信息安全数学基础：第2章：同余式（上）

. . . . . . 同余及其基本性质中国剩余定理剩余类环 .
. . . . . . 同余式(上) 课件制作：张晓磊 2007-03-15 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 2.0 同余及其基本性质课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同余. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同余. 记为 a ≡ b (mod n), 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同余. 记为 a ≡ b (mod n), . . . . . . . . . . 1 同余是两个整数间的一种关系课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同余. 记为 a ≡ b (mod n), . . . . . . . . . . 1 同余是两个整数间的一种关系 . . . 2 同余符号是 Gauss 引入的课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(同余是一个等价关系) . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(同余是一个等价关系) . . . . . . . . . . . 1 a ≡ a (mod n) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(同余是一个等价关系) . . . . . . . . . . . 1 a ≡ a (mod n) . . . 2 如果 a ≡ b (mod n)，则 b ≡ a (mod n) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(同余是一个等价关系) . . . . . . . . . . . 1 a ≡ a (mod n) . . . 2 如果 a ≡ b (mod n)，则 b ≡ a (mod n) . . . 3 如果 a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)，则 a ≡ c (mod n). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ); . . . 5 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk])，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ); . . . 5 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk])， . . . 6 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ); . . . 5 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk])， . . . 6 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d); . . . 7 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明： . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明： . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ； . . . 2 a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2 ；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明： . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ； . . . 2 a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2 ； . . . 3 由上面两条，有 n|(a1 − b1) + (a2 − b2)，也就是 n | (a1 + a2) − (b1 + b2); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明： . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ； . . . 2 a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2 ； . . . 3 由上面两条，有 n|(a1 − b1) + (a2 − b2)，也就是 n | (a1 + a2) − (b1 + b2); . . . 4 所以 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a1a2 − b1b2 ；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a1a2 − b1b2 ； . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a1a2 − b1b2 ； . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)； . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a1a2 − b1b2 ； . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)； . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)； . . . 4 a1a2 − b1b2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a1a2 − b1b2 ； . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)； . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)； . . . 4 a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a1a2 − b1b2 ； . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)； . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)； . . . 4 a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2 = a1(a2 − b2) + b2(a1 − b1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a − b；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a − b； . . . 2 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a − b； . . . 2 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd ⇒ n|(a − b)d 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n|a − b； . . . 2 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd ⇒ n|(a − b)d . . . 3 由于 (n, d) = 1，所以 n|a − b. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n d |a d − b d ；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n d |a d − b d ； . . . 2 由 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则 a b ≡ b d (mod n d ). . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明：n d |a d − b d ； . . . 2 由 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b ⇒ n d a d − b d 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明： . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m，相当于要证：m|a − b；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明： . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m，相当于要证：m|a − b； . . . 2 a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明： . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m，相当于要证：m|a − b； . . . 