平日夜の数学勉強会 2回目 #miyazaki_math

Transcript

1. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2ճ໨ ܂ാӳࢿ (@mather314) 2017/10/24 ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 1 / 15

2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ લճͷ͓͞Β͍ ػցֶश͸ந৅తʹ͸ʮ൑ఆؔ਺Λ઴ۙతʹվળ͢Δॲཧʯ ʮ൑ఆΛ͢Δॲཧʯͱʮվળ͍ͯ͠Δ͔ධՁ͢Δؔ਺ʯ͕ॏཁ σʔλͷදݱ͸ϕΫτϧɺධՁͷϞσϧʹ౷ܭɾ֬཰ ϕΫτϧͱ࿨ɾεΧϥʔഒͷԋࢉɺࣸ૾ʢؔ਺ʣͷఆٛ ߦྻͷఆٛɺ࿨ɾੵͷԋࢉ ϕΫτϧͷઢܗࣸ૾ͱߦྻͱϕΫτϧͷੵͷؔ܎ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 2 / 15

3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ લճͷ͓͞Β͍ - ϕΫτϧ K : ମʢfield, ࿨ɾੵɾ঎ͷఆٛ͞Εͨू߹ʣ ɺ V : K ͷϕΫτϧۭؒ(vector space) ϕΫτϧ(vector) v =   v1 . . . vn   , w =   w1 . . . wn   ∈ V ϕΫτϧͷ࿨ v + w =   v1 + w1 . . . vn + wn   ∈ V εΧϥʔഒ k ∈ K, kv =   kv1 . . . kvn   ∈ V ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 3 / 15

4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ લճͷ͓͞Β͍ - ࣸ૾ ू߹ A, B ͷࣸ૾(mapping, function, ؔ਺) f : A → B ࣸ૾ ೚ҙͷ a ∈ A ʹରͯ͠ f(a) ∈ B ͸Ұͭʹఆ·Δ ઢܗࣸ૾(linear mapping) f : V → V ઢܗࣸ૾ ೚ҙͷ a, b ∈ K, v, w ∈ V ʹ͍ͭͯɺ f(av + bw) = af(v) + bf(w) ͕੒Γཱͭ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 4 / 15

5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ લճͷ͓͞Β͍ - ߦྻ ཁૉ K ͷ m × n-ߦྻͷू߹ Mmn A =   a11 . . . a1n . . . ... . . . am1 . . . amn   ∈ Mmn , B =   b11 . . . b1k . . . ... . . . bn1 . . . bnk   ∈ Mnk ߦྻͷੵ AB =   a11 b11 + · · · + a1n bn1 . . . a11 b1k + · · · + a1n bnk . . . ... . . . am1 b11 + · · · + amn bn1 . . . am1 b1k + · · · + amn bnk   ∈ Mmk ߦྻͱϕΫτϧͷੵ Av =   a11 vn + · · · + a1n vn . . . am1 v1 + · · · + amn vn   Ұൠʹ AB ̸= BA ͱͳΔ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 5 / 15

6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ લճͷ൓ল ৭ʑඈ͹͗͢͠·ͨ͠ʜ ࠓճ͸਺ֶͷجૅʹগ͠໭ͬͯߟ͑·͢ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 6 / 15

7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ू߹ ू߹ͱ͸ʮཁૉʯͷू·ΓͰɺ֤ཁૉΛ౳͍͔͠౳͘͠ͳ͍͔Ͱ൑ఆՄೳͳ΋ͷɻ {1, 2, 3, . . . }, ∅(ۭू߹), Z(੔਺) ॏෳ͢Δ΋ͷ͸ҰͭͷཁૉͱΈͳ͞ΕΔͷͰɺྫ͑͹ {1, 2, 2, 4} = {1, 2, 4} ಺แతه๏ ཁૉΛྻڍ͢Δ֎Ԇతه๏ʹରͯ͠ɺཁૉͷ৚݅Λॻ͖ू߹Λఆٛ͢Δه๏Λ಺แతه ๏ͱ͍͏ {2n | n ∈ Z}(ۮ਺શମ) ਺ֶͰʮू߹ʯͱݴ͏ͱ͖ɺಛఆͷ৚݅Λຬͨ͢΋ͷ΍ू߹ͷཁૉશମ͕๏ଇੑΛ࣋ͭ ΋ͷΛߟ͑Δ͜ͱ͕ଟ͍ ू߹ͷ౳Ձੑ ̎ͭͷू߹ A, B ʹ͍ͭͯશͯͷཁૉ͕Ұக͢Δͱ͖ɺ A = B ͱॻ͖ू߹͕౳͍͠ͱ ͍͏ A ͷཁૉ͕શͯ B ʹؚ·ΕΔͱ͖ɺ A ⊂ B ͱॻ͖ʮA ͸ B ʹؚ·ΕΔɺ·ͨ͸෦෼ ू߹Ͱ͋Δʯͱ͍͏ A ⊂ B ͔ͭ B ⊂ A ͳΒ͹ɺ A = B Ͱ͋Δ(ূ໌ུ) ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 7 / 15

