AOJ 0112 A Milk Shop 解説

OkNCT-ICT 2013 春合宿 Day 4 (らしい) に解説したもの.

1. AOJ 0112 A Milk Shop 解説 @kagamiz
2. 問題の概要 • n 人のお客さんがいます. • i 番目の人がミルクを入れるのにはai 分の時間がかかりま す. • 1 度に1 人の人がミルクを入れられるとき, 待ち時間の合計 を最小化してください.
3. 問題文の復習 客の番号 ミルクを入れる時間 かかる待ち時間 客1 2 分 0 分 客2 6 分 2 分 客3 4 分 2 分 + 6 分 客4 3 分 2 分 + 6 分 + 4 分 客5 9 分 2 分 + 6 分 + 4 分 + 3 分 合計 37 分
4. 問題文の復習 • 2 番目の人と3 番目の人を入れ替えてみる 客の番号 ミルクを入れる時間 かかる待ち時間 客1 2 分 0 分 客2 6 分 2 分 客3 3 分 2 分 + 6 分 客4 4 分 2 分 + 6 分 + 3 分 客5 9 分 2 分 + 6 分 + 3 分 + 4 分 合計 35 分
5. 問題文の復習 • 昇順にすると爆速になりそう 客の番号 ミルクを入れる時間 かかる待ち時間 客1 2 分 0 分 客2 3 分 2 分 客3 4 分 2 分 + 3 分 客4 6 分 2 分 + 3 分 + 4 分 客5 9 分 2 分 + 3 分 + 4 分 + 6 分 合計 31 分
6. ( ^o^) 昇順にすると爆速になりそう
7. ( ^o^) 昇順にすると爆速になりそう • ( ⊖ ) ˘ ˘ 。o(まてよ, なんでそれでいいんだろう)
8. ( ^o^) 昇順にすると爆速になりそう • ( ⊖ ) ˘ ˘ 。o(まてよ, なんでそれでいいんだろう) • |とりあえずSubmit| ┗(☋｀ )┓三
9. ( ^o^) 昇順にすると爆速になりそう • ( ⊖ ) ˘ ˘ 。o(まてよ, なんでそれでいいんだろう) • |とりあえずSubmit| ┗(☋｀ )┓三 • ( ) ◠‿◠ ☛Wrong Answer
10. ( ^o^) 昇順にすると爆速になりそう • ( ⊖ ) ˘ ˘ 。o(まてよ, なんでそれでいいんだろう) • |とりあえずSubmit| ┗(☋｀ )┓三 • ( ) ◠‿◠ ☛Wrong Answer • ▂▅▇█▓▒░(’ω’) █▇▅▂ ░▒▓ うわあああああああ
11. ( ^o^) 昇順にすると爆速になりそう • ( ⊖ ) ˘ ˘ 。o(まてよ, なんでそれでいいんだろう) • |とりあえずSubmit| ┗(☋｀ )┓三 • ( ) ◠‿◠ ☛Wrong Answer • ▂▅▇█▓▒░(’ω’) █▇▅▂ ░▒▓ うわあああああああ • 最悪のケースを考えてみよう
12. 最悪のケース • 10000 人のお客さんがそれぞれ60 分ずつ待つときが最悪 の待ち時間になる. • その時にかかる待ち時間の合計は, n 番目の人は(n – 1) * 60 分待たないといけないので, Σ[i = 1, 10000] (i – 1) * 60 = 2999700000 分 となる. • しかしint 型で表せる数の最大値は2147483647 なので, int 型で総和を求めるとWrong Answer となる. => 直すとAC
13. やっぱり昇順でいれるのが最適？ • “しかしint 型で表せる数の最大値は2147483647 なので, int 型で総和を求めるとWrong Answer となる.＝＞直すと AC” • こういう風に, 貪欲的に「その場での最善」を選択してい くことを繰り返すアルゴリズムを貪欲法という. • ここでは, なぜ貪欲法でうまくいくかを簡単に証明.
14. 問題文の復習[再掲] • 昇順にすると爆速になりそう 客の番号 ミルクを入れる時間 かかる待ち時間 客1 2 分 0 分 客2 3 分 2 分 客3 4 分 2 分 + 3 分 客4 6 分 2 分 + 3 分 + 4 分 客5 9 分 2 分 + 3 分 + 4 分 + 6 分 合計 31 分
15. 問題の言い換え • i 番目の人は, 待ち時間に(n – i) 回作用する. • つまり, n 次元ベクトル a = (a1, a2, …, an), b = (n – 1, n – 2, …, 1, 0) としたとき, それぞれの成分を入れ替えて内積a ・ b を最小化する問題 となる.
16. 問題の言い換え • a の各成分を昇順に入れ替えたベクトルをa', b は成分が 降順にならんだベクトルとすると, 次の並べ替え不等式が 成立する. a'・ b ≦ a ・ b (≦ a'' ・ b) • ここで, a'' は a の各成分を降順に並び替えたベクトル.
17. 証明の概略 • a とb の各成分の個数が2 個だとする. • このとき, a1 ≦ a2, b1 ≦ b2 とすると • a1 b1 + a2b2 – (a1b2 + a2b1) = (a1 – a2)(b1 – b2)≧0 ∴a1b1 + a2b2 ≧ a1b2 + a2b1 • 各成分がn 個ある時も, ベクトルの2 つの成分に注目して同じ事 を行えば良い.