2026年度秋学期　画像情報処理　第2部・画像情報圧縮／第8回　行列の直交変換と基底画像（2026. 11. 13）

2026年度秋学期画像情報処理第2部・画像情報圧縮／第8回行列の直交変換と基底画像関西大学総合情報学部浅野晃

JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす 8×8ピクセルずつのセルに分解ひとつのセルを，これらの波の重ね合わせで表す細かい部分は，どの画像でも大してかわらないから，省略しても気づかない省略すると，データ量が減る（図はA.
K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 2 29

Karhunen-Loève変換（KL変換）画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像（情報の損失が最小） p画素の画像 1 主成分に変換 p 第１～第p
/ 2 主成分だけを伝達するもとの画素に戻す 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

Karhunen-Loève変換（KL変換）画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像（情報の損失が最小） p画素の画像 1 主成分に変換 p 第１～第p
/ 2 主成分だけを伝達するデータ量が半分でも情報の損失は最小もとの画素に戻す 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

KL変換の大問題主成分を求めるには，分散共分散行列が必要分散共分散行列を求めるには，「いまから取り扱うすべての画像」が事前にわかっていないといけない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 4 29

KL変換の大問題主成分を求めるには，分散共分散行列が必要分散共分散行列を求めるには，「いまから取り扱うすべての画像」が事前にわかっていないといけないそんなことは不可能😵😵 （一応） 2026年度秋学期画像情報処理／
関西大学総合情報学部浅野晃 4 29

じゃあ，主成分を求めるのはあきらめて，どういう直交変換をするか「直観的」に🤔🤔

画像をベクトルにしてしまったら，直観がはたらかない…

行列の直交変換💡💡

画像を行列であらわす平面のものを素直に表せばいいだけのことですが，前回はベクトルで考えていたので。 z=P x 変換後の画像を表すベクトル（m2要素）原画像を表すベクトル（m2要素）
直交変換を表す行列（m2×m2）ベクトルから行列に書き換える（戻す）ことを考える 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 29

ベクトルを行列に書き換える m2要素ベクトル   x1  .   ..
     x =  xj   .   .   .  xm X= x1 · · · xj · · · xm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

ベクトルを行列に書き換える m2要素ベクトル   x1 m要素  .  
..      x =  xj  m要素  .   .   .  xm m要素 X= x1 · · · xj · · · xm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

..      x =  xj  m要素  .   .   .  xm m要素 X= x1 · · · xj · · · xm m要素 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

..      x =  xj  m要素  .   .   .  xm m要素 X= x1 · · · m要素 xj · · · xm m要素 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

..      x =  xj  m要素  .   .   .  xm m要素 X= x1 · · · m要素 xj · · · m要素 xm m要素 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

..      x =  xj  m要素  .   .   .  xm m要素 m×m行列 X= x1 · · · m要素 xj · · · m要素 xm m要素 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

..      x =  xj  m要素  .   .   .  xm m要素 m×m行列 X= x1 · · · m要素 xj · · · m要素 xm m要素 zも同じ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

直交変換行列P′は？ P′ がこういう形になっているのなら  r11 c11  ..  .
  r11 cm1   P =   rm1 c11   . ..  rm1 cm1 ··· .. . ··· .. . ··· .. . ··· r11 c1m .. . r11 cmm ··· .. rm1 c1m .. . rm1 cmm r1m c11 .. . r1m cm1 . ··· rmm c11 .. . rmm cm1 ··· .. . ··· .. . ··· .. . ···  r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

直交変換行列P′は？ P′ がこういう形になっているのなら  r11 c11  ..  .
  r11 cm1   P =   rm1 c11   . ..  rm1 cm1 ··· .. . ··· .. . ··· .. . ··· r11 c1m .. . r11 cmm ··· .. rm1 c1m .. . rm1 cmm r1m c11 .. . r1m cm1 . ··· rmm c11 .. . rmm cm1 ··· .. . ··· .. . ··· .. . ···  r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm こういう形ってどういう形？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

