Upgrade to Pro
— share decks privately, control downloads, hide ads and more …
Speaker Deck
Features
Speaker Deck
PRO
Sign in
Sign up for free
Search
Search
線形代数というものの見方 / View from Linear Algebra
Search
kaityo256
PRO
December 08, 2020
Education
8
5.9k
線形代数というものの見方 / View from Linear Algebra
講義のオフィス・アワーの余談
kaityo256
PRO
December 08, 2020
Tweet
Share
More Decks by kaityo256
See All by kaityo256
モンテカルロ法(3) 発展的アルゴリズム / Simulation 04
kaityo256
PRO
8
1.4k
UMAPをざっくりと理解 / Overview of UMAP
kaityo256
PRO
5
2.5k
SSH公開鍵認証による接続 / Connecting with SSH Public Key Authentication
kaityo256
PRO
6
550
論文紹介のやり方 / How to review
kaityo256
PRO
16
85k
デバッグの話 / Debugging for Beginners
kaityo256
PRO
14
1.7k
ビット演算の話 / Let's play with bit operations
kaityo256
PRO
8
590
GNU Makeの使い方 / How to use GNU Make
kaityo256
PRO
15
5.4k
制限ボルツマンマシンの話 / Introduction of RBM
kaityo256
PRO
3
1.4k
論文の読み方 / How to survey
kaityo256
PRO
226
180k
Other Decks in Education
See All in Education
みんなのコード 2024年度活動報告書/ 2025年度活動計画書
codeforeveryone
0
290
【品女100周年企画】Pitch Deck
shinagawajoshigakuin_100th
0
5.9k
サンキッズゾーン 春日井駅前 ご案内
sanyohomes
0
930
2025/06/05_読み漁り学習
nag8
0
200
[FUN Open Campus 2025] 何でもセンシングしていいですか?
pman0214
0
240
登壇未経験者のための登壇戦略~LTは設計が9割!!!~
masakiokuda
3
670
DIP_1_Introduction
hachama
0
120
シリコンバレーでスタートアップを共同創業したファウンディングエンジニアとしての学び
tomoima525
1
1.2k
Pydantic(AI)とJSONの詳細解説
mickey_kubo
0
190
RSJ2025 ランチョンセミナー 一歩ずつ世界へ:学生・若手研究者のための等身大の国際化の始め方
t_inamura
0
280
高校におけるプログラミング教育を考える
naokikato
PRO
0
160
学びは趣味の延長線
ohmori_yusuke
0
110
Featured
See All Featured
Designing for Performance
lara
610
69k
XXLCSS - How to scale CSS and keep your sanity
sugarenia
248
1.3M
Automating Front-end Workflow
addyosmani
1370
200k
The Cult of Friendly URLs
andyhume
79
6.6k
Making the Leap to Tech Lead
cromwellryan
135
9.5k
Why You Should Never Use an ORM
jnunemaker
PRO
59
9.5k
Become a Pro
speakerdeck
PRO
29
5.5k
The Straight Up "How To Draw Better" Workshop
denniskardys
236
140k
How to Ace a Technical Interview
jacobian
279
23k
Site-Speed That Sticks
csswizardry
10
820
Making Projects Easy
brettharned
117
6.4k
Code Reviewing Like a Champion
maltzj
525
40k
Transcript
1 線形代数というものの見方 慶應義塾大学理工学部物理情報工学科 渡辺 2020/12/8
2 先生方は線形代数が大事大事って連呼するけど、 何がそんなに大事なの?何を覚えれば良いの? 線形代数はもちろん大事な学問ですが、大事なのは 「線形代数」という「ものの見方」です
3 線形空間における要素の間の代数的構造を調べる学問 線形空間Vとは 要素の線形和がまたその空間の要素になる Ԧ , Ԧ ∈ ⟹ a
Ԧ + Ԧ ∈ 例:3次元ベクトル , () ∈ ⟹ a + ∈ 例:関数
4 「構造」が同じなら、もとが何であったか気にしなくて良い 3次元ベクトル 関数 内積 ( Ԧ , Ԧ )
≡ Ԧ ∙ Ԧ (, ) ≡ න ∗ 固有値 固有ベクトル Ԧ = λ Ԧ = λ = e 直交、基底、固有値、固有ベクトルといった考えが そのまま関数にも使える→フーリエ・ラプラス解析
5 • 円を10等分し、0から9まで数字を書く • ある段の「一の位」を結んでいく • 1の段から9の段までやる • どんな図形がでてくるか? 例:3の段
0→3→6→9→2→5→8→1→4→7→0
6 • 1と9、2と8など「足して10」になる数は同じ形 • 5は同じ形が存在しない なぜそんな性質を持っているのだろう?
