Aplicações de sistemas lineares às EDP's

Iniciamos mostrando ingenuamente as aproximações por diferenças para derivadas. Depois vamos à propagação de calor e à equação unidimensional de calor, estabelecendo como obter uma aproximação para sua solução através de diferenças finitas.

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1. LNCC Aplicações de sistemas lineares Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Passaremos a examinar aplicações às EDP’s da resolução de sistemas lineares. EDP’s Equações Diferenciais Parciais
3. + ℎ () ( + ℎ) ′() ′ = → + − () Lembrem-se, nesta definição de derivada, o h pode ser positivo ou negativo, nunca nulo. Iniciaremos analisando algumas aproximações para a derivada 1ª de uma função : (, ) → ℝ.
4. + ℎ () ( + ℎ) ′() ′ = → + − () A intuição por trás dessa imagem é que: “se a curva (azul) definida pelo gráfico da função f é suficientemente suave, então a reta secante (vermelha) tenderá à reta tangente (verde) quando ℎ → 0”.
5. Para ℎ > 0, a aproximação por diferença avançada para a derivada 1ª de f é definida por: + ℎ ′() − ( − ℎ) ℎ ′ ≅ + − ()
6. − ℎ − ( − ℎ) ′() ℎ Novamente para ℎ > 0, a aproximação por diferença atrasada para a derivada 1ª de f é definida por: ′ ≅ − ( − )
7. − ℎ + ℎ − ( − ℎ) ′() ℎ ℎ + ℎ A aproximação por diferença centrada para a derivada 1ª de f é definida por (novamente ℎ > 0): ′ ≅ + − ( − )
8. Mestra, pelas imagens percebo que a aproximação por diferença centrada é melhor. Há garantias matemáticas disto? Sim Filhota, é algo que passaremos a examinar graficamente.
9. A reta secante, das diferenças avançadas (em vermelho), para ℎ = 0.5, 0.2 0.05.
10. O programa que traça os gráficos exibidos. Surfista, faça programas para as outras duas aprox.
11. Neste programa mostro, graficamente, a convergência das aproximações por diferenças avançadas, atrasadas e centradas para ′ , = /4 e = sen ().
12. O programa permite escolher o valor de x, a quantidade n de pontos e a escala-y. Observem que as diferenças centradas convergem bem mais rapidamente. ′(/4 ) = 0.70711
13. Usando o fato que ′′ = (′ )′ com diferenças avançadas, obtemos: ′′() ≅ ′ + ℎ − ′() ℎ Então, aproximando tanto ′( + ℎ) como ′() por diferenças atrasadas, obtemos ′′ ≅ + ℎ − 2 + ( − ℎ) ℎ2
14. Adoro festa de São João!
15. É uma forma de energia, a térmica. Calor É a transferência de energia térmica de uma região onde a temperatura é maior para uma região onde ela é menor. Condução de calor Como modelar a propagação do calor?
16. Existem duas grandezas físicas envolvidas: • A temperatura = (, ) e • O fluxo de calor = (, ) A lei de Fourier informa que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente da temperatura.
17. Vamos começar modelando a propagação de calor numa barra metálica, envolta num isolante, para não haver troca de calor com o meio externo através de sua superfície cilíndrica. T alta (, ) T baixa
18. Indicando por φ o fluxo de calor na direção x a Lei de Fourier fica: , = − (, ) Nessa fórmula: • k é o coeficiente de difusividade térmica, • ρ é a densidade do material, • C é a capacidade calorífica do material. T alta (, ) T baixa
19. Considerando um volume elementar ∆ = ∙ ∆ temos: • ∙ é o fluxo de calor entrando • ∙ + ∆ é o fluxo de calor saindo • O calor acumulado nesse volume elementar, na ausência de fontes ou sumidouros, é proporcional a ∆ ∙ ∆ T alta T baixa (, ) ( + ∆, ) ∆
20. Portanto a equação de balanço de energia térmica fica: , − + ∆, ∆ = = ∆ ∙ ∆(, ) T alta T baixa (, ) ( + ∆, ) ∆
21. Portanto, passando ao limite quando ∆ → 0 e ∆ → 0, obtemos a equação de balanço de energia térmica (, ) = (, ) Mas então − + ∆ − ∆ = ∆ ∆ T alta T baixa (, ) ( + ∆, ) ∆
22. Utilizando a Lei de Fourier, obtemos a equação condução de calor: (, ) = 2(, ) 2 (, )
23. Mais condições no contorno: • (0, ) = () • , = ℎ , t > 0 Uma condição inicial: • , 0 = , ∈ [0. ] = 2 2 , (, ) ∈ 0, × (0, ∞) x = 0 x = L O problema de evolução da temperatura T (x, t) numa barra Um problema de valor inicial e de contorno.