2 a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b . . . 3 即 a − b 是 ni 的公倍数。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明： . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m，相当于要证：m|a − b； . . . 2 a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b . . . 3 即 a − b 是 ni 的公倍数。 . . . 4 由最小公倍数的定义知：m|a − b. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d); . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明 d|a − b；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d); . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明 d|a − b； . . . 2 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d); . . . . . . . 证明： . . . 1 相当于要证明 d|a − b； . . . 2 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b . . . 3 d|n, n|a − b ⇒ d|a − b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明： . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明： . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b； . . . 2 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明： . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b； . . . 2 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt； . . . 3 即 a = nt + b 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

(7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明： . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b； . . . 2 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt； . . . 3 即 a = nt + b ⇒ (a, n) = (n, b). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 同余及其基本性质中国剩余定理剩余类环简单同余方程组
中国剩余定理 . . . . . . . 2.1 中国剩余定理课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (同余方程) . . . . . . . . 给定正整数 a，正整数 m，求整数 x 使得 x ≡ a (mod m), 这称为解同余方程问题. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (同余方程) . . . . . . . . 给定正整数 a，正整数 m，求整数 x 使得 x ≡ a (mod m), 这称为解同余方程问题. . (分析) . . . . . . . . 显然 x = a + km, k ∈ Z 是该同余方程的所有解. 但在 [0, m) 内只有一个解，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (同余方程) . . . . . . . . 给定正整数 a，正整数 m，求整数 x 使得 x ≡ a (mod m), 这称为解同余方程问题. . (分析) . . . . . . . . 显然 x = a + km, k ∈ Z 是该同余方程的所有解. 但在 [0, m) 内只有一个解，它就是 a 除以 m 的余数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (同余方程组) . . . . . . . . 现在考虑简单的同余方程组：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (同余方程组) . . . . . . . . 现在考虑简单的同余方程组： { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (同余方程组) . . . . . . . . 现在考虑简单的同余方程组： { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) . . . . . . . 这时的情况要比单个方程的复杂一些，这个方程可能有解，也可能没有解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12； . . . 2 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12； . . . 2 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解， . . . 3 即 x 除以 12 的余数也是一个解；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12； . . . 2 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解， . . . 3 即 x 除以 12 的余数也是一个解； . . . 4 所以之要看区间 [0, 11] 里是否有解就可以了。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12； . . . 2 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解， . . . 3 即 x 除以 12 的余数也是一个解； . . . 4 所以之要看区间 [0, 11] 里是否有解就可以了。 . . . 5 检验的结果表明此方程组无解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12； . . . 2 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12； . . . 2 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9； . . . 3 全部解就是 { 9 + 12k | k ∈ Z } ；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组： { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12； . . . 2 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9； . . . 3 全部解就是 { 9 + 12k | k ∈ Z } ； . . . 4 这个解通常也记为 x ≡ 9 (mod 12)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . 定理 . . . . . . . . 设 m1, m2 为正整数，m 是 m1, m2 的最小公倍数，则同余方程组 { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) 有解的充分必要条件是 (m1, m2) | a1 − a2 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . 定理 . . . . . . . . 设 m1, m2 为正整数，m 是 m1, m2 的最小公倍数，则同余方程组 { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) 有解的充分必要条件是 (m1, m2) | a1 − a2 . 此外，当方程组有解时，在 [0, m) 间有惟一一个解. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . 分析 . . . . . . . 必要性课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . 分析 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ⇐⇒ { x = a1 + s1m1 x = a2 + s2m2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . 分析 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ⇐⇒ { x = a1 + s1m1 x = a2 + s2m2 a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 设 d = (m1, m2)，显然 d|a1 − a2 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 必要性课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到：a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到：a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ，要求 x，只要找出 s1 和 s2 . