コンピュータで問題をサッと解きたい！

2015年に作ったスライドです。

SATソルバー, CSPソルバー

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1. コンピュータで問題をサッと解きたい！
   KMC-3 回生 prime
   

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2. 2
   自己紹介
   KMC-ID: prime (KMC-3 回生 )
   理学部 3 回生数学系
   Twitter: @_primenumber
   Github: primenumber
   KMC での最近の活動 :
   競技プログラミング練習会
   部誌 /C88
   計算機・電子錠の管理
   

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3. 3
   今日の本題
   コンピュータを使って、色々な問題をサッと解きたい
   例題 :
   数独
   最大独立集合
   地図の塗り分け
   

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4. 4
   例 : パズルゲーム ( 数独 )
   同じ行・列・ 3x3 マス内に 1 〜 9 の数字が一度ずつ出る
   ようにマスを埋める
   

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5. 5
   例 ) 最大独立集合
   独立集合 :
   グラフ上の頂点集合で、どの 2 点も隣り合わないもの
   最大独立集合 :
   独立集合の中で頂点数がもっとも多いもの
   

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6. 6
   地図の塗り分け
   地図上の地域を、隣り合った地域が別の色になるように
   塗り分けるとき、最小何色で塗れるか？
   

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7. 7
   コンピュータに問題を解かせるとき
   コンピュータは計算が速いが、計算速度には限度がある
   解の候補を全部調べていると現実的な時間で終わらない
   n マス開いた数独で 1 〜 9 の埋め方は　通り
   さっきの例だと 39 マス開いているので約　　　　　通り
   1 秒間に 10 億通り調べても約 5 垓年かかる
   なんとかして計算時間を減らさないといけない
   9n
   1.6×1037
   

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8. 8
   コンピュータに問題を解かせるとき
   枝刈り
   解にならないとわかった解の候補を調べずに切り捨てる
   例 ) 数独
   途中まで埋めた時点で、ある列に同じ数字が 2 回出ていたら、
   このあとどう埋めても解にはならない→調べなくて良い
   問題の還元
   適切な変換によって問題をより小さい別の問題に帰着する
   例 ) 最大独立集合
   隣合う頂点が一つ以下の頂点は必ず使うとして、隣合う頂点を
   取り除いた問題を考える
   

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9. 9
   コンピュータに問題を解かせるとき
   その他にも様々なテクニック・アルゴリズムが存在
   しかし、問題ごとに最適なテクニックを考えるのは面倒
   何とかしてサッと解きたい…
   

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10. 10
    そんなときに
    !!SAT ソルバ !!
    

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11. 11
    SAT ソルバ
    ダジャレ
    ではない
    SATisfiability の頭文字
    「充足可能性問題」という問題を解くプログラムを指す
    MiniSat という簡潔かつそれなりに高速なオープンソース
    のソルバがある
    C++ 、 600 〜 2000 行（バージョンによる）
    

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12. 12
    充足可能性問題
    与えられた命題論理式を真にするような変数への真偽値
    の割り当てが存在するか判定する問題
    命題論理式 :
    変数　　　　は命題論理式
    命題論理式　　　に対して次は命題論理式
    （否定）
    （かつ）
    （または）
    （ならば）
    例 ) ((¬x
    1
    ∨x
    2
    )∧(¬x
    2
    ∨x
    3
    ))
    x
    1,
    x
    2,
    ⋯
    A ,B
    (A∧B)
    (A∨B)
    (A ⇒B)
    ¬A
    

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13. 13
    充足可能性問題
    例 ) は充足可能
    　　　　　　　　　　　　　　　とすればよい
    例 ) 　　　　　は充足不能
    どう真偽値を割り当てても真にならない
    ((¬x
    1
    ∨x
    2
    )∧(¬x
    2
    ∨x
    3
    ))
    x
    1
    =True , x
    2
    =True, x
    3
    =True
    (x
    1
    ∧¬x
    1
    )
    

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14. 14
    なぜ充足可能性問題？
    実は、「クラス NP 」に属する任意の問題は充足可能性問
    題に変換できることが知られている
    クラス NP ：
    解の候補が与えられたときに、それが本当に解であるかを
    多項式時間で判定できる判定問題
    判定問題 :
    yes/no で答えられる問題
    

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15. 15
    なぜ充足可能性問題？
    実際、例で挙げた問題は充足可能性問題に帰着できる
    「〇〇を最大 / 最小化する〜〜を求める」
    → 「〇〇は n 以上 / 以下になる」に変形し、 n で二分探索
    あとはルールを論理式で表し、充足可能性問題を解くだけ
    充足可能性問題は理論上も実用上も重要な問題
    長年の研究によって高速なソルバが作られている
    問題をそのまま解くより充足可能性問題に変換したほうが
    高速に解ける場合が少なくない
    変数 10 万、論理式のサイズ 100 万以上でも解けたりする
    

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16. 16
    乗法標準形
    多くの SAT ソルバでは論理式を乗法標準形にして渡す
    乗法標準形 : 節 1∧ 節 2∧…∧ 節 n
    節 : リテラル 1∨ リテラル 2∨…∨ リテラル n
    リテラル : 変数 もしくは ¬ 変数
    例 )
    Fact.
    任意の命題論理式は乗法標準形に変換できる
    ((¬x
    1
    ∨x
    2
    )∧(¬x
    2
    ∨x
    3
    ))
    

