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(2023) En attendant...

(2023) En attendant...

Reprise de quelques miscellanées mathématiques pour occuper le temps avant l'exposé du 6 mars 2023 à l'Université du Havre

Roger Mansuy

March 05, 2023
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Transcript

  1. En attendant...
    Miscellanées mathématiques
    Roger Mansuy
    La Havre, 6 mars 2023

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  2. Les miscellanées sont un genre littéraire composé de textes divers,
    «mélangés» avec une unité plus ou moins manifeste. C’est une tech-
    nique de fragments, une sorte de mosaïque littéraire.
    Wikipedia
    Lors du premier confinement de 2020, une émission en direct sur la chaîne Myriogon
    a proposé 25 sujets mathématiques pour attiser la curiosité ou frapper l’imagination.
    Le début de ce support provient de cette tentative d’interactions confinées.

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  3. Numéro 1: 2357
    • Décomposez l’heure sur votre réveil en facteurs premiers jusqu’à vous endormir

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  4. Numéro 1: 2357
    • Décomposez l’heure sur votre réveil en facteurs premiers jusqu’à vous endormir

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  5. Numéro 14: Théorème japonais
    • Considérez un polygone inscrit dans un cercle
    • Triangulez ce polygone
    • Calculez la somme des rayons des cercles inscrits dans les triangles

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  6. Numéro 14: Théorème japonais
    • Considérez un polygone inscrit dans un cercle
    • Triangulez ce polygone
    • Calculez la somme des rayons des cercles inscrits dans les triangles

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  7. Ryokan Maruyama (1800)

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  8. Numéro 26
    • Considérez un quadrilatère
    • Construisez le quadrilatère joignant les milieux des côtés

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  9. Numéro 26
    • Considérez un quadrilatère
    • Construisez le quadrilatère joignant les milieux des côtés

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  10. Numéro 26: Théorème de Thalès
    • Considérez un quadrilatère
    • Construisez le quadrilatère joignant les milieux des côtés

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  11. Numéro 27
    • Considérez un nombre
    • Permutez les chiffres de ce nombre à votre guise
    • Calculez la différence avec le nombre initial

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  12. Numéro 27
    • Considérez un nombre
    • Permutez les chiffres de ce nombre à votre guise
    • Calculez la différence avec le nombre initial
    23571246 − 12237654 = 9 × 1259288
    23571246 − 12234567 = 9 × 1259631

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  13. Numéro 27
    • Considérez un nombre
    • Permutez les chiffres de ce nombre à votre guise
    • Calculez la différence avec le nombre initial
    23571246 − 12237654 = 9 × 1259288
    23571246 − 12234567 = 9 × 1259631

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  14. Numéro 27: Preuve par 9
    • Considérez un nombre
    • Permutez les chiffres de ce nombre à votre guise
    • Calculez la différence avec le nombre initial
    23571246 − 12237654 = 9 × 1259288
    23571246 − 12234567 = 9 × 1259631

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  15. Numéro 28: Napoléonerie
    • Considérez un quadrilatère
    • Construisez (extérieurement) des carrés sur les côtés du quadrilatère
    • Construisez le quadrilatère dont les sommets sont les centres de ces carrés

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  16. Numéro 30: Problème de Leo Moser
    • Choisissez secrètement 5 nombres
    • Calculez puis communiquez les 10 sommes obtenues en additionnant les nombres
    deux à deux

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  17. Numéro 30: Problème de Leo Moser
    • Choisissez secrètement 5 nombres
    • Calculez puis communiquez les 10 sommes obtenues en additionnant les nombres
    deux à deux
    (4, 8, 10, 18, 20, 24, 38, 40, 44, 54)

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  18. Numéro 30: Problème de Leo Moser
    • Choisissez secrètement 5 nombres
    • Calculez puis communiquez les 10 sommes obtenues en additionnant les nombres
    deux à deux
    (1, 3, 7, 17, 37) ↭ (4, 8, 10, 18, 20, 24, 38, 40, 44, 54)

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  19. Attention, cela ne marche plus si l’on communique des 6 sommes obtenues avec 4
    nombres inconnus.
    (1, 2, 3, 6) ou (0, 3, 4, 5) ⇝ (3, 4, 5, 7, 8, 9)

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  20. Numéro 32: Nombre premier fragile
    • Vérifiez que le nombre 294001 est premier
    • Changez l’un de ses chiffres

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  21. Numéro 32: Nombre premier fragile
    • Vérifiez que le nombre 294001 est premier
    • Changez l’un de ses chiffres
    294007 = 7 × 97 × 433
    294011 = 41 × 71 × 101
    294701 = 11 × 73 × 367

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  22. Numéro 34: Solitaire hongrois
    • Répartissez 10 jetons en une suite de tas
    • Prenez un jeton dans chaque tas et empilez les jetons retirés en un nouveau tas à
    droite de la suite précédente
    • Recommencez

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  23. Vous obtenez au bout d’un certain temps:

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  24. Numéro 36:
    • Choisissez un nombre p entre 1 et +∞
    • Calculez le périmètre du ”cercle” d’équation |x|p + |y|p = 1
    • Calculez le rapport entre ce périmètre et le diamètre

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  25. Numéro 36:
    • Choisissez un nombre p entre 1 et +∞
    • Calculez le périmètre du ”cercle” d’équation |x|p + |y|p = 1
    • Calculez le rapport entre ce périmètre et le diamètre
    p = 1 p = 2 p = 4 p = 76

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  26. Numéro 36: π est la plus petite valeur de π
    • Choisissez un nombre p entre 1 et +∞
    • Calculez le périmètre du ”cercle” d’équation |x|p + |y|p = 1
    • Calculez le rapport entre ce périmètre et le diamètre: vous trouvez un nombre plus
    grand que π
    p = 1 p = 2 p = 4 p = 76

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