50011不等式

不等式について学習します

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1. 不等式 学習対象者：方程式、正負の数を学習した方
2. 連立不等式 不等式は方程式に似ていますが、 方程式よりは少し難しく感じられる かも知れません。 しかし、数直線を利用して 考えることで、 方程式と同じように 解くことができます。 大人塾© http://otona-juku.com
3. 不等号 不等式では、今までの方程式で出てこなかった 新しい記号「不等号」を使います。 不等号にはいくつかの種類があります。 大人塾 3
4. 不等号 不等号① 「>」「<」 この不等号は「>」を「大なり」、「<」を「小なり」 と読み、不等号の開いている方の数字や文字が大きいこ とを表しています。 例えば 「𝐴 > 𝐵」という式は「AはBより大きい」 「𝐶 < 𝐷」という式は「CはDより小さい」となります。 大人塾 4
5. 不等号 不等号① 「>」「<」 具体例を考えます。 例えば３と５という数字を比べるとき、不等号を使って 「3 < 5」 または 「5 > 3」 と書くことができます。 大人塾 5
6. 不等号 不等号② 「≧」「≦」 この不等号は「≧」を「大なりイコール」、 「≦」を「小なりイコール」と読み、 不等号の開いている方の数字や文字が大きい または等しいことを表しています。 例えば 「𝐴 ≧ 𝐵」という式は「AはBより大きいか等しい」 「𝐶 ≦ 𝐷」という式は「CはDより小さいか等しい」です 大人塾 6
7. 不等号 不等号② 「≧」「≦」 再び具体例を考えます。 先ほどと同様に３と５という数字を比べるときは、 これらの不等号を使って 「3 ≦ 5」 または 「5 ≧ 3」 と書くことができます。 大人塾 7
8. 不等号 不等号② 「≧」「≦」 「≦」「≧」と 「<」「>」の大きな違いは、等しい可能 性があるかどうかです。 「4 ≦ 4」と書くことはできますが、 「4 < 4」 と書くことはできません。 これは不等号にイコールが付いているかどうかで 判断しましょう。 大人塾 8
9. 不等号 次は数直線で考えます。 𝑥 = 3 これは「 𝑥 が3である」ことを示し、数直線では 下のように表されます。 この•は塗りつぶすことが重要です。 大人塾 9 0 3
10. 不等号 𝑥 > 3 これは数直線では下のように表されます。 この式では３が含まれないので〇は塗りつぶしません。 大人塾 10 0 3
11. 不等号 𝑥 < 3 これは数直線では下のように表されます。 この式でも３は含まれないので〇は塗りつぶしません。 また、「 𝒙 は3未満」という日本語はこの式に該当します。 大人塾 11 0 3
12. 不等号 𝑥 ≧ 3 これは数直線では下のように表されます。 この式では３が含まれるので•を塗りつぶします。 また、「 𝒙 は3以上」という日本語はこの式に該当します。 大人塾 12 0 3
13. 不等号 𝑥 ≦ 3 これは数直線では下のように表されます。 この式でも３は含まれるので•を塗りつぶします。 また、「 𝒙 は3以下」という日本語はこの式に該当します。 大人塾 13 0 3
14. 練習問題 下の不等式を数直線上に表してください。 例 𝑥 < 2 ① 𝑥 > 0 ② 𝑥 ≧ −2 ③ 1 ≦ 𝑥 大人塾 14 2
15. 練習問題 正解は以下になります。③は「𝑥 ≧ 1」と同じ意味です。 例 𝑥 < 2 ① 𝑥 > 0 ② 𝑥 ≧ −2 ③ 1 ≦ 𝑥 大人塾 15 0 2 -2 1
16. 一次不等式 原則、不等式は方程式と同様に解くことができます。 まずは方程式を解いてみましょう 方程式 不等式 5𝑥 − 6 = 3𝑥 5𝑥 − 6 > 3𝑥 大人塾 16
17. 一次不等式 原則、不等式は方程式と同様に解くことができます。 では不等式も同じ手順で進めてみてください。 方程式 不等式 5𝑥 − 6 = 3𝑥 5𝑥 − 6 > 3𝑥 5𝑥 − 3𝑥 = 6 𝑥 = 3 大人塾 17
18. 一次不等式 このように解くことができたでしょうか。 方程式 不等式 5𝑥 − 6 = 3𝑥 5𝑥 − 6 > 3𝑥 5𝑥 − 3𝑥 = 6 5𝑥 − 3𝑥 > 6 𝑥 = 3 𝒙 > 𝟑 大人塾 18
19. 一次不等式 このように解くことができたでしょうか。 それではこの不等式を数直線上に表してみましょう。 𝑥 > 3 大人塾 19
20. 一次不等式 このようになります。 𝑥 > 3 大人塾 20 𝑥は3より大きい
21. 一次不等式 不等式は方程式と同じように解けます。 しかし、下のような場合には注意が必要です。 −4𝑥 > 8 大人塾 21
