Programmers, Robert R. Tucci https://arxiv.org/abs/quant-ph/0507171 [2] The ubiquitous Kronecker product, Charles F. Van Loan https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042700003939 [3] A universal quantum circuit for two-qubit transformations with three CNOT gates, G. Vidal, C. M. Dawson https://arxiv.org/abs/quant-ph/0307177v2 2
A = AT エルミート行列: A = A† (実)直交行列(O(n)): AAT = ATA = I ユニタリ行列(U(n)): AA† = A†A = I (実)直交行列の行列式: ±1 ユニタリ行列の行列式 : eiθ 特殊直交群SO(n): O(n)のうち、行列式が1のもの 特殊ユニタリ群SU(n): U(n)のうち、行列式が1のもの 3 [1]を読む上で、実行列が非常に重要であった。
U A A’V A T (17): 先ほど得たU A , V A を使って、 B’ := U A TBV A を作る。 B’は対角行列になる場合もあるが、一般には ならない。 なので、(17)にあるようにG, K, L, Hをおく。 (18), (19): 計算しただけ (20): これにより、L, Kは0で、G, Hのみを考 えればよくなった。 (21): (18), (19)より導ける。 [1]より引用 13
で、同様の議 論が成り立つ。Gは対称行列だと分かっ た。 (24): Gを対角化する。Gは対称行列なの で、Pは直交行列(P†はPTと読み替える)と なる。 また、Dは対角行列で、PTP = Iなので、 PTDP = Dも分かる。 (GとDが同時に対角化できた ) (25): HをSVDする。 H = U H D H V H T (26): このようにU, Vを作ることで、 A = UD 1 VT, B = UD 2 VTが成り立っている ことがわかる。 ただし、D 2 は、D G とD H を合わせた対角行 列。 また、U, Vは直交行列であることも容易 に確かめられる。 14
Q R : 直交行列 eiΘ: 対角ユニタリ行列 によって、X = Q L eiΘQ R Tと表せるこ とを主張している。 (27): Lem. 3より、Xを実部X R と虚 部X I に分けたとき、X I X R T, X I TX R は 対称行列となる。 これは、Thm. 4の分解をするため の必要十分条件であった。 よって、Thm. 4で示した手順で、 (27)式が作れる。Q L , Q R は直交行 列。 (28): eiΘをこのように定義 (29): X = X R +iX i なので(27), (28) より成り立つ。 15 [1]より引用
∈O(4), eiΘ∈対角SU(4)として、X = Q L eiΘ Q R を示した。 Thm. 2では、O(4)ではなく、SO(4)とSU(2)×SU(2)の関係を示している。 どのようにして、この飛躍を解決するか? ダメだった方法→気にせずにO(4)にM, M†をかける→SU(2)×SU(2)にならなかった 良かった方法→O(4)の行列式は±1である。 Q L の行列式をとり、+1だった場合はそのまま、-1だった場合はQ L の1行目とeiΘの第1成 分を-1倍する。 Q R の行列式をとり、+1だった場合はそのまま、-1だった場合はQ R の1列目とeiΘの第1成 分を-1倍する。 →X = Q L eiΘ Q R の関係を保ったまま、Q L , Q R をSO(4)に変換できた。 17
を書き下しただけ。 ←トリッキーな変形をしている。 見ていけば、確かにそうなっていることは確認できる。 vec(B)vec(C)Tに対応するように、Aを並び替えている。 行列Aを A 11 A 12 A 21 A 22 A 31 A 32 というブロック行列で考えている。 (Cと同じ大きさに分けると、 Bと同じ数だけ出てくる ) 20