時空間解析と疫学

NIID Summer School 2023 (時)空間解析と疫学国⽴感染症研究所第12室⻑⽶岡⼤輔

⽬次 1. 空間データの基本(座標系とCRS) 2. 空間相関と隣接と表現 3. 空間統計量(⼤域空間 vs局所空間統計量) 4.
地域データのための回帰モデル 5. 点データのためのクリギング 6. 地理的加重回帰 7. 時空間モデリング 2/60

空間データの種類とOpen data ベクタデータについて • ポイント(点)、ライン(線)、ポリゴン(⾯)、属性データの組み合わせ • Shape file .shp: 図形(点、線、⾯)を格納
.dbf: 属性データを格納 .shx: 図形(点、線、⾯)と属性データの対応関係を格納 .prj: 座標系(後述) を格納サイト⼀例 • 国⼟数値情報ダウンロードサービス(https://nlftp.mlit.go.jp/ksj/) • 地図で⾒る統計(統計GIS)(https://www.e-stat.go.jp/gis) • G空間情報センター(https://front.geospatial.jp/) 3/60

座標参照系: CRS Coordinate reference system (CRS) • 位置を⼆次元座標で表すための規格 (地理座標系 vs
投影座標系) • 地理座標系世界測地系(WGS84) : ⽶国が作成している代表的系(緯度経度で表現) ⽇本測地系(JGD2011) : ⽇本独⾃の地理座標系 • 投影座標系平⾯直⾓座標系: ⽇本を19ゾーン分割して投影 UTM座標系: 全球を6度ごとに分割して投影 • EPSGコード: 各座標系にはEPSGコード WGS84: 4326 JGD2011: 6668 平⾯直⾓座標系: (ゾーンによるけど) 東京なら6677 4/60

CRSの設定 “sf”パッケージ • CRSはst_crs()で設定 CRSを設定すると • st_coordinates: 位置座標計算 • st_area:
⾯積 • st_centroid: 重⼼点 • st_distance: 距離 • st_buffffer: 点からの⼀定距離のバッファ発⽣ 5/60

空間相関と隣接関係 Tobler(1970): 空間相関が地理学第⼀定理に位置づけられる【空間相関】近隣と相関関係を持つ • 正の空間相関: 近隣と同じ傾向を持つ。 (ex. ⼟地価格)
• 負の空間相関: 近隣と逆傾向を持つ。空間競争。 (ex. 顧客の奪い合いによる売上) 【近さの定義】 rook型、queen型、k-近傍型【どれ使う?】陸続きならrook or queen ⽇本みたいな島国ならk-近傍が多い負ランダム正 6/60

近接⾏列 (adjancy/proximity/distance matrix) エリアiとエリアjの近さ!!" を第(", $)要素に持つ⾏列近さの定義は別に地球上の(Euclid)距離である必要ないよね！ cf. ネットワーク上の距離 (effective
distance)、⽊構造 0 or 1の単純な隣接関係近さで表現する隣接関係 7/60 Brockmann, D., & Helbing, D. (2013). The hidden geometry of complex, network- driven contagion phenomena. Science, 342(6164), 1337-1342.

正の相関 I = 0.486 C = 0.632 ランダム I =
-0.003 C = 1.032 空間統計量: ⼤域 (Global) vs 局所 (Local) 【GISA】: ⼤域空間統計量(Global indicator of spatial association) (標本)全体に対する空間相関の強さ Moran’s IとGeary’s C統計量が有名 (あと時間あったらC*統計量) 【LISA】: 局所空間統計量(Local indicator of spatial association) ある⼀部分の局所に対する空間相関の強さ Local Moran’s IとLocal Geary’s C統計量が有名(あと時間あったらlocal C*統計量) GISAを⼩地域に分割したものがLISA 8/60 <latexit sha1_base64="GY+DvOqa1Kf2LB9uqjtvMIK9xVI=">AAACD3icbVDLSsNAFJ3UV62vqEs3g0VxVRLxtSlUXaggpaJ9QBPDZDpph04ezEyEEvIHbvwVNy4UcevWnX/jtM1CWw9cOJxzL/fe40aMCmkY31puZnZufiG/WFhaXlld09c3GiKMOSZ1HLKQt1wkCKMBqUsqGWlFnCDfZaTp9s+HfvOBcEHD4E4OImL7qBtQj2IkleTouxdXt6ewDK2OxxFOzDSpppaIfSehZTO9r8Jr5TvU0YtGyRgBThMzI0WQoeboX1YnxLFPAokZEqJtGpG0E8QlxYykBSsWJEK4j7qkrWiAfCLsZPRPCneU0oFeyFUFEo7U3xMJ8oUY+K7q9JHsiUlvKP7ntWPpndgJDaJYkgCPF3kxgzKEw3Bgh3KCJRsogjCn6laIe0gFI1WEBRWCOfnyNGnsl8yj0uHNQbFylsWRB1tgG+wBExyDCrgENVAHGDyCZ/AK3rQn7UV71z7GrTktm9kEf6B9/gC2Xps5</latexit> GISA = 1 N N X i=1 LISAi

⼤域空間統計量 GISA : (global) Moran’s I 「今⾒ている範囲内」での空間相関はどう？【Moranʼs I】近隣との相関に基づく I=0:
ランダム 0<I≤1: 正の相関 I<0: 負の相関 (空間相関がない場合の期待値は本当はだが、 ) 拡張: Spatio-temporal Moralʼs I (Jaya et al. (2019)) Z検定による仮説検定も可能 H0: 観測値がランダムな空間分布を持つという帰無仮説のもとで標準正規分布に従う <latexit sha1_base64="ePQ9uFcC/i+pmBJLfB7IbrBoIOw=">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</latexit> I = N P i P j wij P i P j wij(yi ¯ y)(yj ¯ y) P i (yi ¯ y)2 <latexit sha1_base64="2XzM3qGtP48Gfye7TX2CnPIkKDA=">AAAB+HicbVDLSsNAFL2pr1ofjbp0M1gENy2J+FoW3biSCvYBbSiTyaQdOpmEmYlQQ77EjQtF3Pop7vwbp4+Fth64cDjnXu69x084U9pxvq3Cyura+kZxs7S1vbNbtvf2WypOJaFNEvNYdnysKGeCNjXTnHYSSXHkc9r2RzcTv/1IpWKxeNDjhHoRHggWMoK1kfp2udoLQolJ5ubZXdXN+3bFqTlToGXizkkF5mj07a9eEJM0okITjpXquk6ivQxLzQineamXKppgMsID2jVU4IgqL5senqNjowQojKUpodFU/T2R4UipceSbzgjroVr0JuJ/XjfV4ZWXMZGkmgoyWxSmHOkYTVJAAZOUaD42BBPJzK2IDLHJQZusSiYEd/HlZdI6rbkXtfP7s0r9eh5HEQ7hCE7AhUuowy00oAkEUniGV3iznqwX6936mLUWrPnMAfyB9fkD7OiSoQ==</latexit> 1 N 1 <latexit sha1_base64="qzORHAzJxZxbBKSchbIWaKmzcYY=">AAACJXicbVDLSgMxFM34dnxVXboJVsFVmRFfy6IbV6JgW6EzlEyaaYOZZEjuqMPQH/BH3LrVf3Angiv3foXpA7TqgcDJOfeRnCgV3IDnvTsTk1PTM7Nz8+7C4tLySml1rW5UpimrUSWUvoqIYYJLVgMOgl2lmpEkEqwRXZ/0/cYN04YreQl5ysKEdCSPOSVgpVZpK7jTvNMForW6bZ4F3xcccBlDHhY9r1UqexVvAPyX+CNSRiOct0qfQVvRLGESqCDGNH0vhbAgGjgVrOcGmWEpodekw5qWSpIwExaD3/TwtlXaOFbaHgl4oP7sKEhiTJ5EtjIh0DW/vb74n9fMID4KCy7TDJikw0VxJjAo3I8Gt7lmFERuCaGa27di2iWaULABjm3pzwalhOm5rg3H/x3FX1LfrfgHlf2LvXL1eBTTHNpAm2gH+egQVdEpOkc1RNE9ekRP6Nl5cF6cV+dtWDrhjHrW0Ricjy8ee6af</latexit> ! N!1 0 9/60 実装: spdepパッケージのmoran.test