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到：a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ，要求 x，只要找出 s1 和 s2 . 存在整数 p1, p2 ，使得 d = pm1 + qm2, 两边乘上 a1−a2 d 得：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到：a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ，要求 x，只要找出 s1 和 s2 . 存在整数 p1, p2 ，使得 d = pm1 + qm2, 两边乘上 a1−a2 d 得： a1 − a2 = p a1 − a2 d m1 + q a1 − a2 d m2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到：a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ，要求 x，只要找出 s1 和 s2 . 存在整数 p1, p2 ，使得 d = pm1 + qm2, 两边乘上 a1−a2 d 得： a1 − a2 = p a1 − a2 d m1 + q a1 − a2 d m2 x = a1 − p a1 − a2 d m1 = a2 + q a1 − a2 d m2 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？ . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解，则课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？ . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解，则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？ . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解，则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 我们记 m = [m1, m2]，于是有 x ≡ x (mod m)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？ . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解，则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 我们记 m = [m1, m2]，于是有 x ≡ x (mod m)。 . . . 2 反之，若 x 是方程组的一个解，而 x ≡ x (mod m)，则 x 也是方程组的一个解。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？ . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解，则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 我们记 m = [m1, m2]，于是有 x ≡ x (mod m)。 . . . 2 反之，若 x 是方程组的一个解，而 x ≡ x (mod m)，则 x 也是方程组的一个解。 . . . 3 综合上述，若 a 是原方程组的一个解，则原方程组的解为 x ≡ a (mod m). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . 定理 (中国剩余定理) . . . . . . . . 设 m1, m2, . . . , mr 是两两互素的自然数，令 m = m1m2 · · · mr ， Mi = m/mi, i = 1, · · · , r，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . 定理 (中国剩余定理) . . . . . . . . 设 m1, m2, . . . , mr 是两两互素的自然数，令 m = m1m2 · · · mr ， Mi = m/mi, i = 1, · · · , r，则方程组        x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) · · · x ≡ br (mod mr) 的解为：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . 定理 (中国剩余定理) . . . . . . . . 设 m1, m2, . . . , mr 是两两互素的自然数，令 m = m1m2 · · · mr ， Mi = m/mi, i = 1, · · · , r，则方程组        x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) · · · x ≡ br (mod mr) 的解为： x ≡ M1 M1b1 + M2 M2b2 + · · · + Mr Mrbr (mod m). 其中 Mi 满足 Mi Mi ≡ 1 (mod mi). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析一) . . . . . . . . 设 { x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) 与 x ≡ c2 (mod m1m2) 同解，则课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析一) . . . . . . . . 设 { x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) 与 x ≡ c2 (mod m1m2) 同解，则            x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) ⇐⇒        x ≡ c2 (mod m1m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析一) . . . . . . . . 设 { x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) 与 x ≡ c2 (mod m1m2) 同解，则            x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) ⇐⇒        x ≡ c2 (mod m1m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) . . . . . . . 如是递归处理，经过 r 步，可以把方程组转换为一个同解的同余方程 x ≡ cr (mod m1m2 · · · mr). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析二: 以规模为 3 的方程组为例) . . . . . . . .    x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析二: 以规模为 3 的方程组为例) . . . . . . . .    x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) M1 m2m3 ≡ 1 (m1), M2 m1m3 ≡ 1 (m2), M3 m1m2 ≡ 1 (m3). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析二: 以规模为 3 的方程组为例) . . . . . . . .    x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) M1 m2m3 ≡ 1 (m1), M2 m1m3 ≡ 1 (m2), M3 m1m2 ≡ 1 (m3). . . . . . . . M1 M1 ≡    1 (mod m1) 0 (mod m2) 0 (mod m3) , M2 M2 ≡    0 (mod m1) 1 (mod m2) 0 (mod m3) , M3 M3 ≡    0 (mod m1) 0 (mod m2) 1 (mod m3) . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析二：续) . . . . . . . . Mi Mi ≡ { 1 (mod mi) 0 (mod mj) j = i 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析二：续) . . . . . . . . Mi Mi ≡ { 1 (mod mi) 0 (mod mj) j = i . . . . . . . 插值？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (分析二：续) . . . . . . . . Mi Mi ≡ { 1 (mod mi) 0 (mod mj) j = i . . . . . . . 插值？ M1 M1 b1 + M2 M2 b2 + M3 M3 b3 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)； . . . 2 (M1 , M2 , M3 ) = (3, 8, 4)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)； . . . 2 (M1 , M2 , M3 ) = (3, 8, 4)； . . . 3 解为： x ≡ M1M1 · 1 + M2M2 · 2 + M3M3 · 3 (mod 396) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)； . . . 2 (M1 , M2 , M3 ) = (3, 8, 4)； . . . 3 解为： x ≡ M1M1 · 1 + M2M2 · 2 + M3M3 · 3 (mod 396) ≡ 245 (mod 396) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理，这是因为那几个模不满足互素的条件；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理，这是因为那几个模不满足互素的条件； . . . 2 但可以两个两个递归地处理；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理，这是因为那几个模不满足互素的条件； . . . 2 但可以两个两个递归地处理； . . . 3 下面我们介绍另外一个处理方法。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (事实) . . . . . . . . . . . 1 如果 (m1, m2) = 1，则 { x ≡ a (mod m1) x ≡ a (mod m2) 与 x ≡ a (mod m1m2) 等价。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理 . (事实) . . . . . . . . . . . 1 如果 (m1, m2) = 1，则 { x ≡ a (mod m1) x ≡ a (mod m2) 与 x ≡ a (mod m1m2) 等价。 . . . 2 如果 m1|m2 , 则 { x ≡ a (mod m1) x ≡ a (mod m2) 与 x ≡ a (mod m2) 等价。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15)            x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 4) x ≡ 11 (mod 5) x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 1 (mod 3) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

中国剩余定理    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15)            x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 4) x ≡ 11 (mod 5) x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 1 (mod 3)    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 3) x ≡ 1 (mod 5) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 同余及其基本性质中国剩余定理剩余类环剩余类和剩余系
剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 2.3 剩余类环课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准，整数可以分为两类，奇的和偶的. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准，整数可以分为两类，奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准，整数可以分为三类. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准，整数可以分为两类，奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准，整数可以分为三类. . . . 3 以除以 m 的余数为标准，整数可以分为 m 类. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准，整数可以分为两类，奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准，整数可以分为三类. . . . 3 以除以 m 的余数为标准，整数可以分为 m 类. 每类中的数模 m 同余课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准，整数可以分为两类，奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准，整数可以分为三类. . . . 3 以除以 m 的余数为标准，整数可以分为 m 类. 每类中的数模 m 同余不同类中的数模 m 不同余课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }，有 [i] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }，有 [i] = [i + m] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }，有 [i] = [i + m] = [i − m] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }，有 [i] = [i + m] = [i − m] = [i + km]. [i] 称为模 m 的一个剩余类。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }，有 [i] = [i + m] = [i − m] = [i + km]. [i] 称为模 m 的一个剩余类。模 m 的剩余类刚好有 m 个: [0], [1], · · · , [m − 1]. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }，有 [i] = [i + m] = [i − m] = [i + km]. [i] 称为模 m 的一个剩余类。模 m 的剩余类刚好有 m 个: [0], [1], · · · , [m − 1]. 而且 Z = [0] ∪ [1] ∪ · · · ∪ [m − 1]. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ，[1] 中取一个元素 a1 , · · · ，[m − 1] 中取一个元素 am−1 ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ，[1] 中取一个元素 a1 , · · · ，[m − 1] 中取一个元素 am−1 ，得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ，[1] 中取一个元素 a1 , · · · ，[m − 1] 中取一个元素 am−1 ，得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 这样的 m 个数称为模 m 的一个完全剩余系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ，[1] 中取一个元素 a1 , · · · ，[m − 1] 中取一个元素 am−1 ，得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 这样的 m 个数称为模 m 的一个完全剩余系. . . . . . . . . . . 1 这 m 个数对 m 作带余除法得到的余数恰好是 0, 1, · · · , m − 1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ，[1] 中取一个元素 a1 , · · · ，[m − 1] 中取一个元素 am−1 ，得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 这样的 m 个数称为模 m 的一个完全剩余系. . . . . . . . . . . 1 这 m 个数对 m 作带余除法得到的余数恰好是 0, 1, · · · , m − 1. . . . 2 这 m 个数两两不同余. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元素，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元素，可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元素，可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元素，可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: −5, 1, 7, 103, 9. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元素，可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: −5, 1, 7, 103, 9. . . . . . . . 