Teorema de Bayes

Tres ejercicios explicando el Teorema de Bayes

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1. Ejercicio (Edades) 1.- Supongamos que tienes un conjunto de datos que representa las edades de un grupo de personas: 23, 29, 25, 27, 30, 29, 24, 31, 32, 29, 34, 35, 36, 26, 38, 30, 33, 40, 28, 41, 42, 45, 37, 45, 46, 38, 48, 43, 50, 45, 50, 40, 42, 46, 41, 43, 29, 35, 44, 49. Ahora, vamos a crear una distribución de frecuencia para estos datos que contenga la siguiente información: Paso 1: Ordenar las edades. 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 35, 36, 37, 38, 38, 40, 40, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 44, 45, 45, 45, 46, 46, 48, 49, 50, 50 Paso 2: Calcular el Rango, el número de clases y la amplitud 1. Rango (R) 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 = 50 − 23 = 27 2. Clases (k) k= n=40 𝑘 = 6 clases 3. Amplitud o ancho de clase (A) 𝑅 27 𝐴 = 𝑘 = 6 = 4.5 = 5
2. Paso. 3. Hacer la distribución de frecuencias: Clase, Frecuencia de clase, Frontera de clase, Marca de clase, Frecuencia relativa de clase y Frecuencia acumulada de clase. Clase Frecuencia (f) Frontera de clase Marca de clase (Xi) Frec. Relativa (fr) Frec. Acumulada (Fa) 23 – 27 5 22.5 – 27.5 25 0.125 5 28 – 32 9 27.5 – 32.5 30 0.225 14 33 – 37 6 32.5 – 37.5 35 0.150 20 38 – 42 8 37.5 – 42.5 40 0.200 28 43 – 47 8 42.5 – 47.5 45 0.200 36 48 – 52 4 47.5 – 52.5 50 0.100 40 ___________________________________________________________________________________________________ Total. 40 1.000 Cómo se calculó cada columna: • • • • • • Clase (intervalo): empieza en el mínimo (23) y se suma la amplitud (5) sucesivamente: 23-27, 28-32, 33-37, 38-42, 43-47, 4852. Frecuencia: conteo de cuántas edades caen en cada intervalo (verificar que sumen 40). Frontera de clase: límite real de la clase, restando/sumando 0.5 a los límites (evita huecos entre clases): Li − 0.5 y Ls + 0.5. Marca de clase: punto medio del intervalo → (Límite inferior + Límite superior) / 2. Frecuencia relativa: f / n (frecuencia de la clase entre el total de datos). Frecuencia acumulada: suma progresiva de las frecuencias (la última debe coincidir con n = 40).
3. 1. Media aritmética ((𝑋ˉ)) 𝑋ˉ = ∑𝑓𝑖 𝑋𝑖 1485 = = 37.125 𝑛 40
4. 2. Mediana (Me) La clase mediana es donde cae n/2 = 20. Como la Fa de la clase 33-37 llega justo a 20, esa es la clase mediana. 𝑛 − 𝐹𝑎𝑛𝑡 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + (2 )×𝑐 𝑓 𝑀𝑒 = 32.5 + ( 20 − 14 ) × 5 = 32.5 + 5 = 37.5 6 3. Moda (Mo) La clase modal es 28-32 (mayor frecuencia, f = 9). 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + ( Donde: 𝑓1 = 9 𝑓1 − 𝑓0 )×𝑐 (𝑓1 − 𝑓0 ) + (𝑓1 − 𝑓2 ) f0 = 5 (clase anterior), 𝑀𝑜 = 27.5 + ( 𝑓2 = 6 f2= 9−5 )×5 = (9 − 5) + (9 − 6) 4 27.5 + ( ) × 5 = 27.5 + 2.86 = 30.36 7 6 (clase siguiente)
5. Conclusiones: El grupo analizado está compuesto principalmente por adultos jóvenes y de mediana edad, con una edad "típica" alrededor de 37 años. Aunque hay un grupo numeroso de personas más jóvenes (28-32 años), la presencia significativa de personas entre 38 y 50 años eleva el promedio general, mostrando una población con diversidad generacional.