Waerden Autres r´ esultats Introduction On se fait une id´ ee pr´ ecise de l’ordre, mais non pas du d´ esordre Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre, Paul et Virginie (1788) Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition ´ Etant donn´ ee une structure , tout syst` eme suffisamment grand contient cette structure . Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition ´ Etant donn´ ee une structure de taille fix´ ee, il existe un entier N tel que tout syst` eme de taille au moins N contient cette structure . Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Frank Plumpton Ramsey (22 f´ evrier 1903 - 19 janvier 1930) Britannique Logicien, ´ economiste, math´ ematicien Mort d’une maladie du foie ` a 26 ans Fr` ere de l’archevˆ eque de Cantorbury Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Principe des tiroirs Objectif : colorier les trois points suivants avec deux couleurs. Contrainte : pas deux points de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans tout coloriage de trois points avec deux couleurs, il existe (au moins) deux points colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Objectif : colorier les cinq points suivants avec deux couleurs. Contrainte : pas trois points de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans tout coloriage de cinq points avec deux couleurs, il existe (au moins) trois points colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans tout coloriage de points avec deux couleurs, il existe (au moins) quatre points colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans tout coloriage de sept points avec deux couleurs, il existe (au moins) quatre points colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans tout coloriage de points avec trois couleurs, il existe (au moins) deux points colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans tout coloriage de quatre points avec trois couleurs, il existe (au moins) deux points colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Fixons c le nombre de couleurs un nombre de points Alors, il existe un entier N tel que dans tout coloriage de N points avec c couleurs, il existe points colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Fixons c le nombre de couleurs un nombre de points Alors, il existe un entier N tel que dans tout coloriage de N points avec c couleurs, il existe points colori´ es de la mˆ eme couleur. N = c(l − 1) + 1 Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 f´ evrier 1805 - 5 mai 1859) Allemand Math´ ematicien (arithm´ etique, analyse harmonique...) Beau-fr` ere du compositeur Felix Mendelssohn Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition ` A Toulouse, il y a au moins deux personnes avec le mˆ eme nombre de cheveux. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition ` A Toulouse, il y a au moins deux personnes avec le mˆ eme nombre de cheveux. Un humain a moins de 200 000 cheveux. Rangeons les toulousains dans des tiroirs selon leur nombre de che- veux : Celui pour les chauves Celui pour les gens ` a 1 cheveu Celui pour les gens ` a 2 cheveux . . . Celui pour les gens ` a 200 000 cheveux Il y a plus de toulousains que de tiroirs donc au moins deux toulou- sains dans le mˆ eme tiroir. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans un poly` edre, il y a deux faces avec le mˆ eme nombre de faces voisines. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Notons n le nombre de faces du poly` edre. Rangeons les faces dans des tiroirs selon leur nombre de faces voi- sines : Celui pour les faces ` a 1 voisine Celui pour les faces ` a 2 voisines . . . Celui pour les faces ` a n − 1 voisines Il y a plus de faces que de tiroirs donc au moins deux faces dans le mˆ eme tiroir. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Th´ eor` eme de van der Waerden Objectif : colorier les six points suivants avec deux couleurs. Contrainte : pas trois points de la mˆ eme couleur r´ eguli` erement espac´ es Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Par exemple, vous ne pouvez pas adopter le coloriage suivant car il y a trois points rouges r´ eguli` erement espac´ es : Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Objectif : colorier les huit points suivants avec deux couleurs. Contrainte : pas trois points de la mˆ eme couleur r´ eguli` erement espac´ es Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Cherchons une solution en se basant sur l’id´ ee de colorier prioritai- rement en rouge ? C ¸a ne marche pas ! Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Objectif : colorier les neuf points suivants avec deux couleurs. Contrainte : pas trois points de la mˆ eme couleur r´ eguli` erement espac´ es Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Partons de la solution d´ ej` a exhib´ ee pour 8 points et essayons de la compl´ eter Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Partons de la solution d´ ej` a exhib´ ee pour 8 points et essayons de la compl´ eter Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Partons de la solution d´ ej` a exhib´ ee pour 8 points et essayons de la compl´ eter Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Partons de la solution d´ ej` a exhib´ ee pour 8 points et essayons de la compl´ eter ? On ne peut pas la compl´ eter. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Il y a 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 512 coloriages possibles de 9 points... et il faut tous les v´ erifier jusqu’` a en trouver un qui a la bonne pro- pri´ et´ e... Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Dans tout coloriage des neuf points avec deux couleurs, il existe trois points r´ eguli` erement espac´ es colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Bartel Leendert van der Waerden (2 f´ evrier 1903 - 12 janvier 1996) Hollandais Math´ ematicien (alg´ ebriste) A r´ esolu un probl` eme de Hilbert (le quinzi` eme) Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Fixons c le nombre de couleurs la longueur d’une suite de points Alors, il existe un entier N tel que dans tout coloriage de N points avec c couleurs, il existe points r´ eguli` erement espac´ es colori´ es de la mˆ eme couleur. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats On prouve l’existence de N sans le calculer ! Voici un tableau qui donne les valeurs de N en fonction de c et l c \ l 3 4 5 6 2 9 35 178 1132 3 27 293 4 76 Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Pour ˆ etre sˆ ur d’obtenir six points de la mˆ eme couleur r´ eguli` erement espac´ es dans tout coloriage ` a deux couleurs, il faut 1132 points. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Pour ˆ etre sˆ ur d’obtenir six points de la mˆ eme couleur r´ eguli` erement espac´ es dans tout coloriage ` a deux couleurs, il faut 1132 points. V´ erifier ce r´ esultat r´ eclame donc de tester 5833847760472018191531409618301 9377526412786239090727853961370 0589367845498008330552929534322 3378352386078310668326286940046 2158541713858270963303461275697 4087376336779409618884179908723 9833297692494660581763069351970 4607081254671658561832577037833 0658911151598689688411949182543 9038467227272578103058551546339 6294754824202789953344735543296 coloriages. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Objectif : colorier les 36 points suivants avec deux couleurs. Contrainte : pas de carr´ e avec les quatre sommets de la mˆ eme couleur Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Objectif : colorier les 144 points suivants avec deux couleurs. Contrainte : pas de carr´ e avec les quatre sommets de la mˆ eme couleur Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Un th´ eor` eme indique qu’il existe une taille ` a partir de laquelle on sait qu’il y a obligatoirement un carr´ e monochrome... mais on ne connaˆ ıt pas cette taille limite ! Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Six personnes sont dans une pi` ece : il en existe trois qui se sont serr´ e la main mutuellement ou trois telles qu’aucune d’entre elles n’a serr´ e la main de l’une des autres. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Parmi cinq points du plan, il en existe toujours quatre qui forme un polygone sans angle rentrant. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Parmi cinq points du plan, il en existe toujours quatre qui forme un polygone sans angle rentrant. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Proposition Parmi cinq points du plan, il en existe toujours quatre qui forme un polygone sans angle rentrant. Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Esther Klein (20 f´ evrier 1910 – 28 aoˆ ut 2005), George Szekeres (29 mai 1911 – 28 aoˆ ut 2005), P´ al Erd˝ os (26 mars 1913 - 20 septembre 1996) Hongrois Math´ ematiciens (combinatoire) Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Esther Szekeres (20 f´ evrier 1910 – 28 aoˆ ut 2005), George Szekeres (29 mai 1911 – 28 aoˆ ut 2005), P´ al Erd˝ os (26 mars 1913 - 20 septembre 1996) Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
Waerden Autres r´ esultats Conclusion Des structures apparaissent forc´ ement dans un grand syst` eme : le d´ esordre total n’existe pas Roger Mansuy Le d´ esordre n’existe pas
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