它们都是模 5 的完全剩余系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元素，可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: −5, 1, 7, 103, 9. . . . . . . . 它们都是模 5 的完全剩余系. 其中第一、二个完全剩余系分别称为最小非负剩余系和最小正剩余系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中，如果有一个数与 m 互素，则该剩余类中每个数都与 m 互素. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中，如果有一个数与 m 互素，则该剩余类中每个数都与 m 互素. . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若模 m 的剩余类中有一个数与 m 互素，称此剩余系与 m 互素. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中，如果有一个数与 m 互素，则该剩余类中每个数都与 m 互素. . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若模 m 的剩余类中有一个数与 m 互素，称此剩余系与 m 互素. . . . 2 与 m 互素的剩余类个数记为 ϕ(m)，ϕ(m) 称为 Euler 函数. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中，如果有一个数与 m 互素，则该剩余类中每个数都与 m 互素. . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若模 m 的剩余类中有一个数与 m 互素，称此剩余系与 m 互素. . . . 2 与 m 互素的剩余类个数记为 ϕ(m)，ϕ(m) 称为 Euler 函数. . . . 3 在模 m 的完全剩余系中，有 ϕ(m) 个数是与 m 互素的，称这 ϕ(m) 个数构成模 m 的一个缩系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系：{1, 3, 5, 7}，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系：{1, 3, 5, 7}，ϕ(8) = 4 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系：{1, 3, 5, 7}，ϕ(8) = 4 . 事实 . . . . . . . . 当 p 为素数时 ϕ(pn) = pn − pn−1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系：{1, 3, 5, 7}，ϕ(8) = 4 . 事实 . . . . . . . . 当 p 为素数时 ϕ(pn) = pn − pn−1. . . . 1 与 pn 互素的一定不含有因子 p；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系：{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系：{1, 3, 5, 7}，ϕ(8) = 4 . 事实 . . . . . . . . 当 p 为素数时 ϕ(pn) = pn − pn−1. . . . 1 与 pn 互素的一定不含有因子 p； . . . 2 [0, pn − 1] 中 p 的倍数有 pn−1 个。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算 + 奇偶奇偶奇偶奇偶课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算 + 奇偶奇偶奇偶奇偶 × 奇偶奇奇偶偶偶偶课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算 + 奇偶奇偶奇偶奇偶 × 奇偶奇奇偶偶偶偶 . . . . . . . 这种运算实际是把 “奇”，“偶” 看成独立的对象来进行的。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水，把剩余类中的元素粘在一起，看成一个独立的元素， ,并且定义其运算规则。以模 3 为例： + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1] 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}，在其上定义：加法 [x] + [y] = [x + y], 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}，在其上定义：加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}，在其上定义：加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}，在其上定义：加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. . . . . . . . 容易验证，这些运算是 “well-defined” 的，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}，在其上定义：加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. . . . . . . . 容易验证，这些运算是 “well-defined” 的，而且它们满足结合律、交换律、和分配律. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}，在其上定义：加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. . . . . . . . 容易验证，这些运算是 “well-defined” 的，而且它们满足结合律、交换律、和分配律. 称这样的一个代数结构为模 m 的剩余类环. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1，则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1，则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明： . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1，则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明： . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. . . . 2 由于 (k, m) = 1, 则 ka1, ka2, · · · , kaϕ(m) 也是模 m 的一个缩系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1，则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明： . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. . . . 2 由于 (k, m) = 1, 则 ka1, ka2, · · · , kaϕ(m) 也是模 m 的一个缩系. . . . 3 ∏ϕ(m) i=1 (kai) ≡ ∏ϕ(m) i=1 ai (mod m). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1，则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明： . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. . . . 2 由于 (k, m) = 1, 则 ka1, ka2, · · · , kaϕ(m) 也是模 m 的一个缩系. . . . 3 ∏ϕ(m) i=1 (kai) ≡ ∏ϕ(m) i=1 ai (mod m). . . . 4 kϕm · ∏ϕ(m) i=1 ai ≡ ∏ϕ(m) i=1 ai (mod m). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Corollary (Fermat 小定理) . . . . . . . . 若 p 为素数，则对所有的整数 a 有 ap ≡ a (mod p). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Corollary (Fermat 小定理) . . . . . . . . 若 p 为素数，则对所有的整数 a 有 ap ≡ a (mod p). . (事实) . . . . . . . . 在初等数论里，我们常常学习 Fermat, Euler, 和 Gauss. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易，但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易，但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易，但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. . . . 