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2023年度秋学期 画像情報処理 第8回 行列の直交変換と基底画像 (2023. 11. 17)
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Akira Asano
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November 05, 2023
Education
0
85
2023年度秋学期 画像情報処理 第8回 行列の直交変換と基底画像 (2023. 11. 17)
関西大学総合情報学部 画像情報処理(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/IPPR/
Akira Asano
PRO
November 05, 2023
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Transcript
2023年度秋学期 画像情報処理 浅野 晃 関西大学総合情報学部 行列の直交変換と基底画像 第8回
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 JPEG方式による画像圧縮 2 画像を波の重ね合わせで表わし,一部を省略して,データ量を減らす ひとつのセルを, これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつの セルに分解
細かい部分は,どの画像でも大してかわら ないから,省略しても気づかない 省略すると,データ量が減る (図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載)
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Karhunen-Loève変換(KL変換) 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第1~第p
/ 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 (情報の損失が最小)
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Karhunen-Loève変換(KL変換) 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第1~第p
/ 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 (情報の損失が最小) データ量が半分でも 情報の損失は最小
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには,分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには, 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには,分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには, 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない そんなことは不可能😵😵
(一応)
32 5 じゃあ,主成分を求めるのはあきらめて, どういう直交変換をするか「直観的」に🤔🤔
32 6 画像をベクトルにしてしまったら, 直観がはたらかない…
32 7 行列の直交変換💡💡
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 画像を行列であらわす 8 平面のものを素直に表せばいいだけのことですが, 前回はベクトルで考えていたので。 ベクトルから行列に書き換える(戻す)ことを考える z =
P′x 原画像を表すベクトル(m2要素) 直交変換を表す行列(m2×m2) 変換後の画像を 表すベクトル (m2要素)
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素 m要素
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 m要素 m要素 m要素
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xj . . . xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 zも同じ m要素 m要素 m要素
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 直交変換行列P′は? 10 P′ がこういう形になっているのなら P′ = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 直交変換行列P′は? 10 P′ がこういう形になっているのなら P′ = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ こういう形ってどういう形?
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11× C
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11× C r1m× C
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11× C r1m× C rm1× C
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 P′ = ⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P′ = R ⊗ C Kronecker積
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P′ = R ⊗ C Kronecker積 こうなっているのなら
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z =
P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z =
P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z =
P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z =
P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z =
P′x Z = CXR′ 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換 証明は…ひたすら計算💦💦(付録1)
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 異なる列の内積は0,同じ列同士の内積は1 直交行列…
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 異なる列の内積は0,同じ列同士の内積は1 直交行列…
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 異なる列の内積は0,同じ列同士の内積は1 直交行列…
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 P′ が直交行列であるためには 13 P′ = ⎛ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = R ⊗ C 異なる列の内積は0,同じ列同士の内積は1 直交行列… なら
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 P′ が直交行列であるためには 13 C, Rそれぞれが直交行列なら, P′は直交行列 P′
= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = R ⊗ C 異なる列の内積は0,同じ列同士の内積は1 直交行列… なら
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝
c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝
c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝
c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜
⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜
⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜
⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜
⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ RはXの行に作用
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 縦方向と横方向の作用を分離できることを, 分離可能(separable)という CXR′ =
⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ RはXの行に作用
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合,C=Rとする Z = RXR′ X
= R′ZR ただし RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換 要素が複素数の場合は,R′のかわりに R′*を用いる 行列Xの行列Rによるユニタリー変換
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合,C=Rとする Z = RXR′ X
= R′ZR ただし RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換 要素が複素数の場合は,R′のかわりに R′*を用いる 行列Xの行列Rによるユニタリー変換 *は複素共役( i を(–i)にかえる)
32 16 ちょっと余談ですが☕
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 縦横の作用を区別する必要はないのか? 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが, 現実世界においては,重力があるので,左右と上下は異なる
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 縦横の作用を区別する必要はないのか? 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが, 現実世界においては,重力があるので,左右と上下は異なる
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 縦横の作用を区別する必要はないのか? 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが, 現実世界においては,重力があるので,左右と上下は異なる
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 縦横の作用を区別する必要はないのか? 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが, 現実世界においては,重力があるので,左右と上下は異なる 上下反転のほうが違和感が大きい
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 縦横の作用を区別する必要はないのか? 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが, 現実世界においては,重力があるので,左右と上下は異なる 上下反転のほうが違和感が大きい だから
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 18 鏡で逆になっているのは,左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 18 鏡で逆になっているのは,左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像
北を見ているなら
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 18 鏡で逆になっているのは,左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像
北を見ているなら 南を見ている
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 19 実像 鏡像 「鏡で逆になる」というなら,「正解」はなにか?
