3 ( 1 m ) = 1; 若 (m, n) = 1，则 ( n m ) = 0; . . . 4 ( n1n2 m ) = ( n1 m ) ( n2 m ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 (Jacobi 符号的性质) . . . . . . . . . . . 1 若 n1 ≡ n2 (mod m)，则 ( n1 m ) = ( n2 m ) . . . 2 若 (m, n) = 1, 则 ( n2 m ) = ( n m2 ) = 1 . . . 3 ( 1 m ) = 1; 若 (m, n) = 1，则 ( n m ) = 0; . . . 4 ( n1n2 m ) = ( n1 m ) ( n2 m ) . . . . . . . 自己证明。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 m > 1 为奇数，则 ( −1 m ) = (−1)m−1 2 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 m > 1 为奇数，则 ( −1 m ) = (−1)m−1 2 . . 分析 . . . . . . . . 设 m = p1p2 · · · ps ，有课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 m > 1 为奇数，则 ( −1 m ) = (−1)m−1 2 . . 分析 . . . . . . . . 设 m = p1p2 · · · ps ，有 ( −1 m ) = ( −1 p1 ) ( −1 p2 ) · · · ( −1 ps ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 m > 1 为奇数，则 ( −1 m ) = (−1)m−1 2 . . 分析 . . . . . . . . 设 m = p1p2 · · · ps ，有 ( −1 m ) = ( −1 p1 ) ( −1 p2 ) · · · ( −1 ps ) = (−1) p1−1 2 · · · (−1)ps−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 m > 1 为奇数，则 ( −1 m ) = (−1)m−1 2 . . 分析 . . . . . . . . 设 m = p1p2 · · · ps ，有 ( −1 m ) = ( −1 p1 ) ( −1 p2 ) · · · ( −1 ps ) = (−1) p1−1 2 · · · (−1)ps−1 2 = (−1) ∑ s i=1 pi−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 要证明： (−1)m−1 2 = (−1) ∑ s i=1 pi−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 要证明： (−1)m−1 2 = (−1) ∑ s i=1 pi−1 2 相当于证明： 1 2 ( s ∏ i=1 pi − 1 ) ≡ 1 2 s ∑ i=1 (pi − 1) (mod 2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 要证明： (−1)m−1 2 = (−1) ∑ s i=1 pi−1 2 相当于证明： 1 2 ( s ∏ i=1 pi − 1 ) ≡ 1 2 s ∑ i=1 (pi − 1) (mod 2) 或者 s ∏ i=1 pi − 1 ≡ s ∑ i=1 (pi − 1) (mod 4) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇素数，所以 pi ≡ ±1 (mod 4). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇素数，所以 pi ≡ ±1 (mod 4). 设 p1, . . . , ps 中有 l 个模 4 余 1，有 t 个模 4 余 −1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇素数，所以 pi ≡ ±1 (mod 4). 设 p1, . . . , ps 中有 l 个模 4 余 1，有 t 个模 4 余 −1. 于是 s ∏ i=1 pi − 1 ≡ (−1)t − 1 (mod 4) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇素数，所以 pi ≡ ±1 (mod 4). 设 p1, . . . , ps 中有 l 个模 4 余 1，有 t 个模 4 余 −1. 于是 s ∏ i=1 pi − 1 ≡ (−1)t − 1 (mod 4) s ∑ i=1 (pi − 1) ≡ −2t (mod 4) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇素数，所以 pi ≡ ±1 (mod 4). 设 p1, . . . , ps 中有 l 个模 4 余 1，有 t 个模 4 余 −1. 于是 s ∏ i=1 pi − 1 ≡ (−1)t − 1 (mod 4) s ∑ i=1 (pi − 1) ≡ −2t (mod 4) 容易验证 (−1)t − 1 ≡ −2t (mod 4) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 如果 m > 1 是奇数，则 ( 2 m ) ≡ (−1)m2−1 8 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 如果 m > 1 是奇数，则 ( 2 m ) ≡ (−1)m2−1 8 . 分析 . . . . . . . . 设 m = p1 · · · ps ，有课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 如果 m > 1 是奇数，则 ( 2 m ) ≡ (−1)m2−1 8 . 分析 . . . . . . . . 设 m = p1 · · · ps ，有 ( 2 m ) = s ∏ i=1 ( 2 pi ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 如果 m > 1 是奇数，则 ( 2 m ) ≡ (−1)m2−1 8 . 