⼤域空間統計量 GISA: (global) Geary’s C 【Geary’s C】近隣との差に基づく C=1: ランダム 0<C≤1:
正の相関 C>1: 負の相関 Z検定による仮説検定も可能 H0: 観測値がランダムな空間分布を持つのもとで標準正規分布に従う Special Note • Moranʼs IとGearyʼs Cはほぼ同じ傾向を持つ (ので、Moranʼs Iを使っておけばOKか？) • 空間相関が強いほど、 Morayʼs Iは⼤、Gearyʼs Cは⼩ <latexit sha1_base64="+0oJB+xr1uLuOuFi384/xWCCq7A=">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</latexit> C = N 1 P i P j wij P i P j wij(yi yj)2 P i (yi ¯ y)2 10/60 実装: spdepパッケージのgeary.test

⼤域空間統計量 GISA : (global) G* 【G*】⾮負の観測値のみを対象 G*>0 but small: ランダムに分布
Large G*: 特定の地域に集中空間相関をみるというより寧ろ、空間集積性を(globalに)検定「今⾒ている範囲の中に集積点はあるのか？」 Z検定による仮説検定も可能 H0: 空間集積が存在しない、のもとで標準正規分布に従う 11/60 <latexit sha1_base64="wHYLrhKb88vYZKr7CBH+Tr5WCfw=">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</latexit> G⇤ = P i P j w⇤ ij yiyj P i P j yiyj , where w⇤ ij takes 1 if i = j and wij otherwise. 実装: spdepパッケージのglobalG.test

局所空間統計量 LISA : (local) Moran’s I 「⾃分i の周り」の空間相関はどう？【local Moranʼs
I】 =0: ⾃分と周辺の関係はランダム 0< ≤1: 正の相関 (⾃分と周りは似ている) <0: 負の相関 (⾃分と周りは逆) Z検定による仮説検定も可能 H0: ⾃分i の周辺には空間相関がないという帰無仮説のもとで標準正規分布に従う 12/60 実装: spdepパッケージのlocalmoran.test <latexit sha1_base64="bIVQ1/qh3v7z21Rz570RmOUoF5E=">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</latexit> Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} <latexit sha1_base64="bIVQ1/qh3v7z21Rz570RmOUoF5E=">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</latexit> Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} <latexit sha1_base64="bIVQ1/qh3v7z21Rz570RmOUoF5E=">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</latexit> Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} <latexit sha1_base64="bIVQ1/qh3v7z21Rz570RmOUoF5E=">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</latexit> Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} -4 -2 0 2 4 lmoran ⼈⼝のlocal moran’s I 0.2 0.4 0.6 0.8 pvalue local moran’s Iのp値

Moran scatterplot 空間相関パターンを⾃分iとその周辺にわけて散布図 13/60 2.0e+06 4.0e+06 6.0e+06 8.0e+06 1.0e+07 1.2e+07
1e+06 2e+06 3e+06 4e+06 5e+06 6e+06 pref$population spatially lagged pref$population Ibaraki Tokyo Kanagawa Yamanashi Shizuoka Osaka ⾃分がどうか？ <latexit sha1_base64="zqvJKG1cs6WyzXwL1aOT/ioMhFA=">AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBovgxpKIr2XRjcsK9gFpKJPppB06mQkzEyGEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89YcKZNq777ZRWVtfWN8qbla3tnd296v5BW8tUEdoikkvVDbGmnAnaMsxw2k0UxXHIaScc3039zhNVmknxaLKEBjEeChYxgo2V/KzPznohVnk26Vdrbt2dAS0TryA1KNDsV796A0nSmApDONba99zEBDlWhhFOJ5VeqmmCyRgPqW+pwDHVQT47eYJOrDJAkVS2hEEz9fdEjmOtszi0nTE2I73oTcX/PD810U2QM5GkhgoyXxSlHBmJpv+jAVOUGJ5Zgoli9lZERlhhYmxKFRuCt/jyMmmf172r+uXDRa1xW8RRhiM4hlPw4BoacA9NaAEBCc/wCm+OcV6cd+dj3lpyiplD+APn8wd0ApFi</latexit> yi ¯ y <latexit sha1_base64="FUPNma3v4TYyjMVUyP6G8GprNY0=">AAACA3icbVDLSsNAFJ3UV62vqDvdDBahLiyJ+FoW3bisYB/QhDCZTttpZ5IwM1FCCLjxV9y4UMStP+HOv3HaZqGtBy4czrmXe+/xI0alsqxvo7CwuLS8Ulwtra1vbG6Z2ztNGcYCkwYOWSjaPpKE0YA0FFWMtCNBEPcZafmj67HfuidC0jC4U0lEXI76Ae1RjJSWPHPPkTH3hvDBS+kwqyTe8NjxkUiT7Mgzy1bVmgDOEzsnZZCj7plfTjfEMSeBwgxJ2bGtSLkpEopiRrKSE0sSITxCfdLRNECcSDed/JDBQ610YS8UugIFJ+rviRRxKRPu606O1EDOemPxP68Tq96lm9IgihUJ8HRRL2ZQhXAcCOxSQbBiiSYIC6pvhXiABMJKx1bSIdizL8+T5knVPq+e3Z6Wa1d5HEWwDw5ABdjgAtTADaiDBsDgETyDV/BmPBkvxrvxMW0tGPnMLvgD4/MH69mXtg==</latexit> X j wij(yj ¯ y) 周辺がどうか？ Hot spot (⾃分も⾼いし、周りも⾼い) Cool spot (⾃分も低いし、周りも低い) ⼀⼈勝ち (⾃分は⾼いが、周りは低い) ⼀⼈負け (⾃分は低いが、周りは⾼い)

