Activités de probabilités pour classes de terminales du lycée Rosa Parks de Thionville le vendredi 5 mai 2023.
* activité: le jeu de Penney
* activité: les cinq dés de Grime
* exposé; la formule de Bayes en pratique
Pile ou Face jusqu’à obtenir trois résultats consécutifs de la forme • P,P,F : dans ce cas, vous gagnez, • F,P,P : dans ce cas, je gagne. Acceptez-vous de jouer?
officielle sur le tirage du 1er octobre 2022 de PCSO car il estimait que les chances que plus de 400 personnes obtiennent les mêmes numéros gagnants étaient trop faibles pour que cette coïncidence soit le fruit du hasard. Pero ’yung 433 ang mananalo… supposed to be ang chances mo diyan, one in how many billions eh. Ibig sabihin, ganun dapat kahirap tamaan ‘yan. To say na 433 ang tumama, there is something suspicious
3 la probabilité que la voiture soit derrière la porte initialement choisie est 1 3 donc la probabilité qu’elle soit derrière les deux autres est 2 3 . Or, une des autres portes est ouverte donc la probabilité qu’elle soit derrière l’autre porte fermée est 2 3 .
2 les deux portes restantes ont initialement autant de chances de cacher la voiture donc 1 2 chacune. La probabilité de gain après changement de porte est 2 3 la probabilité que la voiture soit derrière la porte initialement choisie est 1 3 donc la probabilité qu’elle soit derrière les deux autres est 2 3 . Or, une des autres portes est ouverte donc la probabilité qu’elle soit derrière l’autre porte fermée est 2 3 .
évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles ne peuvent être l’effet du hasard?
évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles ne peuvent être l’effet du hasard? [...] Nous en avons assez dit pour faire comprendre la nécessité d’une base de raisonnement plus solide. C’est ce que les fondateurs du calcul des probabilités ont cherché pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer dans quelques détails techniques.
évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles ne peuvent être l’effet du hasard? [...] Nous en avons assez dit pour faire comprendre la nécessité d’une base de raisonnement plus solide. C’est ce que les fondateurs du calcul des probabilités ont cherché pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer dans quelques détails techniques. Ils ont distingué la probabilité des causes et la probabilité des effets.
un événement constaté, la probabilité d’une cause, il nous faut plusieurs données: 1. Il faut savoir quelle était a priori, avant l’événement, la probabilité de cette cause. 2. Il faut savoir ensuite quelle serait, pour chacune des causes possibles, la probabilité de l’événement constaté.
P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1 • P(C2 ): probabilité de la cause numéro 2 • P(E|C1 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1
P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1 • P(C2 ): probabilité de la cause numéro 2 • P(E|C1 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1 • P(E|C2 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 2
P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1 • P(C2 ): probabilité de la cause numéro 2 • P(E|C1 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1 • P(E|C2 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 2 • P(C1 |E): probabilité de la cause numéro 1 sachant l’effet
un événement constaté, la probabilité d’une cause P(C1 |E), il nous faut plusieurs données: 1. Il faut savoir qu’elle était a priori, avant l’événement, la probabilité de cette cause. P(C1 ) et P(C2 ) 2. Il faut savoir ensuite quelle serait, pour chacune des causes possibles, la probabilité de l’événement constaté. P(E|C1 ) et P(E|C2 ) P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 )
un résultat positif; suis-je malade? • Cause C1: je suis malade • Cause C2: je ne suis pas malade • Effet E: le test est positif • P(C1 ): probabilité d’être malade • P(C2 ): probabilité d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain • P(C1 |E): probabilité d’être malade sachant que le test est positif
d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain
P(C2 ): probabilité d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain
P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain
P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain
P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002
P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 001 0, 99 × 0, 001 + 0, 002 × 0, 999
P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 001 0, 99 × 0, 001 + 0, 002 × 0, 999 ≃ 0, 331
médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade • P(C2 ): probabilité d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002
médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!! • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!! • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002
médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!! • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!! • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 331 0, 99 × 0, 331 + 0, 002 × 0, 669
médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!! • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!! • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 331 0, 99 × 0, 331 + 0, 002 × 0, 669 ≃ 0, 987
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Face en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée?
