コンピュータによる数の表現

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1. by Naoki Kato
   ©Naoki Kato
   ©Naoki Kato
   数の表現
   Computer
   Science, Engineering and Literacy
   

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2. by Naoki Kato
   © Naoki Kato
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   情報とは
   意味 を持つものを広くさす概念
   情報
   

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3. by Naoki Kato
   © Naoki Kato
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   無形である情報を
   記録するには，伝えるには，…
   表現しなければならない
   表現の方法（表現メディア）
   身体表現：発声，身振り，言葉，…
   記号表現：文字，数字，記号，数式，表，…
   パタン表現：絵，図，映像，音楽，…
   情報
   

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4. by Naoki Kato
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   © Naoki Kato
   情報の記録と伝達
   身体表現は 直接伝えることも可
   記号・パタン表現は たとえば紙上に
   様々な伝達メディアやマスメディアも利用可能
   情報
   

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5. by Naoki Kato
   © Naoki Kato
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   コンピュータで扱えるのは二つの状態
   一般的なコンピュータは電気的なスイッチの集合
   入力は，電気が流れているか，流れていないか
   出力も，電気が流れているか，流れていないか
   電圧がかかっているか（H），かかっていないか（L)
   コンピュータにおける情報の表現
   電流を流す
   電流を流さない
   

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6. by Naoki Kato
   © Naoki Kato
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   コンピュータで扱えるのは二つの状態
   どんなスイッチ回路も扱える状態は二つの状態
   コンピュータにおける情報の表現
   X
   Y
   S
   C
   HかLか
   HかLか HかLか
   HかLか
   D
   LD
   CK
   D
   LD
   CK
   D0
   D1
   CK
   LD
   HかLか
   HかLか
   

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7. by Naoki Kato
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   コンピュータで扱えるのは二つの状態
   この二つの状態を 0 と 1 で表現
   ビット(bit：binary digit)
   コンピュータにおける情報の表現
   

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8. by Naoki Kato
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   より多彩な状態は 0 と 1 の組合せで表現
   二つのビットを組み合わせると 4 種類の状態
   00, 01, 10, 11
   三つのビットを組み合わせると 8 種類の状態
   000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
   N 個のビットを組み合わせると
   2N 種類の状態が表現可能
   コンピュータにおける情報の表現
   ビット列
   

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9. by Naoki Kato
   © Naoki Kato
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   コンピュータのマルチメディア化
   情報をビット列で表現すると
   コンピュータに入力（記憶）することができる
   なんらかの処理をすることができる
   コンピュータにおける情報の表現
   ⽂字や絵図 映像
   ⾳楽
   

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10. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
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    情報の表記
    ビット列 01010001 だと長たらしい
    ビット列 01010001 を二進記数法による数とみなし
    十六進記数法 51h を用いて表現することが多い
    コンピュータにおける情報の表現
    

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11. by Naoki Kato
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    © Naoki Kato
    2進記数法と10進記数法と16進記数法数
    （参考）基数変換
    00000000 0 0h
    00000001 1 1h
    00000010 2 2h
    00000011 3 3h
    ： ： ：
    00001010 10 0ah
    ： ： ：
    00001111 15 0fh
    00010000 16 10h
    ： ： ：
    

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12. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    コンピュータから情報を出し入れする
    コンピュータに情報を入れるには，
    情報をビット列（二進記数法の数）に変換する
    符号化
    コンピュータから情報を出すには，
    ビット列（二進記数法の数）を情報に戻す
    複合化
    コンピュータにおける情報の表現
    

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13. by Naoki Kato
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    © Naoki Kato
    符号化と複合化
    コンピュータにおける情報の表現
    東
    西
    南
    北
    00
    01
    10
    11
    東
    西
    南
    北
    符
    号
    化
    複
    合
    化
    

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14. by Naoki Kato
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    © Naoki Kato
    数をビット列で表現する
    基本は，単純に，数を二進記数法で表す
    数の表現
    0010101010001010（2）
    2A8A（16）
    

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15. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    自然数と0の符号化
    そのまま二進表記法を利用
    ０ ００００００００ １０ ００００１０１０
    １ ０００００００１ １１ ００００１０１１
    ２ ００００００１０ １２ ００００１１００
    ３ ００００００１１ １３ ００００１１０１
    ４ ０００００１００ １４ ００００１１１０
    ５ ０００００１０１ １５ ００００１１１１
    ６ ０００００１１０ １６ ０００１００００
    ７ ０００００１１１ １７ ０００１０００１
    ８ ００００１０００ １８ ０００１００１０
    ９ ００００１００１ ：
    （8ビット長の場合）
    数の表現
    