lmoran 地域データのモデリング ~回帰モデルを添えて~ 14/60 空間上の１点ではなく、「東京都の⼈⼝」といった（⼀定の⾯積を持った）地域に対する分析

<latexit sha1_base64="Pz8cV0tYyZTmycSYRH7uWiiLQCw=">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</latexit> yi = ⇢ N X j=1 wijyj +
0 + "i, "i ⇠ N(0, 2) 同時⾃⼰回帰モデル: Simultaneous autoregression (SAR) エリア間の相互作⽤を直接モデリング地域間の相互作⽤を考慮したい場合に有⽤【派⽣型】 1. 空間ラグモデル(SLM) 2. 空間エラーモデル(SEM) 3. 空間ダービンモデル(SDM) 4. Manskiモデル 15/60 <latexit sha1_base64="cni/RnvQxxkRqNmF0uq85xJjDBY=">AAACAXicbVC7SgNBFJ31GeNr1UawGQyCVdwVX0WKoI1lBPOA7LLMTibJkHksM7NCWGLjr9hYKGLrX9j5N06SLTTxwIXDOfdy7z1xwqg2nvftLCwuLa+sFtaK6xubW9vuzm5Dy1RhUseSSdWKkSaMClI31DDSShRBPGakGQ9uxn7zgShNpbg3w4SEHPUE7VKMjJUid98/CSQnPRRlnIpRBQaqL2EF+pFb8sreBHCe+DkpgRy1yP0KOhKnnAiDGdK67XuJCTOkDMWMjIpBqkmC8AD1SNtSgTjRYTb5YASPrNKBXalsCQMn6u+JDHGthzy2nRyZvp71xuJ/Xjs13aswoyJJDRF4uqibMmgkHMcBO1QRbNjQEoQVtbdC3EcKYWNDK9oQ/NmX50njtOxflM/vzkrV6zyOAjgAh+AY+OASVMEtqIE6wOARPINX8OY8OS/Ou/MxbV1w8pk98AfO5w+XKJWz</latexit> 1/!min < ⇢ < 1 ρが正なら正の空間相関で負なら負の空間相関⾏基準化されている場合ただし、は、空間重み⾏列 (wij を並べたもの)の最⼩固有値 <latexit sha1_base64="cni/RnvQxxkRqNmF0uq85xJjDBY=">AAACAXicbVC7SgNBFJ31GeNr1UawGQyCVdwVX0WKoI1lBPOA7LLMTibJkHksM7NCWGLjr9hYKGLrX9j5N06SLTTxwIXDOfdy7z1xwqg2nvftLCwuLa+sFtaK6xubW9vuzm5Dy1RhUseSSdWKkSaMClI31DDSShRBPGakGQ9uxn7zgShNpbg3w4SEHPUE7VKMjJUid98/CSQnPRRlnIpRBQaqL2EF+pFb8sreBHCe+DkpgRy1yP0KOhKnnAiDGdK67XuJCTOkDMWMjIpBqkmC8AD1SNtSgTjRYTb5YASPrNKBXalsCQMn6u+JDHGthzy2nRyZvp71xuJ/Xjs13aswoyJJDRF4uqibMmgkHMcBO1QRbNjQEoQVtbdC3EcKYWNDK9oQ/NmX50njtOxflM/vzkrV6zyOAjgAh+AY+OASVMEtqIE6wOARPINX8OY8OS/Ou/MxbV1w8pk98AfO5w+XKJWz</latexit> 1/!min < ⇢ < 1 直感的特性えーい、全部⼊れちゃえのモデル。⼀番Generalだがとても推定が難しい例えばCOVID-19だと ρが正→周りの感染者が多いと⾃分の場所も多くなる ρが負→周りの感染者が多いと⾃分の場所は低くなる

空間ラグモデルと空間ダービンモデル Spatial lag model (SLM): 単にその地域の共変量が⼊ったver Spatial durbin model (SDM):
更に共変量も周りに影響を及ぼすver 16/60 <latexit sha1_base64="/CEBDYXhfAL8eXtVC4kyvRE0s5Q=">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</latexit> yi = ⇢ N X j=1 wijyj + xi + "i, "i ⇠ N(0, 2) <latexit sha1_base64="Z16/IcnoTw9ULaqy+SM0MowhxZ0=">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</latexit> yi = ⇢ N X j=1 wijyj + xi + N X j=1 wij xj + "i, "i ⇠ N(0, 2) ⾮説明変数の周辺への波及効果共変量の周辺への波及効果

<latexit sha1_base64="r51e93FsAjuVUFHWrcH91kgOIdA=">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</latexit> yi = xi + zi + "i, zi
|zj6=i ⇠ N P j wijzj P j wij , ⌧2 P j wij ! , "i ⇠ N(0, 2) 条件付き⾃⼰回帰モデル: Conditional auroregressive (CAR) こっちのほうが空間疫学では有名（なんでか知らんけど）地域特性を表現する空間相関変数と個別特性を表現する誤差項 ICARの問題点弱い空間相関を捉えられない！→いくつかの拡張モデル 17/60 地域固定効果ノイズ空間相関をモデル化 Intrinsic CAR (ICAR) 簡単に⾔うと、その地域の平均が周りの地域の加重平均から決まっているよってこと。地域変量効果地域特性

CARモデルの亜種: R package「CARBayes」より【BYM(Besag-York-Mollie)】: 新しいノイズを加える。疫学でとても良く⾒るモデル。【Proper(Sterm and Cressie)】:
空間相関を表すρを追加し、分散共分散⾏列を正則に (Brookʼs lemma)。【Leroux】: 実は理論的には⼀番いい(Lee, 2011)(でもあまり流⾏ってない in 疫学) 18/60 <latexit sha1_base64="fHI5Ts1in6flRjKyPRtxMNh2dl4=">AAACXXicbVFNbxMxFPRuKbShlFAOHLhYREipQNFuxUePFVw4oSKRtlIcLK/zNvHW9i72W1Cy3T/JDS78FZw0SDRlJEujmTd69jirtPKYJD+jeOvO9t17O7ud+3sP9h92Hx2c+bJ2Eoay1KW7yIQHrSwMUaGGi8qBMJmG8+zy/dI//wbOq9J+xnkFYyOmVuVKCgwS7+KCq6sFbwpm4StVLWVeGfqRacixzya5E7Jhvja8oN95o4q2v+DFC4YzQMGLw/am2b6kfzMo6i9HmzZzajrDQ97tJYNkBXqbpGvSI2uc8u4PNillbcCi1ML7UZpUOG6EQyU1tB1We6iEvBRTGAVqhQE/blbttPR5UCY0L104FulK/TfRCOP93GRh0gic+U1vKf7PG9WYH48bZasawcrrRXmtKZZ0WTWdKAcS9TwQIZ0Kd6VyJkI7GD6kE0pIN598m5wdDdI3g9efXvVO3q3r2CFPyTPSJyl5S07IB3JKhkSSXxGJdqNO9Dvejvfi/evROFpnHpMbiJ/8Aba/tzA=</latexit> zi |zj6=i ⇠ N P j wij(zj + ✓j) P j wij , ⌧2 P j wij ! <latexit sha1_base64="CBZH0cteYLOVLJivW+hssIA76jE=">AAACbHicfVHLbhMxFPVMgbbh0bSwAFVIFhGoFTSaqaB0WcGGFSoSaSvFYeRx7iRObc/UvkOVTGfVP2TXT+iGb8BJgwQN4kqWjs5D1z5OCyUdRtFVEC7duXtveWW1cf/Bw0drzfWNI5eXVkBH5Cq3Jyl3oKSBDkpUcFJY4DpVcJyefpzqx9/BOpmbrzguoKf5wMhMCo6eSpqXk0ReTJJqxAycUVlT5qSmn5mCDLdYP7NcVMwOc+ZKnYzoeVLJUT1JRvUi+zremXL1G/o7h7z8tvsfJ7NyMMTtpNmK2tFs6CKI56BF5nOYNH+wfi5KDQaF4s5146jAXsUtSqGgbrDSQcHFKR9A10PDNbheNSurpi8906dZbv0xSGfsn4mKa+fGOvVOzXHobmtT8l9at8Rsv1dJU5QIRtwsykpFMafT5mlfWhCoxh5wYaW/KxVD7otC/z8NX0J8+8mL4Gi3He+133152zr4MK9jhWySF2SLxOQ9OSCfyCHpEEGug7XgafAs+Bk+CTfD5zfWMJhnHpO/Jnz1C0asvVo=</latexit> zi |zj6=i ⇠ N ⇢ P j wijzj ⇢ P j wij + 1 ⇢ , ⌧2 ⇢ P j wij + 1 ⇢ ! <latexit sha1_base64="V6RY1oiWtfXIOFHaCfW+kFLezFE=">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</latexit> zi |zj6=i ⇠ N ⇢ P j wijzj P j wij , ⌧2 P j wij ! <latexit sha1_base64="/QAHgFR10D7hC1OZKNxh3a3/Wgo=">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</latexit> ✓j