行列のKronecker積  r11 c11  ..  .  
r11 cm1   P =   rm1 c11   . ..  rm1 cm1  c11  .. C= . ··· .. . ··· .. . ··· .. . ··· ··· .. . cm1 · · · r11 c1m .. . r11 cmm ··· .. rm1 c1m .. . rm1 cmm  r1m c11 .. . r1m cm1 . ··· rmm c11 .. . rmm cm1  c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm ··· .. . ··· .. . ··· .. . ··· ··· .. . rm1 · · ·  r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

行列のKronecker積  r11 c11 · · ·  .. .
.. 11  .   r11 cm1 · · ·   .. P = .   rm1 c11 · · ·   . .. ..  . rm1 cm1 · · · r11 c1m .. . r × C r c  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · · 11 mm ··· .. rm1 c1m .. . rm1 cmm  r1m c11 .. . r1m cm1 . ··· rmm c11 .. . rmm cm1  c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm ··· .. . ··· .. . ··· .. . ··· ··· .. . rm1 · · ·  r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

.. 11  .   r11 cm1 · · ·   .. P = .   rm1 c11 · · ·   . .. ..  . rm1 cm1 · · · r11 c1m .. . r × C r c  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · · 11 mm ··· .. rm1 c1m .. . rm1 cmm  . ··· r1m c11 · · · .. . .. 1m . r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm r × r c C· · · . 1m m1 rmm c11 .. . rmm cm1  c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm  .. ··· .. . ··· ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

.. 11  .   r11 cm1 · · ·   .. P = .   rm1 c11 · · ·   . .. .. m1  . rm1 cm1 · · · r11 c1m .. . r × C r c 11 mm .. rm1 c1m .. . r × C r c  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · · ··· m1 mm  . ··· r1m c11 · · · .. . .. 1m . r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm r × r c C· · · . 1m m1 rmm c11 .. . rmm cm1  c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm  .. ··· .. . ··· ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

.. 11  .   r11 cm1 · · ·   .. P = .   rm1 c11 · · ·   . .. .. m1  . rm1 cm1 · · · r11 c1m .. . r × C r c 11 mm .. rm1 c1m .. . r × C r c  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · · ··· m1 mm  . ··· r1m c11 · · · .. . .. 1m . r1m c1m  ..  .  r1m cm1 · · · r1m cmm    ..  .  rmm c11 · · · rmm c1m    . .. . .. .. mm  . rmm cm1 · · · rmm cmm r × C r ×C  c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm  ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

.. 11  .   r11 cm1 · · ·   .. P = .   rm1 c11 · · ·   . .. .. m1  . rm1 cm1 · · · r11 c1m .. . r × C r c 11 mm .. rm1 c1m .. . r × C r c  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · · Rの各要素に Cを貼付けたもの ··· m1 mm  . ··· r1m c11 · · · .. . .. 1m . r1m c1m  ..  .  r1m cm1 · · · r1m cmm    ..  .  rmm c11 · · · rmm c1m    . .. . .. .. mm  . rmm cm1 · · · rmm cmm r × C r ×C  c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm  ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

.. 11  .   r11 cm1 · · ·   .. P = .   rm1 c11 · · ·   . .. .. m1  . rm1 cm1 · · · r11 c1m .. . r × C r c 11 mm .. rm1 c1m .. . r × C r c  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · · Rの各要素に Cを貼付けたもの ··· m1 mm  . ··· r1m c11 · · · .. . .. 1m . r1m c1m  ..  .  r1m cm1 · · · r1m cmm    ..  .  rmm c11 · · · rmm c1m    . .. . .. .. mm  . rmm cm1 · · · rmm cmm r × C r ×C  c1m r11  .. ..  . , R =  . ··· .. . rm1 · · · cmm  P =R⊗C  r1m ..  .  rmm Kronecker積 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