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 19 実像 鏡像 水平に回転 「鏡で逆になる」というなら,「正解」はなにか?
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 19 実像 鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃
「鏡で逆になる」というなら,「正解」はなにか?
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 19 左右が反転 上下はそのまま 実像 鏡像 水平に回転
💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら,「正解」はなにか?
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 19 左右が反転 上下はそのまま 実像 🐻🐻💭💭 正解はこれしかないでしょう?
鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら,「正解」はなにか?
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ,正解はそれだけではありません 鏡像 物体
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ,正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能
物体
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ,正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能
🚀🚀 🚀🚀 物体
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ,正解はそれだけではありません 鏡像
縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ,正解はそれだけではありません 鏡像
縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体 水平回転が正しいと思うのは 重力の都合でしかない
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか? 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ,正解はそれだけではありません 鏡像
縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体 水平回転が正しいと思うのは 重力の都合でしかない ここで参考動画を
32 21 基底画像🤔🤔
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 22 Z = RXR′ どういうRを用いれば, 最適に画像データを圧縮できるか?
それは,依然わからない しかし,画像をベクトルでなく行列で表したことで, 直交変換の効果がヴィジュアルにわかる
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を,それぞれ行列に分ける Z = ⎛ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を,それぞれ行列に分ける を,上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を,それぞれ行列に分ける を,上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を,それぞれ行列に分ける を,上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を,それぞれ行列に分ける を,上の各行列で行う。たとえば Z = ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ X = R′ZR ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ かけ算
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る かけ算
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る かけ算
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る かけ算
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る かけ算 この列が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ベクトルの直積 (付録3) z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ベクトルの直積 (付録3) z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) = z11 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 24 ⎛ ⎜ ⎝ r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ベクトルの直積 (付録3) 行列すなわち画像 z11 ⎛ ⎜ ⎝ r11 . . . r1m ⎞ ⎟ ⎠ (r11 · · · r1m) = z11 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像 25 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X
= z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m つまり 基底画像 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 26 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) たとえば,64個( )の基底画像が, 右のような と の直積になっていると すると m = 8 r1 …r8 r′ 1…r′ 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個( )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個( )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個( )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個( )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個( )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個( )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている (図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X = z11r1r′ 1 + z12r1r′ 2 + · · · + zmmrmr′ m m m 64個( )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つづきは 28 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は,いろいろな周波数の波に, 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた
これ(の8×8の1つ1つ)は 基底画像の例です👉👉
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つづきは 28 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は,いろいろな周波数の波に, 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた
これ(の8×8の1つ1つ)は 基底画像の例です👉👉 第1部の 👈👈これと同じ? (図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載)
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つづきは 29 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は,いろいろな周波数の波に, 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた ものになっている…
つまり,逆フーリエ変換? フーリエ変換も,ユニタリー変換の一種
29 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 つづきは 29 フーリエ変換を基本に, 画像圧縮に適した基底画像(一部を省略しても影響が少ない基底画像)を選ぶ 原画像Xは,m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は,いろいろな周波数の波に,
各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた ものになっている… つまり,逆フーリエ変換? フーリエ変換も,ユニタリー変換の一種