地域特性を考慮したモデリング (川上良⼀⽒スライドより http://www.olis.or.jp/hfea/pdf/20200201forum_jirei2.pdf) 19/60 ⼼疾患の伴う死亡者数y i を予測する 2012年度〜2016年度の5年分 2017年度を評価に⽤いる⽐較として、以下の疫学でよくやりそうなモデリング結果も⼊れておく
<latexit sha1_base64="1Ezgc/lT6EVGHiJnOAuerrG+DoA=">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</latexit> yi ⇠ Poisson( i) log i = log Popi + Genderi + zi Leroux <latexit sha1_base64="P1unnd7SMHfcJo2iL4IYtUvy7Sg=">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</latexit> log i = log Popi + Genderi log i = log Popi + 1Genderi + 2Regioni

地域特性を考慮したモデリング (川上良⼀⽒スライドより http://www.olis.or.jp/hfea/pdf/20200201forum_jirei2.pdf) 20/60 CARモデルは、地域相関を持つデータに対して通常のGLMよりも（少し）⾼い予測精度を⽰した

地域特性を考慮したモデリング (川上良⼀⽒スライドより http://www.olis.or.jp/hfea/pdf/20200201forum_jirei2.pdf) 21/60 exp(zi ) exp(zi ) exp(zi )
exp(zi )

点データのモデリング空間点過程 (Spatial point process) 22/60 空間上のN個の点から得られたデータに関するモデリング

例えば 100箇所のセンサーで得られた酸性⾬データ 5000地点で得られた⼟壌汚染データ【クリギング】 ≈ センサーが無い場所の値も予測したい(空間予測(補完)) 23

クリギング (kriging) N個の観測点のデータから、観測されていない地点のデータを予測する【⼿順】 1. バリオグラムをFitさせ、空間過程をモデリングする (より正確には、ナゲット、パーシャルシル、レンジのパラメータを推定する) 2. 推定されたパラメータにより予測を⾏う 24/60
例えば、この辺の値をスムーズに予測する。

まずは少し数学的な話を: 弱定常性と共分散関数空間点過程(spatial point process)をモデル化する重要な仮定: 定常性 (Stationarity) 場所の観測値を
とする弱定常性 (Weak stationarity) or ⼆次定常性期待値と分散共分散が場所によらず同⼀の関数に従う 25/60 “空間過程の性質は場所によらず⼀定” <latexit sha1_base64="yBJCeGzzTqlDXrtGDSEGxS5MNj0=">AAAB6nicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKeyKr2PQi8eI5gHJEmYns8mQ2dllplcISz7BiwdFvPpF3vwbJ8keNLGgoajqprsrSKQw6LrfTmFldW19o7hZ2tre2d0r7x80TZxqxhsslrFuB9RwKRRvoEDJ24nmNAokbwWj26nfeuLaiFg94jjhfkQHSoSCUbTSg+mJXrniVt0ZyDLxclKBHPVe+avbj1kacYVMUmM6npugn1GNgkk+KXVTwxPKRnTAO5YqGnHjZ7NTJ+TEKn0SxtqWQjJTf09kNDJmHAW2M6I4NIveVPzP66QYXvuZUEmKXLH5ojCVBGMy/Zv0heYM5dgSyrSwtxI2pJoytOmUbAje4svLpHlW9S6rF/fnldpNHkcRjuAYTsGDK6jBHdShAQwG8Ayv8OZI58V5dz7mrQUnnzmEP3A+fwBcMo3d</latexit> si <latexit sha1_base64="v1I8CWtn/ju6/X1a1QGMfn1UCMQ=">AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHBC9k1+DgSvXjERB4JbMjsMAsjszObmVkT3PAPXjxojFf/x5t/4wB7ULCSTipV3enuCmLOtHHdbye3srq2vpHfLGxt7+zuFfcPmlomitAGkVyqdoA15UzQhmGG03asKI4CTlvB6Gbqtx6p0kyKezOOqR/hgWAhI9hYqflU1j122iuW3Io7A1omXkZKkKHeK351+5IkERWGcKx1x3Nj46dYGUY4nRS6iaYxJiM8oB1LBY6o9tPZtRN0YpU+CqWyJQyaqb8nUhxpPY4C2xlhM9SL3lT8z+skJrzyUybixFBB5ovChCMj0fR11GeKEsPHlmCimL0VkSFWmBgbUMGG4C2+vEyaZxXvonJ+Vy3VrrM48nAEx1AGDy6hBrdQhwYQeIBneIU3RzovzrvzMW/NOdnMIfyB8/kDAveOxg==</latexit> z(si) <latexit sha1_base64="cdeOpNmsx2F2qMrNQxiHUrW098A=">AAACGHicbVDLSgMxFM3UV62vUZdugkVoodQZ8bUpFIvgsoJ9wHQYMmla02YeJJlCHfoZbvwVNy4Ucdudf2OmnYW2nhDu4Zx7Se5xQ0aFNIxvLbOyura+kd3MbW3v7O7p+wdNEUQckwYOWMDbLhKEUZ80JJWMtENOkOcy0nKHtcRvjQgXNPAf5Dgktof6Pu1RjKSSHP301noqCIcW7YpRgh11asEolUpJGRRtWIG40HViOpgUHT1vlI0Z4DIxU5IHKeqOPu10Axx5xJeYISEs0wilHSMuKWZkkutEgoQID1GfWIr6yCPCjmeLTeCJUrqwF3B1fQln6u+JGHlCjD1XdXpIPopFLxH/86xI9q7tmPphJImP5w/1IgZlAJOUYJdygiUbK4Iwp+qvED8ijrBUWeZUCObiysukeVY2L8sX9+f56k0aRxYcgWNQACa4AlVwB+qgATB4Bq/gHXxoL9qb9ql9zVszWjpzCP5Am/4ArgKdFw==</latexit> E[z(si)] = 0, Cov[z(si), z(sj)] = c(dij) 共分散関数 or コバリオグラム <latexit sha1_base64="qeduSqkm+I2tUaAEqprdTBCEIRg=">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</latexit> c(dij) = ( ⌧2 + 2 if dij = 0 ⌧2c0(dij) if dij > 0 距離dij が0なので、結局、分散距離dij が増えていくと、共分散がどう変わるかをモデル化パーシャルシルナゲットカーネル

