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(2023) Un peu de probabilités

(2023) Un peu de probabilités

Activités de probabilités pour classes de terminales du lycée Rosa Parks de Thionville le vendredi 5 mai 2023.
* activité: le jeu de Penney
* activité: les cinq dés de Grime
* exposé; la formule de Bayes en pratique

Roger Mansuy

May 04, 2023
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Transcript

  1. Un peu de probabilités
    Roger Mansuy
    Lycée Rosa Parks, Thionville

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  2. 1. Un jeu Pile ou Face amélioré
    On joue à Pile ou Face jusqu’à obtenir trois résultats consécutifs de la forme
    • P,P,F : dans ce cas, vous gagnez,
    • F,P,P : dans ce cas, je gagne.
    Acceptez-vous de jouer?

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  3. • P,P,P, P,P,F
    • P,F,P,F, F,P,P
    • F,F,F,F,F,P,F,F, F,P,P
    • F,P,F,F,F,P,F,F, F,P,P
    • F,P,F,F,P,F,F, F,P,P
    • P, F,P,P
    • F,P,P
    • F,F,F,P,F,P,F,P,F,P,F,
    F,P,F,F,F,P,F,P,F,F,P,
    F,F, F,P,P
    • P, F,P,P
    • F,P,P
    • P,F,F,F,P,F,P, F,P,P
    • P,P,F
    • F,P,P
    • P,P,P,P, P,P,F
    • F,F,F,F,F,F, F,P,P
    • F,P, F,P,P
    • P,F,F,F,P,F,P, F,P,P
    • P,P, P,P,F

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  4. FP PF
    FF
    PP
    FPP PPF

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  5. FP PF
    FF
    PP
    FPP PPF
    F

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  6. FP PF
    FF
    PP
    FPP PPF
    P
    F

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  7. FP PF
    FF
    PP
    FPP PPF
    P
    P
    F

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  8. FP PF
    FF
    PP
    FPP PPF
    P
    F
    P
    F

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  9. FP PF
    FF
    PP
    FPP PPF
    P
    F
    F
    P
    P
    F

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  10. FP PF
    FF
    PP
    FPP PPF
    P
    F
    F
    P
    F
    P
    P
    F

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  11. 2. Des dés particuliers

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  12. Déterminer la somme de ces dés.
    1 2 3 4
    2
    3
    1 4 6 8
    3
    5

    View full-size slide

  13. Déterminer la somme de ces dés.
    1 2 3 4
    2
    3
    1 4 6 8
    3
    5
    2 (1, 1)
    3 (2, 1)(2, 1)
    4 (1, 3)(3, 1)(3, 1)
    5 (1, 4)(2, 3)(2, 3)(4, 1)
    6 (1, 5)(2, 4)(2, 4)(3, 3)(3, 3)
    7 (1, 6)(2, 5)(2, 5)(3, 4)(3, 4)(4, 3)
    8 (2, 6)(2, 6)(3, 5)(3, 5)(4, 4)
    9 (1, 8)(3, 6)(3, 6)(4, 5)
    10 (2, 8)(2, 8)(4, 6)
    11 (3, 8)(3, 8)
    12 (4, 8)

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  14. Déterminer la somme de ces dés.
    1 2 3 4
    2
    3
    1 4 6 8
    3
    5
    2 (1, 1)
    3 (2, 1)(2, 1)
    4 (1, 3)(3, 1)(3, 1)
    5 (1, 4)(2, 3)(2, 3)(4, 1)
    6 (1, 5)(2, 4)(2, 4)(3, 3)(3, 3)
    7 (1, 6)(2, 5)(2, 5)(3, 4)(3, 4)(4, 3)
    8 (2, 6)(2, 6)(3, 5)(3, 5)(4, 4)
    9 (1, 8)(3, 6)(3, 6)(4, 5)
    10 (2, 8)(2, 8)(4, 6)
    11 (3, 8)(3, 8)
    12 (4, 8)
    2 (1, 1)
    3 (1, 2)(2, 1)
    4 (1, 3)(2, 2)(3, 1)
    5 (1, 4)(2, 3)(3, 2)(4, 1)
    6 (1, 5)(2, 4)(3, 3)(4, 2)(5, 1)
    7 (1, 6)(2, 5)(3, 4)(4, 3)(5, 2)(6, 1)
    8 (2, 6)(3, 5)(4, 4)(5, 3)(6, 2)
    9 (3, 6)(4, 5)(5, 4)(6, 3)
    10 (4, 6)(5, 5)(6, 4)
    11 (5, 6)(6, 5)
    12 (6, 6)

