Espaços de funções

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1. Espaços de funções Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. Neste conjunto de transparências vamos apresentar uma classe de espaços vetoriais realmente importantes.
3. Se tudo sobre espaços vetoriais se resumisse ℝ, ℂ e ℳ×, o mundo seria pobre. As mais belas instâncias de espaços vetoriais serão apresentados pela Mestra, que se vestiu apropriadamente para mostrá-los!
4. São os espaços de funções : → ℝ, cujo domínio é um conjunto qualquer ≠ ∅ e a valores reais, anotado ℱ(, ℝ).
5. Conforme já afirmamos o objeto de estudo do Cálculo Diferencial e Integral são as funções. Dissemos também que nosso curso funções serão tratadas como deusas do Olimpo – porque realmente são.
6. Resultados Função Dados Dinamicamente, uma função é algo que recebe dados e fornece resultados, Loirinha. O estudo de funções está associado ao de problemas e algoritmos. Estes também serão objeto de estudo das próximas aulas.
7. Algumas funções do conjunto ℱ(, ℝ), quando = [−1,1]. São vetores abstratos Loirinha!
8. Mas funções são vetores?! Esqueça as flechas, Loirinha!
9. Sim, minha filha! Podemos somar funções e também multiplicá-las por números. Esqueça as flechas, Loirinha!
10. E a soma e a multiplicação por fator de escala são definidas ponto-a-ponto. Repetindo: podemos somar e escalar funções de ℱ(, ℝ).
11. Ponto-a-ponto como? Para , ∈ ℱ , ℝ , a soma + e a escalada de , ∙ , são as novas funções definidas por: + = + (), ∙ = ∙ , para cada ponto ∈
12. Esse é o caráter dual das funções: são vetores de ℱ , ℝ definidos ponto a ponto. Never forget it!
13. Vou tentar ! Além disso essas duas operações satisfazem as oito condições da definição de espaço vetorial. Prove isto Loirinha !
14. Numericamente, podemos ver a soma e a multiplicação por fator de escala através de tabelas, para uns poucos valores de . É preciso olhar linha por linha, isto é, ponto a ponto!
15. Sim! E em cada linha da tabela, vemos que: ( + )() = () + () e ( ∙ ) = ∙ ().
16. Sim Loirinha, você acabou de enunciar o caráter dual das funções: vetores calculados em cada ponto do domínio.
17. Observem o caráter dual: para cada ponto ∈ [−1,1], a coordenada y em vermelho é a soma das coordenadas y em azul e verde: + = + (). E fazendo isso para cada ponto ∈ [−1,1] obtemos + .
18. Vejam, os gráficos da função = () em azul e de quatro escaladas de em vermelho.
19. Indiquei, nos mesmos, o caráter dual marcando o valor de = 4. e os valores (4. ) e ∗ (4. ) para = 0.4, 1.5, −0.7 − 1.3.
20. Esse é o programa da Mestra que modifiquei para acrescentar o caráter dual.
21. As funções polinomiais em ℝ constituem um subespaço de ℱ. E ele é anotado . Sim: • A soma de polinomiais também é uma função polinomial. • A múltipla de uma função polinomial não perde a sua qualidade.
22. Já vimos na aula das bananas verdes conceito de base de um espaço vetorial. Bases desempenham um papel fundamental para operar com as polinomiais.
23. Lembro bem, a base canônica dos vetores-coluna de ordem 3, o ℝ3, é 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 , É. Ela que permite escrevermos 2.1 −0.7 1.5 = 2.1 1 0 0 + (−0.7) 0 1 0 + 1.5 0 0 1
24. A base canônica do espaço vetorial 2, das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2, é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma, Loirinha. Para a polinomial = 2.1 + 0.7 + 1.5 2 temos = 2.1 0 + 0.7 1 + 1.5 2
25. Um programa que desenha a base canônica do 3:
26. As 4 polinomiais (vetores) da base canônica de 3[−1,1].
27. Este programa desenha uma polinomial definida pelos seus coeficientes.
28. Mestre, bastou passar os coeficientes da polinomial. Da mesma forma que passamos as coordenadas para vetores coluna!
29. Vamos tornar a utilizar a NumPy para fazer Cálculo Numérico. Pois é, Mestre, já estava demorando!
30. Surfista, vá ao Help e em Online documentation escolha Numpy and Scipy documentation.
31. Então escolha Numpy Reference Guide.
32. Já em Numpy Reference role a tela até Polynomials e escolha-a.
33. Retirei informações que não interessam mais. Agora clique em Polynomial Package
34. Quero lembrar que a estruturação padrão em Python é: pacotes (pastas) são constituídos por módulos (arquivos tipo .py) que possuem classes, compostas por atributos e métodos. Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Xyz Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Abc
35. polynomial . polynomial . Polynomial polynomial . chebyshev . Chebyshev ... ... ... polynomial . hermite_e . HermiteE pacote módulo classe Tornando a repetir:
36. Eis onde você chega: Clique onde marquei!
37. Vou escolher a classe Polynomial( )
38. Atenção, é uma classe!
39. 1. Importar o módulo numpy. polynomial. polynomial. 2. Criar p chamando o construtor Polynomial( ) da classe passando os parâmetros coef_p, domain e window. Os passos envolvidos na criação de uma função polinomial p: 1 2
40. Pelo gráfico percebemos que a função polinomial possui 3 raízes reais, um ponto de máximo local, outro de mínimo local e um ponto de inflexão. Também fica evidente seu comportamento para → ±∞. = 1 − 2 − 2 + 3
41. Grau da polinomial an > 0 Par lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = +∞ Ímpar lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = −∞ O comportamento das funções polinomiais para → ±∞ depende apenas do termo de maior grau da polinomial (se n é ímpar ou par) e do sinal do seu coeficiente, o a n : Se an < 0 é só trocar o sinal dos limites
42. Mestre, eu realmente não entendi o parâmetro “window” Pois é, a explicação está aqui:
43. 0 x 0 |x| s(x) |k∗x| x Quando usamos ≠ estamos, na verdade, trabalhando com uma polinomial composta ∘ , onde s é a função afim, translação mais fator de escala, definida por = 0 + ∗ , com = || ||
44. Fizemos um programa que mostra os gráficos de duas polinomiais com os mesmos coeficientes. 1. Uma : → , 2. Outra : → . Só alteramos o fator de escala
45. Agora vamos acrescentar um deslocamento de 0 = 1.5:
46. Este é o programa que permitiu a visualização, da última execução.
47. As funções polinomiais são fáceis de derivar e integrar. = ෍ =0 [] = ෍ =1 −1 () = ෍ =0 + 1 +1 + .
48. As funções polinomiais são contínuas e infinitamente diferenciáveis. Elas também integráveis (pq. são contínuas) Infinitamente diferenciáveis só porque derivada de ordem n de uma polinomial de grau n é uma constante e a derivada de ordem n+1 é zero: x = cte , +1 = 0
49. Estes são os métodos do Módulo Polynomial, que permitem derivar e integrar funções polinomiais.
50. Para derivar uma função polinomial p fornecemos seus coeficientes (e, se desejarmos, o número m de vezes a derivar).
51. Minha ajuda sobre integração de polinomiais.
52. A continuação.
53. Neste programa eu mostro como utilizar esses métodos para derivar e integrar uma função polinomial.
54. A parte do código que gera o gráfico e o texto gerado na saída.
55. Os gráficos, da polinomial p, de sua derivada Dp e de sua integral indefinida Ip (anti-derivada), gerados pelo meu programa.
56. Ao expandirmos um produto como − 0 − 1 − 2 − 3 Obteremos, obviamente, uma polinomial de grau 4 em x, cujas raízes são 0 , 1 , 2 , 3 . Essa polinomial terá a forma padrão 4 4 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 , 4 = 1, cujos coeficientes são obtidos, com um bocado de algebrismo, a partir das raízes.