8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ͍Ζ͍Ζͳू߹ A ∩ B : A ͱ B ͷڞ௨෦෼ɺͲͪΒʹ΋ؚ·ΕΔཁૉͷू߹ A ∪ B : A ͱ B ͷ࿨ू߹ɺͲͪΒ͔ʹؚ·ΕΔཁૉͷू߹ ¯ A, Ac : Aͷิू߹ɺීวू߹಺ͷ A ʹؚ·Εͳ͍ཁૉͷू߹, complement P(A), 2A : A ͷ΂͖ू߹ɺA ͷ෦෼ू߹ͷશମ( {B | B ⊂ A} ) ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 8 / 15

9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

   ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ԋࢉͷ͋Δू߹ ू߹ͷԋࢉͱ͸ɺू߹ͷز͔ͭͷཁૉͷ૊Έ߹ΘͤͰ৽͍͠ཁૉΛ࡞Δࣸ૾ͷ͜ͱ ࿨( + )΍ੵ( · )͸ೋ߲ԋࢉ(2ͭͷཁૉͷ૊Έ߹ΘͤʹΑΔԋࢉ) ੔਺ʹ΋༗ཧ਺ʹ΋࣮਺ʹ΋ɺՃ͑ͯϕΫτϧ΍ߦྻʹ΋ԋࢉ͕͋Δ͕ɺͦΕΒͷ ڞ௨఺΍๏ଇ͸Կ͔ʁ ਺ֶͰ͸͜ͷΑ͏ʹந৅Խͨ֓͠೦Λߟ͑Δ ٯʹந৅֓೦Λ۩ମతͳ֓೦ʹམͱ͠ࠐΉ͜ͱ΋͋Δʢԋ៷ͱ͔Ξφϩδʔʣ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 9 / 15

10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

    ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ܈ ܈ͷఆٛ ͋Δू߹ G ͕܈(group)Ͱ͋Δͱ͸ɺԋࢉ( · )͕ఆٛ͞Ε͓ͯΓɺҎԼͷ৚݅Λຬͨ͠ ͍ͯΔ͜ͱΛࢦ͢(ҎԼ a · b Λ ab ͱলུ͢Δ) ∀x, y ∈ G, xy ∈ G (ੵʹؔͯ͠ด͍ͯ͡Δ) ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, ex = xe = x (୯Ґݩͷଘࡏ) ∀x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz) (݁߹๏ଇ) ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G, xx−1 = x−1x = e (ٯݩͷଘࡏ) ͜͜Ͱʮԋࢉʯ͸Ұൠతͳੵͱ͸ҟͳΓ·͢ɻྫ͑͹ɺ੔਺͸ʮ࿨(+)ʯʹؔͯ͠܈ͱ ͍͑·͕͢ɺੵʹؔͯ͠͸܈Ͱ͸͋Γ·ͤΜɻ ՝୊ ੔਺͕࿨ͷԋࢉʹ͍ͭͯ୯ҐݩͱٯݩΛఆٛ͠ɺ܈ʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱΛ֬ೝͤΑ ՝୊ ܈ G ʹରͯ͠ɺ୯Ґݩ e ͸ͨͩҰͭͰ͋Δ͜ͱΛূ໌ͤΑ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 10 / 15