.. 11  .   r11 cm1 · · ·   .. P = .   rm1 c11 · · ·   . .. .. m1  . rm1 cm1 · · · r11 c1m .. . r × C r c 11 mm .. rm1 c1m .. . r × C r c  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · · Rの各要素に Cを貼付けたもの ··· m1 mm  . ··· r1m c11 · · · .. . .. 1m . r1m c1m  ..  .  r1m cm1 · · · r1m cmm    ..  .  rmm c11 · · · rmm c1m    . .. . .. .. mm  . rmm cm1 · · · rmm cmm r × C r ×C  c1m r11  .. ..  . , R =  . ··· .. . rm1 · · · cmm  P =R⊗C  r1m ..  .  rmm こうなっているのなら Kronecker積 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

行列の変換に書き換える z=P x ベクトルxからベクトルzへの行列P′による変換行列Xから Z
= CXR 行列Zへの行列CとR′による変換 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 29

行列の変換に書き換える z=P x ベクトルxからベクトルzへの行列P′による変換証明は…ひたすら計算💦💦（付録1）行列Xから
Z = CXR 行列Zへの行列CとR′による変換 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 29

P′ が直交行列であるためには直交行列… 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１  r11 c11  .. 
.   r11 cm1   P =    rm1 c11   . ..  rm1 cm1 ··· .. . ··· .. . ··· .. . ··· r11 c1m .. . r11 cmm ··· .. rm1 c1m .. . rm1 cmm r1m c11 .. . r1m cm1 . ··· rmm c11 .. . rmm cm1 ··· .. . ··· .. . ··· .. . ···  r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

.   r11 cm1   P =    rm1 c11   . ..  rm1 cm1 ··· .. . ··· .. . r11 c1m .. . r11 cmm ··· .. ··· .. . ··· rm1 c1m .. . rm1 cmm ··· .. . ··· .. . r1m c11 .. . r1m cm1 . ··· rmm c11 .. . rmm cm1 ··· .. . ··· P = R ⊗ C なら  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · ·   c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm  r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

.   r11 cm1   P =    rm1 c11   . ..  rm1 cm1 ··· .. . ··· .. . r11 c1m .. . r11 cmm ··· .. ··· .. . ··· rm1 c1m .. . rm1 cmm ··· .. . ··· .. . r1m c11 .. . r1m cm1 . ··· rmm c11 .. . rmm cm1 ··· .. . ··· P = R ⊗ C なら  c11  .. C= . ··· .. . cm1 · · ·   c1m r11  .. ..  . , R =  . cmm  r1m c1m  ..  .  r1m cmm      rmm c1m    ..  . rmm cmm ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  C, Rそれぞれが直交行列なら， P′は直交行列 rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

分離可能性 CXR =  c11 · · · 
.. . ..  . cm1 · · ·  c1m x11 ..   .. .  . cmm ··· .. . xm1 · · ·  x1m r11 ..   .. .  . xmm ··· .. . r1m · · ·  rm1 ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

分離可能性 CXR =  c11 · · · 
.. . ..  . cm1 · · ·  c1m x11 ..   .. .  . cmm CはXの列に作用 ··· .. . xm1 · · ·  x1m r11 ..   .. .  . xmm ··· .. . r1m · · ·  rm1 ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

分離可能性 CXR =  c11 · · · 
.. . ..  . cm1 · · ·  c1m x11 ..   .. .  . cmm CはXの列に作用 ··· .. . xm1 · · ·  x1m r11 ..   .. .  . xmm ··· .. . r1m · · ·  rm1 ..  .  rmm RはXの行に作用 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

分離可能性 CXR =  c11 · · · 
.. . ..  . cm1 · · ·  c1m x11 ..   .. .  . cmm CはXの列に作用 ··· .. . xm1 · · ·  x1m r11 ..   .. .  . xmm ··· .. . r1m · · ·  rm1 ..  .  rmm RはXの行に作用縦方向と横方向の作用を分離できることを，分離可能(separable)という 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