7 0から9までの目盛りがあるダイアル 時計回りにn目盛り回す操作: 演算が閉じている = + 結合則が成り立つ ( ) =(
) 単位元が存在する 0 逆元が存在する この操作とダイアルの状態は群を作る −1 = 10−
8 反時計まわりに角度θだけ回す操作 ダイアルの状態をベクトル で表すと 1 0 = cos − sin
sin cos n目盛り回す操作: = 2/10 の表現 ※回転方向が逆だけど許して
9 = cos − sin sin cos 回転行列は直交行列 直交行列Mの性質 •
行・列ベクトルがそれぞれ正規直交基底をなす • 転置行列が逆行列になる = 1 = 0 = ∴ = −1
10 = cos − sin sin cos = cos sin
−sin cos = − 回転行列 回転行列の転置 右にn目盛り回す操作: 10− = − 10-n目盛り回すと逆元: −1 = 10− 転置とると逆元: = −1 = −
11 10− = − 10−5 = 5 右に10-n目盛り回す=左にn目盛り回す 自己共役 共役
同じ形を持つ操作の表現はお互いに随伴行列(エルミート共役)の関係
12 一次元調和振動子の運動方程式 ሶ = − ሶ = Ԧ () =
() () とベクトル表示すると Ԧ = Ԧ = 0 −1 1 0
13 Ԧ = Ԧ を形式的に解くと Ԧ = exp() Ԧ 0
exp = + + 2 2 2 + ⋯ + ! + ⋯ を計算する必要がある
14 行列の対角化 = −1 対角行列 = ( −1) = −1−1−1
⋯ −1 = −1 ∴ = −1 ※今回はこれ使わなくても計算できるけど
15 = 0 −1 1 0 exp = cos −sin
sin cos 一次元調和振動子の運動方程式 ሶ = − ሶ = 回転行列 は回転を表していた 回転行列の生成子 (微小回転)
16 時間発展が「回転」なのだから「半径」が保存する(※) Ԧ = 半径の2乗 | Ԧ |2 = 2
+ 2 = 2 • 運動方程式は微小回転を表している • 時間発展は時間を角度とした回転 • エネルギーは回転の保存量 ※より正確には、保存しているのは面積 エネルギーの2倍
17 「群を作る操作」の表現として行列が出てくる 操作の性質は行列の性質として現れる • 回転行列は直交行列 • 直交行列は転置が逆行列 • 回転の逆行列は逆回転 運動方程式にも行列が現れる
• 時間発展とは広義の回転である • 時間とは回転角度である • 行列の指数関数の計算に対角化が必要になる • 操作の保存量としてエネルギーが現れる (行列式が関係している)
18 今日説明できなかったけど重要なこと • 微分や行列は「線形演算子」として同一視できる • フーリエ変換は基底の取り換えである • 時間発展演算子の最大固有値の状態が平衡状態 • etc.
要するに何がいいたかったの? 行列とは広い意味で回転を表すと思うと いろいろ見えてくるものがあるということ ※要するに様々なところに線形代数が現れる