分析 . . . . . . . . 设 m = p1 · · · ps ，有 ( 2 m ) = s ∏ i=1 ( 2 pi ) = (−1) ∑ s i=1 p2 i −1 8 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 要证明: (−1)m2−1 8 = (−1) ∑ s i=1 p2 i −1 8 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 要证明: (−1)m2−1 8 = (−1) ∑ s i=1 p2 i −1 8 . 相当于证明： m2 − 1 8 ≡ s ∑ i=1 p2 i − 1 8 (mod 2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 要证明: (−1)m2−1 8 = (−1) ∑ s i=1 p2 i −1 8 . 相当于证明： m2 − 1 8 ≡ s ∑ i=1 p2 i − 1 8 (mod 2) 或 s ∏ i=1 p2 i − 1 ≡ s ∑ i=1 ( p2 i − 1 ) (mod 16) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇数，所以 p2 i ≡ 1, 9 (mod 16). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇数，所以 p2 i ≡ 1, 9 (mod 16). 设 p2 1 , . . . , p2 s 中模 16 余 1 的有 l 个，模 16 余 9 的有 t 个. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇数，所以 p2 i ≡ 1, 9 (mod 16). 设 p2 1 , . . . , p2 s 中模 16 余 1 的有 l 个，模 16 余 9 的有 t 个. s ∏ i=1 p2 i − 1 ≡ 9t − 1 (mod 16) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇数，所以 p2 i ≡ 1, 9 (mod 16). 设 p2 1 , . . . , p2 s 中模 16 余 1 的有 l 个，模 16 余 9 的有 t 个. s ∏ i=1 p2 i − 1 ≡ 9t − 1 (mod 16) s ∑ i=1 ( p2 i − 1 ) ≡ 8t (mod 16) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 分析 . . . . . . . . 由于 pi 是奇数，所以 p2 i ≡ 1, 9 (mod 16). 设 p2 1 , . . . , p2 s 中模 16 余 1 的有 l 个，模 16 余 9 的有 t 个. s ∏ i=1 p2 i − 1 ≡ 9t − 1 (mod 16) s ∑ i=1 ( p2 i − 1 ) ≡ 8t (mod 16) 容易验证 9t − 1 ≡ 8t (mod 16) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 mn > 1 为奇数，且 (m, n) = 1，则 ( n m ) ( m n ) = (−1)m−1 2 n−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 mn > 1 为奇数，且 (m, n) = 1，则 ( n m ) ( m n ) = (−1)m−1 2 n−1 2 . 分析 . . . . . . . . ( n m ) ( m n ) = (−1) ∑ s i=1 pi−1 2 · ∑ l j=1 qj−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定理 . . . . . . . . 设 mn > 1 为奇数，且 (m, n) = 1，则 ( n m ) ( m n ) = (−1)m−1 2 n−1 2 . 分析 . . . . . . . . ( n m ) ( m n ) = (−1) ∑ s i=1 pi−1 2 · ∑ l j=1 qj−1 2 = (−1)m−1 2 n−1 2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系 1 . . . 1 把 Jacobi 符号记为 J(n, m) = ( n m ) ，把 Legendre 符号记为 L(n, p) = ( n p ) ，其中 p 为素数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系 1 . . . 1 把 Jacobi 符号记为 J(n, m) = ( n m ) ，把 Legendre 符号记为 L(n, p) = ( n p ) ，其中 p 为素数. . . . 2 Legendre 符号定义在集合 A = {(x, y)|y 是奇素数} 上. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系 1 . . . 1 把 Jacobi 符号记为 J(n, m) = ( n m ) ，把 Legendre 符号记为 L(n, p) = ( n p ) ，其中 p 为素数. . . . 2 Legendre 符号定义在集合 A = {(x, y)|y 是奇素数} 上. . . . 3 Jacobi 符号定义在集合 B = {(x, y)|y 是奇数} 上. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系 1 . . . 1 把 Jacobi 符号记为 J(n, m) = ( n m ) ，把 Legendre 符号记为 L(n, p) = ( n p ) ，其中 p 为素数. . . . 2 Legendre 符号定义在集合 A = {(x, y)|y 是奇素数} 上. . . . 3 Jacobi 符号定义在集合 B = {(x, y)|y 是奇数} 上. . . . 4 A 是 B 的子集. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系 1 . . . 1 把 Jacobi 符号记为 J(n, m) = ( n m ) ，把 Legendre 符号记为 L(n, p) = ( n p ) ，其中 p 为素数. . . . 