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信息安全数学基础:第2章:同余式(上)

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October 07, 2012

 信息安全数学基础:第2章:同余式(上)

信息安全数学基础:第2章:同余式(上)

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October 07, 2012
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  1. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    . . . . . . 同余式(上) 课件制作:张晓磊 2007-03-15 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  2. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    . . . . . . 2.0 同余及其基本性质 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  3. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z,且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同 余. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  4. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z,且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同 余. 记为 a ≡ b (mod n), 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  5. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z,且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同 余. 记为 a ≡ b (mod n), . . . . . . . . . . 1 同余是两个整数间的一种关系 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  6. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定义 . . . . . . . . a, b, n ∈ Z,且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同 余. 记为 a ≡ b (mod n), . . . . . . . . . . 1 同余是两个整数间的一种关系 . . . 2 同余符号是 Gauss 引入的 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  7. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (同余是一个等价关系) . . . . . . . . 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  8. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (同余是一个等价关系) . . . . . . . . . . . 1 a ≡ a (mod n) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  9. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (同余是一个等价关系) . . . . . . . . . . . 1 a ≡ a (mod n) . . . 2 如果 a ≡ b (mod n),则 b ≡ a (mod n) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  10. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (同余是一个等价关系) . . . . . . . . . . . 1 a ≡ a (mod n) . . . 2 如果 a ≡ b (mod n),则 b ≡ a (mod n) . . . 3 如果 a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n),则 a ≡ c (mod n). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  11. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  12. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  13. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  14. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  15. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子, 则 a b ≡ b d (mod n d ); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  16. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子, 则 a b ≡ b d (mod n d ); . . . 5 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]), 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  17. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子, 则 a b ≡ b d (mod n d ); . . . 5 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]), . . . 6 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0,则 a ≡ b (mod d); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  18. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    定理 (同余的若干性质) . . . . . . . . . . . 1 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n); . . . 2 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n); . . . 3 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . 4 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子, 则 a b ≡ b d (mod n d ); . . . 5 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]), . . . 6 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0,则 a ≡ b (mod d); . . . 7 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  19. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  20. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明: . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  21. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明: . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ; . . . 2 a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2 ; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  22. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明: . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ; . . . 2 a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2 ; . . . 3 由上面两条,有 n|(a1 − b1) + (a2 − b2),也就是 n | (a1 + a2) − (b1 + b2); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  23. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (1) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) . . . . . . . 证明: . . . 1 a1 ≡ b1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ; . . . 2 a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2 ; . . . 3 由上面两条,有 n|(a1 − b1) + (a2 − b2),也就是 n | (a1 + a2) − (b1 + b2); . . . 4 所以 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  24. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  25. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a1a2 − b1b2 ; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  26. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a1a2 − b1b2 ; . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有:n|(a1 − b1); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  27. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a1a2 − b1b2 ; . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有:n|(a1 − b1); . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有:n|(a2 − b2); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  28. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a1a2 − b1b2 ; . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有:n|(a1 − b1); . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有:n|(a2 − b2); . . . 4 a1a2 − b1b2 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  29. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a1a2 − b1b2 ; . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有:n|(a1 − b1); . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有:n|(a2 − b2); . . . 4 a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  30. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (2) . . . . . . . . 若 a1 ≡ b1, a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1a2 ≡ b1b2 (mod n). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a1a2 − b1b2 ; . . . 2 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有:n|(a1 − b1); . . . 3 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有:n|(a2 − b2); . . . 4 a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2 = a1(a2 − b2) + b2(a1 − b1) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  31. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  32. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a − b; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  33. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a − b; . . . 2 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  34. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a − b; . . . 2 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd ⇒ n|(a − b)d 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  35. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (3) . . . . . . . . 若 ad ≡ bd (mod n),且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n|a − b; . . . 2 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd ⇒ n|(a − b)d . . . 3 由于 (n, d) = 1,所以 n|a − b. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  36. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子,则 a b ≡ b d (mod n d ). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  37. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子,则 a b ≡ b d (mod n d ). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n d |a d − b d ; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  38. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子,则 a b ≡ b d (mod n d ). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n d |a d − b d ; . . . 2 由 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  39. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (4) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子,则 a b ≡ b d (mod n d ). . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明:n d |a d − b d ; . . . 2 由 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b ⇒ n d a d − b d 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  40. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  41. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明: . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m,相当于要证:m|a − b; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  42. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明: . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m,相当于要证:m|a − b; . . . 2 a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  43. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明: . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m,相当于要证:m|a − b; . . . 2 a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b . . . 3 即 a − b 是 ni 的公倍数。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  44. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (5) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k,则 a ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nk]). . . . . . . . 证明: . . . 1 记 [n1, n2, . . . , nk] = m,相当于要证:m|a − b; . . . 2 a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b . . . 3 即 a − b 是 ni 的公倍数。 . . . 4 由最小公倍数的定义知:m|a − b. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  45. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0,则 a ≡ b (mod d); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  46. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0,则 a ≡ b (mod d); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明 d|a − b; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  47. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0,则 a ≡ b (mod d); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明 d|a − b; . . . 2 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  48. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0,则 a ≡ b (mod d); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明 d|a − b; . . . 2 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b . . . 3 d|n, n|a − b 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  49. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (6) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0,则 a ≡ b (mod d); . . . . . . . 证明: . . . 1 相当于要证明 d|a − b; . . . 2 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b . . . 3 d|n, n|a − b ⇒ d|a − b 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  50. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  51. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明: . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  52. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明: . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b; . . . 2 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  53. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明: . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b; . . . 2 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt; . . . 3 即 a = nt + b 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  54. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 .