行列の直交変換とユニタリー変換縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR X = R
ZR ただし RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる行列Xの行列Rによるユニタリー変換 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

行列の直交変換とユニタリー変換縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR X = R
ZR ただし RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換 *は複素共役（ i を(–i)にかえる）要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる行列Xの行列Rによるユニタリー変換 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

ちょっと余談ですが☕

縦横の作用を区別する必要はないのか？画像処理としてはその仮定はおかしくないが，現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17
29

縦横の作用を区別する必要はないのか？画像処理としてはその仮定はおかしくないが，現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる上下反転のほうが違和感が大きい 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃
17 29

縦横の作用を区別する必要はないのか？画像処理としてはその仮定はおかしくないが，現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる上下反転のほうが違和感が大きいだから 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 17 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく前後。鏡実像鏡像 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部
浅野晃 18 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく前後。鏡実像鏡像北を見ているなら 2026年度秋学期画像情報処理／

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく前後。鏡実像北を見ているなら鏡像南を見ている 2026年度秋学期画像情報処理
／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？実像鏡像 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃
19 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？鏡像実像水平に回転 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 19 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？鏡像実像 💃💃 💃💃 水平に回転 2026年度秋学期画像情報処理／

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？鏡像実像 💃💃 💃💃 水平に回転左右が反転上下はそのまま 2026年度秋学期
画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？鏡像実像 💃💃 💃💃 水平に回転 🐻🐻💭💭 正解はこれしかないでしょう？左右が反転
上下はそのまま 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません物体鏡像 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 20 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません鏡像物体縦回転だって可能 2026年度秋学期画像情報処理／

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 🚀🚀 🚀🚀 鏡像物体縦回転だって可能 2026年度秋学期
画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 🚀🚀 🚀🚀 鏡像物体縦回転だって可能上下が反転
左右はそのまま 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 🚀🚀 🚀🚀 鏡像物体縦回転だって可能水平回転が正しいと思うのは
重力の都合でしかない上下が反転左右はそのまま 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 29

鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 🚀🚀 🚀🚀 鏡像物体縦回転だって可能水平回転が正しいと思うのは
重力の都合でしかないここで参考動画を上下が反転左右はそのまま 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 29

基底画像🤔🤔

基底画像 Z = RXR どういうRを用いれば，最適に画像データを圧縮できるか？それは，依然わからないしかし，画像をベクトルでなく行列で表したことで，直交変換の効果がヴィジュアルにわかる
2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 22 29

基底画像変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける  z11 0 · · ·  
0 0 ··· Z= .. . .  .. . .  . 0 0 ···   0 0 z12 · · ·   0   0 0 ···   + ..   .. .. .. . .   . . 0 0 0 ···   0 0 0 ···   0   0 0 ···   + · · · + ..   .. .. . . . .   . . 0 0 0 ··· 0 0 .. . zmm       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

0 0 ··· Z= .. . .  .. . .  . 0 0 ···   0 0 z12 · · ·   0   0 0 ···   + ..   .. .. .. . .   . . 0 0 0 ···   0 0 0 ···   0   0 0 ···   + · · · + ..   .. .. . . . .   . . 0 0 0 ··· 0 0 .. . zmm       X = R ZR を，上の各行列で行う。たとえば 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

0 0 ··· Z= .. . .  .. . .  . 0 0 ···    0 0 z12 · · ·   0   0 0 ···   + ..   .. .. .. . .   . . 0 0 0 ···  0 0 0 ···   0   0 0 ···   + · · · + ..   .. .. . . . .   . . 0 0 0 ··· 0 0 .. . zmm       X = R ZR を，上の各行列で行う。たとえば  z11 0 · · ·   0 0 ···  . .. . .  . . .  . 0 0 ···  0  0  ..   .  0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