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16. by Naoki Kato
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    © Naoki Kato
    整数の符号化
    負の整数をどうするかがポイント
    符号-仮数部
    最上位ビットを符号とする
    ＋７ ０１１１ －７ １１１１
    ＋６ ０１１０ －６ １１１０
    ＋５ ０１０１ －５ １１０１
    ＋４ ０１００ －４ １１００
    ＋３ ００１１ －３ １０１１
    ＋２ ００１０ －２ １０１０
    ＋１ ０００１ －１ １００１
    ＋０ ００００ （－０ １０００）
    （※４ビットの場合）
    整数の表現
    

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17. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
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    １の補数
    負の整数は，全ビットを反転させる
    （11・・11から引く）
    ＋７ ０１１１ －７ １０００
    ＋６ ０１１０ －６ １００１
    ＋５ ０１０１ －５ １０１０
    ＋４ ０１００ －４ １０１１
    ＋３ ００１１ －３ １１００
    ＋２ ００１０ －２ １１０１
    ＋１ ０００１ －１ １１１０
    ＋０ ００００ （－０ １１１１）
    （４ビットの場合）
    整数の表現
    

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18. by Naoki Kato
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    ２の補数
    負の整数は，1 桁多い 2 のべき乗の値から引く
    －８ １０００（ ８と同じ）
    ＋７ ０１１１ －７ １００１（ ９と同じ）
    ＋６ ０１１０ －６ １０１０（１０と同じ）
    ＋５ ０１０１ －５ １０１１（１１と同じ）
    ＋４ ０１００ －４ １１００（１２と同じ）
    ＋３ ００１１ －３ １１０１（１３と同じ）
    ＋２ ００１０ －２ １１１０（１４と同じ）
    ＋１ ０００１ －１ １１１１（１５と同じ）
    ＋０ ００００
    （４ビットの場合）
    整数の表現
    

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19. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
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    なぜ２の補数？
    正負の加減算が全て二進数の加算で表現可能
    ＋３（００１１） ＋１（０００１）
    ＋）＋１（０００１） ＋）－１（１１１１）
    ０１００ ＋４ １００００ ０
    ＋１（０００１） －１（１１１１）
    ＋）－２（１１１０） ＋）－２（１１１０）
    １１１１ －１ １１１０１ －３
    整数の表現
    

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20. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
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    十進記数法と二進記数法の意味
    十進記数法
    １ ０ ９
    二進記数法
    １ ０ １ ＝ 5(10)
    実数の表現
    102=百が⼀個
    101=⼗は無し
    100=⼀が九個
    22=四が⼀個
    21=⼆は無し
    20=⼀が⼀個
    

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21. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    十進記数法と二進記数法の意味
    十進記数法
    ０．１ ０ ９
    二進記数法
    ０．１ ０ １ ＝ 0.5(10)
    ＋0.125(10)
    ＝0.625(10)
    実数の表現
    10-1=⼗分の⼀が⼀個
    10-2=百分の⼀は無し
    10-3=千分の⼀が九個
    2-1=⼆分の⼀が⼀個
    2-2=四分の⼀は無し
    2-3=⼋分の⼀が⼀個
    

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22. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    固定小数点
    b1
    b0
    ．b-1
    b-2
    ＝ b1
    ×21+b0
    ×20+b-1
    ×2-1+b-2
    ×2-2
    (4 ビット，小数点部 2 ビットの場合）
    ００００ ＝ ０
    ０００１ ＝ ０．２５ １１１１ ＝ ー０．２５
    ００１０ ＝ ０．５ １１１０ ＝ ー０．５
    ００１１ ＝ ０．７５ １１０１ ＝ ー０．７５
    ０１００ ＝ １ １１００ ＝ ー１
    ０１０１ ＝ １．２５ １０１１ ＝ ー１．２５
    ０１１０ ＝ １．５ １０１０ ＝ ー１．５
    ０１１１ ＝ １．７５ １００１ ＝ ー１．７５
    実数の表現
    負は2の補数
    

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23. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    固定小数点で表現できる実数
    小数点部 2 ビットの場合，
    表現できるのは 2-2（1/4=0.25）単位
    小数点部３ビットの場合は，2-3（1/8=0.125）単位
    小数点部４ビットの場合は，2-4（1/16=0.0625）
    ：
    1/3 は 1/2n での和ではあらわせない
    1/3 = 1/4+1/16+・・・
    1/3 を 2 進数で表記すると循環小数
    ０．０１０１０１０１・・・
    実数の表現
    

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24. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    固定小数点で表現できる実数
    １／３ ＝ ０．０１０１０１０１・・・
    ＝ ０．０１０１
    1/3 + 1/3 + 1/3 ＝？
    ０．０１０１
    ０．０１０１
    ＋）０．０１０１
    ０．１１１１＝０．９３７５
    実数の表現
    &
    丸め誤差
    

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25. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    コンピュータによる計算時の問題
    ∞
    Σ２-n を計算したい
    n=1
    無限回数繰り返すことはできないので N 回で打ち切り
    ∞
    Σ２-n 分の誤差が発生
    n=N+1
    （参考）実数の表現
    打ち切り誤差
    