    (7) . . . . . . . . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n). . . . . . . . 证明: . . . 1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b; . . . 2 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt; . . . 3 即 a = nt + b ⇒ (a, n) = (n, b). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  55. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 2.1 中国剩余定理 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  56. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (同余方程) . . . . . . . . 给定正整数 a,正整数 m,求整数 x 使得 x ≡ a (mod m), 这称为解同余方程问题. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  57. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (同余方程) . . . . . . . . 给定正整数 a,正整数 m,求整数 x 使得 x ≡ a (mod m), 这称为解同余方程问题. . (分析) . . . . . . . . 显然 x = a + km, k ∈ Z 是该同余方程的所有解. 但在 [0, m) 内只有一个解, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  58. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (同余方程) . . . . . . . . 给定正整数 a,正整数 m,求整数 x 使得 x ≡ a (mod m), 这称为解同余方程问题. . (分析) . . . . . . . . 显然 x = a + km, k ∈ Z 是该同余方程的所有解. 但在 [0, m) 内只有一个解,它就是 a 除以 m 的余数. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  59. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (同余方程组) . . . . . . . . 现在考虑简单的同余方程组: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  60. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (同余方程组) . . . . . . . . 现在考虑简单的同余方程组: { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  61. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (同余方程组) . . . . . . . . 现在考虑简单的同余方程组: { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) . . . . . . . 这时的情况要比单个方程的复杂一些,这个方程可能有解,也可 能没有解。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  62. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  63. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  64. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; . . . 2 若 x 是方程组的一个解,则 x + 12t 也是一个解 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  65. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; . . . 2 若 x 是方程组的一个解,则 x + 12t 也是一个解, . . . 3 即 x 除以 12 的余数也是一个解; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  66. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; . . . 2 若 x 是方程组的一个解,则 x + 12t 也是一个解, . . . 3 即 x 除以 12 的余数也是一个解; . . . 4 所以之要看区间 [0, 11] 里是否有解就可以了。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  67. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; . . . 2 若 x 是方程组的一个解,则 x + 12t 也是一个解, . . . 3 即 x 除以 12 的余数也是一个解; . . . 4 所以之要看区间 [0, 11] 里是否有解就可以了。 . . . 5 检验的结果表明此方程组无解。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  68. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  69. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  70. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; . . . 2 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  71. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; . . . 2 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9; . . . 3 全部解就是 { 9 + 12k | k ∈ Z } ; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  72. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 考虑简单同余方程组: { x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 6) . . . . . . . . . . 1 4, 6 的最小公因子是 12; . . . 2 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9; . . . 3 全部解就是 { 9 + 12k | k ∈ Z } ; . . . 4 这个解通常也记为 x ≡ 9 (mod 12)。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  73. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . 定理 . . . . . . . . 设 m1, m2 为正整数,m 是 m1, m2 的最小公倍数,则同余方 程组 { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) 有解的充分必要条件是 (m1, m2) | a1 − a2 . 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  74. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . 定理 . . . . . . . . 设 m1, m2 为正整数,m 是 m1, m2 的最小公倍数,则同余方 程组 { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) 有解的充分必要条件是 (m1, m2) | a1 − a2 . 此外,当方程组有 解时,在 [0, m) 间有惟一一个解. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  75. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . 分析 . . . . . . . 必要性 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  76. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . 分析 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ⇐⇒ { x = a1 + s1m1 x = a2 + s2m2 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  77. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . 分析 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . { x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ⇐⇒ { x = a1 + s1m1 x = a2 + s2m2 a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 设 d = (m1, m2),显然 d|a1 − a2 . 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  78. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  79. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到:a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 , 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  80. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到:a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ,要求 x,只要找出 s1 和 s2 . 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  81. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到:a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ,要求 x,只要找出 s1 和 s2 . 存在整数 p1, p2 ,使得 d = pm1 + qm2, 两边乘上 a1−a2 d 得: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  82. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到:a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ,要求 x,只要找出 s1 和 s2 . 存在整数 p1, p2 ,使得 d = pm1 + qm2, 两边乘上 a1−a2 d 得: a1 − a2 = p a1 − a2 d m1 + q a1 − a2 d m2 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  83. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 必要性 . . . . . . . 