Mais raízes de equações

Discutimos o método de Newton-Raphson, geramos uma fractal usando o método para raízes sextuplas da unidade, analisamos detalhes sobre a convergência de métodos iterativos e a utilização das rotinas para determinação de raízes existentes no pacote scipy.optimization.

Transcript

1. Mais raízes de equações Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. É, a reta tangente “cola” na função perto do ponto de tangência! Lembrei-me de uma exclamação, sua Loirinha!
3. O método de Newton –Rhapson é um método iterativo que usa essa propriedade da reta tangente para gerar uma sequência x0 , x 1 , x 2 , ... , x N , ... de aproximações para a raiz.
4. ( ) f r +1 raiz Veja como na figura, Loirinha. E, dado , como eu calculo +1 , Mestre?
5. Confira, Surfista, que equação da reta tangente por ( , ) é = ′( )( − ) + ( ) . ( ) f r
6. O processo iterativo é o seguinte: 1. Como sempre x0 é um “chute inicial”, próximo da raiz; 2. Dado definimos +1 como o ponto onde a reta tangente por ( , ) corta o eixo-x; 3. Paramos quando a precisão for satisfatória.
7. ( ) f r +1 raiz Assim, fazendo = +1 na expressão da reta tangente, obtemos 0 = ′( )(+1 − ) + ( ). Então é só isolar +1 : +1 = − ( )/′( ), se ′( ) ≠ 0
8. Portanto, o método de Newton-Raphson é definido por: +1 = − ′ , = 0,1, ⋯ 0 dado No caso de 2, temos = 2 − 2 e o processo iterativo fica: +1 = − ( 2−2)/2 , = 0,1, ⋯ 0 = 2
9. Eis um programinha para calcular a raiz quadrada de um número pelo método de Newton.
10. O resultado.
11. Outro exemplo. Observe que a quantidade de iterações depende de x.
12. Vamos mostrar uma aplicação do Método de Newton-Raphson envolvendo as raízes sextuplas da unidade no plano complexo. Não lembro mais o que é uma raiz sextupla da unidade, Mestre.
13. ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5 Elas são as raízes (complexas) da equação 6 = 1. São os números complexos dados por = 2 /6, para = 0,1, ⋯ , 5.
14. Cacilda! Quando eu crescer quero ser como você, Mestre. Lembre-se, Surfista, que = cos + sen(). Então, para = 2 /, com > 0 e = 0,1, ⋯ , , ambos inteiros, temos: ( 2 / ) = 2 = = cos 2 + sen 2 = 1.
15. Este programa mostra as propriedades das raízes da unidade.
16. Confira: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3
17. Novamente: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5
18. Vamos construir uma linda fractal pintando o quadrado [0,1]x[0,1] do plano complexo com 6 cores. Uma cor para cada raiz da unidade. Agora, vamos à aplicação prometida.
19. Cada um deles receberá a cor corresponde à raiz para qual o método convergir, graduada pelo número de iterações em tons de cinza. Limitaremos a 30 o número de iterações. Dividiremos o quadrado complexo em 800x800 pixeis. Cada pixel será um chute inicial para o método de Newton-Raphson, assim teremos 640.000 chutes iniciais.
20. O código do programa é o seguinte:
21. Continuação do código:
22. Veja como ela é linda! Parece uma joia!!
23. Este exemplo mostra, de forma artística e fantástica a instabilidade do método de Newton-Rhapson com relação ao “chute inicial”. Lembrem-se marcamos um ponto com vermelho quando, a partir dele, o método de Newton-Rhapson converge para a “raiz vermelha”. Definam agora, na figura, o conjunto constituído pelas regiões pintadas de vermelho ...
24. Claro, Loirinha! ... , pois de | +1 − 2 | < 1/2 garantimos que lim →∞ | +1 − 2 | < lim →∞ 1/2 = 0 Surfista, você se lembra como o Mestre provou a convergência método da bisseção?
25. Sim Loirinha, é a teoria de convergência de sequências, que você já viu em Cálculo. Vamos fazer um resumo. E então, Mestres, existe uma teoria geral sobre convergência dos métodos iterativos ?
26. Em todos os métodos, a função f é contínua e funções contínuas “empurram a convergência” no sentido que → ⟹ → (). Todos os métodos iterativos para determinação de uma raiz r de uma equação () = 0 envolvem a geração de uma sequência ( ) tal que → .
27. Já presenciamos esse fato no método da bisseção. Como = 0, segue que: se → então ( ) → 0. Portanto uma forma de conferir a convergência de qualquer método iterativo é testar se < , para cada valor escolhido de .
28. Isto ficou claro. O que não entendi, é a outra condição de parada. Não temos que testar se | − | < , conforme fizemos no caso de = 2, | − 2 | < ? Pois é, minha filha, esse exemplo foi didático. Já sabíamos que = 2 é a raiz. No caso geral não – a raiz é o que buscamos!
29. E como procedemos? Como não sabemos quem é r, não temos como testar a proximidade, | − | < , Bem Loirinha, a explicação é um pouco mais longa
30. Uma sequência ( ) é de Cauchy quando, e apenas quando, satisfaz a propriedade ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que , > ⟹ | – | < . Não estou vendo conexão entre esse novo simbolês e nosso problema!