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Face en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 0, P(E|C2 ) = 1 2 .
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Face en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 0, P(E|C2 ) = 1 2 . La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est P(C1 |E) = 0 × 1 2 0 × 1 2 + 1 2 × 1 2 = 0.
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Pile en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée?
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Pile en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 2 .
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Pile en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 2 . La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est P(C1 |E) = 1 × 1 2 1 × 1 2 + 1 2 × 1 2 = 2 3 ≃ 0, 67.
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient sept (7) Piles en sept lancers de suite Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée?
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient sept (7) Piles en sept lancers de suite Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 27 .
Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient sept (7) Piles en sept lancers de suite Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 27 . La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est P(C1 |E) = 1 × 1 2 1 × 1 2 + 1 27 × 1 2 = 128 129 ≃ 0, 992.
pédiatre Roy Meadows annonce que la probabilité de deux morts naturelles de nourrisson au sein d’un même foyer vaut 1 73000000 . Cette probabilité est tellement faible qu’elle incite intuitivement à rejeter l’hypothèse d’une mère innocente (sophisme du procureur).
the recent highly-publicised case of R v. Sally Clark, a medical expert witness drew on published studies to obtain a figure for the frequency of sudden infant death syndrome (SIDS, or ”cot death”) in families having some of the characteristics of the defendant’s family. He went on to square this figure to obtain a value of 1 in 73 million for the frequency of two cases of SIDS in such a family. This approach is, in general, statistically invalid. It would only be valid if SIDS cases arose independently within families, an assumption that would need to be justified empirically. Not only was no such empirical justification provided in the case, but there are very strong a priori reasons for supposing that the assumption will be false. There may well be unknown genetic or environmental factors that predispose families to SIDS, so that a second case within the family becomes much more likely. The well-publicised figure of 1 in 73 million thus has no statistical basis.
Bayes. • Cause C1: Sally Clarke est meurtrière • Cause C2: Sally Clarke est innocente • Effet E: les deux enfants meurent en bas âge Pour appliquer la formule de Bayes afin de calculer P(C1 |E), il faut connaître P(C1 ), P(C2 ), P(E|C1 ), P(E|C2 )
Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable Code de procédure pénale Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie.
Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable Code de procédure pénale Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie. P(C1 ) = 1 2000000000 , Estimation par Pr. Alicia L. Carriquiry, directrice du centre de statistiques et d’applications en matière de preuves médico-légales, Iowa State University
Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable Code de procédure pénale Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie. P(C1 ) = 1 2000000000 , P(C2 ) = 1 − 1 2000000000 Estimation par Pr. Alicia L. Carriquiry, directrice du centre de statistiques et d’applications en matière de preuves médico-légales, Iowa State University
lors de la deuxième procé- dure d’appel en 2003. Elle ne s’est jamais remise, a sombré dans l’alcoolisme et est morte en 2007. À la suite de cette affaire, le procureur général a ordonné la révision de cen- taines d’autres cas: deux autres femmes, Angela Cannings et Donna Anthony, ont vu leur condamnation annulée.
avec du bon sens... et notamment les probabilités ”conditionnelles.” • La formule de Bayes permet dans une certaine modélisation de calculer des probabilités de causes sachant un effet observé.
avec du bon sens... et notamment les probabilités ”conditionnelles.” • La formule de Bayes permet dans une certaine modélisation de calculer des probabilités de causes sachant un effet observé. • Pour l’appliquer il faut estimer les probabilités a priori (sans tenir compte de l’effet) et les probabilités que chaque cause entraîne l’effet.
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