57. O método polyfromroots() gera a polinomial a partir do produto, como abaixo:
58. Este programa gera o gráfico de uma polinomial a partir de suas raízes.
59. Esse é o gráfico da polinomial, com as raízes assinaladas.
60. Ele é uma consequência trivial e imediata da fatoração: = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 . São só 4 adições e 4 multiplicações. O algoritmo de Briot-Ruffini-Horner é o algoritmo mais rápido para calcular o valor de uma função polinomial como = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4
61. Mestre, ensine como implementar o algoritmo. Surfista, construa recursivamente um vetor 4 3 2 1 0 como o da nossa frente. Confira que 0 = () comparando com a nuvem! 4 = 4 3 = 3 + 4 2 = 2 + 3 1 = 1 + 2 0 = 0 + 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4
62. Se () é uma função polinomial de grau ≥ 1, então a equação () = 0 Possui pelo menos uma raiz (real ou complexa). Teorema fundamental da Álgebra Carl Friedrich Gauss demonstrou o seguinte resultado em sua tese de doutorado:
63. Como as raízes complexas ocorrem aos pares (a raiz e sua complexa conjugada), se o grau da polinomial é ímpar com certeza ela possui uma raiz real. Segue do Teorema fundamental da Álgebra que: uma função polinomial = () de grau n possui n raízes reais ou complexas.
64. Surfista, faça um programa que permite determinar as raízes de uma equação polinomial () = 0. Loirinha, faça outro programa que permita achar os pontos de inflexão dessa mesma polinomial.
65. Muito simples Mestra, basta usar o método polyroots() Veja:
66. Estou apreciando sua performance, Surfista. Continue assim!
67. Ficou bom mesmo!
68. Veremos no curso vários métodos para obter raízes aproximadas de equações, não apenas para equações polinomiais. O polyroots() é específico para polinomiais. O Mestre fez um programa para mostrar o gráfico de uma polinomial () e assinalar seus pontos de máximo, mínimo e inflexão. Mostra também os gráficos das derivadas de ordem 1 e 2 da ().
69. Os resultados do meu programa:
70. O programa é longo:
71. Sua continuação:
72. Acabou!
73. As polinomiais permitem visualizar o conceito de ordem de aproximação nas vizinhanças de zero.
74. Este programa mostra o gráfico das funções polinomiais da base canônica de ℙ5 .
75. Mestre, são lindos, esses gráficos das funções polinomiais básicas de ℙ5.
76. Observem que para k = 0,1,2, ... • p k (1) = 1, • p k (0) = 0, k ≠ 0 E também para ∈ (0, 1) que: 0 > 1 () > 2 () > ⋯
77. O programa do último gráfico.
78. Naturalmente, para k > 0, lim →0 = 0. e, maior o k, mais rápida a convergência.
79. Seja f uma função tal que lim →0 = 0. Se existir alguma constante M > 0 tal que ℎ ≤ ℎ, ℎ ∈ [0, ), para suficientemente pequeno, escreveremos = ℴ(ℎ) e diremos que f converge a zero com ordem k (polinomialmente).
80. Portanto se = ℴ ℎ2 e = ℴ(ℎ) então f converge mais rapidamente a zero do que g. Confiram na figura!
81. Vou mostrar outras bases do espaço das polinomiais.
82. Quando apresentei o pacote Polynomial, mostrei os diversos módulos abaixo:
83. Esses módulos/classes, em última análise, apresentam outras bases do espaço das polinomiais. Elas surgem de forma natural na resolução, por separação de variáveis, de problemas de valor de contorno onde o domínio apresenta algum tipo de simetria. Infelizmente, em nosso curso, não teremos oportunidade de trabalhar com esses problemas.
84. Funções dessas classes de polinomiais serão utilizadas como funções peso nas fórmulas de “integração gaussiana”.
85. Mas vejam os 6 primeiros elementos da base de Chebyshev e suas expansões na base canônica:
86. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Chebyshev.
87. Os 6 primeiros elementos da base de Legendre e suas expansões na base canônica:
88. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Legendre.
89. Tchau, até a próxima aula!