11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

    ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ؀ ؀ͷఆٛ ू߹ R ͕؀(ring)Ͱ͋Δͱ͸ɺ࿨ͱੵͷू߹͕ఆٛ͞Ε͓ͯΓҎԼͷ৚͕݅੒Γཱͭ࣌ ʹ͍͏ ∀x, y ∈ R, xy ∈ R, x + y ∈ R (ԋࢉʹؔͯ͠ด͍ͯ͡Δ) ∃0R ∈ R, ∀x ∈ R, 0R + x = x + 0R = x (࿨ͷ୯Ґݩͷଘࡏ) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x (࿨ͷަ׵๏ଇ) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z) (࿨ͷ݁߹๏ଇ) ∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R, x + (−x) = (−x) + x = 0R (࿨ͷٯݩͷଘࡏ) ∃1R ∈ R, ∀x ∈ R, 1R x = x1R = x (ੵͷ୯Ґݩͷଘࡏ) ∀x, y, z ∈ R, (xy)z = x(yz) (ੵͷ݁߹๏ଇ) ∀x, y, z ∈ R, (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz (෼഑๏ଇ) ੔਺( Z )͸ͦͷ࿨ͱੵͷԋࢉʹؔͯ͠؀Ͱ͋Δ ՝୊ ؀ R ʹ͍ͭͯɺ ∀x ∈ R, x0R = 0R x = 0R Λࣔͤ(ิ୊: (−1R )x = −x Λࣔͤ) ·ͨɺ(−1R )(−1R ) = 1R Λࣔͤ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 11 / 15

12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

    ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ମ ମͷఆٛ ू߹ K ͕ମ(fielda)Ͱ͋Δͱ͸ɺू߹ K ͕؀Ͱ͋Γɺ͔ͭੵʹؔͯ͠ҎԼͷ৚݅Λຬͨ ͢ͱ͖ʹ͍͏ ∀x ∈ K\{0}, ∃x−1 ∈ K, xx−1 = x−1x = 1K (ੵͷٯݩͷଘࡏ) aυΠπޠͷ K¨ orper ͔Β ମ͸͍ΘΏΔׂΓࢉ͕Մೳͳू߹ͷੑ࣭Ͱ͋Δ ੔਺͸ମͰ͸ͳ͍͕ɺ༗ཧ਺ͷू߹( Q )͸ମͱͳ͍ͬͯΔɻ Q def = { a b a ∈ Z, b ∈ Z\{0} } ࣮਺( R )΋ମͰ͋Δ ՝୊ ෳૉ਺( C )͸ମ͔ʁ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 12 / 15

13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

    ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ࣸ૾ ࣸ૾ f : A → B ͕ࣸ૾Ͱ͋Δͱ͸ɺҎԼͷ৚݅Λຬͨ͢ͱ͖ʹݴ͏ ೚ҙͷ a ∈ A ʹରͯ͠ɺ f(a) ∈ B ͕ඞͣଘࡏ͢Δ a ∈ A ʹରͯ͠ f(a) ∈ B ͸ͨͩͻͱͭʹఆ·Δ f(a) Λ a ͷ૾ͱ͍͏ɻશͯͷ a ∈ A ʹରͯ͠૾͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛڧௐͯ͠શҬࣸ૾ͱ ͍͏͜ͱ΋͋ΔɻҰൠʹ͸ࣸ૾ͱ͍͏ͱ͖͸શҬࣸ૾Λࢦ͢ɻ ٯʹɺ A ͷ෦෼ू߹ͷΈʹ͔͠ f(a) ͕ଘࡏ͠ͳ͍ʢఆٛ͞Ε͍ͯͳ͍ʣࣸ૾Λ෦෼ࣸ ૾ͱ͍͏ɻ ٯࣸ૾ ࣸ૾ f : A → B ʹର͠ɺ ࣸ૾ g : B → A ͕ଘࡏͯ͠ ∀a ∈ A, g(f(a)) = a ͱͳΔͱ͖ɺ g Λ f ͷٯࣸ૾ͱ͍͍ɺ f−1 ͱॻ͘ɻ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 13 / 15

14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

    ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ౷ܭ ౷ܭͷ໨త͸͍͔ͭ͘ͷ؍ଌσʔλ΍αϯϓϧ͔Β࣮ࡍʹσʔλશମ͸Ͳ͏ͳ͍ͬͯΔ ͷ͔ɺͲͷΑ͏ͳߏ଄͕σʔλͷதʹ͋Δͷ͔Λਪఆ͢Δ͜ͱʹ͋Δ ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 14 / 15

15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

    ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ֬཰ม਺ X : P(Ω) → R ͕֬཰ม਺Ͱ͋Δͱ͸ ∀E ⊂ Ω, X(E) ܂ാӳࢿ (@mather314) ฏ೔໷ͷ਺ֶษڧձ 2 ճ໨ 2017/10/24 15 / 15