最大経験尤度推定量の漸近的性質
定理 2.1
X1
, · · · , Xn
を独立に同一の安定分布 Fθ
(·) にしたがう確率変数と
し、真のパラメータ θ0
= (α0
, β0
, γ0
, δ0
) は θ0
∈ Int(Θ1
) とする。
Θ1
= {(α, β, γ, δ) | ϵ ≦ α ≦ 1 − ϵ ∨ 1 + ϵ ≦ α ≦ 2,
− 1 ≦ β ≦ 1, ϵ ≦ γ ≦ M}
このとき、最大経験尤度推定量 ˆ
θn
= argmaxθ
Rn
(θ) と
Rn
(θ) =
n
k=1
npk
n
k=1
pk
g(Xk
, θ) = 0, pk
≧ 0,
n
k=1
pk
= 1
以下の解であるラグランジュ乗数ベクトル ˆ
λn
は
1
n
n
k=1
g(Xk
, ˆ
θn
)
1 + ˆ
λ⊤
n
g(Xk
, ˆ
θn
)
= 0
n → +∞ で以下にしたがう。 12