注意到:a1 − a2 = −s1m1 + s2m2 ,要求 x,只要找出 s1 和 s2 . 存在整数 p1, p2 ,使得 d = pm1 + qm2, 两边乘上 a1−a2 d 得: a1 − a2 = p a1 − a2 d m1 + q a1 − a2 d m2 x = a1 − p a1 − a2 d m1 = a2 + q a1 − a2 d m2 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  84. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了,那其它的解呢? 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  85. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了,那其它的解呢? . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解,则 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  86. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了,那其它的解呢? . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解,则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  87. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了,那其它的解呢? . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解,则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 我们记 m = [m1, m2],于是有 x ≡ x (mod m)。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  88. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了,那其它的解呢? . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解,则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 我们记 m = [m1, m2],于是有 x ≡ x (mod m)。 . . . 2 反之,若 x 是方程组的一个解,而 x ≡ x (mod m), 则 x 也是方程组的一个解。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  89. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . . . . . . . 现在我们找到原方程组的一个解了,那其它的解呢? . . . . . . . . . . 1 若 x , x 是方程组的两个解,则 { x ≡ x (mod m1) x ≡ x (mod m2) 我们记 m = [m1, m2],于是有 x ≡ x (mod m)。 . . . 2 反之,若 x 是方程组的一个解,而 x ≡ x (mod m), 则 x 也是方程组的一个解。 . . . 3 综合上述,若 a 是原方程组的一个解,则原方程组的解为 x ≡ a (mod m). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  90. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . 定理 (中国剩余定理) . . . . . . . . 设 m1, m2, . . . , mr 是两两互素的自然数, 令 m = m1m2 · · · mr , Mi = m/mi, i = 1, · · · , r, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  91. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . 定理 (中国剩余定理) . . . . . . . . 设 m1, m2, . . . , mr 是两两互素的自然数, 令 m = m1m2 · · · mr , Mi = m/mi, i = 1, · · · , r,则方程组        x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) · · · x ≡ br (mod mr) 的解为: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  92. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . 定理 (中国剩余定理) . . . . . . . . 设 m1, m2, . . . , mr 是两两互素的自然数, 令 m = m1m2 · · · mr , Mi = m/mi, i = 1, · · · , r,则方程组        x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) · · · x ≡ br (mod mr) 的解为: x ≡ M1 M1b1 + M2 M2b2 + · · · + Mr Mrbr (mod m). 其中 Mi 满足 Mi Mi ≡ 1 (mod mi). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  93. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析一) . . . . . . . . 设 { x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) 与 x ≡ c2 (mod m1m2) 同解,则 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  94. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析一) . . . . . . . . 设 { x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) 与 x ≡ c2 (mod m1m2) 同解,则            x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) ⇐⇒        x ≡ c2 (mod m1m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  95. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析一) . . . . . . . . 设 { x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) 与 x ≡ c2 (mod m1m2) 同解,则            x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) ⇐⇒        x ≡ c2 (mod m1m2) x ≡ b3 (mod m3) · · · x ≡ br (mod mr) . . . . . . . 如是递归处理,经过 r 步,可以把方程组转换为一个同解的同 余方程 x ≡ cr (mod m1m2 · · · mr). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  96. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析二: 以规模为 3 的方程组为例) . . . . . . . .    x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  97. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析二: 以规模为 3 的方程组为例) . . . . . . . .    x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) M1 m2m3 ≡ 1 (m1), M2 m1m3 ≡ 1 (m2), M3 m1m2 ≡ 1 (m3). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  98. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析二: 以规模为 3 的方程组为例) . . . . . . . .    x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) x ≡ b3 (mod m3) M1 m2m3 ≡ 1 (m1), M2 m1m3 ≡ 1 (m2), M3 m1m2 ≡ 1 (m3). . . . . . . . M1 M1 ≡    1 (mod m1) 0 (mod m2) 0 (mod m3) , M2 M2 ≡    0 (mod m1) 1 (mod m2) 0 (mod m3) , M3 M3 ≡    0 (mod m1) 0 (mod m2) 1 (mod m3) . 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  99. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析二:续) . . . . . . . . Mi Mi ≡ { 1 (mod mi) 0 (mod mj) j = i 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  100. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析二:续) . . . . . . . . Mi Mi ≡ { 1 (mod mi) 0 (mod mj) j = i . . . . . . . 插值? 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  101. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (分析二:续) . . . . . . . . Mi Mi ≡ { 1 (mod mi) 0 (mod mj) j = i . . . . . . . 插值? M1 M1 b1 + M2 M2 b2 + M3 M3 b3 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  102. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  103. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  104. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36); . . . 2 (M1 , M2 , M3 ) = (3, 8, 4); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  105. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36); . . . 2 (M1 , M2 , M3 ) = (3, 8, 4); . . . 3 解为: x ≡ M1M1 · 1 + M2M2 · 2 + M3M3 · 3 (mod 396) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  106. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 11). . . . . . . . . . . 1 (M1, M2, M3) = (99, 44, 36); . . . 