Métodos de ponto-fixo

Por efetuar.

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1. LNCC LNCC UFRJ Métodos de ponto-fixo Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Newton nos ensinou que para enxergar mais longe precisamos subir nos ombros de gigantes. Vejamos o que alguns deles já nos apontaram sobre o conceito de ponto- fixo.
3. Para , , ∈ : 1. , ≥ 0 – não-negatividade 2. , = 0 ↔ = 3. , = , – simetria 4. , ≤ , + , − desigualdade triangular Um espaço métrico é uma entidade matemática constituída por um conjunto M e uma função : × → ℝ, chamada métrica do espaço, que satisfaz as propriedades:
4. Todo espaço vetorial normado é um espaço métrico. Basta definir a métrica por , = − . O exemplo que mais utilizaremos é ℝ com , = − . Em seguida vem os ℝ com a distância definida através das normas que já vimos.
5. Seja : → uma função definida num espaço métrico M . Um ponto ∈ é um ponto-fixo de quando, e só quando, () = .
6. A função : ℝ → ℝ, é definida por = 3 possui três pontos-fixo. É verdade Mestra. Os pontos = 1, = 0 e = −1 são pontos-fixo. Todos satisfazem = .
7. Fazendo as contas está claro, mas são só esses três? Ah, Loirinha, o gráfico de () só corta a reta = nesses três pontos. Atenção para a escala!
8. O programinha do Surfista, que permite achar pontos-fixo por inspeção visual.
9. Uma função : → , um espaço métrico é uma contração quando, e apenas quando, existe uma constante ∈ [0,1) tal que , ≤ , , ∀, ∈ . f () y f () − − () ≤ − com ∈ [0,1) : ℝ → ℝ
10. Um dos resultados mais importantes de análise é o Teorema do ponto-fixo de Banach: Num espaço métrico completo toda contração : → admite um único ponto-fixo ∈ , (isto é = ).
11. Além disso, Mestra, ele é um resultado construtivo. Podemos determinar o ponto-fixo p de f iterativamente, construindo uma sequência 0 , 1 , … , , … tal que lim →∞ = . Basta definir +1 = ( ), com 0 ∈ .
12. Uma das propriedade importantes é que (, ) ≤ 1 − (1 , 0 ) Que permite estimar a velocidade de convergência.
13. As informações sobre ponto-fixo na scipy.optimize.
14. O gráfico, mostrado lá atrás pelo Sherlock, foi obtido com este programa, que usa a função fixed_point( ) da scipy.
15. Este programa mostra, e desenha, algumas iterações ao ponto-fixo de uma função : [, ] → ℝ
16. Observem a convergência das iterações ao ponto-fixo = 0.5 de = ()/2. Claramente, 0.5 = 0.5.
17. Neste caso, também temos a convergência das iterações ao ponto-fixo de = 3−.
18. Observando o gráfico abaixo, podemos afirmar que − () ≤ 0.85 − , ∀ ∈ [0,1], i. é, que f é uma contração nessa grande vizinhança do ponto-fixo = 0.5478 … − () + ()
19. Por quê, Mestre? Simplesmente porque o gráfico de f fica inteiramente contido no cone de convergência. Acompanhe meu raciocínio:
20. Considere um ponto ∈ 0,1 , > . Observe na figura que − < < + (), i. é, − − + < < − + . Portanto − − < − < ( − ) ou, − () < ( − ), já que = (). Claro que o mesmo vale para ∈ 0,1 , < . E em p temos a igualdade, assim − () ≤ − , ∀ ∈ [0,1].
21. A convergência ao ponto fixo de = 0.6[1 + 2 cos()].
22. Claramente, há uma vizinhança do ponto-fixo = 0.562 … para a qual o gráfico de () fica inteiramente dentro do cone de convergência, i. é, − () ≤ − . = 0.9
23. A condição de convergência do teorema de Banach é ∈ 0,1 . Mestre escolheu = 0.9 no seu exemplo para ficar visualmente evidente no gráfico. Bastava eu ter escolhido > () = 0.7177 … Por exemplo = 0.72, que já teria sido suficiente.
24. Este é o programa do cone de convergência.
25. Por inspeção visual, podemos afirmar que = 0, = 1, = 2 e = 3 são pontos fixos de = + 1 2 (), cujo gráfico desenhamos abaixo.
26. Entretanto, mesmo escolhendo 0 = 1.95, muito mais próximo do ponto- fixo = 2, a convergência “vai para” o ponto-fixo = 1 Confira!
27. Mestre, tentei com 0 = 2.05, e também não convergiu para o ponto-fixo = 2. Mas convergiu para o ponto-fixo = 3.
28. O túnel é iluminado do início ao fim pelo teorema do ponto-fixo de Banach. A condição para convergência é que f seja uma contração local entorno de p, i. é: para algum ∈ [0,1), − () ≤ − , para todo nas proximidades do ponto-fixo p. Mestres, há alguma luz no fim do túnel?
29. Se: 1. ∈ [, ], 2. , ⊆ [, ], 3. f é derivável em (a, b) 4. ∃ ∈ 0, 1 tal que ′() ≤ , ∀ ∈ (, ) então, definindo uma sequência 0 , 1 , … , , … por +1 = ( ), com 0 ∈ [, ] poderemos afirmar que: a. lim →∞ = e p é o único ponto fixo de f em [, ] b. − ≤ 0 − , − 0 c. − ≤ [ (1 − )] 1 − 0 , ∀ > 1. Às páginas 58,59 do Análise Numérica de Burden & Faires, 8ª ed. encontramos uma demonstração do Teorema:
30. Esses dois gráficos esclarecem a situação. Essa função f é uma contração local entorno de = 1, mas para num entorno de = 2 temos − () ≳ ′() − e ′ > 1. As retas tangentes em p evidenciam essas afirmações.
31. Mudando de assunto, é imediato que: “p é um ponto-fixo de uma função () se, e somente se, p é raiz de () = − () Confira a afirmação da Mestra, Surfista. Confira também que: “r é raiz de uma função () se, e somente se, r é ponto-fixo de () = − ()”.
32. Com efeito, Mestra: = ⟹ = − = 0 e também = 0 ⟹ 0 = − ⟹ = Deixe a fala do Sherlock por minha conta, Surfista!
33. Vejam no programa a seguir. Obteremos o ponto-fixo de uma função = () usando o método oferecido pela SciPy. Automaticamente teremos a raiz da equação − = 0. Portanto, poderemos usar o método do ponto-fixo para achar raízes de equações.
34. Este programa mostra, numérica e visualmente, que: se () = − então = ⟺ = 0.
35. É mesmo, não vou esquecer jamais!
36. Na realidade, para resolver uma equação () = 0, usando o método do ponto-fixo, tudo que precisamos é escrever = () onde é alguma função construída manipulando algebricamente (). Complicou tudo, Filósofo.
37. Ficou com medo da liberdade, Surfista? Por exemplo, para a equação 3 + 42 − 10 = 0, poderemos buscar pontos fixos de: a. = 3 + 42 + − 10 b. = 1 2 10 − 3 c. = − ′ - o método de Newton-Raphson
38. Já vimos métodos diretos para resolução de sistemas lineares e métodos iterativos para resolução de equações. Passaremos aos métodos iterativos para resolução de sistemas de equações.
39. Agora vamos aplicá-los à resolução de sistemas lineares. Surfista, acabamos de ver espaços métricos e também o conceito de ponto-fixo. Apresentamos esses conceitos de forma muito geral pensando no futuro.
