[2026後期火５] 論理学（京都大学文学部 後期 第5回）「問題演習と ε-δ 論法」

科学哲学科学史 (演習) 後期 第5回　論理学　（京都大学文学部・矢田部俊介）
「問題演習と ε-δ 論法」
2026年11月10日（火）1645〜1815（予定）

問題演習の回です。∀ の導入規則と ∃ の除去規則の固有変数条件を、開いている仮定を書き出して点検する練習をします。量化子が二つある論理式では、∃x∀y から ∀y∃x は出るが、∀∃ から ∃∀ は出ないことを確かめます。最後に、第2回で時間切れになった ε-δ 論法を、規則と結びつけて読みます。f(x)=2x の連続性の証明では、δ を ε の式で書くことが ∃ の導入、ε を任意にとることが ∀ の導入にあたります。一様連続と連続の違いも、量化子の順番の違いです。授業前の公開なので、答えのページは外してあります。

1. 科学哲学科学史 (演習) 後期 第 5 回 論理学 問題演習と ε-δ 論法 （「限りなく近づく」を量化子の規則で読む） 2026 年 11 月 10 日（火）16:45–18:15 文学部第 4 講義室 担当：矢田部俊介（西日本旅客鉄道株式会社） yatabe.shunsuke.24n@st.kyoto-u.ac.jp
2. 本授業は西日本旅客鉄道株式会社の業務として実施しています 西日本旅客鉄道は LLM の活用を推進しています。
3. 本日のメニュー 1. 今日の予定 2. 宿題の答え合わせ 3. 演習Ⅰ：∃E の固有変数条件 4. 演習Ⅱ：量化子が二つ 5. ε-δ 論法：量化子の順番の応用 6. ε-δ を規則で読む 7. 宿題 8. まとめ 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 3
4. 1. 今日の予定
5. 今日は演習の回にする 前回（10/27）やりそびれたこと 前回は「犯人は左利き？」の例までで時間がなくなり、演習ができなかった。今日はま ず、前回の宿題の答え合わせと、やりそびれた演習をする。 量化子の規則を使う練習 最小述語論理の 12 規則がそろった。今日は、∀I と ∃E の固有変数条件を、自分の手で 点検する練習をする。 最後に：第 2 回で時間切れになった ε-δ 第 2 回で用意して出せなかった ε-δ 論法を、今度は規則と結びつけて話す。 「δ を ε の式 で書ける」ことが ∃I にあたり、 「ε は何でもよい」ことが ∀I の固有変数条件にあたる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 5
6. 二つの条件（おさらい） .. . A[x] ∀I ∀x A[x] ∀I の条件 A[x] が依存している、まだキャンセルされ ていない仮定に、x が自由に出てこない。 [A[x]]1 .. . ∃x A[x] C 1 ∃E C ∃E の条件 (a) 右の枝で、A[x] 以外の開いた仮定に x が自由に出てこない。 (b) 結論 C に x が自由に出てこない。 点検の手順：規則をかける場所で、(1) 開いている仮定を全部書き出す、(2) その中に x が自由に 出ているかを見る。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 6
7. 2. 宿題の答え合わせ
8. 3. 演習Ⅰ：∃E の固有変数条件
9. 演習Ⅰ（前回やりそびれた 3 問） その場で考える (1) 次の ∃E は固有変数条件を満たすか。 [K(x)]1 ∃I ∃x K(x) ∃y K(y) 1 ∃E ∃y K(y) (2) 仮定 ∃x K(x) と L(x) から、次のように ∃x (K(x) ∧ L(x)) を出してよいか。 [K(x)]1 と L(x) から ∧I、∃I で ∃x (K(x) ∧ L(x))、最後に ∃E1 。 (3) 証明せよ：A ∧ ∃x B[x] → ∃x (A ∧ B[x])（A に x は出てこない）。 ヒント：(1)(2) は「結論に x はあるか」「A[x] 以外の開いた仮定に x はあるか」の二つを見る。 (3) は ∧E で二つに分け、∃E の中で ∧I と ∃I。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 9
10. 4. 演習Ⅱ：量化子が二つ
11. 演習Ⅱ（2021 年度の演習問題から） 証明できる場合は証明せよ。A には x が出てこないとする (4) ∀x ∀y A[x, y] → ∀y ∀x A[x, y] (5) ∀x (A → B[x]) → (A → ∀x B[x]) (6) ∃x ∀y A[x, y] → ∀y ∃x A[x, y] を証明せよ。 また、∃x ∀y A[x, y] → ∀x ∃y A[x, y] が一般には証明できない理由を説明せよ。 ヒント：(4) は ∀E を 2 回、∀I を 2 回。(5) は ∀I をかけるとき、開いている A に x があるかを 見る。 (6) の後半は、第 2 回の「量化子の順番」を思い出す。どの y について何が言えているのか。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 11