0 0 ··· Z= .. . .  .. . .  . 0 0 ···    0 0 z12 · · ·   0   0 0 ···   + ..   .. .. .. . .   . . 0 0 0 ···  0 0 0 ···   0   0 0 ···   + · · · + ..   .. .. . . . .   . . 0 0 0 ··· 0 0 .. . zmm       X = R ZR を，上の各行列で行う。たとえば  r11  ..  . ··· .. . r1m · · ·  rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  0  0  ..   .  0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

0 0 ··· Z= .. . .  .. . .  . 0 0 ···    0 0 z12 · · ·   0   0 0 ···   + ..   .. .. .. . .   . . 0 0 0 ···  0 0 0 ···   0   0 0 ···   + · · · + ..   .. .. . . . .   . . 0 0 0 ··· 0 0 .. . zmm       X = R ZR を，上の各行列で行う。たとえば  r11  ..  . ··· .. . r1m · · ·  rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  0  0  ..   .  0 r11 .. . ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

基底画像  r11  ..  . ··· .. .
r1m · · ·  r11  ..  . ··· .. . r1m · · ·  rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .. . .   . . rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  0  0  ..   .  0  0  0  ..   .  0 r11 .. . ··· .. . rm1 · · · r11 .. . ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像  r11  ..  . ··· .. .
r1m · · ·  r11  ..  . ··· .. . r1m · · · かけ算  rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .. . .   . . rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  0  0  ..   .  0  0  0  ..   .  0 r11 .. . ··· .. . rm1 · · · r11 .. . ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · ·  r11  ..  . ··· .. . r1m · · · かけ算  rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .. . .   . . rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  0  0  ..   .  0  0  0  ..   .  0 r11 .. . ··· .. . rm1 · · · r11 .. . ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · かけ算  rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .. . .   . . rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  0  0  ..   .  0  0  0  ..   .  0 r11 .. . ··· .. . rm1 · · · r11 .. . ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · かけ算  rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .. . .   . . rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ··· かけ算  0  0  ..   .  0  0  0  ..   .  0 r11 .. . ··· .. . rm1 · · · r11 .. . ··· .. . rm1 · · ·  r1m ..  .  rmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · r11が残るかけ算   rm1  z11 0 · · · 0  r11 · · · r1m 0 0 · · · 0  ..  .. ..  .  .  . . .  .  . .. . . ..  . かけ算  rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ··· .  0  0  0  ..   .  0 rm1 · · · r11 .. . ··· .. . rm1 · · · rmm  r1m ..  .  rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · r11が残るかけ算   rm1  z11 0 · · · 0  r11 · · · r1m 0 0 · · · 0  ..  .. ..  .  .  . . .  .  . .. . . ..  . かけ算  rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ··· .  0 rm1 · · · rmm この行が残る  0 r11 · · · r1m  0  .. ..  .  . ..  . .  .  .  0 rm1 · · · rmm 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · ·  r11が残るかけ算   rm1  z11 0 · · · 0  r11 · · · r1m 0 0 · · · 0  ..  .. ..  .  .  . . .  .  . .. . . ..  . かけ算  rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ··· .  0 rm1 · · · rmm この行が残る  0 r11 · · · r1m  0  .. ..  .  . ..  . .  .  .  0 rm1 · · · rmm  r11  ..  z11  .  (r11 · · · r1m ) r1m 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · ベクトルの直積（付録3）  r11が残るかけ算   rm1  z11 0 · · · 0  r11 · · · r1m 0 0 · · · 0  ..  .. ..  .  .  . . .  .  . .. . . ..  . かけ算  rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ··· .  0 rm1 · · · rmm この行が残る  0 r11 · · · r1m  0  .. ..  .  . ..  . .  .  .  0 rm1 · · · rmm  r11  ..  z11  .  (r11 · · · r1m ) r1m 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · ベクトルの直積（付録3）   r11が残るかけ算   rm1  z11 0 · · · 0  r11 · · · r1m 0 0 · · · 0  ..  .. ..  .  .  . . .  .  . .. . . ..  . かけ算  rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  .  0 r1m rmm この行が残る  0 r11 · · · r1m  0  .. ..  .  . ..  . .  .  .  0 r r 11 11 r11   r12 r11  ..  z11  .  (r11 · · · r1m ) = z11  ..   rm1 · · · . rm1 · · · r11 r12 r12 r12 .. . rmm ··· ··· .. . r1m r11 r1m r12 · · ·  r11 r1m  r12 r1m   ..  .  r1m r1m 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · ベクトルの直積（付録3）   r11が残るかけ算   rm1  z11 0 · · · 0  r11 · · · r1m 0 0 · · · 0  ..  .. ..  .  .  . . .  .  . .. . . ..  . かけ算  rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  .  0 r1m rmm この行が残る  0 r11 · · · r1m  0  .. ..  .  . ..  . .  .  .  0 r r 11 11 r11   r12 r11  ..  z11  .  (r11 · · · r1m ) = z11  ..   rm1 · · · . rm1 · · · r11 r12 r12 r12 .. . rmm ··· ··· .. . r1m r11 r1m r12 · · ·  r11 r1m  r12 r1m   ..  .  行列，すなわち画像 r1m r1m 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像 r11が残る  r11 · · ·  .. .
..  . r1m · · · この列が残る  r11 · · ·  .. . ..  . r1m · · · ベクトルの直積（付録3）   r11が残るかけ算   rm1  z11 0 · · · 0  r11 · · · r1m 0 0 · · · 0  ..  .. ..  .  .  . . .  .  . .. . . ..  . かけ算  rmm  . 0  . . 0 ··· rm1  z11 0 · · · 0 0 ··· ..   . .  . .. . . rmm  . 0 . . 0 ···  .  0 r1m rmm この行が残る  0 r11 · · · r1m  0  .. ..  .  . ..  . .  .  .  0 r r 11 11 r11   r12 r11  ..  z11  .  (r11 · · · r1m ) = z11  ..   rm1 · · · . rm1 · · · r11 r12 r12 r12 .. . rmm ··· ··· .. . r1m r11 r1m r12 · · ·  r11 r1m  r12 r1m   ..  .  r1m r1m 行列，すなわち画像ここでちょっと「直積ジョーク」を…😊😊 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

