Integração numérica e o L2(a,b)

Por efetuar.

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1. Integração numérica e o (, ) Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Na exposição da MatPlotLib, mostramos a “regra trapezoidal”, tanto a simples como a composta. A integração numérica é um tópico tradicional em Cálculo Numérico.
3. É Mestra, lembro-me muito bem.
4. A definição de integral (de Riemman) é um belíssimo exemplo do poder dos conceitos de supremo e ínfimo. Vamos entender, de uma vez por todas, o que é essa integral.
5. = 0 +1 = , , f Dada uma função ∈ ℬ[, ] e dada uma partição = { = 0 < 1 < … < = } de , , para cada subintervalo , +1 dela, consideramos as áreas ∆ e ∆ , onde ∆ = +1 − e nas quais: , = inf , ∈ , +1 , = sup , ∈ , +1
6. , = =0 −1 , ∆ Soma superior Em seguida, consideramos as somas: , = =0 −1 , ∆ Soma inferior
7. 4 5 6 7 8 1 2 3 f 4 5 6 7 8 1 2 3 f , = =1 ( )∆ Soma superior , = =0 −1 ( )∆ Soma inferior Para ajudar o entendimento, quando f é monótona crescente e contínua, como na figura:
8. Quando, na desigualdade acima, ocorre a igualdade, dizemos que f é Riemann integrável em [, ] e que = sup{ (, ) ∈ [, ] } Não é muito difícil provar que sup{ (, ) ∈ [, ] } ≤ inf { (, ) ∈ , }, onde , é a coleção de todas as partições do intervalo [, ].
9. Prova-se que toda função monótona (crescente ou decrescente) é Riemann integrável. Prova-se também que toda função contínua é Riemann integrável. Prova-se que ∈ ℬ[, ] é Riemann integrável se, e somente se, dada uma precisão > 0, existe uma partição ∈ [, ] para a qual , − , <
10. ... Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ". ... http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm O símbolo de integral é um S estilizado, S de Soma!
11. O cálculo da soma inferior e da soma superior para uma função monótona crescente para partições uniformes de 50 a 60 pontos.
12. 590 à 600 pontos 990 à 1000 pontos Mestra, fiz duas experiências. A convergência é muito lenta, pior que tartaruga!
13. Pois é Surfista. Passaremos a estudar os métodos de integração da scipy, que são bem mais eficientes. A regra trapezoidal composta, que vimos no começo do curso, é bem mais rápida!
14. Assinalei Integração no sumário da SciPy. Tanto no “Tutorial” como na “Reference”
15. As informações no “Tutorial”, para uma visão geral.
16. O detalhamento dos métodos na “Reference”.
17. Começaremos com a regra trapezoidal composta, repetindo o que já vimos no “Básico de MatPlotLib”.
18. A regra trapezoidal composta, cumulativa.
19. Os dados do programa são: • O intervalo [, ] de integração, • A expressão da função, • O número de pontos N para estabelecer uma partição uniforme de , , • A precisão exigida para a aproximação da integral. Farei um programa para aproximar a integral de uma função f, via regra trapezoidal composta.
20. Vejam uma execução mal sucedida do programa. O tamanho ∆ = +1 − da partição foi muito grande para garantir a precisão.
21. Aumentando um pouco mais a quantidade de pontos ( = 46) atingimos a precisão requerida. Surfista, responda-me: 1. Qual o valor mínimo de N para atingir tal precisão? 2. Há como obter uma estimativa teórica relacionando N e a precisão?
22. Esse é o código do programa. Marquei onde uso a trapezoidal. A parte gráfica vem a seguir.
23. Esse é o código da parte gráfica.
24. A cumtrap( ) permite aproximar numericamente a função integral, : [a, b] → ℝ, dada por = Para conferir calculei, também, a integral exata. Fiz os três gráficos.
25. Outro exemplo, agora com a função = exp 2 . Neste caso, = = 2[exp 2 − exp 2 ] Também fiz os três gráficos.
26. Um último exemplo, agora com a função = cos(). Neste caso, = = cos() Também fiz os três gráficos.
27. Surfista, você sabe explicar porque o erro no cálculo da integral aproximada é zero para = /2 ?
28. Vejam o programa:
29. O passo seguinte é aproximar a função f a integrar efetuando interpolação por uma polinomial 2 do 2º grau e integrar a 2 . É a regra de Simpson (simples). Na regra trapezoidal (simples), aproximamos a função f a integrar por uma reta – uma polinomial 1 do 1º grau e integramos a 1 (calculando a área do trapézio).