ナゲット、パーシャルシル、カーネル、レンジ３つのパラメータで距離に応じてどう共分散が変わるかをモデル化様々なカーネル例 26/60 <latexit sha1_base64="Se5foiSgDq2sU5I+i2mArECCf1s=">AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q==</latexit> 2
<latexit sha1_base64="NBEqvVJJjW3jjJz3NALz25L0Y+U=">AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72</latexit> ⌧2 <latexit sha1_base64="rZBrIB+8RUxv+jpQrDMmwZ+h3dY=">AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww==</latexit> c0(dij) <latexit sha1_base64="rZBrIB+8RUxv+jpQrDMmwZ+h3dY=">AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww==</latexit> c0(dij) <latexit sha1_base64="B9f3sNCZGRIOB6d36YWMVWE/aUg=">AAAB8HicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoMQL2FXfB2DXjxGMA9JljA7O5uMmZldZmaFsOQrvHhQxKuf482/cZLsQaMFDUVVN91dQcKZNq775RSWlldW14rrpY3Nre2d8u5eS8epIrRJYh6rToA15UzSpmGG006iKBYBp+1gdD31249UaRbLOzNOqC/wQLKIEWysdE+qYT9jD5Pjfrni1twZ0F/i5aQCORr98mcvjEkqqDSEY627npsYP8PKMMLppNRLNU0wGeEB7VoqsaDaz2YHT9CRVUIUxcqWNGim/pzIsNB6LALbKbAZ6kVvKv7ndVMTXfoZk0lqqCTzRVHKkYnR9HsUMkWJ4WNLMFHM3orIECtMjM2oZEPwFl/+S1onNe+8dnZ7Wqlf5XEU4QAOoQoeXEAdbqABTSAg4Ale4NVRzrPz5rzPWwtOPrMPv+B8fANYLpAg</latexit> c(dij) 距離0の点=分散 <latexit sha1_base64="rZBrIB+8RUxv+jpQrDMmwZ+h3dY=">AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww==</latexit> c0(dij) このカーブの形がカーネル間瀬 (2010) <latexit sha1_base64="SfN4fi/G2RhqfOuyptdApqj3AXE=">AAACG3icbVDJSgNBEO1xjXGLevTSGIR4MMyI20UQvXiMYFTIhKGnpyZp07PQXSOGYf7Di7/ixYMingQP/o2d5eD2oODxXhVV9fxUCo22/WlNTE5Nz8yW5srzC4tLy5WV1UudZIpDkycyUdc+0yBFDE0UKOE6VcAiX8KV3zsd+Fe3oLRI4gvsp9COWCcWoeAMjeRVdrhn1wIvFzfFFj2iLtylroQQa9tuECrG85FX5Kpwleh0cavsVap23R6C/iXOmFTJGA2v8u4GCc8iiJFLpnXLsVNs50yh4BKKsptpSBnvsQ60DI1ZBLqdD38r6KZRAhomylSMdKh+n8hZpHU/8k1nxLCrf3sD8T+vlWF42M5FnGYIMR8tCjNJMaGDoGggFHCUfUMYV8LcSnmXmUjQxDkIwfn98l9yuVN39ut757vV45NxHCWyTjZIjTjkgByTM9IgTcLJPXkkz+TFerCerFfrbdQ6YY1n1sgPWB9fNvGg9Q==</latexit> c0(dij) = exp ✓ dij r ◆ <latexit sha1_base64="qabed/oqhTaax26wdI/NBS8GlVU=">AAACKnicbVDJTsMwFHTYKVuBIxeLCqkcqJKK7YLEcuEIEgWkpkSO89IanEX2C6KK8j1c+BUuHECIKx+C2+bANpLl0cw82W/8VAqNtv1ujY1PTE5Nz8xW5uYXFpeqyyuXOskUhxZPZKKufaZBihhaKFDCdaqARb6EK//uZOBf3YPSIokvsJ9CJ2LdWISCMzSSVz3inl0PvFzcFpv0gLrwkLoSQqxvjS43CBXj+ShR5Kpwlej2cPOmWZKKV63ZDXsI+pc4JamREmde9cUNEp5FECOXTOu2Y6fYyZlCwSUUFTfTkDJ+x7rQNjRmEehOPly1oBtGCWiYKHNipEP1+0TOIq37kW+SEcOe/u0NxP+8dobhficXcZohxHz0UJhJigkd9EYDoYCj7BvCuBLmr5T3mOkGTbuDEpzfK/8ll82Gs9vYOd+uHR6XdcyQNbJO6sQhe+SQnJIz0iKcPJJn8krerCfrxXq3PkbRMaucWSU/YH1+AchIpu0=</latexit> c0(dij) = exp ✓ dij r ◆2 ! 空間相関の及ぶ範囲をコントロールするパラメータ <latexit sha1_base64="Se5foiSgDq2sU5I+i2mArECCf1s=">AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q==</latexit> 2 <latexit sha1_base64="NBEqvVJJjW3jjJz3NALz25L0Y+U=">AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72</latexit> ⌧2 <latexit sha1_base64="R8zVBcIraWdrdaD7vyy2qzIY33I=">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</latexit> c0(dij) = ( 1 r (0  dij  r) 0 (dij r) <latexit sha1_base64="SoIi+tikGdI+W5/sBdimPmJGRH4=">AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA==</latexit> r <latexit sha1_base64="SoIi+tikGdI+W5/sBdimPmJGRH4=">AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA==</latexit> r 共分散関数のイメージ

本質的定常性とバリオグラム本質的定常性 (instrinsic stationary): 弱定常性とは別の定常性で、差分に注⽬差が場所によらず同じ関数になるコバリオグラムとバリオグラムには関連あり【⽬標】以下を推定したいナゲット
、パーシャルシル、レンジ 27/60 <latexit sha1_base64="1cUVixmbKnuOSqYFczLS84EsPaA=">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</latexit> E[z(si) z(sj)] = 0 E[(z(si) z(sj))2] = 2 (dij) バリオグラム <latexit sha1_base64="HZYTBKuxl5AV23pbuxI5vkvKWWw=">AAACHHicbVDLSgMxFM34tr5GXboJFqEilpn63AhFNy4rWBU60+FOJm2jycyQZIQy9EPc+CtuXCjixoXg35g+BF8HQg7nnEtyT5hyprTjfFhj4xOTU9Mzs4W5+YXFJXt55UIlmSS0ThKeyKsQFOUspnXNNKdXqaQgQk4vw5uTvn95S6ViSXyuuyn1BbRj1mIEtJECe8drgxBQioKcXfc28RH2FGsLaFa2PA1Zs7I9vDAJnK9QYBedsjMA/kvcESmiEWqB/eZFCckEjTXhoFTDdVLt5yA1I5z2Cl6maArkBtq0YWgMgio/HyzXwxtGiXArkebEGg/U7xM5CKW6IjRJAbqjfnt98T+vkenWoZ+zOM00jcnwoVbGsU5wvykcMUmJ5l1DgEhm/opJByQQbfosmBLc3yv/JReVsrtf3jvbLVaPR3XMoDW0jkrIRQeoik5RDdURQXfoAT2hZ+veerRerNdhdMwazayiH7DePwETc6Ag</latexit> (dij) = 2 + ⌧2 ⌧2c0(dij) 結果、バリオグラムはコバリオグラム(共分散関数)をひっくり返したみたいな形に！ちなみに、弱定常であれば本質的定常だが、逆は⼀般には成り⽴たない(線形などは除く) <latexit sha1_base64="Se5foiSgDq2sU5I+i2mArECCf1s=">AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q==</latexit> 2 <latexit sha1_base64="NBEqvVJJjW3jjJz3NALz25L0Y+U=">AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72</latexit> ⌧2 <latexit sha1_base64="SoIi+tikGdI+W5/sBdimPmJGRH4=">AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA==</latexit> r