2 (M1 , M2 , M3 ) = (3, 8, 4); . . . 3 解为: x ≡ M1M1 · 1 + M2M2 · 2 + M3M3 · 3 (mod 396) ≡ 245 (mod 396) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  107. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  108. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  109. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理,这是因为那几个模不 满足互素的条件; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  110. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理,这是因为那几个模不 满足互素的条件; . . . 2 但可以两个两个递归地处理; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  111. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . Example . . . . . . . . 求解同余方程组    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15). . . . . . . . . . . 1 这个方程组不能直接用中国剩余定理,这是因为那几个模不 满足互素的条件; . . . 2 但可以两个两个递归地处理; . . . 3 下面我们介绍另外一个处理方法。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  112. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (事实) . . . . . . . . . . . 1 如果 (m1, m2) = 1,则 { x ≡ a (mod m1) x ≡ a (mod m2) 与 x ≡ a (mod m1m2) 等价。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  113. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理 . (事实) . . . . . . . . . . . 1 如果 (m1, m2) = 1,则 { x ≡ a (mod m1) x ≡ a (mod m2) 与 x ≡ a (mod m1m2) 等价。 . . . 2 如果 m1|m2 , 则 { x ≡ a (mod m1) x ≡ a (mod m2) 与 x ≡ a (mod m2) 等价。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  114. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  115. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15)            x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 4) x ≡ 11 (mod 5) x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 1 (mod 3) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  116. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 简单同余方程组

    中国剩余定理    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 20) x ≡ 1 (mod 15)            x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 4) x ≡ 11 (mod 5) x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 1 (mod 3)    x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 11 (mod 3) x ≡ 1 (mod 5) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  117. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 2.3 剩余类环 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  118. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  119. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准,整数可以分为两类,奇的和偶的. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  120. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准,整数可以分为两类,奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准,整数可以分为三类. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  121. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准,整数可以分为两类,奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准,整数可以分为三类. . . . 3 以除以 m 的余数为标准,整数可以分为 m 类. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  122. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准,整数可以分为两类,奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准,整数可以分为三类. . . . 3 以除以 m 的余数为标准,整数可以分为 m 类. 每类中的数模 m 同余 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  123. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 以除以 2 的余数为标准,整数可以分为两类,奇的和偶的. . . . 2 以除以 3 的余数为标准,整数可以分为三类. . . . 3 以除以 m 的余数为标准,整数可以分为 m 类. 每类中的数模 m 同余 不同类中的数模 m 不同余 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  124. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) }, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  125. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) },有 [i] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  126. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) },有 [i] = [i + m] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  127. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) },有 [i] = [i + m] = [i − m] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  128. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) },有 [i] = [i + m] = [i − m] = [i + km]. [i] 称为模 m 的一个剩余类。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  129. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) },有 [i] = [i + m] = [i − m] = [i + km]. [i] 称为模 m 的一个剩余类。模 m 的剩余类刚好有 m 个: [0], [1], · · · , [m − 1]. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  130. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类) . . . . . . . . 记 [i] = {j | j ≡ i (mod m) },有 [i] = [i + m] = [i − m] = [i + km]. [i] 称为模 m 的一个剩余类。模 m 的剩余类刚好有 m 个: [0], [1], · · · , [m − 1]. 而且 Z = [0] ∪ [1] ∪ · · · ∪ [m − 1]. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  131. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ,[1] 中取一个元素 a1 , · · · ,[m − 1] 中取一个元素 am−1 , 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  132. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ,[1] 中取一个元素 a1 , · · · ,[m − 1] 中取一个元素 am−1 ,得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  133. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ,[1] 中取一个元素 a1 , · · · ,[m − 1] 中取一个元素 am−1 ,得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 这样的 m 个数称为模 m 的一个完全剩余系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  134. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ,[1] 中取一个元素 a1 , · · · ,[m − 1] 中取一个元素 am−1 ,得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 这样的 m 个数称为模 m 的一个完全剩余系. . . . . . . . . . . 1 这 m 个数对 m 作带余除法得到的余数恰好 是 0, 1, · · · , m − 1. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  135. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (代表元和剩余系) . . . . . . . . 从模 m 的剩余类 [0] 中取一个元素 a0 ,[1] 中取一个元素 a1 , · · · ,[m − 1] 中取一个元素 am−1 ,得到 m 个数 a0, a1, . . . , am−1. 这样的 m 个数称为模 m 的一个完全剩余系. . . . . . . . . . . 