30. Sim, pois para definir parábolas precisamos de 3 pontos. No total uma quantidade ímpar de pontos. A regra de Simpson composta segue a mesma ideia da trapezoidal composta – repetição da simples. A diferença é que, então, precisaremos repetir para pares de sub intervalos.
31. Marquei as soluções para um total par de pontos.
32. O código do 1º programa do Mestre só muda onde marquei. Bem mais eficiente que a trapezoidal! Lá foram usados 46 pontos e aqui só 19. A função, o intervalo e a precisão são os mesmos.
33. Agora começaremos a estudar um dos tópicos mais importantes da Álgebra Linear e da Análise Numérica. Os espaços ℒ2(, ).
34. Os elementos do espaço (vetorial) ℒ2(, ), são as funções de quadrado integrável. Em outras palavras, ℒ2 , = { : , → ℝ | 2 ∈ ℝ }. Para enfatizar os aspecto fundamentais: a 2 é integrável e 2 é um número real.
35. Vamos romper com a ideia de vetor-flechinha. Mergulhar profundamente no mundo das ideias!
36. O conceito abstrato de espaço vetorial.
37. Definiremos uma função ∙ ∶ ℒ2 , ⟶ 0, +∞ ⟼ 2 pela expressão 2 = ()2 .
38. Na passagem ∈ ℝ ⟶ ∈ ℒ2(, ) temos: ⟶ () =1 ⋯ ⟶ ⋯ Portanto: 2 = =1 2 ⟶ 2 = 2 Trata-se de uma extensão muito natural da 2 dos espaços ℝ para os espaços de funções. Pensem comigo:
39. 3 n 1 x1 2 x2 x3 xn x b f(x) a Naturalmente é uma passagem do discreto ao contínuo! Graficamente poderíamos imaginar o seguinte:
40. Essa função ∙ 2 : ∈ ℒ2(, ) ⟶ ℝ é uma norma em ℒ2(, ). É a extensão natural da ideia de tamanho para funções. Para provar essa afirmação do Mestre, precisamos garantir que para , ∈ ℒ2(, ) e α ∈ ℝ: 1. 2 ≥ 0, 2. 2 = 0 ⇒ = 0, 3. 2 = ∙ 2 - o fator de escala, 4. + 2 ≤ 2 + 2 - a desigualdade triangular.
41. Todas essas afirmações são decorrência imediata das propriedades da integral. Só a desigualdade triangular que dá mais trabalho. Para a desigualdade triangular precisaremos antes da desigualdade de Cauchy- Scharwz.
42. Definiremos também a função ∙ , ∙ ∶ ℒ2 , × ℒ2 , ⟶ ℝ , ⟼ , pela expressão , = .
43. Na passagem , ∈ ℝ ⟶ ∈ ℒ2(, ) temos: ⟶ () ⟶ () =1 ⋯ ⟶ ⋯ Portanto: , = =1 ⟶ , = Ela estende o conceito de produto interno , de vetores , ∈ ℝ para funções. O argumento é o mesmo:
44. O Mestre está afirmando que a função , de duas variáveis , ∈ ℒ2(, ) × ℒ2(, ), calculável através da expressão , = define um produto interno em ℒ2(, ).
45. Sim Filósofo, e para provar a afirmação do Mestre, basta provar que: Para , , ℎ ∈ ℒ2(. ) e ∈ ℝ valem: 1. , ≥ 0, 2. , = 0 ⇒ = 0, 3. , = , , 4. , = , , 5. + , ℎ = , ℎ + , ℎ . Todas elas seguem diretamente das propriedades da integral.
46. Sherlock, precisamos antes garantir que , = está bem definida para , ∈ ℒ2(, ). Bem, isto é uma decorrência imediata da desigualdade de Cauchy-Schwartz, , ≤ 2 2 , que provaremos a seguir.
47. Sejam , ∈ ℒ2(, ) e : ℝ → ℝ a função ↦ − , − . Temos que F é uma polinomial do 2º grau em : = − , − = 2 22 − 2 , + 2 2. Ao mesmo tempo, = − 2 2 ≥ 0. Portanto o discriminante ∆ da fórmula de Baskhara para calcular os zeros de () satisfaz ∆ = (2 , )2 − 4 2 2 2 2 ≤ 0. Desta é imediato que | , | ≤ 2 2 .
48. Muito boa pergunta Loirinha! Que vantagens teremos com isso? Mestres vocês acabaram de definir conceitos altamente abstratos de norma e produto interno para funções. O que pretendem com isso?