バリオグラムの推定: variogram cloud Step 1: Variogram cloudと呼ばれる、全てのペアでの（残差）値をplot Step 2: ある区間に区切ってその間での平均値を計算
Step 3: カーネルの元で最⼩⼆乗法によりを推定 28/60 <latexit sha1_base64="hrupRulymT6/eG2FrpQAiWJ4hLc=">AAAB/HicbVDLSgMxFM3UV62v0S7dBItQQcpM8bUsunFZwT6gM5ZMmmlDk8yQZIRhqL/ixoUibv0Qd/6NaTsLbT1wuYdz7iU3J4gZVdpxvq3Cyura+kZxs7S1vbO7Z+8ftFWUSExaOGKR7AZIEUYFaWmqGenGkiAeMNIJxjdTv/NIpKKRuNdpTHyOhoKGFCNtpL5drnqKDjl6qJ96GiWmyZO+XXFqzgxwmbg5qYAczb795Q0inHAiNGZIqZ7rxNrPkNQUMzIpeYkiMcJjNCQ9QwXiRPnZ7PgJPDbKAIaRNCU0nKm/NzLElUp5YCY50iO16E3F/7xeosMrP6MiTjQReP5QmDCoIzhNAg6oJFiz1BCEJTW3QjxCEmFt8iqZENzFLy+Tdr3mXtTO784qjes8jiI4BEegClxwCRrgFjRBC2CQgmfwCt6sJ+vFerc+5qMFK98pgz+wPn8ADvaTwQ==</latexit> ( 2, ⌧2, r)

実際の解析 29/60 村上 (2022) 最初はナゲット(ノイズ) が優勢だが近年はパーシャルシルが優勢 (=空間相関パターンが強まった)

再掲: クリギング (kriging) N個の観測点のデータから、観測されていない地点のデータを予測する【⼿順】 1. バリオグラムをFitさせ、空間過程をモデリングする (より正確には、ナゲット、パーシャルシル、レンジのパラメータを推定する) 2. 推定されたパラメータにより予測を⾏う
30/60 例えば、この辺の値をスムーズに予測する。

いざクリギング (=⾮観測点の予測) 被説明変数が以下の回帰モデルに従うと仮定誤差項には弱定常性を仮定 31/60 <latexit sha1_base64="Mho/K5LChl24TshP1ZRdxfw8eac=">AAACEnicbZDLSsNAFIYnXmu9RV26GSxCS6Ek4m0jFN24rGAv0IYwmU7aoZNJmJmIMfQZ3Pgqblwo4taVO9/GaZqFth4Y+Pj/czhzfi9iVCrL+jYWFpeWV1YLa8X1jc2tbXNntyXDWGDSxCELRcdDkjDKSVNRxUgnEgQFHiNtb3Q18dt3REga8luVRMQJ0IBTn2KktOSalaQsXVqBF7DnEYVcq5qDDe+nThU+ZOCaJatmZQXnwc6hBPJquOZXrx/iOCBcYYak7NpWpJwUCUUxI+NiL5YkQniEBqSrkaOASCfNThrDQ630oR8K/biCmfp7IkWBlEng6c4AqaGc9Sbif143Vv65k1IexYpwPF3kxwyqEE7ygX0qCFYs0YCwoPqvEA+RQFjpFIs6BHv25HloHdXs09rJzXGpfpnHUQD74ACUgQ3OQB1cgwZoAgwewTN4BW/Gk/FivBsf09YFI5/ZA3/K+PwBUgeawA==</latexit> y(si) =
0 + 1x(si) + z(si) 1x(si) + z(si) 共変量も⼊れれるよ！誤差項 <latexit sha1_base64="qeduSqkm+I2tUaAEqprdTBCEIRg=">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</latexit> c(dij) = ( ⌧2 + 2 if dij = 0 ⌧2c0(dij) if dij > 0 <latexit sha1_base64="cdeOpNmsx2F2qMrNQxiHUrW098A=">AAACGHicbVDLSgMxFM3UV62vUZdugkVoodQZ8bUpFIvgsoJ9wHQYMmla02YeJJlCHfoZbvwVNy4Ucdudf2OmnYW2nhDu4Zx7Se5xQ0aFNIxvLbOyura+kd3MbW3v7O7p+wdNEUQckwYOWMDbLhKEUZ80JJWMtENOkOcy0nKHtcRvjQgXNPAf5Dgktof6Pu1RjKSSHP301noqCIcW7YpRgh11asEolUpJGRRtWIG40HViOpgUHT1vlI0Z4DIxU5IHKeqOPu10Axx5xJeYISEs0wilHSMuKWZkkutEgoQID1GfWIr6yCPCjmeLTeCJUrqwF3B1fQln6u+JGHlCjD1XdXpIPopFLxH/86xI9q7tmPphJImP5w/1IgZlAJOUYJdygiUbK4Iwp+qvED8ijrBUWeZUCObiysukeVY2L8sX9+f56k0aRxYcgWNQACa4AlVwB+qgATB4Bq/gHXxoL9qb9ql9zVszWjpzCP5Am/4ArgKdFw==</latexit> E[z(si)] = 0, Cov[z(si), z(sj)] = c(dij) <latexit sha1_base64="qabed/oqhTaax26wdI/NBS8GlVU=">AAACKnicbVDJTsMwFHTYKVuBIxeLCqkcqJKK7YLEcuEIEgWkpkSO89IanEX2C6KK8j1c+BUuHECIKx+C2+bANpLl0cw82W/8VAqNtv1ujY1PTE5Nz8xW5uYXFpeqyyuXOskUhxZPZKKufaZBihhaKFDCdaqARb6EK//uZOBf3YPSIokvsJ9CJ2LdWISCMzSSVz3inl0PvFzcFpv0gLrwkLoSQqxvjS43CBXj+ShR5Kpwlej2cPOmWZKKV63ZDXsI+pc4JamREmde9cUNEp5FECOXTOu2Y6fYyZlCwSUUFTfTkDJ+x7rQNjRmEehOPly1oBtGCWiYKHNipEP1+0TOIq37kW+SEcOe/u0NxP+8dobhficXcZohxHz0UJhJigkd9EYDoYCj7BvCuBLmr5T3mOkGTbuDEpzfK/8ll82Gs9vYOd+uHR6XdcyQNbJO6sQhe+SQnJIz0iKcPJJn8krerCfrxXq3PkbRMaucWSU/YH1+AchIpu0=</latexit> c0(dij) = exp ✓ dij r ◆2 ! <latexit sha1_base64="rZBrIB+8RUxv+jpQrDMmwZ+h3dY=">AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww==</latexit> c0(dij) <latexit sha1_base64="B9f3sNCZGRIOB6d36YWMVWE/aUg=">AAAB8HicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoMQL2FXfB2DXjxGMA9JljA7O5uMmZldZmaFsOQrvHhQxKuf482/cZLsQaMFDUVVN91dQcKZNq775RSWlldW14rrpY3Nre2d8u5eS8epIrRJYh6rToA15UzSpmGG006iKBYBp+1gdD31249UaRbLOzNOqC/wQLKIEWysdE+qYT9jD5Pjfrni1twZ0F/i5aQCORr98mcvjEkqqDSEY627npsYP8PKMMLppNRLNU0wGeEB7VoqsaDaz2YHT9CRVUIUxcqWNGim/pzIsNB6LALbKbAZ6kVvKv7ndVMTXfoZk0lqqCTzRVHKkYnR9HsUMkWJ4WNLMFHM3orIECtMjM2oZEPwFl/+S1onNe+8dnZ7Wqlf5XEU4QAOoQoeXEAdbqABTSAg4Ale4NVRzrPz5rzPWwtOPrMPv+B8fANYLpAg</latexit> c(dij) 距離0の点=分散 <latexit sha1_base64="rZBrIB+8RUxv+jpQrDMmwZ+h3dY=">AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww==</latexit> c0(dij) このカーブの形がカーネル <latexit sha1_base64="Se5foiSgDq2sU5I+i2mArECCf1s=">AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q==</latexit> 2 <latexit sha1_base64="NBEqvVJJjW3jjJz3NALz25L0Y+U=">AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72</latexit> ⌧2 <latexit sha1_base64="SoIi+tikGdI+W5/sBdimPmJGRH4=">AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA==</latexit> r 式の意味：期待値と空間相関(共分散)は場所によらないよ！式の意味：空間相関(共分散)はナゲット、シル、カーネルで決まるよ！式の意味：カーネル(相関の距離に関する落ち具合)はガウス(正規分布) っぽいよ！