31. r ( ) 0 1 2 A sequência todinha, exceto alguns termos, está aqui! Bem Surfista, é só trocar esta fala, já dita pelo Filósofo, pela do Sherlock, na próxima transparência.
32. ( ) 0 1 2 A sequência todinha, exceto alguns termos, entra numa caixinha de largura ε . E, obviamente, a raiz r também estará nessa caixinha, talvez grudada na parede dela!
33. Pois é Surfista, mas a sua conclusão só vale naqueles mundos que os matemáticos chamam de completos. Mas tranquilize-se, meu jovem, os espaços euclidianos (classe da qual o mundo em que vivemos faz parte) são completos.
34. Aristóteles 384-322 410 390 370 350 310 290 430 330 Platão 428-347 Euclides 360-295 O nome espaço euclidiano homenageia Euclides, grande matemático contemporâneo de Platão e Aristóteles.
35. • Constituiu o texto fundamental de matemática por cerca de 20 séculos. • Dizem que é o livro mais editado do mundo, ultrapassado apenas pela Bíblia (e Harry Potter...). • O tratado possui uma importância excepcional na história e ensino das matemáticas. • Euclides foi o primeiro a utilizar o método axiomático. • Os Elementos constituiu um exemplo fundamental de sistema lógico, um paradigma perseguido por outras ciências. • ⋯ Os Elementos, de Euclides, é um tratado de matemática, em 13 volumes. Compilei algumas frases relevantes sobre o autor e sua obra:
36. Neles, podemos conferir a convergência comparando a proximidade de dois termos quaisquer, isto é, testando se | – | < , para cada valor escolhido de . Nos espaços completos, em particular nos euclidianos, toda sequência de Cauchy é convergente e vice-versa.
37. Em particular, testar se +1 – < é uma forma de garantir a proximidade de +1 com a raiz. Juro que não entendi! Ah Colega, é só fazer = + 1 e m = .
38. Aristóteles 384-322 410 390 370 350 310 290 1915 430 330 1910 1890 1930 1950 Einstein 1879-1955 Platão 428-347 Euclides 360-295 ±300 Muito bem lembrado, Filósofo. Mas até ele publicar sua da Teoria da Relatividade Geral (1915 dC), todos acreditavam nisso. Mestra, não posso deixar de lembrar que Einstein provou que o espaço em que vivemos não é euclidiano.
39. Não existe uma prova única de convergência, válida para todos os métodos iterativos. É necessário efetuar uma prova específica para cada método. Em particular, a prova de convergência do método de Newton-Rhapson pode ser encontrada em diversos livros de Cálculo/Análise Numérica.
40. Logicamente NÃO, Loirinha. A convergência só é garantida quando você consegue exibir um valor de N tal que , > ⇒ – < , para cada valor escolhido da precisão . Não apenas para = 0.5 × 10−7. Mas Mestre, quando obtenho numericamente, que | +1 − | < 0.5 × 10−7, para algum valor de k, já não garanti a convergência?
41. Para cada caixinha que a Mestra escolher, por minúscula que seja, você sempre conseguirá guardar dentro dela a sequência todinha, exceto alguns termos. Parafraseie o Mestre de forma mais saborosa, Sherlock.
42. 1. Ao perceber um comportamento indicativo de convergência, acreditamos que a sequência é convergente (logo é Cauchy). 2. Para cada valor de n calculamos a diferença |+1 − |. 3. Paramos quando conseguimos +1 − < e | +1 | < para algum valor escolhido da precisão . 4. Assumimos +1 como aproximação ∗ para r. Na realidade, na prática fazemos o seguinte: O passo 1 da lista não é matemática, apenas intuição. O passo 3 é passível de contra-exemplos ...
43. Essa receita do Mestre não é respeitável. Quem diria! Mas é o que há, meu jovem. A própria Ciência não se garante com o Princípio da Indução. Procure descobrir o que falaram sobre o tema filósofos como David Hume, Thomas Kuhn, Karl Popper e outros.
44. Na SciPy, temos diversos métodos desenvolvidos para achar raízes de equações. Essa é orientação que adotamos para nosso curso, Professora. Trabalhar com “softwares” desenvolvidos por especialistas.
45. Vamos à documentação da SciPy. No Tutorial:
46. Lá embaixo da Optimization ainda noTutorial, encontramos:
47. E na Reference da SciPy:
48. Vejam a lista dos métodos:
49. O método da bisseção já conhecemos. Agora é só usá-lo
50. O restante dos parâmetros e o retorno.
51. O de Newton também!
52. O resto das informações!
53. A associação entre reta tangente e reta secante se dá através do quociente de Newton. E o quociente de Newton fornece o coeficiente angular da reta secante, uma aproximação para o valor do coeficiente angular da reta tangente. Sherlock, detalhe por quê o método da secante está junto com o de Newton- Rhapson.
54. Expliquei o método do ponto-fixo em sala! Agora é só usá-lo
55. Loirinha e Surfista, procurem examinar os outros métodos da lista. Particularmente gostaria que vocês estudassem o método de Brentq. É um método mais safo!
56. Tchau, até a próxima aula!