49. A vingança demorou, mas chegou! A grande vantagem é que: Vocês poderão levar para mundo das ideias, toda a intuição que temos nos espaços euclidianos ℝ. Por exemplo, transportaremos para o o ℒ2(. ), nosso conceito usual de tamanho através da ∙ 2 e os conceitos de ângulo entre vetores e de ortogonalidade através do ∙ ,∙ .
50. Surfista, então quando calculamos 0 1 para duas funções f e g conhecidas, o número obtido corresponde ao produto interno delas em ℒ2(0,1) ? Sim Loirinha! Vou fazer um programa para calcular , =
51. Meu programa calcula , = − pela regra de Simpson composta.
52. A precisão é de 8 casas decimais, e mostro os gráficos de f, g e de , como área.
53. Para = , = o produto interno é , = 2
54. Para = , = cos() o produto interno é , = 0. Como a função produto f g é uma função ímpar, eu nem precisava ter usado seu programa, Surfista.
55. Meu programa também calcula 2 = , = − ()2 . Para = () obtive 2 2 = , = , i.é, 2 = .
56. Fiz o cálculo para = sen(2) e também obtive 2 = . Será um resultado geral?
57. Acho que sim, pois para ℎ() = 3 , também vale ℎ 2 = .
58. Vocês dois acabaram de mostrar que 2 = 2 = ℎ 2 = para = , = (2) e ℎ = (3). E, de fato Loirinha, é um resultado geral.
59. , = − () = 0 ≠ = (∗) , = − () = 0 ≠ = , = − () = 0, ∀, ∈ ℕ 1 2 3 As funções • () para = 0,1,2, … e • () para = 1,2, … são funções de ℒ2[−, ] e satisfazem: (∗) Para = = 0, troque por 2. Os resultados que vocês obtiveram podem ser generalizados para:
60. Surfista, para provar a afirmação da Mestra, utilize as identidades trigonométricas • + = cos + sen (), • cos + = cos cos − (). E também que o produto de funções pares e ímpares obedece as regras correspondentes para números pares e ímpares .
61. Agora começaremos a explorar o fato que podemos usar a intuição geométrica dos espaços euclidianos ℝ2 e ℝ3 para os espaços ℒ2(, ).
62. A primeira delas é a ideia de ortogonalidade. Lembre-se Loirinha, que dois vetores , ∈ ℝ2 são ortogonais quando , = 0. Quando, além de serem ortogonais, = 1 e = 1, dizemos que eles são ortonormais.
63. Da mesma forma, duas funções , ∈ ℒ2 , são ortogonais quando , = = 0. E ortonormais quando, além disso, = 2 = 1 e = 2 = 1.
64. Estou achando essas ideias incríveis Loirinha. Funções ortogonais e ortonormais! Eu também Surfista e a Mestra mostrou, a pouco, que as funções 0 = 1 = , = 1,2, … = , = 1,2, … são todas ortogonais!
65. 1 2 Outra ideia a ser copiada é a de base canônica de ℝ2. O par de vetores 1 = 1 0 , 2 = 0 1 é ortonormal. Sim, e eu mostrei que as funções 0 = 1 2 = 1 , = 1,2, … = 1 , = 1,2, … constituem conjunto ortonormal de ℒ2 , .
66. Na verdade dizemos que = 0 , , , = 1,2, … é um conjunto ortonormal completo em ℒ2 , . Esta é a extensão da ideia de base em ℝ para ℒ2 , . Aliás esta é uma afirmação bem mais forte e difícil de provar.
67. Trocando em miúdos, Mestres, posso entender que o conjunto de funções = 0 , , , = 1,2, … é a base canônica de ℒ2 , ? Pode sim, Surfista. Para efeitos operacionais a ideia de base está presente em , apesar de envolver conceitos de convergência.
68. Uma outra ideia a copiar dos espaços euclidianos ℝ para ℒ2 , , que envolve o produto interno, é a de projeção ortogonal de um vetor u em um vetor unitário e.
69. A projeção de u em e é o vetor p dado por = , . Note Surfista, que = | , |. • Quando o ângulo entre u e e é agudo (0 < α < /2) o sinal de , é positivo. • Quando esse ângulo e é obtuso ( 2 < α < ), o sinal de , é negativo.
70. Físicos e engenheiros costumam dizer que, quando e é um vetor unitário, o produto interno , quantifica a dose de e que o vetor v possui.
71. Muito bem pensado, Surfista, mas bebidas alcoólicas estão proibidas no curso! Em outras palavras, ∙ , é um aparelho medidor de doses de e – um dosador de e.