40. Loirinha, lembre-se que uma bola () com centro em c e raio , é o conjunto de todos os vetores ∈ ℝ satisfazendo a desigualdade − < . c Em ℝ Sim Mestra, todo vetor ∈ () satisfaz essa desigualdade. A ponta dele está dentro da bola. c Em ℝ2 x
41. Elementar Sherlock, elementar. Para garantirmos a convergência é preciso que: Para cada bolinha centrada em c escolhida, por minúscula que seja, a sequência entra todinha dentro dela, exceto uns poucos elementos! Meu caro Watson, digo Mestra, faça uma tradução inteligível da frase matemática “ ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que ≥ ⇒ − < ” .
42. Como??? É Surfista, como é o raio da bolinha com centro em c, o trecho “∀ > 0” Pode ser traduzido como: “Para cada bolinha centrada em c escolhida”
43. c c c O pedaço: “por minúscula que seja” pretende indicar que escolheremos raios muito pequenos. Assim, a desigualdade − < significará uma aproximação com precisão de 4 casas decimais após a vírgula quando = 0.5 ∗ 10−4.
44. E o pedaço “ ∃ ∈ ℕ tal que ≥ ⇒ − < ” então fica “a sequência entra todinha dentro dela, exceto uns poucos elementos” Sim, os que ficam fora da bola são aqueles em que < .
45. 0 1 7 c Entendi Mestra, para cada um N. Na minha sequência p/ex., para: • = 0.05, o é 7 e então todos os para > 7 estarão dentro da bolinha; • = 0.0001, o N é 124 e todos todos os para > 124 estarão dentro da bolinha;
46. Pontos são abstrações matemáticas meu filho, não tem tamanho. Protesto! Há uma impossibilidade física, Mestra: Não há como inserir uma infinidade de pontos dentro de bolinhas tão pequenas! 0 1 124 r
47. Pois é, mas o governador e o prefeito do Rio entendem que nós do povo também somos abstrações. Basta ver os trens da Central e os ônibus para o Fundão.
48. O método de Gauss-Jacobi é o mais simples de todos os métodos de ponto-fixo para resolução de um sistema linear = . Como desejamos achar uma “raiz” da equação vetorial () = 0, onde = − , procuraremos por pontos-fixo de alguma função obtida através de manipulação algébrica de ().
49. Portanto se p for um ponto-fixo de F, a igualdade () = 0 será verdadeira, i. é, p será solução do sistema linear = . Em outras palavras, como = − vamos procurar pontos-fixo de = (, , ).
50. Para tudo funcionar, precisaremos garantir que a () seja uma contração. Por esse motivo escolheremos = −1 − − , onde é a diagonal da A.
51. Essa escolha funcionará sempre Mestre? Não, Loirinha, dependerá da matriz A do sistema linear.
52. Clamo por um exemplo concreto! Atenda ao Surfista, Mestre.
53. O Método de Jacobi é um método de ponto-fixo para resolução de sistemas lineares.
54. O mesmo método. Neste código usamos arrays; no anterior matrizes.
55. = Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Ou pode ser escrito equação por equação.
56. Separando o termo x 1 da 1ª equação, o x 2 da 2ª (e assim por diante) e isolando x 1 na 1ª, x 2 na 2ª (e assim por diante), obtemos:.
57. = 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ # = − e Se D e A# são as matrizes acima, então as equações indicadas pela Mestra ficam: = −1( − #)
58. Notem que = −1( − #) é uma identidade vetorial da forma = (), i;é, do tipo ponto-fixo. O método de Gauss-Jacobi usa-a para aproximar a solução do sistema linear = .
59. +1 = −1( − #) para = 0, 1, 2, … , com 0 dado A partir dela criamos o esquema iterativo:
60. = 1,2, … , +1 ← 1 =1 ≠ . , para Na prática, trabalharemos com cada equação separadamente. Vejam a i-ésima equção:
61. Professor, faça um exemplo, numérico, por gentileza. Eu me atrapalho bastante com somatórios. 50 + 21 + 2 = −1 0 + 31 − 2 = 0 0 − 21 + 42 = 5 Ok Loirinha. Vamos resolver o sistema linear abaixo pelo método de Gauss-Jacobi.
62. 50 = −1 − 21 − 2 31 = 0 − 0 + 2 42 = 5 − 0 + 2 1 0 = 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 = 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 = 1 4 (5 − 0 + 21 ) É tudo muito simples, começamos isolando x 0 na 1ª equação, x 1 na 2ª e x 2 na 3ª.
63. 0 +1 = 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 +1 = 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 +1 = 1 4 (5 − 0 + 21 ) E as equações de iteração ficam:
64. 0 ← 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 ← 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 ← 1 4 (5 − 0 + 21 ) . Computacionalmente, usamos um vetor y para guardar os novos valores do vetor x. Fazemos isso usando uma função vetorial que recebe o vetor x e devolve o vetor y.
65. Agora, vamos inserir o método de Gauss-Jacobi no contexto de ponto-fixo. Desejamos achar uma “raiz” da equação vetorial () = 0, onde = − . Então, procuraremos por pontos-fixo de alguma função obtida através de manipulação algébrica de ().
66. Entretanto, ele tem apenas interesse didático! Acabamos de mostrar que o método de Gauss-Jacobi é um método do ponto-fixo para sistemas lineares.
67. Sendo muito prático Professora mostre-nos como se programa tudo isso. É prá já, Surfista. Eu mesmo vou fazer!
68. Nos três exemplos a seguir utilizamos um programa que define as equações de iteração e chama um dos programas desse módulo. Eu e a Professora criamos o módulo sis_lin_iter para guardar os métodos iterativos que usaremos.
69. Este é o programa do módulo.
70. Este é o programa chamador. Ele importa o gauss_jabobi e define as equações de iteração.
71. Muito lento, 54 iterações para um sistema 3x3 As 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
72. Como eu disse, Surfista, o método de Gauss-Jacobi tem apenas interesse didático. Eis o resultado final.
73. Sim Professor. Ao calcular o novo valor da variável x k utilizamos todos os novos valores das variáveis x 0 , x 1 , ..., x k-1 . O método de Gauss-Seidel é uma modificação esperta do método de Gauss-Jacobi.
74. Ele é praticamente igual ao método de Gauss-Jacobi. Só que, ao calcular o novo x 10 , por exemplo, usamos os valores de x 0 , x 1 , ... , x 9 , que acabamos de calcular!
75. Não entendi! Vocês podem explicar melhor? 50 + 21 + 2 = −1 0 + 31 − 2 = 0 0 − 21 + 42 = 5 Ok Loirinha. Vou mostrar como fica no mesmo sistema linear que usei para o Gauss-Jacobi.
76. 0 ← 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 ← 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 ← 1 4 (5 − 0 + 21 ) Veja só como a ideia é simples:
77. Compare esta linha de código com a mesma no método de Gauss-Jacobi.
78. Compare esta iterEqs com a do método de Gauss-Jacobi.
79. Melhorou bastante. Agora são 30 iterações. Novamente, as 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
80. Reduzimos em 44% (≅ 1-30/54) o número de iterações, apenas com a “modificação esperta”
81. Sim Professor. Vou mostrar a ideia na próxima transparência. O método de Gauss-Seidel com fator de relaxação é uma modificação do próprio método de Gauss-Seidel.
82. Para calcular o novo xi usamos uma média ponderada entre os antigos. Na expressão acima, fator de ponderação é o ω (a letra grega ômega minúscula)
83. u v ω u + (1-ω) v A ideia da ponderação. Quando = 1 temos o próprio método de Gauss-Seidel. Quando 0 < < 1 falamos em sub- relaxação e quando > 1 falamos em sobre-relaxação.
84. O fator de ponderação ω ótimo é calculado da forma abaixo.
85. O método implementado.
86. Continuação.
87. Chamando o método.
88. Novamente, as 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
89. Reduzimos ainda mais o número de iterações.
90. Tchau, até a próxima aula!