Recordação de álgebra linear

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1. Recordação de Álgebra linear Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. x y = / v Para qualquer vetor não-nulo v, o vetor e definido por = é unitário. Ele é dito versor associado a v. Versores são ferramentas para estabelecer direção, sentido de percurso e unidade de medida.
3. v i j k Em física e engenharia os versores das direções dos três eixos x, y, z são anotados i, j ,k. Temos: = 1 0 0 , = 0 1 0 , = 0 0 1 . Dado um vetor = 1 2 3 do espaço euclidiano 3d, é imediato que = 1 + 2 + 3 .
4. No espaço euclidiano n-dimensional os versores correspondentes aos eixos 1 , 2 , ⋯ , são 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ⋯ , = 0 0 ⋮ 0 1 Também é claro que se = 1 2 ⋮ então = 1 1 + 2 2 + ⋯ + .
5. O Surfista tem razão, Mestra. Além de calcular o tamanho, que mais poderemos fazer além de combinações desse tipo? Muitas coisas mais, minha filha, mas você lembrou-me de um termo importante. Mestres, podemos fazer pouca coisa com vetores. Só umas combinações tipo 2 3. −1. 2.5 + 0.5 0.4 1.5 2.0 .
6. O termo usado para expressões do tipo 1 2 ⋮ = 1 1 1 1 2 ⋮ 1 + 2 2 1 2 2 ⋮ 2 + ⋯ + 1 2 ⋮ é combinação linear. Exatamente. Um vetor n dimensional u é uma combinação linear de vetores n dimensionais 1, 2, ⋯ quando = 1 1 + 2 2 + ⋯ + , para números reais 1 , 2 , ⋯ , ∈ ℝ.
7. Observem que uma igualdade vetorial é equivalente a uma igualdade para cada componente dos vetores que se igualam. Portanto uma igualdade entre matrizes coluna de ordem n corresponde n igualdades numéricas: 1 = 1 1 1 + 2 2 1 + ⋯ + 1 2 = 1 1 2 + 2 2 2 + ⋯ + 2 ⋯ = 1 1 + 2 2 + ⋯ +
8. Este é o momento exato dos computadores e dos processadores entrarem em nosso cenário. Por quê, Mestre? Qual a conexão entre matrizes coluna e computadores?
9. Loirinha, desde o ENIAC, com suas 17.468 válvulas, e que começou a funcionar em 1946, eles fazem isso. Foram criados para efetuar montanhas de adições e multiplicações. É, mas hoje fazem muito mais. Para jogar League of Legends preciso de acesso à Internet e de uma GPU para suportar os gráficos.
10. GPUs realizam combinações lineares “mais rápido que The Flash”. Elas possuem centenas de ALUs dedicadas a FLOPS.
11. FLOPS – operações em ponto flutuante por segundo
13. Aliás, lá na 2ª aula, citamos o padrão IEEE 754. Fiquem tranquilos, meus jovens, daqui a algumas aulas explicaremos direitinho o que é ponto flutuante.
14. As CPU’s de 8 núcleos mais rápidas. Hoje, 04/04/2013.
15. A lista dos 10 supercomputadores mais rápidos, em novembro/2012.
16. Detalhes do mais rápido em novembro/2012.
17. O produto de uma matriz linha = [1 2 ⋯ ] por uma matriz coluna = 1 2 ⋮ nessa ordem, é o número real definido por ∙ = 1 1 + 2 2 + ⋯ + . Loirinha, esta é uma operação entre matrizes linha e coluna de ordem n:
18. O produto escalar (ou produto interno) de duas matrizes coluna = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋮ é o número real definido por , = 1 1 + 2 2 + ⋯ + . Agora, Surfista, note a semelhança:
19. Claro, para = 1 2 ⋮ temos: , = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 = 2 Observem a conexão entre tamanho de vetor e produto escalar: = ,
20. Dados dois vetores livres u e v, do espaço euclidiano n-dimensional, vale a desigualdade , ≤ . É uma desigualdade deveras importante e é conhecida pelo nome de desigualdade de Cauchy-Schwarz.
