統計的仮説検定のロジック/hypothesis-testing

統計的仮説検定の分かりにくいポイントを易しく解説
1. 「棄却できない」の意味＝判断保留
2. なぜ逆から出発するか：p値を計算するため
3. 実データで注意すること：データの構造を見て検定法を選ぶ

Transcript

1. 統計的仮説検定のロジック 「差がある」は、どうすれば言えるのか？ ― 宮崎の焼酎データを入り口に ― データ分析コンペ 事前講座 2026/7/13 宮崎産業経営大学 経営学部 エコノデータサイエンス学科 岡 夏樹 このスライドはFable 5で初版を作成し、講師が追加修正した。内容についての責任は講師が負う。
2. はじめに 宮崎市の焼酎支出は、全国平均より多い？ 家計調査のデータを見ると… 宮崎市 全国平均 全国トップクラス 「見れば明らかじゃん。 なんで検定なんて必要なの？」 実は、この数字は… • 宮崎市の全世帯を調べた値ではない • 調査対象は百世帯規模の「標本」 • 標本の平均は、たまたま選ばれた世帯次第で毎回ズレ る＝誤差を持つ推定値 • 知りたいのは母集団（宮崎市民全体）の話 → だから「 推測」の道具＝検定が要る キーワード：母集団 と 標本
3. 全体像 仮説検定の流れ ― 4つのステップ 1 主張したいこと 「AとBには差がある」 （対立仮説） → 2 あえて逆を仮定 「A＝B（差はない）」 （帰無仮説） → 3 確率を計算 その仮定の世界で、今回の データ以上の差が偶然出る 確率 ＝ p値 → 4 判定 p値が小さい → 仮定を疑う（棄 却） p値が小さくない → 判断保留 今日のポイントは２つ。 ❶ ステップ④で「棄却できない」ときに何が言えるか ❷ そもそもなぜステップ②で“逆”を仮定 するのか
4. ポイント① 「棄却できない」の意味 検定は裁判に似ている ― 無罪 ≠ 無実の証明 裁判では「疑わしきは罰せず」。被告は最初「無実」と推定され、検察が証拠で覆す。 有罪判決 • 「無実」と考えるには不自然すぎる証拠が出た • ＝ 帰無仮説「A＝B」を棄却 • 積極的に「差がある」と主張できる 無罪判決 • 「無実が証明された」のではない • 「有罪とするには証拠不十分」なだけ • ＝ 棄却できない ＝ 判断保留。「A＝Bだ」と積極 的には言えない p値が有意水準より大きい ＝ 無罪判決。言えるのは「A＝Bでないとは言えない」まで。
5. ポイント① なぜ断定できないのか（理由 1） データが少ないと、本当の差も見つけられない 実験：コインを 4 回だけ投げる 表 表 表 裏 表が 3 回。でも公正なコインでも 「4回中3回以上が表」は約 31%（8回中5回）で起こる → p値は大きく、まったく棄却できない 「棄却できない」の原因は 2 つありうる 原因 A：本当に差がない コインは実際に公正だった 原因 B：データが少なすぎた 偏ったコインでも 4 回では見抜けない データからは A と B を区別できない 原因を切り分けられない以上、「差がない」と断定はできない ― 言えるのは保留だけ。
6. ポイント① なぜ断定できないのか（理由 2） 棄却されない仮説は、実は無数にある 同じデータで「差＝0」が棄却されないとき、その近くの仮説も棄却されない。 差＝−0.5 差＝0 差＝0.1 差＝1.2 この範囲の仮説は どれも棄却されない 棄却 棄却 もし「棄却されない＝正しい」なら、「差＝0」も「差＝0.1」も「差＝−0.5」も全部正しいことになり矛盾。 だから棄却されなかった仮説は「正しい」ではなく「候補として残っている（保留）」としか言えない。
7. ポイント① まとめ 検定の結論、正しい言い方・危ない言い方 p値 が 有意水準 より大きかった（棄却できなかった）とき ◦ 言ってよい • 「A＝B でないとは言えない」 • 「差があるとは言えなかった」 • 「今回のデータでは判断を保留する」 • レポートでは「有意差は認められなかった」と書く × 言ってはいけない • 「A＝B であることが分かった」 • 「差がないことが証明された」 • 「AとBは同じだった」 • → どれも「無罪＝無実の証明」と同じ誤り コンペのレポート採点でも、ここの言葉づかいはよく見られます。