こまけぇこたぁいいんだよ!! 実装を！ 32/60 500 1000 zinc オランダ、ムーズ側流域の亜鉛濃度の分布データ= meuse ナゲットが0.05、シルが0.15、
レンジが700mくらいかなぁ= 初期値結果は、ナゲット: 0.026 シルが0.171 レンジが286m (ここちょっと微妙ね。。。) ここらへんにムーズ川 distance semivariance 0.05 0.10 0.15 0.20 500 1000 1500 distance semivariance 0.05 0.10 0.15 0.20 500 1000 1500 共変量(soil: ⼟壌タイプ, ffreq: 洪⽔の頻度、dist: 川からの距離)

クリギングが⾒たいんだよ！ 33/60 4.5 5.5 6.5 var1.pred 5.0 6.0 7.0 var1.pred
共変量(soil:⼟壌タイプ, ffreq: 洪⽔の頻度、dist: 川からの距離)ありver 共変量なしver 注: 実際には予測精度検証が必要 (ex LOOCVなど)

いつ、時空間の話しすん？ずっと空間の話ばっかじゃん。。。 34/60

そのまえにこれだけ。。。地理的加重回帰 Geographically weighted regression (GWR) 回帰係数が場所ごとに変わるモデルコロナ感染者数がその地域i の死亡者数に与える影響をみたいという研究
35 <latexit sha1_base64="8JQ7O6JhX8rbpRkqSI0C6M7Y2Lg=">AAACH3icbVDLSgMxFM34rPU16tJNsAhCocyIVjdCsV3oxlawD2jLkEnvtKGZB0mmUEr/xI2/4saFIuKuf2PazkJbDwQO59zDzT1uxJlUljUxVlbX1jc2U1vp7Z3dvX3z4LAmw1hQqNKQh6LhEgmcBVBVTHFoRAKI73Kou/3i1K8PQEgWBk9qGEHbJ92AeYwSpSXHzJeAqJ7D8A1uuaCIY+Fswmz8EPtlr1iu3Zcclm0NiIBIMq5jzDEzVs6aAS8TOyEZlKDimN+tTkhjHwJFOZGyaVuRao+IUIxyGKdbsYSI0D7pQlPTgPgg26PZfWN8qpUO9kKhX6DwTP2dGBFfyqHv6klfXyMXvan4n9eMlXfdHrEgihUEdL7IizlWIZ6WhTtMAFV8qAmhgum/YtojglClK03rEuzFk5dJ7Txn53OXjxeZwm1SRwodoxN0hmx0hQroDlVQFVH0jF7RO/owXow349P4mo+uGEnmCP2BMfkBMsyhSg==</latexit> Deathi = 0 + 1NumOfCOV IDi + "i 普通の線形回帰 GWR <latexit sha1_base64="nL29PSwvirXu7yiIYswMQgCOcF0=">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</latexit> Deathi = 0 + 1iNumOfCOV IDi + "i 係数が場所i ごとに変わってもOK Middya & Roy (2021) COVID-19 mortalityに与える様々な要因の⼤きさが空間的に変化する様⼦

GWRの推定⽅法モデル式最⼩化 36/60 <latexit sha1_base64="j8tCANiBUoVRdTd8RYgC/zmE1xw=">AAACFXicbVDLSsNAFJ34rPUVdelmsAhCpSTiayMU3bisYB/QhDCZ3rRDJw9mJsUS+hNu/BU3LhRxK7jzb5y2WWjrgYHDOedy5x4/4Uwqy/o2FhaXlldWC2vF9Y3NrW1zZ7ch41RQqNOYx6LlEwmcRVBXTHFoJQJI6HNo+v2bsd8cgJAsju7VMAE3JN2IBYwSpSXPPB56DF9hxwdFPAuXc5bZbIQfPFZ2BkRAIhnXYeaZJatiTYDniZ2TEspR88wvpxPTNIRIUU6kbNtWotyMCMUoh1HRSSUkhPZJF9qaRiQE6WaTq0b4UCsdHMRCv0jhifp7IiOhlMPQ18mQqJ6c9cbif147VcGlm7EoSRVEdLooSDlWMR5XhDtMAFV8qAmhgum/YtojglCliyzqEuzZk+dJ46Rin1fO7k5L1eu8jgLaRwfoCNnoAlXRLaqhOqLoET2jV/RmPBkvxrvxMY0uGPnMHvoD4/MHskmd+A==</latexit> yi = 0 +
1ixi + "i <latexit sha1_base64="xvJT/Q7M6ybdFfrUpdW1fJySwWk=">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</latexit> ˆ i = arg min X j wij(yi 0 1ixi)2 <latexit sha1_base64="KoXrkF+5PITiOOQiF2B98SLs8iA=">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</latexit> wij = exp d2 ij b2 ! <latexit sha1_base64="ayI81+C955F9fzEmKCT36xbS7IA=">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</latexit> wij = exp ✓ dij b ◆ <latexit sha1_base64="vCl4rub4h52QAzkGialjc9x3Cj8=">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</latexit> wij = 8 > < > : ( 1 ✓ dij b ◆2 )2 if dij < b 0 Otherwise カーネルカーネルの種類指数型ガウス型 Bisquare型 Adaptive kernel (適当的カーネル)とは、観測点の周辺の密度に応じて場所ごとに変えるカーネルのこと。推定が安定するが、解釈が難しくなる。

時空間データのモデリング “位置”×”時刻” 気象、GPS移動など⾊々増えてきている 37/60 From https://geospatial.ncsu.edu/geoforall/foss4g-2014-spatio-temporal-visualization.html From https://www.claire.co.uk/projects-and-initiatives/gwsdat?start=2

時空間のデータ形式【パネル形式】 • 固定されたN地点での観測がT回繰り返される • 例えば、毎年の全国市区町村⼈⼝や1hごとの降⽔量など【その他】 • GPSデータなど任意の地点・時点で観測される 38/60

時系列の弱定常性思い出してください【空間相関】近隣と相関関係を持つ ↔【時系列相関】時点が近いほど相関関係を持つ典型的なモデリング⾃⼰回帰モデル AR(1): 時間⽅向にも重要な仮定: 定常性
(Stationarity) 空間版弱定常性 (Weak stationarity) or ⼆次定常性期待値と分散共分散が場所によらず同⼀の関数に従う時系列版弱定常性 (Weak stationarity) or ⼆次定常性期待値と分散共分散が時刻t によらず同⼀の関数に従う 39/60 <latexit sha1_base64="cdeOpNmsx2F2qMrNQxiHUrW098A=">AAACGHicbVDLSgMxFM3UV62vUZdugkVoodQZ8bUpFIvgsoJ9wHQYMmla02YeJJlCHfoZbvwVNy4Ucdudf2OmnYW2nhDu4Zx7Se5xQ0aFNIxvLbOyura+kd3MbW3v7O7p+wdNEUQckwYOWMDbLhKEUZ80JJWMtENOkOcy0nKHtcRvjQgXNPAf5Dgktof6Pu1RjKSSHP301noqCIcW7YpRgh11asEolUpJGRRtWIG40HViOpgUHT1vlI0Z4DIxU5IHKeqOPu10Axx5xJeYISEs0wilHSMuKWZkkutEgoQID1GfWIr6yCPCjmeLTeCJUrqwF3B1fQln6u+JGHlCjD1XdXpIPopFLxH/86xI9q7tmPphJImP5w/1IgZlAJOUYJdygiUbK4Iwp+qvED8ijrBUWeZUCObiysukeVY2L8sX9+f56k0aRxYcgWNQACa4AlVwB+qgATB4Bq/gHXxoL9qb9ql9zVszWjpzCP5Am/4ArgKdFw==</latexit> E[z(si)] = 0, Cov[z(si), z(sj)] = c(dij) <latexit sha1_base64="nwku9awieEJziCGY3eUmvNHxGCk=">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</latexit> E[yt] = 0, Cov[yt, yt h] = c(h) <latexit sha1_base64="V3FjcIMYfUECInnG29SKHMgRyWw=">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</latexit> yt = µ + ⇢yt 1 + "t