72. Portanto, para descobrir a dose de oscilação, na frequência 3, de uma ∈ ℒ2(−, ), basta calcular , 3 = 1 − 3 .
73. Jean-Baptiste Joseph Fourier Nasceu: 21/03/1768 Morreu: 16/05/1830 Dada ∈ ℒ2(−, ), os números 0 , , , = 1, … , , obtidos das integrais 0 = , 1 2 , = , , = , , são chamados de coeficientes de Fourier da f. E o conjunto 0 , , , = 1,2, … é o espectro da f.
74. Surfista, bebidas alcoólicas continuam proibidas no curso! Se eu pensar numa função ∈ ℒ2(−, ) como um cocktail, o espectro de f é a medida dos componentes do cocktail.
75. Um 1º exemplo, o espectro de = ( − )( + )/2.
76. O espectro de f mostra que ela é constituída por uma dose positiva grande da função constante 1 2 e doses alternadas de 1 cos() que diminuem rapidamente com a frequência k.
77. Duas observações são pertinentes: • A dose constante é dada pelo o valor médio, 0 = 1 2 − , da função f em −, , multiplicado por 2; • O espectro é constituído apenas por doses de cos porque f é uma função par.
78. Um 2º exemplo, o espectro de = /.
79. O espectro de f mostra que ela é constituída apenas por doses alternadas de 1 sen() que decaem mais lentamente com a frequência k.
80. De novo, duas observações são pertinentes: • O espectro é constituído apenas por doses de sen porque f é uma função ímpar. • A dose constante ainda é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2, pois 1 2 − = 0.
81. Um 3º exemplo, o espectro de = | − 2 |/(3 2 ).
82. Neste 3º caso: • O espectro é constituído por doses de sen e cos porque f não é par nem ímpar; • A dose constante também é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2.
83. Um 4º exemplo, o espectro de = ( 2 − )2/32 − ≤ < 2 / 2 ≤ ≤
84. Este é o programa que calcula o espectro da função f, os seus coeficientes de Fourier e seu gráfico. Ele permite escolher uma função definida por expressões diferentes em [−, ) e ( , ].
85. Nesta parte o cálculo dos coeficientes de Fourier e o gráfico do espectro da f . A Mestra está usando a rotina quad( ) da scipy.integrate.
86. Tem razão, Surfista, na próxima aula examinaremos as regras de integração conhecidas como quadraturas de Gauss. Mas aqui ela gera o gráfico da f .
87. 1 2 = [1 , 2 ] Em ℒ2(, ) o subespaço gerado gerado pelos vetores ortonormais 0 , , , = 1,2, … , tem dimensão 2 + 1. Também usamos a notação = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Em ℝ3, o subespaço gerado por dois vetores 1 , 2 é um plano passando pela origem. Ele é indicado por = [1 , 2 ]. Vamos assumir que eles são ortonormais.
88. Combinações lineares como 1 1 + 2 2 sempre estarão no subespaço gerado por 1 , 2 , = [1 , 2 ] Analogamente, combinações lineares do tipo 0 0 + =1 [ + () ] sempre estarão no subespaço = [ 0 , , , k = 1, … N ].
89. u v Da mesma forma, dada uma função ∈ ℒ2(, ) quando, na combinação linear = 0 0 + =1 [ + () ] os números 0 , , são os coeficientes de Fourier 0 , , da f, temos que = (). Dado um vetor ∉ , quando na combinação linear = 1 1 + 2 2 temos 1 = , 1 e 2 = , 2 temos que = .
90. É que no espaço euclidiano ℝ3, o vetor de um plano mais próximo de um vetor ∉ é a sua projeção ortogonal em , . v = (v) Mas que vantagem Loirinha leva, nessa ideia?
91. = (f) f Da mesma forma, = = 0 0 + =1 [ + ] é a melhor aproximação para uma função ∈ ℒ2(, ) em = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Lembrem-se: 0 = , 0 , = , e = ,
92. Agora vou mostrar os gráficos da f e de sua aproximação de Fourier para os mesmos quatro exemplos. Lembrem-se, a f é uma função periódica, de período = 2.
93. O primeiro exemplo.
94. O segundo exemplo.
95. O terceiro exemplo.
96. O quarto exemplo.
97. O programa que mostra o gráfico de uma função f e da sua aproximação de Fourier.
98. Nesta parte são calculados os coeficientes de Fourier da f. Estou usando a quad( ), novamente.
99. Aqui geramos os gráficos de f e de sua aproximação de Fourier.
100. Tchau! Até a próxima aula.