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  15. Déterminer le meilleur dé.
    8 8 3 3
    3
    3
    6 6 6 6
    1
    1

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  16. Déterminer le meilleur dé.
    8 8 3 3
    3
    3
    > 6 6 6 6
    1
    1

    View full-size slide

  17. Déterminer le meilleur dé.
    6 6 6 6
    1
    1
    9 4 4 4
    4
    4

    View full-size slide

  18. Déterminer le meilleur dé.
    6 6 6 6
    1
    1
    >
    9 4 4 4
    4
    4

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  19. Déterminer le meilleur dé.
    9 4 4 4
    4
    4
    7 7 7 2
    2
    2

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  20. Déterminer le meilleur dé.
    9 4 4 4
    4
    4
    <
    7 7 7 2
    2
    2

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  21. Déterminer le meilleur dé.
    7 7 7 2
    2
    2
    5 5 5 5
    5
    0

    View full-size slide

  22. Déterminer le meilleur dé.
    7 7 7 2
    2
    2
    <
    5 5 5 5
    5
    0

    View full-size slide

  23. Déterminer le meilleur dé.
    8 8 3 3
    3
    3
    5 5 5 5
    5
    0

    View full-size slide

  24. Déterminer le meilleur dé.
    8 8 3 3
    3
    3
    5 5 5 5
    5
    0
    >

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  25. Déterminer le meilleur dé.
    8 8 3 3
    3
    3
    > 6 6 6 6
    1
    1
    >
    9 4 4 4
    4
    4
    <
    7 7 7 2
    2
    2
    <
    5 5 5 5
    5
    0
    >

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  26. Déterminer la meilleure paire de dés.
    8 8 3 3
    3
    3
    8 8 3 3
    3
    3
    6 6 6 6
    1
    1
    6 6 6 6
    1
    1

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  27. Déterminer la meilleure paire de dés.
    8 8 3 3
    3
    3
    8 8 3 3
    3
    3
    >
    >
    6 6 6 6
    1
    1
    6 6 6 6
    1
    1

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  28. Déterminer la meilleure paire de dés.
    8 8 3 3
    3
    3
    8 8 3 3
    3
    3
    + +
    6 6 6 6
    1
    1
    6 6 6 6
    1
    1

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  29. Déterminer la meilleure paire de dés.
    8 8 3 3
    3
    3
    8 8 3 3
    3
    3
    <
    6 6 6 6
    1
    1
    6 6 6 6
    1
    1

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  30. En résumé, on obtient les résultats suivants:

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  31. 3. Formule de Bayes

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  32. Grand Lotto de Philippine Charity Sweepstakes Office

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  33. Grand Lotto de Philippine Charity Sweepstakes Office
    0 vainqueur 0 vainqueur
    0 vainqueur 0 vainqueur
    433 vainqueurs

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  34. Le sénateur Aquilino ”Koko” Pimentel III a demandé une enquête officielle sur le tirage
    du 1er octobre 2022 de PCSO car il estimait que les chances que plus de 400
    personnes obtiennent les mêmes numéros gagnants étaient trop faibles pour que
    cette coïncidence soit le fruit du hasard.
    Pero ’yung 433 ang mananalo… supposed to be ang chances
    mo diyan, one in how many billions eh. Ibig sabihin, ganun
    dapat kahirap tamaan ‘yan. To say na 433 ang tumama, there
    is something suspicious

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  35. Let’s make a deal, émission de télévision créée en 1963 et présentée par Monty Hall

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  36. La probabilité de gain après changement de porte est 1
    2
    les deux portes restantes ont initialement autant de chances de cacher la voiture donc 1
    2
    chacune.

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  37. La probabilité de gain après changement de porte est 2
    3
    la probabilité que la voiture soit derrière la porte initialement choisie est 1
    3
    donc la
    probabilité qu’elle soit derrière les deux autres est 2
    3
    .
    Or, une des autres portes est ouverte donc la probabilité qu’elle soit derrière l’autre porte
    fermée est 2
    3
    .

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  38. La probabilité de gain après changement de porte est 1
    2
    les deux portes restantes ont initialement autant de chances de cacher la voiture donc 1
    2
    chacune.
    La probabilité de gain après changement de porte est 2
    3
    la probabilité que la voiture soit derrière la porte initialement choisie est 1
    3
    donc la
    probabilité qu’elle soit derrière les deux autres est 2
    3
    .
    Or, une des autres portes est ouverte donc la probabilité qu’elle soit derrière l’autre porte
    fermée est 2
    3
    .

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  39. Procès Alfred Dreyfus devant la cour de cassation, 1904-1906

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  40. Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré
    Si l’on met en évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori
    peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles
    ne peuvent être l’effet du hasard?