22. 一次不等式 不等式では、両辺にマイナスを掛ける、もしくは両辺を マイナスで割ると不等号が逆向きになります。 −4𝑥 > 8 𝑥 < −2 大人塾 22 ÷ (−4) 𝑥は−2より小さい
23. 一次不等式 これは、＋の世界では「数字の値が大きいほど、大きな 数になる」のに対し、－の世界では逆に「数字の値が大 きいほど、小さな数になる」からです。 大人塾 23 ÷ (−4) 1,2,3,4,5…と進む に従って、小さい 数字になっていく 1,2,3,4,5…と進む に従って、大きい 数字になっていく
24. 練習問題 下の不等式を解いてください。 ① 3𝑥 + 5 > 𝑥 + 3 ② 𝑥 − 7 ≧ 4𝑥 + 5 ③ 3 − 6𝑥 ≦ −𝑥 + 2 ④ −7 < 3𝑥 + 2 大人塾 24
25. 解答 大人塾 25 ① 3𝑥 + 5 > 𝑥 + 3 3𝑥 − 𝑥 > 3 − 5 2𝑥 > −2 𝑥 > −1 ④ −7 < 3𝑥 + 2 −3𝑥 < 2 + 7 −3𝑥 < 9 𝑥 > −3 ③ 3 − 6𝑥 ≦ −𝑥 + 2 −6𝑥 + 𝑥 ≦ 2 − 3 −5𝑥 ≦ −1 𝑥 ≧ 1 5 ② 𝑥 − 7 ≧ 4𝑥 + 5 𝑥 − 4𝑥 ≧ 5 + 7 −3𝑥 ≧ 12 𝑥 ≦ −4
26. 連立不等式1 応用問題です。 下の2つの不等式をともに満たす𝑥を求めましょう。 5𝑥 + 6 ≧ 3𝑥 1 − 4𝑥 > −3 大人塾 26
27. 連立不等式1 このような問題では、それぞれの不等式を計算します。 5𝑥 + 6 ≧ 3𝑥 1 − 4𝑥 > −3 大人塾 27
28. 連立不等式1 以下のような結果になっていれば正解です。 5𝑥 + 6 ≧ 3𝑥 ⇒ 𝑥 ≧ −3 1 − 4𝑥 > −3 ⇒ 𝑥 < 1 大人塾 28
29. 連立不等式1 この両方を数直線に書きます。 このとき、両方に共通の範囲が連立不等式の答えです。 5𝑥 + 6 ≧ 3𝑥 ⇒ 𝑥 ≧ −3 1 − 4𝑥 > −3 ⇒ 𝑥 < 1 大人塾 29
30. 連立不等式1 よって斜線部分の「－3以上で1より小さい範囲」が 答えとなり、数式では「 −3 ≦ 𝑥 < 1 」と表します。 5𝑥 + 6 ≧ 3𝑥 ⇒ 𝑥 ≧ −3 1 − 4𝑥 > −3 ⇒ 𝑥 < 1 答え −𝟑 ≦ 𝒙 < 𝟏 大人塾 30 ｘ＜1 ｘは1より小さい ｘ≦-3 ｘは-3以上
31. 連立不等式2 下の2つの不等式をともに満たす𝑥を求めましょう。 4𝑥 − 1 ≧ 2 + 𝑥 5𝑥 + 3 > 3𝑥 + 7 大人塾 31
32. 連立不等式2 まずはそれぞれを解きます。 4𝑥 − 1 ≧ 2 + 𝑥 ⇒ 𝑥 ≧ 1 5𝑥 + 3 > 3𝑥 + 7 ⇒ 𝑥 > 2 大人塾 32
33. 連立不等式2 数直線上では下のようになりますね。 この2つの共通範囲はどのような式になるでしょうか。 4𝑥 − 1 ≧ 2 + 𝑥 ⇒ 𝑥 ≧ 1 5𝑥 + 3 > 3𝑥 + 7 ⇒ 𝑥 > 2 大人塾 33
34. 連立不等式2 共通範囲は斜線部分となり、式で表すと「 𝑥 > 2 」とな ります。このように一方の範囲がもう一方の範囲を完全 にカバーしているとき、より狭い範囲が採用されます。 4𝑥 − 1 ≧ 2 + 𝑥 ⇒ 𝑥 ≧ 1 5𝑥 + 3 > 3𝑥 + 7 ⇒ 𝑥 > 2 答え 𝑥 > 2 大人塾 34
35. 連立不等式2 連立不等式の解は主にこの4パターンに分類されます 数字（1,5）は一例です。 大人塾 35 5 1 𝟓 ≦ 𝒙 𝒙 ≦ 𝟏 解なし(共通範囲がない) 𝟏 ≦ 𝒙 ≦5 5 1 5 1 5 1
36. 練習問題 それでは練習として以下の3問を解いてみましょう ① 3𝑥 − 4 > 2 + 5𝑥 4𝑥 + 3 ≦ 3𝑥 + 2 ② 4 + 3𝑥 < 2 + 2𝑥 2𝑥 + 3 > 𝑥 + 7 ③ 5 − 𝑥 ≦ 11 + 2𝑥 𝑥 + 3 ≦ −3𝑥 + 9 大人塾 36
37. 練習問題 それでは練習として以下の3問を解いてみましょう ① 3𝑥 − 4 > 2 + 5𝑥 答え. 𝑥 < −3 4𝑥 + 3 ≦ 3𝑥 + 2 ② 4 + 3𝑥 < 2 + 2𝑥 答え. 解なし 2𝑥 + 3 > 𝑥 + 7 (𝑥 < −2と4 < 𝑥に共通範囲はない） ③ 5 − 𝑥 ≦ 11 + 2𝑥 答え. −2 ≦ 𝑥 ≦ 3 2 𝑥 + 3 ≦ −3𝑥 + 9 大人塾 37
38. まとめ 不等式はこのようにして解いていきます。 「解なし」は多くの人が間違いやすいポイントです。 慣れてきたら数直線を書かなくても解けるようになりま すが、それまでは数直線を書いてから答えを導くように しましょう。 大人塾 38