2023年度秋学期 画像情報処理 第8回 行列の直交変換と基底画像 (2023. 11. 17)

関西大学総合情報学部　画像情報処理（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/IPPR/

Transcript

1. 2023年度秋学期　画像情報処理 浅野　晃 関西大学総合情報学部 行列の直交変換と基底画像 第８回
2. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 JPEG方式による画像圧縮 2 画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす ひとつのセルを， これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつの セルに分解 細かい部分は，どの画像でも大してかわら ないから，省略しても気づかない 省略すると，データ量が減る （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）
3. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Karhunen-Loève変換（KL変換） 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１～第p / 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 （情報の損失が最小）
4. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Karhunen-Loève変換（KL変換） 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１～第p / 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 （情報の損失が最小） データ量が半分でも 情報の損失は最小
5. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには， 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない
6. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには， 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない そんなことは不可能😵😵 （一応）
7. 32 5 じゃあ，主成分を求めるのはあきらめて， どういう直交変換をするか「直観的」に🤔🤔
8. 32 6 画像をベクトルにしてしまったら， 直観がはたらかない…
9. 32 7 行列の直交変換💡💡
10. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 画像を行列であらわす 8 平面のものを素直に表せばいいだけのことですが， 前回はベクトルで考えていたので。 ベクトルから行列に書き換える（戻す）ことを考える z = P′x 原画像を表すベクトル（m2要素） 直交変換を表す行列（m2×m2） 変換後の画像を 表すベクトル （m2要素）
11. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル
12. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル
13. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素
14. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素
15. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素
16. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素 m要素
17. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 m要素 m要素 m要素
18. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 zも同じ m要素 m要素 m要素
19. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交変換行列P′は？ 10 P′ がこういう形になっているのなら P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
20. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交変換行列P′は？ 10 P′ がこういう形になっているのなら P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ こういう形ってどういう形？
21. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　
22. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11× C
23. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11× C r1m× C
24. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11× C r1m× C rm1× C
25. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C
26. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C
27. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P′ = R ⊗ C Kronecker積
28. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P′ = R ⊗ C Kronecker積 こうなっているのなら
29. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
30. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
31. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
32. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
33. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換 証明は…ひたすら計算💦💦（付録1）
34. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列…
35. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列…
36. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列…
37. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = R ⊗ C 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列… なら
38. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 C, Rそれぞれが直交行列なら， P′は直交行列 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = R ⊗ C 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列… なら
39. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
40. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
41. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
42. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
43. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
44. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
45. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ RはXの行に作用
46. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 縦方向と横方向の作用を分離できることを， 分離可能(separable)という CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ RはXの行に作用
47. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR′ X = R′ZR ただし　RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換 要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる 行列Xの行列Rによるユニタリー変換
48. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR′ X = R′ZR ただし　RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換 要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる 行列Xの行列Rによるユニタリー変換 *は複素共役（ i を(–i)にかえる）
49. 32 16 ちょっと余談ですが☕
50. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる
51. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる
52. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる
53. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる 上下反転のほうが違和感が大きい
54. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる 上下反転のほうが違和感が大きい だから
55. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 18 鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像
56. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 18 鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像 北を見ているなら
57. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 18 鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像 北を見ているなら 南を見ている
58. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像 鏡像 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？
59. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像 鏡像 水平に回転 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？
60. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像 鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？
61. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 左右が反転 上下はそのまま 実像 鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？
62. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 左右が反転 上下はそのまま 実像 🐻🐻💭💭 正解はこれしかないでしょう？ 鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？
63. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 物体
64. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 物体
65. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体
66. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体
67. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体 水平回転が正しいと思うのは 重力の都合でしかない
68. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体 水平回転が正しいと思うのは 重力の都合でしかない ここで参考動画を
69. 32 21 基底画像🤔🤔
70. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 22 Z = RXR′ どういうRを用いれば， 最適に画像データを圧縮できるか？ それは，依然わからない しかし，画像をベクトルでなく行列で表したことで， 直交変換の効果がヴィジュアルにわかる
71. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
72. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR
73. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
74. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
75. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
76. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　
77. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 かけ算
78. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る かけ算
79. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る かけ算
80. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る かけ算
81. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る かけ算 この列が残る
82. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
83. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
84. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
85. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
86. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
87. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
88. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ベクトルの直積 （付録3） z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
89. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ベクトルの直積 （付録3） z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) = z11 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
90. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ 　 　 ベクトルの直積 （付録3） 行列すなわち画像 z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) = z11 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
91. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 25 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m つまり 基底画像 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている
92. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 26 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） たとえば，64個（ )の基底画像が， 右のような と の直積になっていると すると m = 8 r1 …r8 r′ 1…r′ 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
93. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
94. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
95. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
96. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
97. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
98. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
99. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
100. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 28 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた これ（の8×8の１つ１つ）は 基底画像の例です👉👉
101. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 28 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた これ（の8×8の１つ１つ）は 基底画像の例です👉👉 　　第１部の 👈👈これと同じ？ （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）
102. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 29 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた ものになっている… つまり，逆フーリエ変換？ フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種
103. 29 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 29 フーリエ変換を基本に， 画像圧縮に適した基底画像（一部を省略しても影響が少ない基底画像）を選ぶ 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた ものになっている… つまり，逆フーリエ変換？ フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種