Upgrade to Pro
— share decks privately, control downloads, hide ads and more …
Speaker Deck
Features
Speaker Deck
PRO
Sign in
Sign up for free
Search
Search
2024年度春学期 応用数学(解析)第5回 微分方程式とは・変数分離形 (2024. 5. 9)
Search
Akira Asano
PRO
April 30, 2024
Education
0
92
2024年度春学期 応用数学(解析)第5回 微分方程式とは・変数分離形 (2024. 5. 9)
関西大学総合情報学部 応用数学(解析)(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2024s/AMA/
Akira Asano
PRO
April 30, 2024
Tweet
Share
More Decks by Akira Asano
See All by Akira Asano
2025年度春学期 統計学 第15回 分布についての仮説を検証する ー 仮説検定(2) (2025. 7. 17)
akiraasano
PRO
0
110
2025年度春学期 統計学 第14回 分布についての仮説を検証する ー 仮説検定(1) (2025. 7. 10)
akiraasano
PRO
0
140
2025年度春学期 統計学 第13回 不確かな測定の不確かさを測る ー 不偏分散とt分布 (2025. 7. 3)
akiraasano
PRO
0
120
2025年度春学期 統計学 第12回 分布の平均を推測する ー 区間推定 (2025. 6. 26)
akiraasano
PRO
0
160
2025年度春学期 統計学 第11回 分布の「型」を考える ー 確率分布モデルと正規分布 (2025. 6. 19)
akiraasano
PRO
0
170
2025年度春学期 統計学 第10回 分布の推測とは ー 標本調査,度数分布と確率分布 (2025. 6. 12)
akiraasano
PRO
0
220
2025年度春学期 統計学 第8回 演習(1) 問題に対する答案の書き方(講義後配付用) (2025. 5. 29)
akiraasano
PRO
0
73
2025年度春学期 統計学 第9回 確からしさを記述する ー 確率 (2025. 6. 5)
akiraasano
PRO
0
150
2025年度春学期 統計学 第8回 演習(1) 問題に対する答案の書き方(講義前配付用) (2025. 5. 29)
akiraasano
PRO
0
140
Other Decks in Education
See All in Education
EVOLUCIÓN DE LAS NEUROCIENCIAS EN LOS CONTEXTOS ORGANIZACIONALES
jvpcubias
0
150
AWSと共に英語を学ぼう
amarelo_n24
0
150
2025/06/05_読み漁り学習
nag8
0
200
【品女100周年企画】Pitch Deck
shinagawajoshigakuin_100th
0
6k
Técnicas y Tecnología para la Investigación Neurocientífica en el Neuromanagement
jvpcubias
0
130
Master of Applied Science & Engineering: Computer Science & Master of Science in Applied Informatics: Artificial Intelligence and Data Science
signer
PRO
0
740
小学校女性教員向け プログラミング教育研修プログラム「SteP」の実践と課題
codeforeveryone
0
110
Présentation_1ère_Spé_2025.pdf
bernhardsvt
0
250
理想の英語力に一直線!最高効率な英語学習のすゝめ
logica0419
6
390
Online Privacy
takahitosakamoto
0
110
チーム開発における責任と感謝の話
ssk1991
0
260
シリコンバレーでスタートアップを共同創業したファウンディングエンジニアとしての学び
tomoima525
1
1.2k
Featured
See All Featured
Done Done
chrislema
185
16k
個人開発の失敗を避けるイケてる考え方 / tips for indie hackers
panda_program
113
20k
The Art of Programming - Codeland 2020
erikaheidi
56
13k
Responsive Adventures: Dirty Tricks From The Dark Corners of Front-End
smashingmag
252
21k
Learning to Love Humans: Emotional Interface Design
aarron
273
40k
Facilitating Awesome Meetings
lara
55
6.5k
Understanding Cognitive Biases in Performance Measurement
bluesmoon
29
1.9k
The Cost Of JavaScript in 2023
addyosmani
53
8.9k
YesSQL, Process and Tooling at Scale
rocio
173
14k
A Tale of Four Properties
chriscoyier
160
23k
4 Signs Your Business is Dying
shpigford
184
22k
Put a Button on it: Removing Barriers to Going Fast.