21. Para prová-la precisamos da lei dos cossenos: “Num triângulo de lados a,b,c vale a igualdade 2 = 2 + 2 + 2 cos() sendo θ o ângulo formado pelos lados b e c“. a b c θ A B C H s r h Na figura, θ é um ângulo agudo. Surfista, faça a prova quando θ for obtuso. Quando = /2 temos o teorema de Pitágoras.
22. a b c θ A B C H s r h Seja H o pé da perpendicular pelo vértice C ao lado AB . Sejam ℎ = , = , s = . Então, pelo teorema de Pitágoras: 2 = 2 + ℎ2 e 2 = 2 + ℎ2 Daí obtemos 2 = 2 + 2 − 2. Como = − temos 2 = ( − )2+2 − 2 = 2 + 2 − 2. Como = cos(), segue a lei dos cossenos: 2 = 2 + 2 − 2 cos().
23. θ v u − Em termos de vetores livres u e v, a lei dos cossenos fica: − 2 = 2 + 2 − 2 cos() Temos também − 2 = − , − = 2 + 2 − 2 , . Combinando essas duas obtemos , = cos .
24. Portanto, se ≠ 0, ≠ 0 temos , = cos θ e consequentemente −1 ≤ , ≤ 1 θ v u − Segue daí a desigualdade de Cauchy-Schwarz , ≤
25. Portanto o ângulo entre dois vetores ≠ 0 e ≠ 0 do espaço euclidiano n-dimensional pode ser calculado através da fórmula: = cos , Se é o ângulo entre dois vetores não-nulos u e v, então: • é agudo ↔ , > 0 • é obtuso ↔ , < 0 • = 2 ↔ , = 0. Neste caso u e v são ditos serem vetores ortogonais. θ v u
26. A projeção ortogonal do vetor u sobre um versor v é o vetor u v dado por = cos , onde θ é o ângulo, 0 ≤ ≤ , entre u e v. Algebricamente, é mais prático usar = ,
27. Veremos em nosso curso que projeção ortogonal é um conceito importantíssimo em álgebra linear, matemática e matemática aplicada. Projeções ortogonais são muito usadas por físicos e engenheiros para determinar a “componente de uma força” ou a “componente da velocidade” numa determinada direção.
28. A célebre experiência de Galileu, do plano inclinado, para determinar a velocidade de queda dos corpos. A distância percorrida é proporcional ao quadrado do tempo: ∝ 2
29. g A projeção, na direção do plano inclinado, = cos 90 − = sen da aceleração da gravidade g é quem acelera a bola.
30. Galileu Galilei é considerado o pai da Revolução Científica. No Ensaiador: “ A filosofia está escrita neste grande livro, o universo... Ele está escrito na linguagem da matemática e seus caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas...”
31. Agora vamos apresentar um dos conceitos mais importantes da matemática. O de espaço vetorial. Surfista, dada a importância do tema, vá vestir um smoking.
32. Você ficou um gatinho! Um espaço vetorial (, ℝ, +,∙ ) sobre os reais é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto V e duas operações. Os elementos de V são chamados vetores.
33. Para , , : 1. Comutatividade: + = + 1. Associatividade: + + = + ( + w) 3. O vetor nulo, 0, é o elemento neutro para a adição de vetores: 0 + = 4. Cada vetor tem seu oposto: + (−) = 0 Uma das operações é a adição de vetores + ∶ × → , que deve satisfazer as propriedades:
34. Para , ∈ ℝ, , : 1. 1ª distributividade : ∙ + = ∙ + ∙ 2. 2ª distributividade: (α + ) ∙ = ∙ + ∙ 3. 3ª distributividade: () ∙ = ∙ ( ∙ ) 4. O 1 é o elemento neutro multiplicativo: 1 ∙ = A outra operação é a multiplicação de um vetor por um fator de escala ∙ ∶ ℝ × → , que deve satisfazer as propriedades:
35. Uma matriz de ordem × é uma tabela de com m linhas e n colunas. Como abaixo. Para resumir tudo isso, escrevemos = [ ]. Cada é um número real, posicionado no cruzamento da linha i com a coluna j. Anotaremos por ℳ× o conjunto de todas as matrizes de ordem × . = 11 12 21 22 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas ??