2 Legendre 符号定义在集合 A = {(x, y)|y 是奇素数} 上. . . . 3 Jacobi 符号定义在集合 B = {(x, y)|y 是奇数} 上. . . . 4 A 是 B 的子集. . . . 5 Jacobi 限制在 A 上就是 Legendre 符号，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系 1 . . . 1 把 Jacobi 符号记为 J(n, m) = ( n m ) ，把 Legendre 符号记为 L(n, p) = ( n p ) ，其中 p 为素数. . . . 2 Legendre 符号定义在集合 A = {(x, y)|y 是奇素数} 上. . . . 3 Jacobi 符号定义在集合 B = {(x, y)|y 是奇数} 上. . . . 4 A 是 B 的子集. . . . 5 Jacobi 限制在 A 上就是 Legendre 符号，即如果 p 是素数，有 J(n, p) = L(n, p), 或者 ( n p ) J = ( n p ) L 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号和 Legendre 符号的关系 2 关键在于： . . . . . . . . . . 1 对素数模的情形，Legendre 符号与 Jacobi 符号是等价的. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号和 Legendre 符号的关系 2 关键在于： . . . . . . . . . . 1 对素数模的情形，Legendre 符号与 Jacobi 符号是等价的. . . . 2 Jacobi 符号比 Legendre 符号好算. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . . Jacobi 符号和 Legendre 符号的关系 2 关键在于： . . . . . . . . . . 1 对素数模的情形，Legendre 符号与 Jacobi 符号是等价的. . . . 2 Jacobi 符号比 Legendre 符号好算. 所以在需要计算 Legendre 符号时，我们总可以通过计算 Jacobi 符号来代替之. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . Example . . . . . . . . 求 ( 165 503 ) 。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . Example . . . . . . . . 求 ( 165 503 ) 。 . . . . . . . ( 165 503 ) = ( 8 165 ) 165 不是素数课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . Example . . . . . . . . 求 ( 165 503 ) 。 . . . . . . . ( 165 503 ) = ( 8 165 ) 165 不是素数 = ( 2 165 ) ( 22 165 ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . Example . . . . . . . . 求 ( 165 503 ) 。 . . . . . . . ( 165 503 ) = ( 8 165 ) 165 不是素数 = ( 2 165 ) ( 22 165 ) = (−1)1652−1 8 Jacobi 运算课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . Example . . . . . . . . 求 ( 165 503 ) 。 . . . . . . . ( 165 503 ) = ( 8 165 ) 165 不是素数 = ( 2 165 ) ( 22 165 ) = (−1)1652−1 8 Jacobi 运算 = −1。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 问题 . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 问题 . . . . . . . . 给定一对整数 n, m，其中 m 是大于 1 的正整数，我们总可以计算 n 对 m 的 Jacobi 符号(此时 Legendre 符号没有定义.) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 问题 . . . . . . . . 给定一对整数 n, m，其中 m 是大于 1 的正整数，我们总可以计算 n 对 m 的 Jacobi 符号(此时 Legendre 符号没有定义.) 如果 ( n m ) = 1，则 n 是 m 的二次剩余吗？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 问题 . . . . . . . . 给定一对整数 n, m，其中 m 是大于 1 的正整数，我们总可以计算 n 对 m 的 Jacobi 符号(此时 Legendre 符号没有定义.) 如果 ( n m ) = 1，则 n 是 m 的二次剩余吗？如果 n 是 m 的二次剩余，则 ( n m ) 一定为 1 吗？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余 . 定义 . . . . . . . . 设 m 是一个大于 1 的奇合数， (n, m) = 1, 若 ( n m ) = 1，但 n 不是 m 的二次剩余，则称 n 为模 m 的伪二次剩余. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

二次互反律 Jacobi 符号和二次剩余问题 Jacobi 符号 Jacobi 符号与 Legendre 符号的关系伪二次剩余本节完，谢谢！磊张印晓课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第3章：二次剩余

信息安全数学基础：第3章：二次剩余

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