kastner
60
4k
Transcript
関西大学総合情報学部 浅野 晃 応用数学(解析) 2024年度春学期 第2部・基本的な微分方程式 / 第5回 微分方程式とは・変数分離形
微分方程式とは🤔🤔
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式とは 3 微分方程式は,解が「関数」で,その微分が含まれる方程式 ふつうの方程式は,解は「数」 x が t
の関数(つまりx(t))のとき, x2 − 5x + 3 = 0 x′ = x x′′ − 5x′ + 6x = 0
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式とは 3 微分方程式は,解が「関数」で,その微分が含まれる方程式 ふつうの方程式は,解は「数」 x が t
の関数(つまりx(t))のとき, x2 − 5x + 3 = 0 x′ = x x′′ − 5x′ + 6x = 0 関数は「量の変化」 微分方程式は「変化の条件」
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式とは 3 微分方程式は,解が「関数」で,その微分が含まれる方程式 ふつうの方程式は,解は「数」 x が t
の関数(つまりx(t))のとき, x2 − 5x + 3 = 0 x′ = x x′′ − 5x′ + 6x = 0 関数は「量の変化」 微分方程式は「変化の条件」 微分方程式を解くと,「どう変化するか」がわかる
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 1階・2階,常微分・偏微分 4 1階導関数に関する微分方程式: 1階微分方程式 x′ = x
x′′ − 5x′ + 6x = 0 1変数関数の微分方程式は常微分方程式 2変数以上の関数の偏微分に関する 微分方程式は偏微分方程式 2階導関数に関する微分方程式: 2階微分方程式 ⋮
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解くとは 5 微分方程式を「解く」とは, その方程式を満たす関数を見つけること 解ける微分方程式のうち,簡単なものの 基本的なパターンをいくつか紹介します。 微分方程式は
特定のパターンのものしか解けない
微分方程式の例🤔🤔
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 運動方程式 7 加速度は速度の微分, 速度は位置の微分だから, 力 F 物体の質量
m 物体の加速度 a 物体に働く力と,その運動との関係 F = ma F = mx′′ 時刻 t の物体の位置を x(t) とすると これを解いて関数 x(t) を求めると,時刻 t での物体の位置がわかる
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 落下の問題 8 抵抗力は速度の2乗に比例する 力 F =下向きの重力 mg
+ 上向きの抵抗力 物体が空気中を落下するとき 運動方程式は なので F = mx′ ′ −k(x′)2 mg − k(x′)2 = mx′′
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 落下の問題 8 抵抗力は速度の2乗に比例する 力 F =下向きの重力 mg
+ 上向きの抵抗力 物体が空気中を落下するとき 運動方程式は なので F = mx′ ′ −k(x′)2 mg − k(x′)2 = mx′′
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 落下の問題 8 抵抗力は速度の2乗に比例する 力 F =下向きの重力 mg
+ 上向きの抵抗力 物体が空気中を落下するとき 運動方程式は なので F = mx′ ′ −k(x′)2 mg − k(x′)2 = mx′′
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 放射性物質の崩壊 9 崩壊の速度は,現在存在する物質の量に比例する x′ = −kx 時刻
t の時点で存在する物質の量を x(t) とすると
一般解・特殊解・特異解🤔🤔
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般解と特殊解 11 x′ = −kx 時刻 t
の時点で存在する物質の量を x(t) とすると 定数 k が決まったら,解はひとつの関数に決まるか?
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般解と特殊解 11 x′ = −kx 時刻 t
の時点で存在する物質の量を x(t) とすると 定数 k が決まったら,解はひとつの関数に決まるか? 決まらない 最初 t = 0 に存在する物質の量 x(0) が わからないと解はひとつに決まらない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般解と特殊解 11 x′ = −kx 時刻 t
の時点で存在する物質の量を x(t) とすると 定数 k が決まったら,解はひとつの関数に決まるか? 決まらない 最初 t = 0 に存在する物質の量 x(0) が わからないと解はひとつに決まらない 初期値という
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般解と特殊解 12 初期値が定まったときに求められる解を 特殊解(particular solution) という 初期値が定まっていないとき,
初期値を代入したらひとつの特殊解が求められるような形の解を 一般解(general solution) という x(t) = C exp(−kt) 一般解の例:
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一般解と特殊解 12 初期値が定まったときに求められる解を 特殊解(particular solution) という 初期値が定まっていないとき,
初期値を代入したらひとつの特殊解が求められるような形の解を 一般解(general solution) という x(t) = C exp(−kt) 初期値が定まってはじめて決まる パラメータ 一般解の例:
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数)
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 でも,x ≡ 0 も解では?