36. Mestres, qual a conexão entre matrizes e vetores? Se elas são vetores, onde escondem suas flechas? Pois é, Loirinha. Matrizes também são vetores! Esqueça as flechas!
37. Vetores são apenas entidades abstratas (objetos, coisas, ...) que podem ser somados e escalados. E precisam cumprir as oito propriedades listadas na definição. Sim, temos que saber somar matrizes e multiplicá-las por números reais. E verificar que elas satisfazem as oito propriedades.
38. Por exemplo: 2.0 3.0 1.0 −1.0 0. 2.5 + 0.5 −0.5 2.0 1.0 1.0 −1.0 = 2.5 2.5 3.0 0. 1.0 1.5 A soma entre entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por + = [ + ].
39. O produto por fator de escala entre um número real e uma matriz = [ ] de ℳ× é a matriz de ℳ× definida por = [ ]. Para = 2. e = 1.1 0.7 −1.4 2.3 temos = 2.∗ 1.1 2.∗ 0.7 2 ∗ (−1.4) 2 ∗ 2.3 = 2.2 1.4 −2.8 4.6 .
40. É um trabalho de rotina conferir que as operações com matrizes de ℳ× e números reais satisfazem as oito regras da definição de espaço vetorial. Surfista, confira o que o Sherlock falou.
41. O conjunto ℳ× das matrizes de ordem × com as operações de adição e multiplicação por fator de escala constituem um espaço vetorial. So, never forget:
42. Também olharemos para uma matriz ∈ ℳ× como um vetor linha formado por n vetores coluna de ordem m = 1 2 ⋯ = 11 21 ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 ⋯ 1 2 ⋮
43. Ou ainda como um vetor coluna formado por m vetores linha de ordem n = 1 2 ⋮ = 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ 1 2 ⋯
44. Em FORTRAN, as matrizes são armazenadas na memória dos computadores como um grande vetor, coluna após coluna. Já em C, C++ e Java, elas são armazenadas linha após linha. Em C, C++ e Java: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Em FORTRAN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 4 7 2 5 8 3 6 9
45. • As matrizes quadradas de ordem n. Matrizes × , com = , o mesmo número de linhas e colunas. • Os vetores coluna de ordem m. Matrizes × 1, isto é, matrizes coluna de ordem m. • Os vetores linha de ordem n. Matrizes 1 × , isto é, matrizes linha de ordem n. Três tipos particulares de matrizes merecem destaque, relativamente à sua ordem × : Os ingredientes fundamentais da Álgebra linear computacional residem em ℳ× .
46. • A adição de matrizes de mesma ordem. • A multiplicação de um número por uma matriz. • A multiplicação direta entre duas matrizes de mesma ordem. São muitas as operações possíveis entre matrizes. Já vimos duas. Uma terceira fornece o produto direto.
47. O produto direto entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por = [ ∗ ]. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = 2. −1. 1. 0.5 2. 3. temos = 2. −2. 3. 2. 10. 18.
48. É possível definir uma multiplicação entre uma matriz ∈ ℳ× e um vetor coluna de ordem n. O produto é um vetor coluna de ordem m. Nesse caso, é mais conveniente tratar a matriz A como um vetor coluna com m linhas, = 1 2 ⋮ . O vetor coluna resultante, y, possuirá n linhas e será definido por = = 1 2 ⋮
49. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = −1. 0. 2. temos = 1.∗ −1. + 2.∗ 0. +3.∗ 2. 4.∗ −1. + 5.∗ 0. +6.∗ 2 = 5.0 8.0 Atenção com a condição de compatibilidade: o número de colunas de A e o de linhas em x precisam ser iguais.