1 这 m 个数对 m 作带余除法得到的余数恰好 是 0, 1, · · · , m − 1. . . . 2 这 m 个数两两不同余. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  136. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  137. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元 素, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  138. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元 素,可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  139. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元 素,可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  140. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元 素,可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: −5, 1, 7, 103, 9. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  141. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元 素,可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: −5, 1, 7, 103, 9. . . . . . . . 它们都是模 5 的完全剩余系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  142. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example (给出模 5 的一个完全剩余系.) . . . . . . . . 模 5 的剩余类是 [0], [1], [2], [3], [4]. 从每个集合中选取一个元 素,可以是 0, 1, 2, 3, 4. 也可以是: 5, 1, 2, 3, 4. 或者是: −5, 1, 7, 103, 9. . . . . . . . 它们都是模 5 的完全剩余系. 其中第一、二个完全剩余系分别 称为最小非负剩余系和最小正剩余系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  143. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中,如果有一个数与 m 互素,则该剩余 类中每个数都与 m 互素. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  144. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中,如果有一个数与 m 互素,则该剩余 类中每个数都与 m 互素. . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若模 m 的剩余类中有一个数与 m 互素,称此剩余系与 m 互素. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  145. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中,如果有一个数与 m 互素,则该剩余 类中每个数都与 m 互素. . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若模 m 的剩余类中有一个数与 m 互素,称此剩余系与 m 互素. . . . 2 与 m 互素的剩余类个数记为 ϕ(m),ϕ(m) 称为 Euler 函数. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  146. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 事实 . . . . . . . . 在模 m 的一个剩余类中,如果有一个数与 m 互素,则该剩余 类中每个数都与 m 互素. . 定义 . . . . . . . . . . . 1 若模 m 的剩余类中有一个数与 m 互素,称此剩余系与 m 互素. . . . 2 与 m 互素的剩余类个数记为 ϕ(m),ϕ(m) 称为 Euler 函数. . . . 3 在模 m 的完全剩余系中,有 ϕ(m) 个数是与 m 互素 的,称这 ϕ(m) 个数构成模 m 的一个缩系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  147. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  148. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  149. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  150. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  151. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系:{1, 3, 5, 7}, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  152. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系:{1, 3, 5, 7},ϕ(8) = 4 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  153. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系:{1, 3, 5, 7},ϕ(8) = 4 . 事实 . . . . . . . . 当 p 为素数时 ϕ(pn) = pn − pn−1. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  154. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系:{1, 3, 5, 7},ϕ(8) = 4 . 事实 . . . . . . . . 当 p 为素数时 ϕ(pn) = pn − pn−1. . . . 1 与 pn 互素的一定不含有因子 p; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  155. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . . . . 1 模 7 的缩系:{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ϕ(7) = 6. . . . 2 模 8 的缩系:{1, 3, 5, 7},ϕ(8) = 4 . 事实 . . . . . . . . 当 p 为素数时 ϕ(pn) = pn − pn−1. . . . 1 与 pn 互素的一定不含有因子 p; . . . 2 [0, pn − 1] 中 p 的倍数有 pn−1 个。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  156. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  157. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算 + 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  158. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算 + 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 × 奇 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  159. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 奇偶运算 + 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 × 奇 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 . . . . . . . 这种运算实际是把 “奇”,“偶” 看成独立的对象来进行的。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  160. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  161. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  162. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  163. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  164. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  165. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  166. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  167. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  168. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 让我们弄点胶水,把剩余类中的元素粘在一起,看成一个独立的 元素, ,并且定义其运算规则。以模 3 为例: + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] × [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1] 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  169. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]}, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  170. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]},在其上定义: 加法 [x] + [y] = [x + y], 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  171. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]},在其上定义: 加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  172. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]},在其上定义: 加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  173. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]},在其上定义: 加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. . . . . . . . 容易验证,这些运算是 “well-defined” 的, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  174. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]},在其上定义: 加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. . . . . . . . 容易验证,这些运算是 “well-defined” 的,而且它们满足结 合律、交换律、 和分配律. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  175. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定义 (剩余类环) . . . . . . . . 令 Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]},在其上定义: 加法 [x] + [y] = [x + y], 减法 [x] − [y] = [x − y], 乘法 [x] · [y] = [x · y]. . . . . . . . 容易验证,这些运算是 “well-defined” 的,而且它们满足结 合律、交换律、 和分配律. 称这样的一个代数结构为模 m 的 剩余类环. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  176. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1,则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  177. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1,则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明: . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  178. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1,则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明: . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. . . . 2 由于 (k, m) = 1, 则 ka1, ka2, · · · , kaϕ(m) 也是模 m 的 一个缩系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  179. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1,则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明: . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. . . . 2 由于 (k, m) = 1, 则 ka1, ka2, · · · , kaϕ(m) 也是模 m 的 一个缩系. . . . 3 ∏ϕ(m) i=1 (kai) ≡ ∏ϕ(m) i=1 ai (mod m). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  180. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 (Euler 定理) . . . . . . . . 若 (k, m) = 1,则 kϕ(m) ≡ 1 (mod m) . . . . . . . 证明: . . . 1 设置 a1, a2, . . . , aϕ(m) 是模 m 的一个缩系. . . . 2 由于 (k, m) = 1, 则 ka1, ka2, · · · , kaϕ(m) 也是模 m 的 一个缩系. . . . 3 ∏ϕ(m) i=1 (kai) ≡ ∏ϕ(m) i=1 ai (mod m). . . . 4 kϕm · ∏ϕ(m) i=1 ai ≡ ∏ϕ(m) i=1 ai (mod m). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  181. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Corollary (Fermat 小定理) . . . . . . . . 若 p 为素数,则对所有的整数 a 有 ap ≡ a (mod p). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  182. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Corollary (Fermat 小定理) . . . . . . . . 若 p 为素数,则对所有的整数 a 有 ap ≡ a (mod p). . (事实) . . . . . . . . 在初等数论里,我们常常学习 Fermat, Euler, 和 Gauss. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  183. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  184. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易,但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  185. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易,但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  186. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易,但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. . . . 2 3225 (mod 225 + 1) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  187. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易,但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. . . . 2 3225 (mod 225 + 1) = 3029026160. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  188. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . Fermat vs. Fermat . . . . . . . 我们用 Fermat 小定理来验证 Fermat 猜想。 . . . . . . . 虽然不太容易,但我们仍然可以手工计算: . . . 1 2225 (mod 225 + 1) = 1. . . . 2 3225 (mod 225 + 1) = 3029026160. Fermat 猜想不成立! 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  189. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  190. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  191. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  192. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  193. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法! 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  194. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  195. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  196. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  197. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  198. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  199. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  200. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 = (16)2 · 16 · 4 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  201. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 = (16)2 · 16 · 4 = 16384 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  202. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 不过,我们是怎样计算 2225 的呢? 这个数有 1292913987 个十 进制位。幸运的是,我们要计算的不是它,而是它除以 232 + 1 的余数。我们可以每乘一次,就立刻做一次模运算,所以中间结 果不会超过 (232)2,即不超过 20 个十进制位。不过, 即使这 样,看上去仍然要计算 232 次乘法以及 232 次除法!下面我们 介绍一个方法,可以把乘法的次数大大降低。 . Example . . . . . . . . 214 = (22)7 = 47 = 46 · 4 = (42)3 · 4 = (16)2 · 16 · 4 = 16384 总共才用了 5 次乘法。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  203. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an,其中 n 是一个正整数。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  204. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an,其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  205. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an,其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); . . . 2 如果 y = 1,则输出 xz,并终止计算。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  206. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an,其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); . . . 2 如果 y = 1,则输出 xz,并终止计算。 . . . 3 如果 y 是偶数,则 (x, y, z) ← (x2, y/2, z);然后 回到第 2 步; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  207. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 我们考虑一个一般的求幂运算 an,其中 n 是一个正整数。 . . . . . . . . . . 1 (x, y, z) ← (a, n, 1); . . . 2 如果 y = 1,则输出 xz,并终止计算。 . . . 3 如果 y 是偶数,则 (x, y, z) ← (x2, y/2, z);然后 回到第 2 步; . . . 4 如果 y 是奇数,则 (x, y, z) ← (x2, (y − 1)/2, xz), 然后回 到第 2 步。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  208. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  209. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  210. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  211. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  212. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  213. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  214. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  215. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  216. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  217. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  218. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  219. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 ≡ (81)2 × 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  220. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 ≡ (81)2 × 47 ≡ 97 × 47 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  221. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 2335 (mod 101). . . . . . . . 2335 ≡ 2334 × 23 ≡ (232)17 × 23 ≡ (24)17 × 23 ≡ (24)16 × (24 × 23) ≡ (242)8 × 47 ≡ (71)8 × 47 ≡ (712)4 × 47 ≡ (92)4 × 47 ≡ (922)2 × 47 ≡ (81)2 × 47 ≡ 97 × 47 ≡ 14 (mod 101) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  222. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析: 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  223. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析: . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘,即 n 次 乘法以及 n 次除法。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  224. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析: . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘,即 n 次 乘法以及 n 次除法。 . . . 2 用我们前面的方法,最多只需要计算 2 log2 n 次模乘; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  225. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析: . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘,即 n 次 乘法以及 n 次除法。 . . . 2 用我们前面的方法,最多只需要计算 2 log2 n 次模乘; . . . 3 回到 2F5−1 (mod F5) 的例子。用我们改进的求幂方法,最 多只需要 2 log2 (F5 − 1) 次模乘, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  226. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 复杂度分析: . . . . . . . . . . 1 用直接的方法计算 an mod m 需要 n 次模乘,即 n 次 乘法以及 n 次除法。 . . . 2 用我们前面的方法,最多只需要计算 2 log2 n 次模乘; . . . 3 回到 2F5−1 (mod F5) 的例子。用我们改进的求幂方法,最 多只需要 2 log2 (F5 − 1) 次模乘,即 64 次模乘。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  227. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  228. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。 . (事实) . . . . . . . . 如果 (m1, m2) = 1,如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  229. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。 . (事实) . . . . . . . . 如果 (m1, m2) = 1,如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2) 则 { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  230. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 下面考虑如何计算 ϕ(m)。 . (事实) . . . . . . . . 如果 (m1, m2) = 1,如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2) 则 { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) 反过来也成立. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  231. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2), 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  232. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2),有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  233. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2),有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1); . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  234. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2),有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1); . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1); . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1,有 y ≡ y (mod m1)。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  235. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2),有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1); . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1); . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1,有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  236. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2),有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1); . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1); . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1,有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。 . . . . . . . 反过来: { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  237. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2),有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1); . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1); . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1,有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。 . . . . . . . 反过来: { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) , 则 { m1x ≡ m1x (mod m1m2) m2y ≡ m2y (mod m1m2) , 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  238. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 如果 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1m2),有 . . . 1 xm1 + ym2 ≡ x m1 + y m2 (mod m1); . . . 2 ym2 ≡ y m2 (mod m1); . . . 3 注意到 (m1, m2) = 1,有 y ≡ y (mod m1)。 . . . 4 类似可以证明 x ≡ x (mod m2)。 . . . . . . . 反过来: { x ≡ x (mod m2) y ≡ y (mod m1) , 则 { m1x ≡ m1x (mod m1m2) m2y ≡ m2y (mod m1m2) , 然后再加起来就可以了。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  239. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,如果 x 遍历 m1 的一个完全剩余系,y 遍历 m2 的一个完全剩余系,那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个 完全剩余系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  240. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,如果 x 遍历 m1 的一个完全剩余系,y 遍历 m2 的一个完全剩余系,那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个 完全剩余系. . . . . . . . 证明:当 x 遍历 m1 的一个完全剩余系,y 遍历 m2 的一个 完全剩余系时,生成的 m1y + m2x 有 m1m2 个,而且对 m1m2 两两不同余, 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  241. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,如果 x 遍历 m1 的一个完全剩余系,y 遍历 m2 的一个完全剩余系,那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个 完全剩余系. . . . . . . . 证明:当 x 遍历 m1 的一个完全剩余系,y 遍历 m2 的一个 完全剩余系时,生成的 m1y + m2x 有 m1m2 个,而且对 m1m2 两两不同余,所以 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个完全 剩余系。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  242. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . (猜想) . . . . . . . . 当 x 遍历 m2 的一个缩系,y 遍历 m1 的一个缩系时 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  243. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 在 (m1, m2) = 1 的前提下: (ym1 + xm2, m1m2) = 1 ⇐⇒ { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  244. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 在 (m1, m2) = 1 的前提下: (ym1 + xm2, m1m2) = 1 ⇐⇒ { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 而 { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 ⇐⇒ { (x, m1) = 1 (y, m2) = 1 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  245. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . . . . . . . 在 (m1, m2) = 1 的前提下: (ym1 + xm2, m1m2) = 1 ⇐⇒ { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 而 { (ym1 + xm2, m1) = 1 (ym1 + xm2, m2) = 1 ⇐⇒ { (x, m1) = 1 (y, m2) = 1 . . . . . . . ym1 + xm2 与 m1m2 互素,等价于 x 与 m1 互素,并且 y 与 m2 互素. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  246. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,如果 x 遍历 m1 的一个缩系,y 遍历 m2 的一个缩系,那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  247. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,如果 x 遍历 m1 的一个缩系,y 遍历 m2 的一个缩系,那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. . . . . . . . 证明: . . . 1 当 x1 遍历 m1 的一个完全剩余系,y 遍历 m2 的一个完 全剩余系时,ym1 + xm2 遍历 m1m2 的一个剩余系。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  248. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,如果 x 遍历 m1 的一个缩系,y 遍历 m2 的一个缩系,那么 m1y + m2x 遍历 m1m2 的一个缩系. . . . . . . . 证明: . . . 1 当 x1 遍历 m1 的一个完全剩余系,y 遍历 m2 的一个完 全剩余系时,ym1 + xm2 遍历 m1m2 的一个剩余系。 . . . 2 (ym1 + xm2, m1m2) = 1 仅当 (x, m1) = 1 且 (y, m2) = 1. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  249. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,那么 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  250. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 (m1, m2) = 1,那么 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2) . . . . . . . 证明: 当 x1 遍历 m1 的一个缩系,y 遍历 m2 的一个缩余系 时,ym1 + xm2 遍历 m1m2 的一个缩系。 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  251. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ,其中 pi, i = 1..s 各不相同,则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  252. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ,其中 pi, i = 1..s 各不相同,则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1,则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2); 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  253. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ,其中 pi, i = 1..s 各不相同,则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1,则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2); . . . 2 若 p 是素数,则 ϕ(pn) = pn − pn−1; 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  254. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ,其中 pi, i = 1..s 各不相同,则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1,则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2); . . . 2 若 p 是素数,则 ϕ(pn) = pn − pn−1; . . . 3 ϕ(m) = ϕ(pl1 1 )ϕ(pl2 2 ) · · · ϕ(pls s ) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  255. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ,其中 pi, i = 1..s 各不相同,则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1,则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2); . . . 2 若 p 是素数,则 ϕ(pn) = pn − pn−1; . . . 3 ϕ(m) = ϕ(pl1 1 )ϕ(pl2 2 ) · · · ϕ(pls s ) = (pl1 1 − pl1−1 l )(pl2 2 − pl2−1 2 ) · · · (pls s − pls−1 s ) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  256. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . 定理 . . . . . . . . 若 m = pl1 1 pl2 2 · · · pls s ,其中 pi, i = 1..s 各不相同,则 ϕ(m) = m s ∏ i=1 1 − 1 pi . . . . . . . . . . 1 若 (m1, m2) = 1,则 ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2); . . . 2 若 p 是素数,则 ϕ(pn) = pn − pn−1; . . . 3 ϕ(m) = ϕ(pl1 1 )ϕ(pl2 2 ) · · · ϕ(pls s ) = (pl1 1 − pl1−1 l )(pl2 2 − pl2−1 2 ) · · · (pls s − pls−1 s ) = m ∏ s i=1 1 − 1 pi 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  257. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  258. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  259. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) = ϕ(23 · 5 · 71) 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  260. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) = ϕ(23 · 5 · 71) = 2840 · 1 − 1 2 1 − 1 5 1 − 1 71 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  261. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) . Example . . . . . . . . 计算 ϕ(2840). . . . . . . . ϕ(2840) = ϕ(23 · 5 · 71) = 2840 · 1 − 1 2 1 − 1 5 1 − 1 71 = 1120. 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  262. . . . . . . 同余及其基本性质 中国剩余定理 剩余类环 剩余类和剩余系

    剩余类环 Euler 定理和 Fermat 定理 计算 ϕ(m) 本节完,谢谢! 磊张 印晓 课件制作:张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》