基底画像つまり X =    
z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 基底画像原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

つまり基底画像とは原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっているたとえば，64個（ m = 8 )の基底画像が，右のような r1…r8
と r′1…r′8 の直積になっていると r1 r′1 r′8 すると r8 （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

つまり基底画像とは   2 原画像Xは，m 個の基底画像に  それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている X =
 z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m r′1 r′8 r1 64個（ m = 8 )の基底画像がこれだとすると（図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） r8 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 27 29

つづきは原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている今日の最初にでてきたこれ（の8×8の１つ１つ）は基底画像の例です👉👉 元の関数は，いろいろな周波数の波に，各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 2026年度秋学期画像情報処理

つづきは原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている今日の最初にでてきたこれ（の8×8の１つ１つ）は基底画像の例です👉👉 （図はA. K. Jain, Fundamentals
of Digital Image Processingより転載）元の関数は，いろいろな周波数の波に，各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 第１部の 👈👈 これと同じ？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

つづきは原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている元の関数は，いろいろな周波数の波に，各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… つまり，逆フーリエ変換？フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種 2026年度秋学期画像情報処理

つづきは原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている元の関数は，いろいろな周波数の波に，各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… つまり，逆フーリエ変換？フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種フーリエ変換を基本に，画像圧縮に適した基底画像（一部を省略しても影響が少ない基底画像）を選ぶ
2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 29 29

2026年度秋学期 画像情報処理 第2部・画像情報圧縮 ／ 第8回 行列の直交変換と基底画像（...

2026年度秋学期 画像情報処理 第2部・画像情報圧縮 ／ 第8回 行列の直交変換と基底画像（2026. 11. 13）

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