50. Usando essa multiplicação de matriz por vetor coluna, podemos definir uma multiplicação entre matrizes A e B. É claro que temos que respeitar a condição de compatibilidade. Em outras palavras, o produto só estará definido quando ∈ ℳ× e ∈ ℳ× . O produto AB será uma matriz de ℳ×
51. Considerando as linhas de A e as colunas de B, = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋯ , a matriz produto será uma matriz de ℳ× dada por ∙ = [ ], confira: = 1 1 1 2 2 1 2 2 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas
52. Para = 1. 3. 0.5 2. 2.1 2.2 3.1 4.3 3.3 e = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. temos: = = 16.5 21.0 25.5 25.4 32.1 38.4 40.4 Por exemplo: 12 = 1. 3. 0.5 2. 5. 8. = 1.∗ 2. +3.∗ 5. +0.5 ∗ 8. = 21. 23 = 2. 2.1 2.2 3. 6. 9. = 2.∗ 3. +2.1 ∗ 6. +2.2 ∗ 9. = 38.4. Calculem vocês os valores de x e y.
53. Conjuntos permitem agrupar coisas mediante propriedades. Algumas delas permitem subclassificar seus elementos. Subconjuntos e subespaços vetoriais incorporam essa ideia.
54. Eu posso traçar muitas retas num plano e também imaginar muitos planos no espaço euclidiano. É, retas são subconjuntos de planos e planos são subconjuntos do espaço euclidiano.
55. O prefixo sub objetiva evidenciar a propriedade de fechamento: ∀ ∈ ℝ, ∀, ∈ , + ∈ . Um subconjunto W de um espaço vetorial V que é, ele mesmo, um espaço vetorial com as operações de V é um subespaço vetorial de V.
56. Não percebi claramente a sutileza, Mestra! O que a Mestra quis dizer com a fórmula é: “W é subespaço de V quando combinações lineares de elementos de W não escapam de W”
57. Será que vale a fórmula + ç . = ç . ? Vocês perceberam que o vetor nulo é especial? Todo espaço vetorial precisa possuir um!
58. Grande dica Sherlock! Loirinha, tua fórmula só vale para as retas passam pela origem. Mas só isto basta? E as operações com os vetores?
59. As funções contínuas em [0, 1] constituem um subespaço de ℱ[0,1]. E ele é anotado 0,1 . Sim: • A soma de funções contínuas também é contínua. • A escalada de uma função contínua não perde essa qualidade.
60. As funções polinomiais em ℝ constituem um subespaço de ℱ. E ele é anotado . Sim: • A soma de polinomiais também é uma função polinomial. • A múltipla de uma função polinomial não perde a sua qualidade.
61. As matrizes triangular inferior constituem um subespaço de . O mesmo é verdade para as matrizes triangular superior. Sim: • A soma de matrizes triangular inferior é uma matriz triangular inferior. • A múltipla de uma matriz triangular inferior não deixa de ser triangular inferior.
62. As matrizes simétricas constituem um subespaço de . Sim: • A soma de matrizes simétricas é uma matriz simétrica. • A múltipla de uma matriz simétrica não deixa de ser simétrica.
63. Se X é um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, o conjunto constituído por todas as combinações lineares dos vetores de X é um subespaço de V. Ele é chamado de subespaço gerado por X. O subespaço gerado por X pode ser o próprio V.
64. Vetores = 1 2 3 , = 1 2 3 , = 1 2 3 , não-nulos, são linearmente independentes quando a igualdade 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 = 0 0 0 só for válida para = 0, = 0, = 0. Agora uma grande definição:
65. Três formas distintas de escrever um sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas. 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = Equações 1 1 1 2 2 2 3 1 = Produto matriz-vetor 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 = Combinação linear
66. De acordo com o que o Mestre escreveu, podemos concluir que vetores = 1 2 3 , = 1 2 3 , = 1 2 3 são linearmente independentes quando o sistema linear abaixo possuir somente a solução nula: = 0, = 0, = 0. 1 + 1 + 1 = 0 2 + 2 + 2 = 0 3 + 3 + 3 = 0 ⟹ = 0 = 0 = 0 1 1 1 2 2 2 3 1 = 0 0 0 ⟹ = 0 0 0
67. É isso aí Loirinha! Em outras palavras, só quando o sistema linear homogêneo 1 2 ⋯ = 0 0 ⋮ 0 , cuja matriz é formada pelos vetores coluna 1, 2, ⋯ , , fornecer a solução nula, = 0 0 ⋯ 0