8. ポイント② なぜ“逆”から出発するのか 実は、数学で習った「背理法」と同じ発想 数学の背理法 例：√2 が無理数であることの証明 • 主張したいこと：√2 は無理数 • あえて逆を仮定：「√2 は有理数だ」 • その仮定から矛盾が導かれる • → 仮定が誤り。よって √2 は無理数 仮説検定 ＝ 確率的な背理法 例：AとBに差があることを示したい • 主張したいこと：AとBには差がある • あえて逆を仮定：「A＝B（差はない）」 • その世界では滅多に起きないデータが出た（p値が小 さい） • → 仮定を疑う（棄却）。差があると主張 違いは1つ：数学は 100% の矛盾、検定は「滅多に起きないことが起きた」という確率の矛盾。
9. ポイント② もう一歩深く 「A＝B」は、確率を計算できる唯一の出発点 p値を計算するには「その仮定の下でデータがどう散らばるか」が 1 つに決まる必要がある。 帰無仮説「A＝B（差＝0）」 分布が 1 つに固定される →「差＝0 の世界で、今回以上の差が偶然出る確率」が計算でき る ＝ p値 対立仮説「A≠B（差がある）」 差＝0.1？ 差＝5？ 差＝100？ 仮説が無数にあって分布が決まらない → そもそも確率（p値）が計算できない 主張したい側からは計算が始められない。だから“逆”の「A＝B」から出発する。
10. ポイント② 手を動かして実感 コインで確かめよう ―「偏っている」と主張したい コインを 10 回投げたら、表が 9 回出た。「このコインは偏っている！」と言いたい。 表 表 表 裏 表 表 表 表 表 表 「公正（表の確率 1/2）」と仮定すると 「10回中9回以上が表」になる確率は 11/1024 ≈ 約 1.1% と計算できる 公正な世界では滅多に起きない → 「公正」を疑ってよい（ 棄却）→「偏っている」と主張できる 「偏っている」と仮定すると…？ 「偏っている」って、表の確率いくつ？ 0.6？ 0.8？ 0.99？ …決まらない 確率が決まらないので「9回以上表」の確率も計算できない → p値が作れず、検定が始まらない 片側検定の p値 ＝ (10回中9回表 ＋ 10回全部表) の確率 ＝ (10＋1)/1024。電卓で確かめてみよう。
11. ポイント③ 実データで注意すること 宮崎の焼酎データ、そのまま t 検定できる？ SSDSE（教育用標準データセット）の家計消費データで確かめようとすると、3 つの壁がある。 1 1都市に1つの値しかない SSDSEにあるのは宮崎市の平均支出額という「点」だけ。世帯ごとのばらつきや 標本サイズが分からず、そのままでは t 検定の計算ができない。 2 全国平均に宮崎も入っている 比べたい相手（全国平均）の中に宮崎自身が含まれ、AとBが独立でない。厳密に は「宮崎以外の平均」と比べるべき。 3 「見れば明らか」に見える 数字の大小は一目瞭然。でも元は百世帯規模の標本調査＝誤差を持つ推定値。こ こが母集団と標本を考える最大のチャンス。
12. ポイント③ おすすめの進め方 焼酎データはこう使おう ― 役割分担が鍵 1 つかみ・問いづくり 宮崎の焼酎 「宮崎は本当に多い？ 偶然じゃない？」と いう問いを立てる題材に。母集団と標本の 区別もここで議論する。 2 ロジックの練習 コイン・アンケート 検定の考え方はコイン投げや、自分たちで 集めた生データ（クラスのアンケート等） で練習。ばらつきが手に入る。 3 数値演習 年次データ 宮崎市と全国の焼酎支出を過去10年分そろ え、対応のある t 検定に。実際に手を動か して p値まで計算できる*。 *厳密には、時系列の自己相関に目をつぶった簡略 化であることに注意 「どのデータなら検定できるか」を考えること自体が、コンペで一番差がつく力になる。
13. 今日のまとめ 1 棄却できない ＝ 判断保留 「A＝Bでないとは言えない」まで。「A＝Bだ」とは言えない。無罪判決は無実の証明ではない。 2 “逆”から出発するのは計算のため 検定は確率的な背理法。「A＝B」と仮定して初めて分布が1つに決まり、p値が計算できる。 3 データの構造を見てから検定を選ぶ 1つの値しかないデータに t 検定はできない。「そのデータで何が計算できるか」を最初に確認する。 結論を「正しい日本語」で書けることが、分析力の証明です。