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26. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    固定小数点で表現できる実数
    4ビットの場合，すべてを整数部に使ったとしても
    23-1 (7) ～ 1 , 0 , -1 ～ (-8) -23
    8ビットの場合，127～-128
    32ビットでも，231-1～1,0,-1～-231の範囲
    小数部を使うと，さらに範囲は狭まる
    より表現範囲を広げたい
    浮動小数点
    実数の表現
    

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27. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    浮動小数点
    符号部，指数部，仮数部で表現
    実数の絶対値 ＝ 仮数部×基数指数部
    ０１0１１１０ ＝ ＋０．１１０×２101
    ＝ ＋０．７５×２2
    ＝ ＋３．０
    （符号部１ビット＋指数部３ビット＋仮数部３ビット）
    実数の表現
    

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28. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    浮動小数点
    10進記数法で考えてみます．．．
    7桁使えるとき
    固定小数点だと +999999～-9999999
    浮動小数点（仮数部3桁，指数部3桁）だと
    +999×10500～ +001×10-499
    0
    -001×10-499 ～ -999×10500
    実数の表現
    999〜0
    を
    500〜-499
    に
    

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29. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    浮動小数点の特徴 （◯.◯×10◯）
    実数の表現
    0.0 1.0×100
    0.1×101 1.0×101
    0.1×102
    (10.0×100)
    1.0×102 ◯.◯×102で表現できる数
    ◯.◯×101で表現できる数
    ◯.◯×100で表現できる数
    (10.0×101)
    (10.0×102)
    

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30. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    浮動小数点による計算時の問題
    近い値同士の減算をすると．．．
    1.11111×210 有効桁数6桁
    ー）1.11101×210 有効桁数6桁
    0.00010×210
    ＝1.0×26 有効桁数2桁
    実数の表現
    桁落ち
    

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31. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    浮動小数点による計算時の問題
    二次方程式の解の公式
    で 4ac が限りなく0に近いと
    小さい解を求めるとき
    （限りなくbに近い数値 ‒ b）の計算が発生
    桁落ちが発生し，解が不正確に！
    ※小さい解βは，
    1/大きい解αを求めてから で求める
    実数の表現
    x =
    −b± b2 − 4ac
    2a
    1
    α
    c
    a
    

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32. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    浮動小数点による計算時の問題
    絶対値が大きく異なる値の加減算を行うと
    64(10)
    ＋0.125(10)
    を有効桁数6桁の2進数で計算すると
    1.00000×26
    ＋）1.00000×20
    1.00000×26
    ＋）0.000001×26
    1.00000×26
    実数の表現
    情報落ち
    

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33. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    実数の符号化
    浮動小数点
    桁落ち，情報落ち
    丸め誤差と打ち切り誤差もある
    固定小数点に比べ，
    扱える絶対値の範囲は増えるが，精度は落ちる
    計算処理も複雑＝速度も遅い
    利用する数値の範囲が限られ，
    精度が求められる計算には固定小数点が使われる
    実数の表現
    

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34. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    実数の誤差を体験してみよう！
    実数の表現
    0.1 0.1
    =IF(A1=B1,"○","×")
    

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35. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    実数の誤差を体験してみよう！
    実数の表現
    0.1 0.1
    =5.7-5.6
    =400.2-400
    =1305-1352
    0.1
    0.2
    0.3
    3
    =130.5-135.2
    

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36. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    誤差があるとまずい場面がいろいろある
    金融計算などで誤差が出たら大変！！
    電卓ではせめて，1÷3×3 は 1 になってほしい
    十進数の世界をシミュレートする
    二進数の問題は
    少数は 1/2，1/4, 1/8,...,1/2n の和で表現
    0.1, 0.01, 0.001 など現社会で用いられる
    基底数が無限小数＝有限桁では正確に表現できない！
    誤差の少ない数の表現
    

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37. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    二進化十進表現
    （BCD:Binary-coded decimal）
    十進記数法の 1 桁を 4 ビットの二進記数法で表現
    ０ ００００
    １ ０００１
    ２ ００１０
    ３ ００１１ １２→０００１ ００１０
    ４ ０１００
    ５ ０１０１
    ６ ０１１０
    ７ ０１１１
    ８ １０００
    ９ １００１
    誤差の少ない数の表現
    

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38. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    十進計算のシミュレート
    １２→０００１ ００１０
    ＋ ９→００００ １００１
    ０００１ ０００１
    ０００１
    ００１０
    ２１←０
    ００
    ０１
    １０
    ０ ０
    ００
    ００
    ０１
    １
    誤差の少ない数の表現
    2+9は11
    1+0は1
    1+1は2
    

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39. by Naoki Kato
    © Naoki Kato
    © Naoki Kato
    お
    おし
    しま
    まい
    い
    数の表現
    

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