68. Uma base B de um espaço vetorial V é um subconjunto LI maximal. Em outras palavras, se ∉ então ∪ será LD.
69. A dimensão dim() de um espaço vetorial V é o número de vetores uma base de V. A maximalidade garante que todas as bases de V possuirão o mesmo número de elementos.
70. Teremos a oportunidade de ver alguns espaços de funções cuja dimensão é infinito enumerável. Um espaço vetorial possui dimensão finita quando dim ∈ ℕ.
71. Ao final destas transparências, falarei mais sobre abstração em matemática. Em particular sobre estruturas algébricas.
72. Surfista, você tem ideia do que é uma álgebra? E de uma álgebra linear? A abstração matemática nos leva além do conceito de espaço vetorial - ao conceito de álgebra linear.
73. Uma álgebra linear é um espaço vetorial V no qual está definida uma multiplicação ∙ ∶ × → que satisfaz as propriedades: Para , ∈ , ∈ ℝ: • Distributividade pela esquerda: + ∙ = ∙ + ∙ • Distributividade pela direita: ∙ + = ∙ + ∙ • Compatibilidade com fator de escala: () ∙ = ()( ∙ )
74. Na Wikipedia:
75. Um exemplo da Wikipedia. Esta é comutativa.
76. O espaço vetorial ℳ , das matrizes quadradas de ordem n constitui uma álgebra linear com a operação de multiplicação de matrizes. Ela não é comutativa, veja um contra-exemplo na próxima transparência.
77. Confiram que ∗ ≠ ∗ .
78. • O espaço ℙ das funções polinomiais torna-se uma álgebra linear com multiplicação herdada de ℱ(, ℝ); • O mesmo vale para , . É muito fácil conferir que ℱ(, ℝ) torna-se uma álgebra linear com a multiplicação assim definida. Dadas duas funções , ∈ ℱ(, ℝ) o produto ∙ ∈ ℱ(, ℝ) é a função definida para cada ∈ por ∙ = () ∙ ()
79. Mas, como se diz por aí, “vamos em frente que atrás vem gente”.
80. A forma de definir o conceito de tamanho, de norma de um vetor, em espaços vetoriais abstratos é exigir o cumprimento de três condições satisfeitas pelas normas no plano e no espaço euclidianos. A 1ª é muito natural e intuitiva: o tamanho de um vetor não pode ser negativo; mais que isso, se o tamanho de um vetor é zero ele tem que ser o vetor nulo. Não importa que coisa é esse vetor. As outras duas envolvem as operações de espaços vetoriais: a escala e a soma. Confiram na próxima transparência.
81. Uma função ∙ ∶ ⟶ ℝ definida num espaço vetorial V é uma norma quando satisfaz: I. ≥ 0 e = 0 ⇒ = 0. II. = - a escala III. + ≤ + - a desigualdade triangular para , ∈ e α ∈ ℝ. Aqueles espaços vetoriais em que é possível definir uma norma são chamados espaços normados. Os espaços euclidianos são espaços normados (prove isto, Loirinha).
82. Espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Um espaço normado é completo quando toda sequência de Cauchy é convergente para um vetor do próprio espaço.
83. Os espaços euclideanos são espaços de Banach. O espaço [, ] das funções contínuas num intervalo fechado [, ], com a norma ∞ = max ∈[,] () é um espaço de Banach.