2 3225 (mod 225 + 1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易，但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. . . . 2 3225 (mod 225 + 1) = 3029026160. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易，但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. . . . 2 3225 (mod 225 + 1) = 3029026160. Fermat 猜想不成立! 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 = (16)2 · 16 · 4 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 = (16)2 · 16 · 4 = 16384 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过，我们是怎样计算 2225 的呢？这个数有 1292913987 个十进制位。幸运的是，我们要计算的不是它，而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次，就立刻做一次模运算，所以中间结果不会超过 (232)2，即不超过 20 个十进制位。不过，即使这样，看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法！下面我们介绍一个方法，可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 = (16)2 · 16 · 4 = 16384 总共才用了 5 次乘法。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an，其中 n 是一个正整数。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an，其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an，其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); . . . 2 如果 y = 1，则输出 xz，并终止计算。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an，其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); . . . 2 如果 y = 1，则输出 xz，并终止计算。 . . . 3 如果 y 是偶数，则 (x, y, z) ← (x2, y/2, z)；然后回到第 2 步；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an，其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); . . . 2 如果 y = 1，则输出 xz，并终止计算。 . . . 3 如果 y 是偶数，则 (x, y, z) ← (x2, y/2, z)；然后回到第 2 步； . . . 4 如果 y 是奇数，则 (x, y, z) ← (x2, (y − 1)/2, xz)，然后回到第 2 步。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 ≡ (81)2 × 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 ≡ (81)2 × 47 ≡ 97 × 47 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 ≡ (81)2 × 47 ≡ 97 × 47 ≡ 14 (mod 101) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析：课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析： . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘，即 n 次乘法以及 n 次除法。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析： . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘，即 n 次乘法以及 n 次除法。 . . . 2 用我们前面的方法，最多只需要计算 2 log2 n 次模乘；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析： . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘，即 n 次乘法以及 n 次除法。 . . . 2 用我们前面的方法，最多只需要计算 2 log2 n 次模乘； . . . 3 回到 2F5−1 (mod F5) 的例子。用我们改进的求幂方法，最多只需要 2 log2 (F5 − 1) 次模乘，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析： . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘，即 n 次乘法以及 n 次除法。 . . . 2 用我们前面的方法，最多只需要计算 2 log2 n 次模乘； . . . 3 回到 2F5−1 (mod F5) 的例子。用我们改进的求幂方法，最多只需要 2 log2 (F5 − 1) 次模乘，即 64 次模乘。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。 . (事实) . . . . . . . . 如果 (m1, m2) = 1，如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。 . (事实) . . . . . . . . 如果 (m1, m2) = 1，如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2) 则 { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。 . (事实) . . . . . . . . 如果 (m1, m2) = 1，如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2) 则 { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) 反过来也成立. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1)； . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1)； . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1)； . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1，有 y ≡ y (mod m1)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1)； . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1)； . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1，有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1)； . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1)； . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1，有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。 . . . . . . . 反过来： { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1)； . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1)； . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1，有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。 . . . . . . . 反过来： { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) ，则 { m1x ≡ m1x (mod m1m2) m2y ≡ m2y (mod m1m2) ，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2)，有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1)； . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1)； . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1，有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。 . . . . . . . 