12. 5. ε-δ 論法：量化子の順番の応用
13. 「近づく」も言い換えられる 高校で習う言い方 x が a に限りなく近づくとき、f (x) は b に限りなく近づく。limx→a f (x) = b。 何が困るか 「限りなく近づく」は動きの比喩である。どこまで近づけば「限りなく」なのかが言わ れていない。「無限」のときと同じで、このままでは推論に使えない。 言い換え（概念分析） どんなに小さい誤差 ε を指定されても、それに応じて幅 δ をうまくとれば、a から δ 以内のどの x についても、f (x) は b から ε 以内に入る。 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x 0 < |x − a| < δ → |f (x) − b| < ε
    「限りなく」という言葉も、無限に小さい量も出てこない。有限の数 ε, δ と量化子だけで書いている。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 13
14. 絵で見る：ε の帯に、δ の帯で入れる 読み方 横の帯：相手が指定する誤差 ε。 縦の帯：私が選ぶ幅 δ 。 縦の帯の中のグラフが、横の 帯からはみ出さなければよい。 b+ε b b−ε a−δ a x a+δ ε を細くされたら、δ も細くして応じ る。どんなに細くされても応じられ る、というのが「近づく」の中身で ある。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 14
15. ゲームとして読む：δ は ε に依存してよい 相手が ε を出す 私が δ を出す 相手が x を出す ∀ε ∃δ ∀x |f (x) − b| < ε なら私の勝ち 例：f (x) = 2x、a = 1、b = 2 |2x − 2| < ε は |x − 1| < ε/2 と同じである。だから相手が ε を出したら、私は δ = ε/2 を出せば必ず勝つ。 ε = 1 なら δ = 0.5、 ε = 0.01 なら δ = 0.005。 δ は ε の関数として選べる。∀x ∃y (x < y) で y = x + 1 と選んだのと同じ形である。 勝ち方（δ の選び方）を具体的に言えることが、そのまま証明になる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 15
16. 順番を入れ替えると：連続と一様連続 連続（各点で） 一様連続 ∀a ∀ε ∃δ ∀x (· · · ) ∀ε ∃δ ∀a ∀x (· · · ) a を見てから δ を選んでよい。δ は ε と a に依 存してよい。 δ を先に選び、どの a でも通用させなければな らない。δ は ε にしか依存できない。 例：実数全体の上の f (x) = x2 どの点でも連続である。だが一様連続ではない。a が大きいところではグラフが急なので、 同じ ε に応じるための δ をどんどん小さくしなければならない。すべての a に通用する一 つの δ はない。 ∃δ を ∀a の前に出すか後に置くか、それだけで別の概念になる。∀x ∃y と ∃y ∀x の違いと同じで ある。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 16
17. ε-δ はいつ、誰の言葉で書かれたか フレーゲより前に、日常の言葉で完成していた ボルツァーノ（1817）が、同じ形の連続の定義を与えた。 コーシー（1823）が、記号 ε と δ を導入した。 ワイエルシュトラス（1861 年の講義）が、δ を ε の関数として明示した極限の定義 を与えた。 どれもフレーゲの『概念記法』（1879）より前で、「任意の……に対して、ある……が あって」と言葉で書かれていた。 量化子の記法が加えたもの ∀ε ∃δ ∀x という三重の入れ子を、一行で、読み違えようのない形で書けるようにした。 連続と一様連続のように、順番だけが違う二つの概念も、式なら一目で区別できる。 [年代は Sinkevich 2015 (arXiv:1502.06942) による] 「フレーゲが ε-δ を量化子で書いた」という言い方を見かける が、典拠は見つからない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 17
18. 6. ε-δ を規則で読む
19. 連続を式で書く f が点 a で連続である 
     ∀ε ε > 0 → ∃δ δ > 0 ∧ ∀x (|x − a| < δ → |f (x) − f (a)| < ε) さっきの極限の式で b を f (a) にしたもの（0 < |x − a| の条件はいらない）。ε > 0 を → の前件 に、δ > 0 を ∧ で書いた。 例：f (x) = 2x を点 a で 
     ∀ε ε > 0 → ∃δ δ > 0 ∧ ∀x (|x − a| < δ → |2x − 2a| < ε) | {z } Φ(δ) と書く 使う規則は、今まで習った ∀I、→I、∃I、∧I、∀E、→E だけである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 19
20. 算術の事実は「閉じた式」として置く 使う算術の事実（今日は中身を問わない） 事実 1 事実 2 ∀u (u > 0 → u/2 > 0) ∀u ∀v (|v − a| < u/2 → |2v − 2a| < u) （|2v − 2a| = 2|v − a| だから） なぜ ∀ をつけて置くのか 事実を ε/2 > 0 や |x − a| < ε/2 → |2x − 2a| < ε の形で葉に置くと、それは ε や x を含 む開いた仮定になる。すると最後に ∀I をかけられない。 ∀ のついた閉じた式として置き、使うところで ∀E する。こうすれば固有変数条件に引っかから ない。 （a は最後まで固定した点として扱う。どの点でも連続だと言うには、最後にもう一度 ∀I をか ける。） 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 20
21. f (x) = 2x の連続性の証明 [ε > 0]1 事実 2 事実 1 ∀E×2 ∀E ε > 0 → ε/2 > 0 |x − a| < ε/2 → |2x − 2a| < ε →E ∀I ε/2 > 0 ∀x (|x − a| < ε/2 → |2x − 2a| < ε) ∧I Φ(ε/2) ∃I (δ := ε/2) ∃δ Φ(δ) →I1 ε > 0 → ∃δ Φ(δ) ∀I ∀ε (ε > 0 → ∃δ Φ(δ)) ∃I：δ に ε/2 を入れる 点検 証人の項 ε/2 は ε を含んでよい。「δ は ε に依 存してよい」とはこのこと。 上の ∀I（x）：その枝の開いた仮定は事実 2 だ けで、x は自由に出ない。 下の ∀I（ε） ：ε > 0 は →I1 でキャンセル済み。 事実 1・2 に ε は出ない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 21
22. この証明から読み取れること 1. →I が先、∀I が後 ε > 0 を開いたまま ∀I をかけると、条件違反になる。「どんな ε でも」と言えるのは、ε について ε > 0 以外に何も仮定していないことを、→ の前件に書き出したあとである。 2. 勝ち方を書くことが、証明になる 第 2 回のゲームで「δ = ε/2 を出せば必ず勝つ」と言った。その勝ち方が、∃I に入れる 項そのものである。前回の存在具体性（∃x A[x] を証明するには証人を名指す）と同じ話。 3. ∀ε ∃δ の証明は、ε から δ を返す手続きを含む 前回の「証人は関数になる」と同じで、ここでは ε 7→ ε/2。前期の BHK 解釈で言えば、 ∀ε ∃δ の証明とは、そういう手続きのことだった。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 22
23. 一様連続なら連続。逆は言えない 連続（どの点でも） ∀a ∀ε (ε > 0 → ∃δ (δ > 0 ∧ ∀x (· · · ))) 一様連続 ∀ε (ε > 0 → ∃δ (δ > 0 ∧ ∀a ∀x (· · · ))) 一様連続 ⇒ 連続：証明できる ∃δ ∀a から ∀a ∃δ への向き。演習 (6) 前半と同じ形で、∃E の中で ∀E（a）して ∃I で戻す。 連続 ⇒ 一様連続：言えない（f (x) = x2 ） ゲームで言うと、一様連続では私が δ を出したあとで、相手が a と x を出す。x2 では、 相手が a ≥ ε/δ をとり、x = a + δ/2 を出すと
    |x2 − a2 | = 2δ 2a + 2δ > aδ ≥ ε となって私は負ける。連続のほうなら、a を見てから δ を小さくとれるので負けない。 演習 (6) 後半と同じで、 「ある一つの δ がすべての a に通用する」は「どの a にも δ がある」から 出ない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 23
24. （時間があれば）「連続でない」を書く 数学の授業でふつうにやる書き換え ¬∀ε (ε > 0 → ∃δ (· · · )) ⇝ ∃ε ε > 0 ∧ ∀δ (δ > 0 → ∃x (|x − a| < δ ∧ ¬ |f (x) − f (a)| < ε)) 最小論理で出る一歩 古典論理が要る一歩 ¬∃δ (· · · ) から ∀δ ¬(· · · )。 ¬∀ε (· · · ) から ∃ε ¬(· · · )。 ¬(A → B) から A ∧ ¬B 。 前回のエクストラの前半と同じ形。
    どちらも直観主義論理では一般に出ない。 「連続でないなら、具体的にまずい ε が一つある」という言い方には、古典論理が使われている。 この書き換えで出てきた ∃ε は、まずい ε を名指していない。古典論理では存在具体性が成り立 たない（前回） 、ということの身近な例である。古典論理（第 8 回）でもう一度扱う。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 24
25. 7. 宿題
26. 変数条件の書き方（見本） 見本：∃x F [x] ∧ ∀y G[y] → ∀y ∃x (F [x] ∧ G[y]) 前件を H と書く [H]1 ∧E ∀y G[y] ∀E [F [x]]2 G[y] ∧I F [x] ∧ G[y] [H]1 ∧E ∃I ∃x F [x] ∃x (F [x] ∧ G[y]) ∃E2 ∃x (F [x] ∧ G[y]) ∀I ∀y ∃x (F [x] ∧ G[y]) →I1 H → ∀y ∃x (F [x] ∧ G[y]) ∃E2 （固有変数 x） (a) 右の枝で開いている仮定：F [x] （キャンセルされる仮定）と、1（x は 束縛）。OK (b) 結論 ∃x (F [x] ∧ G[y])：x は束縛。 OK ∀I（固有変数 y ） 開いている仮定：1（y は束縛）。OK F [x] は ∃E2 でキャンセル済み。 書き方 ∀I と ∃E を使うたびに、(1) どの変数についての条件か、(2) その時点で開いている仮 定を全部、(3) そこに変数が自由に出るか、を書く。∃E では (a) と (b) の両方を書く。違 反しているときは「違反」と書いて、どの仮定（どの結論）に出ているかを示す。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 26
27. 宿題 証明できる場合は、自然演繹で証明せよ（A に x は出てこない） 問 1 ∀x (F [x] ∧ G[x]) → ∀x F [x] ∧ ∀x G[x] 問 2 ∀x (F [x] → G[x]) → (∃x F [x] → ∃x G[x]) 問 3 ∃x (A ∧ B[x]) → A ∧ ∃x B[x] 問 4 ∀x (F [x] ∨ G[x]) → ∀x F [x] ∨ ∀x G[x] 証明できないと思う問は、どこで、どの変数条件に引っかかるかを書けばよい。 エクストラ（解かなくても不利にならない） ∃x (F [x] ∨ G[x]) → ∃x F [x] ∨ ∃x G[x] と、その逆。 ∀I と ∃E を使うたびに、前の頁の見本の形で変数条件の点検を書くこと。 解くのにかかった時間も書くこと。締切：11 月 17 日（火）の授業開始前 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 27
28. 8. まとめ
29. 今日のまとめ 1. 固有変数条件の点検は、規則をかける場所で、開いている仮定を全部書き出し て x を探すこと。 2. ∃x ∀y から ∀y ∃x は出る。∀∃ から ∃∀ は出ない。 3. ε-δ 論法は「限りなく近づく」を、有限の ε, δ と ∀∃∀ で言い換えたもの。 4. 連続性の証明では、δ を ε の式で書くことが ∃I、ε を任意にとることが ∀I に あたる。 5. 算術の事実は閉じた式として置く。開いた仮定に ε が残ると ∀I できない。 6. 一様連続なら連続。逆は x2 で破れる。量化子の順番の違いである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 29
30. 次回予告。等号と個体化（予定） 次回は 11 月 17 日。 第 4 回の ∃x K(x) の x は、仮の名前だった。 では「切り裂きジャック」という名前は、何を導入しているのか。 名前を導入するには、何が同じで何が違うかを決める基準が要る。等号の規則から 考える。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 30
31. 9. 参照文献
32. 参照文献 スライドで引いたもの Sinkevich, G. I. (2015). arXiv:1502.06942.（ε-δ 論法の成立史。年代のみ使用） 演習Ⅱは、2021 年度前期第 10 回（2021 年 6 月 22 日）の演習問題を改めたもの。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 32