84. Nossa, já estamos medindo tamanho de funções! É, qual será o tamanho de = 2cos( ) ?
85. Imaginando que ela está definida no intervalo 0,2 , é só calcular o o valor máximo de () em [0, 2]. Veja graficamente:
86. Atenção para o detalhe neste outro exemplo, Surfista.
87. Loirinha, esse é o programa. Ele permite que você escolha o domínio e a expressão da função.
88. Mas como faremos para medir ângulos entre esses vetores abstratos? A Loirinha está impossível, hoje! Again, with abstraction my dear Blonde, with abstraction!
89. Os espaços vetoriais para os quais é possível definir uma tal função são denominados espaços com produto interno. Um produto interno num espaço vetorial V é uma função, ∙ , ∙ ∶ × → ℝ, satisfazendo as propriedades: I. , = , II. , + = , + , III. , = , = , IV. , > 0, se ≠ 0 e , = 0, se = 0.
90. Todo espaço vetorial V com um produto interno ∙ , ∙ é, automaticamente, um espaço normado. Claro, basta definir a norma de V por = , , ∀ ∈
91. Torno a repetir minha pergunta! Como faremos para medir ângulos entre esses vetores abstratos? Essa é fácil, através da fórmula = cos , se ≠ 0 e ≠ 0, como antes.
92. Certo Surfista, mas antes você tem que garantir a validade da desigualdade de Cauchy- Schwartz. Sim, é preciso garantir que , ≤ , para então poder calcular θ = arc cos( , )
93. Mestra eu queria mesmo saber é como calcular o ângulo entre duas funções! Te prometo alguns exemplos nas próximas aulas.
94. Diremos que dois vetores abstratos u e v são ortogonais quando , = 0. O caso trivial é o vetor nulo, 0, ortogonal a todos os outros. E a projeção ortogonal de um vetor abstrato u sobre um vetor abstrato v é o vetor dado por = ,
95. Ora, Surfista, é só substituir cos por , na fórmula antiga. Faça as contas! Não entendi, Mestra.
96. Os espaços de Hilbert são os espaços vetoriais abstratos onde nossa intuição euclidiana é preservada ao máximo. Espaços de Hilbert são espaços com produto interno onde toda sequência de Cauchy é convergente. É a preservação de outra característica fundamental do plano e espaço euclidianos.
97. • O espaço ℒ2 , das funções de quadrado integrável. • Os espaços de Sobolev 1, 0 1 , 2, etc, ambientes naturais para soluções de EDPs. Além dos espaços euclidianos de dimensão finita, é claro! Alguns exemplos importantíssimos de espaços de Hilbert (instâncias), são os seguintes:
98. Você não viu isto em Cálculo, Surfista? Vou tornar a explicar mais adiante no curso. Mestra, faltou explicar o que é uma sequência de Cauchy!.
99. Tchau, até a próxima aula!
100. Abstração em matemática; em particular estruturas algébricas!
101. Essa evolução das entidades matemáticas em direção à abstração culmina com o conceito de estruturas algébricas, baseado essencialmente na teoria dos conjuntos. O representante, por excelência, desse modo de pensar abstrato é o grupo de matemáticos, na maioria franceses, conhecido sob o pseudônimo de Bourbaki.
102. Outros livros dos “Elementos” de Bourbaki (não os de Euclides) são: Álgebra, Topologia, Funções de uma variável real, Espaços vetoriais topológicos, Integração, Àlgebra comutativa e Teoria espectral. As publicações do grupo talvez sejam o último trabalho com pretensões enciclopédicas na matemática... Elas iniciaram os “Elementos de Matemática” com ”Teoria dos Conjuntos”
103. Rafael pintou Platão, em “Escola de Atenas” com o rosto de Leonardo da Vinci, em vingança ao fato dele desprezar os artistas. Segundo Platão artistas fazem cópias da cópia da realidade, que é o “mundo das ideias”. Tão platônicos quanto o próprio Platão.
104. Críticas severas ao grupo
105. Repetindo, os Bourbaki tem interesses mínimos por: • Algoritmos • Resolução de problemas • Heurística • Lógica • Aplicações Mestre, temos então um conflito enorme de interesses. Já vimos que esses conceitos são fundamentais para nosso curso!