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 C > 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 – C C > 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 – C C > 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 – C C > 0 C < 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 – C C > 0 C < 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 – C C > 0 C < 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 x′ = x1 3 の一般解
x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 – C C > 0 C < 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない x ≡ 0 も解
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 13 特異解(singular solution)という x′ = x1
3 の一般解 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら ( C は定数) (なぜならば) x′ = 3 2 { 2 3 (t + C)}1 2 · 2 3 = { 2 3 (t + C)}1 2 = x1 3 x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら x t C = 0 – C C > 0 C < 0 一般解 でも,x ≡ 0 も解では? x = { 2 3 (t + C)}3 2 方 も明ら 一般解 には Cをどう変えても含まれない x ≡ 0 も解
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 14 一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」 初期値がひとつ定まったときに,解がひとつだけに決まることを, 解が一意(unique)であるという 微分方程式が のとき,初期値のまわりでどんな
x1, x2 についても x′ (t) = f(t, x) |f(t, x1) − f(t, x2)| L|x1 − x2| となる定数 L があるなら,その初期値について一意 「x のわずかな変化について, f がいくらでも大きく変化する,ということはない」くらいの意味
変数分離形🤔🤔
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx dx
dt = −kx と直す
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx dx
dt = −kx と直す x ̸= 0 として
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx dx
dt = −kx と直す x ̸= 0 として 1 x dx dt = −k と変形する
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx dx
dt = −kx と直す x ̸= 0 として 1 x dx dt = −k と変形する 1 x dx dt dt = (−k)dt 両辺を t で積分
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx dx
dt = −kx と直す x ̸= 0 として 1 x dx dt = −k と変形する 1 x dx dt dt = (−k)dt 両辺を t で積分 1 x dx = (−k)dt 置換積分をする
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx dx
dt = −kx と直す x ̸= 0 として 1 x dx dt = −k と変形する 1 x dx dt dt = (−k)dt 両辺を t で積分 1 x dx = (−k)dt 置換積分をする 積分を解く 1 x dx = − kdt log |x| + C1 = −kt + C2
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 16 を解く x′ = −kx dx
dt = −kx と直す x ̸= 0 として 1 x dx dt = −k と変形する 1 x dx dt dt = (−k)dt 両辺を t で積分 1 x dx = (−k)dt 置換積分をする 積分を解く 1 x dx = − kdt log |x| + C1 = −kt + C2 C1, C2 は積分定数
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 17 を解く x′ = −kx 積分を解く
1 x dx = − kdt log |x| + C1 = −kt + C2
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 17 を解く x′ = −kx 積分を解く
1 x dx = − kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1) x = ± exp{−kt + (C2 − C1)} x = ± exp(C2 − C1) exp(−kt)
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 17 を解く x′ = −kx 積分を解く
1 x dx = − kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1) x = ± exp{−kt + (C2 − C1)} x = ± exp(C2 − C1) exp(−kt) ± exp(C2 − C1) をあらためて定数 C とすると
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 17 を解く x′ = −kx 積分を解く
1 x dx = − kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1) x = ± exp{−kt + (C2 − C1)} x = ± exp(C2 − C1) exp(−kt) ± exp(C2 − C1) をあらためて定数 C とすると x(t) = C exp(−kt) 一般解は
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 17 を解く x′ = −kx 積分を解く
1 x dx = − kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1) x = ± exp{−kt + (C2 − C1)} x = ± exp(C2 − C1) exp(−kt) ± exp(C2 − C1) をあらためて定数 C とすると x(t) = C exp(−kt) 一般解は x ≡ 0 も解で,一般解に含まれる。 x ̸= 0 としたが, さっき
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 18 を解くとき,ふつうは x′ = −kx dx
dt = −kx から dx x = −kdt と,分数の計算のように変形し 1 x dx = (−k)dt と積分する
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 18 を解くとき,ふつうは x′ = −kx x
が左辺,t が右辺に分離しているので,変数分離形という dx dt = −kx から dx x = −kdt と,分数の計算のように変形し 1 x dx = (−k)dt と積分する
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 18 を解くとき,ふつうは x′ = −kx x
が左辺,t が右辺に分離しているので,変数分離形という dx dt = −kx から dx x = −kdt と,分数の計算のように変形し 1 x dx = (−k)dt と積分する
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 19 一般には g(x)x′ = f(t)
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 19 一般には g(x)x′ = f(t) とすると
x′ = dx dt
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 19 一般には g(x)x′ = f(t) とすると
x′ = dx dt g(x)dx = f(t)dt
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 19 一般には 両辺それぞれを積分すると g(x)x′ = f(t)
とすると x′ = dx dt g(x)dx = f(t)dt
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 19 一般には 両辺それぞれを積分すると g(x)x′ = f(t)
とすると x′ = dx dt g(x)dx = f(t)dt g(x)dx = f(t)dt + C
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 変数分離形 19 一般には 両辺それぞれを積分すると g(x)x′ = f(t)
とすると x′ = dx dt g(x)dx = f(t)dt g(x)dx = f(t)dt + C 一般解に含まれる積分定数 C は, 初期値を代入して定まり,特殊解が得られる
例題💡💡
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 として変数分離すると x′ = dx dt
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 として変数分離すると x′ = dx dt 9xdx = −4tdt
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 として変数分離すると x′ = dx dt 9xdx = −4tdt 両辺それぞれを積分すると
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 として変数分離すると x′ = dx dt 9xdx = −4tdt 両辺それぞれを積分すると 9 2 x2 = −2t2 + C0
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 として変数分離すると x′ = dx dt 9xdx = −4tdt 両辺それぞれを積分すると 9 2 x2 = −2t2 + C0 すなわち t2 9 + x2 4 = C1
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 21 を解いて ( t – x
平面の楕円群) 9x · x′ + 4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 として変数分離すると x′ = dx dt 9xdx = −4tdt 両辺それぞれを積分すると 9 2 x2 = −2t2 + C0 すなわち t2 9 + x2 4 = C1
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 22 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 一般解は t2 9 + x2 4 = C1
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 22 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 一般解は t2 9 + x2 4 = C1
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 22 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 初期値が x(3) = 2 なので t = 3 のとき x = 2 だから,代入すると C1 = 2 一般解は t2 9 + x2 4 = C1
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 22 を解いて 9x · x′ +
4t = 0 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 初期値が x(3) = 2 なので t = 3 のとき x = 2 だから,代入すると C1 = 2 一般解は t2 9 + x2 4 = C1 t2 9 + x2 4 = 2 特殊解は
テキストの演習問題からひとつ🌀🌀
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 演習問題(1) 24 微分方程式 とするときの特殊解を求めよ。 x′ = 3t2x
について x(0) = 1
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 演習問題(1) 24 微分方程式 とするときの特殊解を求めよ。 x′ = 3t2x
について x(0) = 1 とすると ,すなわち と変数分離できる x′ = dx dt dx dt = 3t2x dx x = 3t2dt
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 演習問題(1) 24 微分方程式 とするときの特殊解を求めよ。 両辺それぞれを積分すると x′ =
3t2x について x(0) = 1 とすると ,すなわち と変数分離できる x′ = dx dt dx dt = 3t2x dx x = 3t2dt ,すなわち ( は定数) ∫ dx x = ∫ 3t2dt log|x| = t3 + C C
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 演習問題(1) 25 微分方程式 とするときの特殊解を求めよ。 x′ = 3t2x
について x(0) = 1 より ( は定数) log|x| = t3 + C x = ± eCet3 C
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 演習問題(1) 25 微分方程式 とするときの特殊解を求めよ。 x′ = 3t2x
について x(0) = 1 より ( は定数) log|x| = t3 + C x = ± eCet3 C よって, をあらためて定数 とおくと,一般解は ±eC A x = Aet3
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 演習問題(1) 25 微分方程式 とするときの特殊解を求めよ。 x′ = 3t2x
について x(0) = 1 より ( は定数) log|x| = t3 + C x = ± eCet3 C よって, をあらためて定数 とおくと,一般解は ±eC A x = Aet3 初期値は なので, を代入すると x(0) = 1 t = 0, x = 1 1 = A
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 演習問題(1) 25 微分方程式 とするときの特殊解を求めよ。 x′ = 3t2x
について x(0) = 1 より ( は定数) log|x| = t3 + C x = ± eCet3 C よって, をあらためて定数 とおくと,一般解は ±eC A x = Aet3 初期値は なので, を代入すると x(0) = 1 t = 0, x = 1 1 = A よって,求める特殊解は x = et3
26 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 26 微分方程式は,関数とその微分に関する方程式 解は数ではなく関数 解ける方程式のパターンは限られている もっとも基本的なパターン 「変数分離形」