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  41. Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré
    Si l’on met en évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori
    peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles
    ne peuvent être l’effet du hasard?
    [...]
    Nous en avons assez dit pour faire comprendre la nécessité d’une base de
    raisonnement plus solide. C’est ce que les fondateurs du calcul des probabilités ont
    cherché pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer
    dans quelques détails techniques.

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  42. Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré
    Si l’on met en évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori
    peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles
    ne peuvent être l’effet du hasard?
    [...]
    Nous en avons assez dit pour faire comprendre la nécessité d’une base de
    raisonnement plus solide. C’est ce que les fondateurs du calcul des probabilités ont
    cherché pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer
    dans quelques détails techniques. Ils ont distingué la probabilité des causes et la
    probabilité des effets.

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  43. Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré
    Pour pouvoir calculer, d’après un événement constaté, la probabilité d’une cause, il
    nous faut plusieurs données:
    1. Il faut savoir quelle était a priori, avant l’événement, la probabilité de cette cause.
    2. Il faut savoir ensuite quelle serait, pour chacune des causes possibles, la
    probabilité de l’événement constaté.

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  44. Un peu de théorie

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  45. P(C1
    |E) =
    P(E|C1
    )P(C1
    )
    P(E|C1
    )P(C1
    ) + P(E|C2
    )P(C2
    )

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  46. P(C1
    |E) =
    P(E|C1
    )P(C1
    )
    P(E|C1
    )P(C1
    ) + P(E|C2
    )P(C2
    )
    • P(C1
    ): probabilité de la cause numéro 1

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  47. P(C1
    |E) =
    P(E|C1
    )P(C1
    )
    P(E|C1
    )P(C1
    ) + P(E|C2
    )P(C2
    )
    • P(C1
    ): probabilité de la cause numéro 1
    • P(C2
    ): probabilité de la cause numéro 2

    View full-size slide

  48. P(C1
    |E) =
    P(E|C1
    )P(C1
    )
    P(E|C1
    )P(C1
    ) + P(E|C2
    )P(C2
    )
    • P(C1
    ): probabilité de la cause numéro 1
    • P(C2
    ): probabilité de la cause numéro 2
    • P(E|C1
    ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1

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  49. P(C1
    |E) =
    P(E|C1
    )P(C1
    )
    P(E|C1
    )P(C1
    ) + P(E|C2
    )P(C2
    )
    • P(C1
    ): probabilité de la cause numéro 1
    • P(C2
    ): probabilité de la cause numéro 2
    • P(E|C1
    ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1
    • P(E|C2
    ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 2

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  50. P(C1
    |E) =
    P(E|C1
    )P(C1
    )
    P(E|C1
    )P(C1
    ) + P(E|C2
    )P(C2
    )
    • P(C1
    ): probabilité de la cause numéro 1
    • P(C2
    ): probabilité de la cause numéro 2
    • P(E|C1
    ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1
    • P(E|C2
    ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 2
    • P(C1
    |E): probabilité de la cause numéro 1 sachant l’effet

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  51. Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré
    Pour pouvoir calculer, d’après un événement constaté, la probabilité d’une cause
    P(C1
    |E), il nous faut plusieurs données:
    1. Il faut savoir qu’elle était a priori, avant l’événement, la probabilité de cette cause.
    P(C1
    ) et P(C2
    )
    2. Il faut savoir ensuite quelle serait, pour chacune des causes possibles, la
    probabilité de l’événement constaté. P(E|C1
    ) et P(E|C2
    )
    P(C1
    |E) =
    P(E|C1
    )P(C1
    )
    P(E|C1
    )P(C1
    ) + P(E|C2
    )P(C2
    )

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  52. Je viens de faire un test médical et je reçois un résultat positif; suis-je malade?

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  53. Je viens de faire un test médical et je reçois un résultat positif; suis-je malade?
    • Cause C1: je suis malade
    • Cause C2: je ne suis pas malade
    • Effet E: le test est positif

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  54. Je viens de faire un test médical et je reçois un résultat positif; suis-je malade?
    • Cause C1: je suis malade
    • Cause C2: je ne suis pas malade
    • Effet E: le test est positif
    • P(C1
    ): probabilité d’être malade
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain
    • P(C1
    |E): probabilité d’être malade sachant que le test est positif

    View full-size slide

  55. • P(C1
    ): probabilité d’être malade
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

    View full-size slide

  56. • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

    View full-size slide

  57. • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

    View full-size slide

  58. • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

    View full-size slide

  59. • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002

    View full-size slide

  60. • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002
    La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est
    P(C1
    |E) =
    0, 99 × 0, 001
    0, 99 × 0, 001 + 0, 002 × 0, 999

    View full-size slide

  61. • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002
    La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est
    P(C1
    |E) =
    0, 99 × 0, 001
    0, 99 × 0, 001 + 0, 002 × 0, 999
    ≃ 0, 331

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  62. Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat
    positif; suis-je malade?

    View full-size slide

  63. Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat
    positif; suis-je malade?
    • P(C1
    ): probabilité d’être malade
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002

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  64. Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat
    positif; suis-je malade?
    • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!!
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!!
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002

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  65. Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat
    positif; suis-je malade?
    • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!!
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!!
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002
    La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est
    P(C1
    |E) =
    0, 99 × 0, 331
    0, 99 × 0, 331 + 0, 002 × 0, 669

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  66. Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat
    positif; suis-je malade?
    • P(C1
    ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!!
    • P(C2
    ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!!
    • P(E|C1
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99
    • P(E|C2
    ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002
    La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est
    P(C1
    |E) =
    0, 99 × 0, 331
    0, 99 × 0, 331 + 0, 002 × 0, 669
    ≃ 0, 987

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  67. De la pratique
    Faisons une expérience aléatoire: jouons à Pile ou Face!

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  68. De la pratique
    Faisons une expérience aléatoire: jouons à Pile ou Face!

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  69. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient Face en un lancer
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?

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  70. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient Face en un lancer
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?
    P(C1
    ) =
    1
    2
    , P(C2
    ) =
    1
    2
    , P(E|C1
    ) = 0, P(E|C2
    ) =
    1
    2
    .

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  71. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient Face en un lancer
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?
    P(C1
    ) =
    1
    2
    , P(C2
    ) =
    1
    2
    , P(E|C1
    ) = 0, P(E|C2
    ) =
    1
    2
    .
    La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est
    P(C1
    |E) =
    0 × 1
    2
    0 × 1
    2
    + 1
    2
    × 1
    2
    = 0.

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  72. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient Pile en un lancer
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?

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  73. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient Pile en un lancer
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?
    P(C1
    ) =
    1
    2
    , P(C2
    ) =
    1
    2
    , P(E|C1
    ) = 1, P(E|C2
    ) =
    1
    2
    .

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  74. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient Pile en un lancer
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?
    P(C1
    ) =
    1
    2
    , P(C2
    ) =
    1
    2
    , P(E|C1
    ) = 1, P(E|C2
    ) =
    1
    2
    .
    La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est
    P(C1
    |E) =
    1 × 1
    2
    1 × 1
    2
    + 1
    2
    × 1
    2
    =
    2
    3
    ≃ 0, 67.

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  75. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient sept (7) Piles en sept lancers de suite
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?

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  76. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient sept (7) Piles en sept lancers de suite
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?
    P(C1
    ) =
    1
    2
    , P(C2
    ) =
    1
    2
    , P(E|C1
    ) = 1, P(E|C2
    ) =
    1
    27
    .

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  77. • Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile
    • Cause C2: la pièce est ordinaire
    • Effet E: on obtient sept (7) Piles en sept lancers de suite
    Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce
    truquée?
    P(C1
    ) =
    1
    2
    , P(C2
    ) =
    1
    2
    , P(E|C1
    ) = 1, P(E|C2
    ) =
    1
    27
    .
    La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est
    P(C1
    |E) =
    1 × 1
    2
    1 × 1
    2
    + 1
    27
    × 1
    2
    =
    128
    129
    ≃ 0, 992.

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  78. Nombre de Piles 1 2 3 4 5 6 7 · · ·
    P(C1
    |E) 0,67 0,80 0,89 0,94 0,97 0,98 0,99 · · ·

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  79. L’affaire Sally Clark

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  80. L’affaire Sally Clark
    Christopher (22/09/96-13/12/96), Harry (29/11/97-26/01/98)

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  81. Au procès à Chester Crown Court en novembre 1999, le pédiatre Roy Meadows
    annonce que la probabilité de deux morts naturelles de nourrisson au sein d’un
    même foyer vaut 1
    73000000
    .

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  82. Au procès à Chester Crown Court en novembre 1999, le pédiatre Roy Meadows
    annonce que la probabilité de deux morts naturelles de nourrisson au sein d’un
    même foyer vaut 1
    73000000
    .
    Cette probabilité est tellement faible qu’elle incite intuitivement à rejeter l’hypothèse
    d’une mère innocente (sophisme du procureur).

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  83. Communiqué de la Royal Statistical Society, 23 Octobre 2001
    In the recent highly-publicised case of R v. Sally Clark, a medical expert witness drew on
    published studies to obtain a figure for the frequency of sudden infant death syndrome
    (SIDS, or ”cot death”) in families having some of the characteristics of the defendant’s
    family. He went on to square this figure to obtain a value of 1 in 73 million for the
    frequency of two cases of SIDS in such a family.
    This approach is, in general, statistically invalid. It would only be valid if SIDS cases arose
    independently within families, an assumption that would need to be justified empirically.
    Not only was no such empirical justification provided in the case, but there are very
    strong a priori reasons for supposing that the assumption will be false. There may well
    be unknown genetic or environmental factors that predispose families to SIDS, so that a
    second case within the family becomes much more likely.
    The well-publicised figure of 1 in 73 million thus has no statistical basis.

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  84. Examinons la question de la culpabilité avec la formule de Bayes.
    • Cause C1: Sally Clarke est meurtrière
    • Cause C2: Sally Clarke est innocente
    • Effet E: les deux enfants meurent en bas âge

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  85. Examinons la question de la culpabilité avec la formule de Bayes.
    • Cause C1: Sally Clarke est meurtrière
    • Cause C2: Sally Clarke est innocente
    • Effet E: les deux enfants meurent en bas âge
    Pour appliquer la formule de Bayes afin de calculer P(C1
    |E), il faut connaître
    P(C1
    ), P(C2
    ), P(E|C1
    ), P(E|C2
    )

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  86. Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1789
    Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable
    Code de procédure pénale
    Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée
    innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie.

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  87. Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1789
    Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable
    Code de procédure pénale
    Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée
    innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie.
    P(C1
    ) =
    1
    2000000000
    ,
    Estimation par Pr. Alicia L. Carriquiry, directrice du centre de statistiques et
    d’applications en matière de preuves médico-légales, Iowa State University

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  88. Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1789
    Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable
    Code de procédure pénale
    Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée
    innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie.
    P(C1
    ) =
    1
    2000000000
    , P(C2
    ) = 1 −
    1
    2000000000
    Estimation par Pr. Alicia L. Carriquiry, directrice du centre de statistiques et
    d’applications en matière de preuves médico-légales, Iowa State University

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  89. Par définition, P(E|C1
    ) = 1.

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  90. Par définition, P(E|C1
    ) = 1.
    D’après Roy Meadows, P(E|C2
    ) = 1
    73000000
    .

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  91. Par définition, P(E|C1
    ) = 1.
    D’après Roy Meadows, P(E|C2
    ) = 1
    73000000
    .
    P(C1
    |E) =
    1 × 1
    2000000000
    1 × 1
    2000000000
    + 1
    73000000
    × 1999999999
    2000000000

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  92. Par définition, P(E|C1
    ) = 1.
    D’après Roy Meadows, P(E|C2
    ) = 1
    73000000
    .
    P(C1
    |E) =
    1 × 1
    2000000000
    1 × 1
    2000000000
    + 1
    73000000
    × 1999999999
    2000000000
    ≃ 0, 035

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  93. Sally Clark a été innocentée (après trois
    ans en prison) lors de la deuxième procé-
    dure d’appel en 2003.

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  94. Sally Clark a été innocentée (après trois
    ans en prison) lors de la deuxième procé-
    dure d’appel en 2003.
    Elle ne s’est jamais remise, a sombré
    dans l’alcoolisme et est morte en 2007.

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  95. Sally Clark a été innocentée (après trois
    ans en prison) lors de la deuxième procé-
    dure d’appel en 2003.
    Elle ne s’est jamais remise, a sombré
    dans l’alcoolisme et est morte en 2007.
    À la suite de cette affaire, le procureur
    général a ordonné la révision de cen-
    taines d’autres cas: deux autres femmes,
    Angela Cannings et Donna Anthony, ont
    vu leur condamnation annulée.

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  96. Conclusion
    • Il est difficile d’appréhender correctement les probabilités même avec du bon
    sens... et notamment les probabilités ”conditionnelles.”

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  97. Conclusion
    • Il est difficile d’appréhender correctement les probabilités même avec du bon
    sens... et notamment les probabilités ”conditionnelles.”
    • La formule de Bayes permet dans une certaine modélisation de calculer des
    probabilités de causes sachant un effet observé.

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  98. Conclusion
    • Il est difficile d’appréhender correctement les probabilités même avec du bon
    sens... et notamment les probabilités ”conditionnelles.”
    • La formule de Bayes permet dans une certaine modélisation de calculer des
    probabilités de causes sachant un effet observé.
    • Pour l’appliquer il faut estimer les probabilités a priori (sans tenir compte de l’effet)
    et les probabilités que chaque cause entraîne l’effet.

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