106. Exato Loirinha, mas não se trata de certo ou errado. Apenas interesses distintos. Não entre na polêmica Matemática x Matemática aplicada É a velha disputa Platão x Aristóteles
107. Entretanto as estruturas algébricas são fundamentais às matemáticas. Como o esqueleto, que nos sustenta. Estruturas algébricas são entidades abstratas constituídas por um conjunto (ou mais), operações sobre seus elementos e regras para operar.
108. A estrutura de grupo envolve apenas um conjunto e uma operação. As estruturas de anel e corpo, envolvem um conjunto com duas operações. Já a estrutura de álgebra linear um conjunto e três operações. Vamos entender primeiro a estrutura de grupo.
109. 1. A operação ⋆ é associativa, isto é, vale a regra ⋆ ⋆ = ⋆ ⋆ , ∀ , , ∈ . 2. Existe um elemento privilegiado, ∈ , tal que ⋆ = , ∀ ∈ . 3. A cada elemento ∈ corresponde um elemento ∈ que satisfaz ⋆ = . O grupo G é comutativo ou abeliano quando: 4. Para , ∈ vale ⋆ = ⋆ . Um grupo ,⋆ é uma estrutura formada por um conjunto G e uma operação ⋆ ∶ × → , tais que:
110. Por tradição, quando ⋆ ∶ × → for uma operação do tipo: • Adição (+), o elemento privilegiado receberá o nome de elemento neutro será representado pelo zero (0), e será o oposto, −. • Multiplicação ( ∙ ), o elemento privilegiado receberá o nome de unidade ou identidade e será representado por (1, ), e será o inverso, −1. Nos exemplos ⋆ geralmente representará uma operação tipo adição ou multiplicação, para conjuntos G com os mais variados tipos de elementos.
111. P/ex. o oposto de 9 é 3, já que 3 + 9 = 12. Assim −3 = 9. Da mesma forma, − 5 = 7, pois 5 + 7 = 12. Este é um exemplo de grupo finito. O conjunto das horas = 1, 2, 3, ⋯ , 11,12 do relógio ao lado com a operação de adição de horas, (, +), formam um grupo abeliano: • O elemento neutro é o 12 (o zero!) já que para toda hora ℎ ∈ temos + 12 = . • Cada hora ℎ ∈ possui sua oposta −ℎ, que satisfaz ℎ + −ℎ = 12.
112. Loirinha, mostre que ℕ, + e ℤ , ∙ não são grupos. Confira que ℚ, + também é um grupo. ℤ, + é um grupo abeliano. • O elemento neutro é o 0 já que para todo ∈ ℤ temos + 0 = . • Cada ∈ ℤ possui seu oposto −, que satisfaz + − = 0.
113. Tanto ℝ, + como ℝ∗ , ∙ possuem estrutura de grupo abeliano. Idem para ℂ, + e ℂ∗ , ∙ . Lembrem-se ℚ∗ = ℚ\{0} ℚ∗, ∙ também é um grupo abeliano. • O elemento privilegiado é o 1 (elemento identidade), pois para todo ∈ ℚ∗ temos ∙ 1 = . • Cada ∈ ℚ∗ possui seu inverso −1, que satisfaz ∙ −1 = 1.
114. Pois é Surfista, volte lá e confira! Na definição abstrata de espaço vetorial, V, exige-se que a adição + ∶ × → seja um grupo abeliano.
115. Um corpo , +,∙ é uma estrutura algébrica formada por um conjunto K e duas operações: + ∶ × → e ∙ ∶ ∗ × ∗ → ∗ que tornam K e ∗ = {0} grupos abelianos para a adição e multiplicação (respectivamente) e, além disso, satisfazem: A distributividade da multiplicação sobre a adição: ∙ + = ∙ + ∙ , ∀, , ∈
116. Os conjuntos ℚ , ℝ e ℂ dos números racionais, reais e complexos são exemplos de corpos com as operações de adição e multiplicação.
117. Tchau mesmo, até a próxima aula!