24. Discretizando em x e t : x 0 = a x 3 x 31 = b x 1 x 2 t 0 = 0 t 3 t 1 t 2 t 18 t 19 t 20 = t F x 29 x 30 2,3 2,3 = (2 , 3 )
25. x 0 = a x 3 x 31 = b x 1 x 2 t 0 = 0 t 3 t 1 t 2 t 18 t 19 t 20 = t F x 29 x 30 , = ( , ) Assumindo ∆ = ( − )/( + 1) os pontos internos ao intervalo [, ] são dados por = + ∆, com = 1, ⋯ , . Então, para = ∆, = 1, 2, ⋯, teremos, para = 1: , = 2 2 , , = 1, ⋯ , , = = 1,2, ⋯ 2,3
26. x 0 = a x 3 x 31 = b x 1 x 2 t 0 = 0 t 3 t 1 t 2 t 18 t 19 t 20 = t F x 29 x 30 2,3 Em cada ponto , do interior do retângulo, usaremos as aproximações: , ≅ , − ,−1 ∆ 2 2 , ≅ +1, − 2, + , − −1, (∆)2
27. x 0 = a x 3 x 31 = b x 1 x 2 t 0 = 0 t 3 t 1 t 2 t 18 t 19 t 20 = t F x 29 x 30 2,3 Assim, em cada ponto , do interior do retângulo, vale a igualdade: , − ,−1 ∆ = +1, − 2, + −1, (∆)2 Para = 0 e = + 1 a temperatura é prescrita e também para = 0.
28. x 0 = a x 3 x 31 = b x 1 x 2 t 0 = 0 t 3 t 1 t 2 t 18 t 19 t 20 = t F x 29 x 30 2,3 Então, para = 1,2, ⋯ , e = 1,2, ⋯, vale a igualdade: −−1, + 2 + , − +1, = ,−1 . Além disso, para: = 1,2, ⋯ , → 0, = = ( ) = 1,2, ⋯ , → +1, = ℎ = ℎ( ) = 1,2, ⋯ , , → ,0 = = ( ) = (∆)2 ∆
29. x 0 = a x 3 x 31 = b x 1 x 2 t = 0 t = t 1 x 29 x 30 3,1 Portanto, os valores da temperatura no nível de tempo 1 são dados pela solução do sistema linear −−1,1 + 2 + ,1 − +1,1 = , = 1,2, ⋯ , com 0,1 = 1 e +1,1 = ℎ1 = (∆)2 ∆
30. Na forma matricial, ele fica = 1 onde: = 1 2 ⋮ , = ,1 = −1 −1 −1 −1 ⋱ ⋱ ⋱ −1 −1 1 = 1 2 ⋮ −1 + 1 0 ⋮ 0 ℎ1 = 2 + , = (∆)2 ∆
31. Para os outros níveis de tempo 2 , 3 , ⋯ basta substituir o termo independente: 1 = 1 2 ⋮ −1 + ℎ1 0 ⋮ 0 1 2 = 1 2 ⋮ −1 + ℎ2 0 ⋮ 0 2
32. Para construir um programa razoavelmente geral para esse problema de propagação de calor numa barra precisaremos definir seus dados.
33. 1. O comprimento L da barra. 2. O número n de pontos internos. Então ∆ = /( + 1). 3. O incremento temporal ∆. 4. A temperatura inicial, descrita por uma função : [0, ] → ℝ. 5. As funções g e h() que definem as temperaturas nos extremos 0 e L, respectivamente. Assim precisaremos definir:
34. A solução do problema será uma função de duas variáveis : 0, × [0, ] → ℝ onde é um instante de tempo final. O seu objetivo, Surfista, será resolver o problema computacionalmente, e representar graficamente a (, ) em 0, × [0, ] .
35. Não espere, Surfista, que sua solução funcione para quaisquer valores de ∆ e ∆ em = (∆)2 ∆ .
36. Tchau, até a próxima aula!