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17. 17
    問題を解く流れ
    問題 論理式
    問題の解 SAT の解
    変換
    変換
    SAT ソルバ
    

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18. 18
    例 ) 数独
    「　　が真⇔ i 行 j 列の数字は k 」とすると
    i 行 j 列には 1 〜 9 のどれかの数字が入る
    ⇔
    行 i に同じ数字 k が二度出てきてはいけない
    ⇔
    のように変換し、すべてを∧で繋ぐ
    既に割り当ての決まっているマスも論理式に付け加える
    x
    ijk
    x
    ij 1
    ∨x
    ij2
    ∨⋯∨x
    ij 9
    (¬x
    i 0k
    ∨¬x
    i1k
    )∧(¬x
    i 0k
    ∨¬x
    i2k
    )∧⋯∧(¬x
    i 8k
    ∨¬x
    i9k
    )
    

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19. 19
    例 ) 最大独立集合
    「大きさ n 以上の独立集合 S が存在」を論理式で表す
    と定義すると、各辺　　　　　　の条件は
    さらに「　　が真⇔　　　　　　　　　　」と定義する
    　　の条件は 　　　　と表せる
    乗法標準形に直すと
    最後に単項　　　、　　　　　　を加えれば解ける
    x
    i
    ⇔v
    i
    ∈S
    e
    i
    =(v
    i
    1
    ,v
    i
    2
    ) ¬x
    i
    1
    ∨¬x
    i
    2
    n
    i , j
    |S∩{v
    1,
    v
    2,
    ⋯,v
    i
    }
    |≥ j
    n
    i+1, j+1
    ⇒((n
    i , j
    ∧x
    i+1
    )∨n
    i, j+1
    )
    n
    i , j
    (¬n
    i+1, j+1
    ∨n
    i, j
    ∨n
    i , j+1
    )∧(¬n
    i+1, j+1
    ∨x
    i
    ∨n
    i, j+1
    )
    n
    |V|,n
    ¬n
    1, j
    (∀ j≥2)
    

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20. 20
    例 ) 地図の塗り分け
    地図を n 色で塗り分けるとする
    「　　が真⇔地域 i を色 j で塗る」
    各辺　　　　　　の条件は
    各頂点はどれかの色で塗るので
    「 n 色以下で〜〜」は最大独立集合のときのようにする
    x
    i , j
    e
    i
    =(v
    i
    1
    ,v
    i
    2
    ) ¬x
    i
    1
    , j
    ∨¬x
    i
    2
    , j
    (∀1≤ j≤n)
    x
    i ,1
    ∨x
    i ,2
    ∨⋯∨x
    i,n
    

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21. 21
    問題点
    クラス NP の問題に還元できないような問題は解けない
    将棋やチェスの最善手は（おそらく）わからない
    実際充足可能性問題は難しい
    多項式時間で解けるアルゴリズムは見つかっていない
    充足可能性問題に多項式時間アルゴリズムがある⇔ P=NP
    SAT ソルバは頑張って枝刈り等で高速化している
    それでも問題によりなかなか計算が終わらないことがある
    → 枝刈りのヒントを与えると高速化できる場合がある
    

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22. 22
    問題点
    問題点を乗法標準形に変換するのはかなり面倒
    整数や小数をうまく扱うのはかなり面倒
    上手く変換しないと計算時間の増大を招くことも
    充足可能性問題変換して問題を解いたあと、解を人間の
    わかる形にするのも面倒
    

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23. 23
    解決策
    CSP ソルバを使う
    制約充足問題 (CSP) のソルバ
    Sugar というソルバが有名
    1.人間にとってよりわかりやすい形で問題を記述
    2.充足可能性問題に変換して解く
    3.人間のわかりやすい形にして表示する
    整数に関する条件、一意性に関する条件等を上手に扱う
    

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    問題を解く流れ
    問題 論理式
    問題の解 SAT の解
    変換
    SAT ソルバ
    制約式
    CSP の解
    変換
    変換
    変換
    Sugar
    制約ソルバ
    

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    数独を CSP ソルバで解く
    i 行 j 列の数字を x_i_j とする
    i 行 j 列は 1 〜 9 の整数のいずれかである
    (int x_i_j 1 9)
    i 行目にある数はすべて異なる
    (alldifferent x_i_1 x_i_2 … x_i_9)
    列、 3x3 ブロックも同様
    （乗法標準形に比べて）とてもわかりやすい
    

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    まとめ
    SAT ソルバは充足可能性問題を高速に解く
    色々な問題が充足可能性問題に帰着できる
    解法を考えるのが面倒なときは、 SAT ソルバにお任せ
    論理式を考えるのも面倒なら CSP ソルバに丸投げしよう
    

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    参考文献 / リンク
    MiniSat Page: http://minisat.se/
    MiniSat 入門 :
    http://www.kl.i.is.nagoya-u.ac.jp/person/yasuhiro/minisat/minisat12.pdf
    高速 SAT ソルバーの原理と応用 :
    http://www-erato.ist.hokudai.ac.jp/docs/seminar/nabeshima.pdf
    Sugar: a SAT-based Constraint Solver:
    http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/sugar/
    パズルを Sugar 制約ソルバーで解く :
    http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/sugar/puzzles/
    

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