反过来： { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) ，则 { m1x ≡ m1x (mod m1m2) m2y ≡ m2y (mod m1m2) ，然后再加起来就可以了。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，如果 x 遍历 m1 的一个完全剩余系，y 遍历 m2 的一个完全剩余系，那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个完全剩余系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，如果 x 遍历 m1 的一个完全剩余系，y 遍历 m2 的一个完全剩余系，那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个完全剩余系. . . . . . . . 证明：当 x 遍历 m1 的一个完全剩余系，y 遍历 m2 的一个完全剩余系时，生成的 m1y + m2x 有 m1m2 个，而且对 m1m2 两两不同余，课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，如果 x 遍历 m1 的一个完全剩余系，y 遍历 m2 的一个完全剩余系，那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个完全剩余系. . . . . . . . 证明：当 x 遍历 m1 的一个完全剩余系，y 遍历 m2 的一个完全剩余系时，生成的 m1y + m2x 有 m1m2 个，而且对 m1m2 两两不同余，所以 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个完全剩余系。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . (猜想) . . . . . . . . 当 x 遍历 m2 的一个缩系，y 遍历 m1 的一个缩系时 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 在 (m1, m2) = 1 的前提下: (ym1 + xm2, m1m2) = 1 ⇐⇒ { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 在 (m1, m2) = 1 的前提下: (ym1 + xm2, m1m2) = 1 ⇐⇒ { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 而 { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 ⇐⇒ { (x, m1) = 1 (y, m2) = 1 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . . . . . . . 在 (m1, m2) = 1 的前提下: (ym1 + xm2, m1m2) = 1 ⇐⇒ { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 而 { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 ⇐⇒ { (x, m1) = 1 (y, m2) = 1 . . . . . . . ym1 + xm2 与 m1m2 互素，等价于 x 与 m1 互素，并且 y 与 m2 互素. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，如果 x 遍历 m1 的一个缩系，y 遍历 m2 的一个缩系，那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，如果 x 遍历 m1 的一个缩系，y 遍历 m2 的一个缩系，那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. . . . . . . . 证明： . . . 1 当 x1 遍历 m1 的一个完全剩余系，y 遍历 m2 的一个完全剩余系时，ym1 + xm2 遍历 m1m2 的一个剩余系。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，如果 x 遍历 m1 的一个缩系，y 遍历 m2 的一个缩系，那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. . . . . . . . 证明： . . . 1 当 x1 遍历 m1 的一个完全剩余系，y 遍历 m2 的一个完全剩余系时，ym1 + xm2 遍历 m1m2 的一个剩余系。 . . . 2 (ym1 + xm2, m1m2) = 1 仅当 (x, m1) = 1 且 (y, m2) = 1. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，那么 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1，那么 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2) . . . . . . . 证明：当 x1 遍历 m1 的一个缩系，y 遍历 m2 的一个缩余系时，ym1 + xm2 遍历 m1m2 的一个缩系。课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ，其中 pi, i = 1..s 各不相同，则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ，其中 pi, i = 1..s 各不相同，则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1，则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2)；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ，其中 pi, i = 1..s 各不相同，则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1，则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2)； . . . 2 若 p 是素数，则 ϕ(pn) = pn − pn−1；课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ，其中 pi, i = 1..s 各不相同，则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1，则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2)； . . . 2 若 p 是素数，则 ϕ(pn) = pn − pn−1； . . . 3 ϕ(m) = ϕ(pl1 1 )ϕ(pl2 2 ) · · · ϕ(pls s ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ，其中 pi, i = 1..s 各不相同，则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1，则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2)； . . . 2 若 p 是素数，则 ϕ(pn) = pn − pn−1； . . . 3 ϕ(m) = ϕ(pl1 1 )ϕ(pl2 2 ) · · · ϕ(pls s ) = (pl1 1 − pl1−1 l )(pl2 2 − pl2−1 2 ) · · · (pls s − pls−1 s ) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ，其中 pi, i = 1..s 各不相同，则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1，则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2)； . . . 2 若 p 是素数，则 ϕ(pn) = pn − pn−1； . . . 3 ϕ(m) = ϕ(pl1 1 )ϕ(pl2 2 ) · · · ϕ(pls s ) = (pl1 1 − pl1−1 l )(pl2 2 − pl2−1 2 ) · · · (pls s − pls−1 s ) = m ∏ s i=1 1 − 1 pi 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) = ϕ(23 · 5 · 71) 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) = ϕ(23 · 5 · 71) = 2840 · 1 − 1 2 1 − 1 5 1 − 1 71 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) = ϕ(23 · 5 · 71) = 2840 · 1 − 1 2 1 − 1 5 1 − 1 71 = 1120. 课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理计算 ϕ(m) 本节完，谢谢！磊张印晓课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第2章：同余式（上）

信息安全数学基础：第2章：同余式（上）

More Decks by zxl

Other Decks in Education

Featured

Transcript