時空間CARモデル Spatiotemporal CAR model (RのCARBayesSTパッケージで簡単！) 40/60 <latexit sha1_base64="r6Q+Kt8RoVPNQThU+S4Gc+71tbI=">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</latexit> yi,t =
xi,t + zi,t + "i,t, zi,t = ⇢T zi,t 1 + ei,t, zi,t |zj6=i,t ⇠ N ⇢ P j wijzj,t ⇢ P j wij + 1 ⇢ , ⌧2 ⇢ P j wij + 1 ⇢ ! , "i,t ⇠ N(0, 2) 共変量も⼊れれるよ! 時空間(過程)を表現した項 → ⼀期前から時系列相関してるよ。相関はρT だよ空間相関はLeroux型で⼊ってるよ = 周辺地域から⾃地域の値が決まってるよ。その空間相関の強さはρだよ誤差項は正規分布だよ

時空間CARでの解析 41/60 呼吸器疾患の患者数と予測患者数【いい点】近隣と前後年の観測値も考慮 1. 普通のモデルより予測精度UP 2. ノイズを排除後の疾病リスクを推定できている (と思える)
【(個⼈的に)微妙な点】 (疫学では)やっぱり係数が⼀番興味ある。その点、本モデルは係数が時間でも場所でも⼀定。 <latexit sha1_base64="r6Q+Kt8RoVPNQThU+S4Gc+71tbI=">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</latexit> yi,t = xi,t + zi,t + "i,t, zi,t = ⇢T zi,t 1 + ei,t, 本当はここが時間と空間で変わってほしい

時空間加重回帰 GWR → Geographically and temporary weighted regression (GTWR) 【アイディア】
カーネルを掛け算の形で作ればいいのでは？ 42/60 <latexit sha1_base64="KoXrkF+5PITiOOQiF2B98SLs8iA=">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</latexit> wij = exp d2 ij b2 ! <latexit sha1_base64="juwjs4RDPDOLSzUXGK4683ZWYOw=">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</latexit> wij,t = exp d2 ij b2 t ! exp d2 tt0 l2 ! 距離によるカーネル距離によるカーネル距離が近いとどれくらい似ている？時間によるカーネル時間が近いとどれくらい似ている？ <latexit sha1_base64="TuhyZ32cARicE3GIDjoDFdi0Whs=">AAACIXicbVBNS0JBFJ1nX2ZfVss2QxIEhrwXfbgJpDYtDVIDlce88aqD8z6YuU+Sh3+lTX+lTYsi3EV/plHforIDA4dzzuXOPV4khUbb/rQyS8srq2vZ9dzG5tb2Tn53r67DWHGo8VCG6sFjGqQIoIYCJTxECpjvSWh4g5up3xiC0iIM7nEUQdtnvUB0BWdoJDdfHrmJOMExvaItD5C5Ni2mLHFmxqMJ4LjYGjIFkRbSTE0FN1+wS/YMdJE4KSmQFFU3P2l1Qh77ECCXTOumY0fYTphCwSWMc61YQ8T4gPWgaWjAfNDtZHbhmB4ZpUO7oTIvQDpTf04kzNd65Hsm6TPs67/eVPzPa8bYLbcTEUQxQsDni7qxpBjSaV20IxRwlCNDGFfC/JXyPlOMoyk1Z0pw/p68SOqnJeeidH53Vqhcp3VkyQE5JMfEIZekQm5JldQIJ0/khbyRd+vZerU+rMk8mrHSmX3yC9bXN/zuo4A=</latexit> yi,t = 0 + 1i,txit + "it 係数が、場所と時間で変わる統計的には、半正定値性を持つカーネル関数の和や積も半正定値性をもつからこれでOK

実解析例: Fotheringham et al. (2015) ロンドンにおける住宅価格と床⾯積の関係 (1980-1998) 43/60

Hotspot検知: scan統計特定のイベントが集中的に発⽣している場所を特定したい統計的には（周りから計算された）期待値より有意にイベントが多い地域を⾒つける問題 (Neil (2005)) 44/60 経験ベイズによる低出⽣体重児の疾病地図 Obaidur
and Yoneoka et al. (2023) MLC SLC TLC ⼀番⾼い確率のクラスター1 2番⽬に⾼い確率のクラスター2 3番⽬に⾼い確率のクラスター3

空間scan統計量 Kulldorf et al. (1996)の尤度⽐検定統計量 (H0: !# = !#!, H1:
!# > !#!) $(&)が最⼤となるZを探索するのが今回の問題設定 • 簡単に⾔うけど、とっても難しいよ！ • 全探索は現実的に不可能 (47都道府県で10^14以上の探索回数) 45/60 $はイベント発⽣確率 %は興味のある領域 %!は補領域 cはイベント数 nは⼈⼝ Zという領域がその他の領域より有意にイベント発⽣が多いのか？

様々な⽅法領域の⼤きさや形を限定することで探索範囲を狭めることで対応 • Circular scan (Kulldorfの⽅法): 同⼼円だけを考える • Flexible scan
(Tangoの⽅法): 最⼤ブロックサイズの範囲で網羅的にスキャン • Echelon scan : 階層構造をEchelon解析によって⽣成 • Bayesian scan (Neilの⽅法) • Upper level set scan, Simulated annealing scan • ZDD (Zero-suppressed binary Decision Diagram) scan: 局所単調性を利⽤した枝刈り Bayesian scanは漸近的にKulldorfの⽅法と⼀致 (Prop1. in Tanoue and Yoneoka (2023)) 46/60

PTNS (Public Transportation Network Scan) Tanoue, Yoneoka and et al.
(2020) ▸最初は簡単な問題から考えてみる ▸公共交通網スキャン統計(PTNS): 領域の作り⽅をネットワーク構造に依存させる ▸アイディアはとても簡単 ▸領域の候補をネットワーク上の距離が近い順に作っていく ▸ネットワーク上の距離は任意に設定可能: ex. 平均的な乗客数や乗⾞時間時間 47/60 発展させれば、様々な交通⼿段の上で広がる感染症のHotspotを検知できる！

まとめ本サマーセミナーでは(時)空間解析のための基礎的な内容を話しました • 座標系、CRS、空間相関、隣接⾏列、⼤域/局所空間統計量 • 地域データのための回帰モデル(SAR、CAR) • 点データのためのクリギング (バリオグラム) •
地理的加重回帰 • 時空間のための時空間CARと時空間加重回帰 • Hotspot検知のためのscan統計ありがとうございました。（また来年もやります多分） 48/60

時空間解析と疫学

時空間解析と疫学

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