ℎ→0 + ℎ − () ℎ A intuição por trás dessa imagem é que: “se a curva (azul) definida pelo gráfico da função f é suficientemente suave, então a reta secante (vermelha) tenderá à reta tangente (verde) quando ℎ → 0”.
é melhor. Há garantias matemáticas disto? Sim Filhota. É algo que, por hora, examinaremos graficamente. A prova envolve o conhecimento de série de Taylor, que veremos depois.
(), num intervalo , dado e um ponto 0 ∈ [, ] e mostre as três sequências desenhadas na transparência anterior e os gráficos em escala logarítmica mostrados a seguir.
Os erros por DDF avançadas e retardadas é igual e eles decaem na mesma velocidade (estão superpostos na descida). 3. As DDF centradas convergem mais rapidamente que as outras duas (vermelho abaixo de azul e verde e com inclinação maior). 4. O erro mínimo nas aproximações por DDF centrada é da ordem de 10−11, muito menor que nas outras duas, entre 10−8 e 10−7. 5. Após o mínimo todos os erros crescem, estacionando num valor máximo (horizontal à direita). Observem que:
transferência de energia térmica de uma região onde a temperatura é maior para uma região onde ela é menor. Condução de calor Como modelar a propagação do calor?
a Lei de Fourier fica: , = − (, ) Nessa fórmula: • k é o coeficiente de difusividade térmica, • ρ é a densidade do material, • C é a capacidade calórica do material. Talta (, ) Tbaixa
∙ é o fluxo de calor entrando • ∙ + ∆ é o fluxo de calor saindo • O calor acumulado nesse volume elementar, na ausência de fontes ou sumidouros, é proporcional a ∆ ∙ ∆ Talta Tbaixa (, ) ( + ∆, ) ∆
da superfície lateral da barra, é proporcional à diferença de temperatura entre a barra e o meio no ponto e no instante , podemos escrever (, ) = 2(, ) 2 + +
, + (0, ) = , t > 0 Uma distribuição inicial de temperatura: , 0 = , ∈ [0. ] A lei que rege o fenômeno: (, ) = 2(, ) 2 + + para (, ) ∈ 0, × (0, ∞) Temos então um problema de valor inicial e de contorno:
para ≥ 0, temos o problema homogêneo. • No problema de Neumann, quando, ℎ = = 0 para ≥ 0, dizemos que as fronteiras são reflexivas. • Quando = = 0, temos o problema de Dirichlet. • Quando = = 0, temos o problema de Neumann. • Caso , , e são diferentes de zero temos o problema de Robin.
de todos, quando = = 0. Para obter uma solução aproximada do problema de valor inicial e de contorno, precisaremos efetuar discretizações espaciais e temporais.
x 1 x 2 t 0 = 0 t 3 t 1 t 2 t 18 t 19 t 20 = t F x 29 x 30 Assumindo ∆ = ( − )/ construímos uma malha espacial cujos pontos internos ao [, ] são dados por = + ∆, com = 1, ⋯ , . Então, para ∆ dado e = ∆, = 0, 1, 2, ⋯, teremos uma malha temporal num intervalo finito [0 , ], onde = ∆.
x 1 x 2 t 0 = 0 t 3 t 1 t 2 t 18 t 19 t 20 = t F x 29 x 30 2,3 = (2 , 3 ) Adotaremos a notação simplificadora: , = ( , ) Com essa notação, a equação , = 2 2 , pode ser reescrita como , = 2, 2 , uma igualdade válida para cada ponto interno da malha.
x 1 x 2 t 0 = 0 t i+1 t i t F x 29 x 30 A ideia para resolver numericamente o problema é: conhecidos os valores da temperatura num nível de tempo calcular os valores da temperatura no nível de tempo seguinte +1 usando as aproximações em diferenças finitas. +1, ,
x 1 x 2 t 0 = 0 t i+1 t i t F x 29 x 30 +1, , • Aprox. espacial no nível de tempo : 2 , 2 ≅ +1,−2,+,−−1, (∆)2 • Aprox. espacial no nível de tempo + 1: 2,+1 2 ≅ +1,+1−2,+1+,−−1,+1 (∆)2 • A passagem entre níveis de tempo (mesmo ): • diferenças avançadas: , ≅ ,+1−, ∆ • diferenças retardadas: , ≅ ,−,−1 ∆
x 1 x 2 t 0 = 0 t i+1 t i t F x 29 x 30 No método explícito, você calcula diretamente o valor de +1, em função dos valores conhecidos de ,−1 , , , ,+1 . +1, ,
x 1 x 2 t 0 = 0 t i+1 t i t F x 29 x 30 No método implícito, você precisará resolver um sistema linear envolvendo os valores de +1,+1 , +1, , +1,+1 em função dos valores conhecidos de , . +1, ,
x 1 x 2 t 0 = 0 t i+1 t i t F x 29 x 30 No método de Crank-Nicholson, você precisará resolver um sistema linear envolvendo uma média entre os valores do método implícito e explícito. +1, ,
− −1 , +1 = ൗ [ (∆)2 ∆ ] , , para k = 1, … , • ,0 = , para = 0,1, … , + 1 • ,0 = 0, para = 0, … , • , +1 = 0, para = 0, … , Resolvendo a equação do método implícito para o nível de tempo, + 1 recairemos num sistema linear de equações à incógnitas:
− −1 −1 2 − 1 , 1 2 , 1 ⋮ −1 , 1 , 1 = 1 2 ⋮ −1 A solução do problema de valor inicial e de contorno homogêneo de Dirichlet, no 1º nível de tempo, é a solução do sistema linear:
, , , , , , e as funções: • A distribuição inicial de temperatura inicial ↦ () em [0, ], • ↦ ℎ() e ↦ () em 0, que definem as condições de contorno, e resolva o problema de valor inicial e de contorno descrito na próxima transparência pelo método de Crank- Nicholson e mostre a solução graficamente. 3ª questão:
10 ºC T = 20 ºC Surfista, imagine agora uma placa de metal, quadrada, cujas bordas são mantidas às temperaturas indicadas. Como será a distribuição de temperatura no interior da placa em estado estacionário?
de uma malha uniforme envolvendo n subintervalos na direção x e outros m subintervalos na direção y. No exemplo = = 4. 1 4 3 5 6 7 8 9 2 a b c i h g d e f l k j
parciais por diferenças finitas. 1 4 3 5 6 7 8 9 2 a b c i h g d e f l k j O valor da temperatura T nos pontos da borda da placa (em amarelo, azul e verde) é conhecido.
temperatura T em pontos internos da malha obedece o esquema em cruz indicado abaixo para o ponto 3. 2 3 2 ≃ − 23 + 6 ℎ2 2 3 2 ≃ 2 − 23 + ℎ2 1 4 3 5 6 7 8 9 2 a b c i h g d e f l k j
pacote scipy.linalg. Como a matriz desse sistema linear, com sinal trocado, é semi-definida- positiva e de banda, poderemos utilizar cholesky_ banded( ) e cho_solve_banded( ).
na horizontal por outros 50 pontos internos na vertical. Ao todo teremos 2.500 pontos internos e, consequentemente, um sistema linear de 2.500 equações à 2.500 incógnitas! Impressionante Mestra! Mas continuará sendo um sistema penta- diagonal. A única diferença é que a 2ª sobre diagonal iniciará na coluna 51 e a 2ª sub diagonal na linha 51.
métodos apropriados para resolver o sistema linear são os métodos iterativos. Existem métodos iterativos não- estacionários para resolução de sistemas lineares desse tipo. Mas agora, neste Carnaval, vou sair no meu bloco em Ipanema.
de ser descrito numa malha retangular com pelo menos 30 x 40 pontos internos e uma distribuição inicial de temperatura (, ) ↦ (, ) dada. A solução deverá ser apresentada na forma de uma anição temporal. 4ª questão: