Calculo_Estocastico_Charla

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1. Cálculo Estocástico: Fundamentos, Aplicaciones y Perspectivas Abraham Zamudio https://www.linkedin.com/in/abraham-zamudio/
2. ¿Qué es el Cálculo Estocástico? Definición: Extensión del cálculo diferencial/integral a procesos con incertidumbre no diferenciable, donde el tiempo y el azar interactúan continuamente. 1. Procesos estocásticos clave: – Movimiento browniano (Wt ). – Martingalas, procesos de Markov. 2. Importancia en modelización: – Captura dinámicas aleatorias en sistemas reales (ej.: fluctuaciones de mercados, difusión de partículas).
3. ¿Por qué es Importante? Distribución y estructura de dependencia: • Describe evolución temporal de distribuciones (ej.: ecuación de Fokker-Planck). • Modela correlaciones seriales (autocorrelación en series temporales). Relevancia multidisciplinar: • Finanzas: Valoración de derivados (Black- Scholes). • Economía: Modelos de crecimiento estocástico (RBC/DSGE). • Ingeniería: Control óptimo con ruido. • Biología: Dinámica de epidemias.
4. Breve Historia del Cálculo Estocástico Orígenes (s. XIX-XX): • 1828: Robert Brown observa movimiento aleatorio en partículas. • 1900: Bachelier aplica procesos aleatorios a precios de acciones (precursor de finanzas matemáticas). • 1905: Einstein modela difusión browniana. Desarrollo moderno: • 1940s: Itô desarrolla la integral estocástica y el lema • 1970s: Black-Scholes-Merton revolucionan mercados financieros. • 2000s: Aplicaciones en machine learning (optimización estocástica) y finanzas cuánticas.
5. Estructura de la Charla Fundamentos: – Espacios de probabilidad, filtraciones, adaptabilidad. Tipos de Procesos: – Browniano, Martingalas, Saltos (Poisson). Integración Estocástica: – Integral de Itô vs. Stratonovich, Lema de Itô. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDEs): – Existencia, unicidad y solución. Aplicaciones y Perspectivas: – Finanzas (derivados, riesgo), Economía (políticas bajo incertidumbre), tendencias futuras.
6. Repaso de Probabilidad y Estadística Conceptos clave: • Variables aleatorias: Funciones medibles X:Ω→R (ej.: rendimiento de un activo). • Distribuciones: – Normales (finanzas: rendimientos), Poisson (eventos raros: crisis), Log- normal (precios de activos). • Momentos: – Esperanza E[X] (valor esperado), Varianza Var(X) (riesgo), Covarianza (dependencia lineal). • Independencia: P(X∩Y)=P(X)P(Y) (base para procesos con incrementos independientes). Herramientas esenciales: • Teorema del Límite Central (convergencia a normalidad en caminatas aleatorias).
7. Procesos Estocásticos: Definición Definición formal: Colección de v.a. {Xt}t∈T en (Ω,F,P), donde T es conjunto de índices (tiempo). Ejemplos intuitivos: • Finanzas: St=precio de una accion en tiempo t. • Economía: Ut=tasa de desempleo mensual • Física: Vt=velocidad de partıcula en fluido Propiedad clave: • Evolución temporal con aleatoriedad (no determinista).
8. Clasificación de Procesos Estocásticos Por tiempo: • Discreto: T finito/numerable (ej.: t=0,1,2,…). – Aplicación: Modelos ARMA (econometría). • Continuo: T intervalo (ej.: [0,T]). – Aplicación: Modelos de difusión (Black- Scholes). Por espacio de estados: – Discreto: Xt ∈ Z (ej.: número de transacciones/minuto). – Continuo: Xt ∈R (ej.: tipo de cambio EUR/USD).
9. Caminata Aleatoria Definición (simple): Propiedades: • E[Sn]=S0+n(2p−1) • Var(Sn)=4np(1−p). • Si p=0.5: martingala (juego justo). Relevancia: • Modelo básico para precios de activos (ej.: árbol binomial en opciones). • Converge a movimiento browniano (Teorema de Donsker).
10. Movimiento Browniano (Proceso de Wiener) Definición axiomática: Wt es browniano estándar si: • W0 =0 (c.s.). • Incrementos independientes: Wt −Ws ⊥⊥ Fs cuando t>s. • Wt −Ws ∼N(0,t−s). • Trayectorias continuas (c.s.). Importancia: • "Bloque constructivo" del cálculo estocástico (ruido en EDEs). • Modeliza fluctuaciones en mercados eficientes.
11. Propiedades del Movimiento Browniano • Incrementos independientes y estacionarios: – Cov(Wt ,Ws )=min(t,s). • No diferenciabilidad: – DWt /dt = ∞ c.s. (¡requiere integral estocástica!). • Variación cuadrática: ⟨W⟩t =t: – Hecho fundamental: (dWt )2=dt (clave para lema de Itô). Consecuencia: • Cálculo clásico falla: reglas de Leibniz/Newton no aplican.
12. Medidas de Probabilidad y Filtraciones Espacio filtrado: (Ω,F,{Ft }t≥0 ,P) • {Ft }: Filtración (historia de información hasta t). • Adaptabilidad: Xt es Ft -medible (no "anticipa" el futuro). Interpretación financiera: • Ft =σ({Su : u≤t}): información de precios pasados. • Condición de no arbitraje: decisiones basadas en Ft .
13. Martingalas Definición: Proceso Mt adaptado con: • E[∣Mt ∣] < ∞ ∀t. • E[Mt ∣Fs ]=Ms c.s. (s≤t). Interpretación: "Juego justo" (ganancias esperadas nulas). Ejemplos clave: • Wt (movimiento browniano). • Wt 2 - t (martingala de variación cuadrática). Aplicación en finanzas: • Precios descontados en medida neutral al riesgo.
14. Otras Clases de Martingalas • Submartingala: E[Xt ∣Fs ] ≥ Xs (tendencia alcista). – Ejemplo: Acción con crecimiento esperado positivo (μ>0). • Supermartingala: E[Xt ∣Fs ] ≤ Xs (tendencia bajista). – Ejemplo: Valor de opción americana sin dividendos. Relación con arbitraje: • Activos con μ>r (tasa libre de riesgo) son submartingalas bajo medida física.
15. Teorema de Descomposición de Doob-Meyer El Teorema de Descomposición de Doob- Meyer establece que un proceso estocástico adaptado e integrable puede ser descompuesto de manera única como la suma de una martingala y un proceso predecible que comienza en cero. Xt = Mt + At • Mt : martingala. • At : proceso previsible creciente (A0 =0). Aplicación en Ecuaciones Diferenciales Estocasticas: • Descomposición de Itô: dXt =μt dt + σt dWt . – μt dt: drift (tendencia) – σt dWt : martingala (ruido). Relevancia económica: • Aisla componente "predecible" (At ) vs. "ruido" (Mt ) en series financieras.
16. La Necesidad de una Nueva Integral Problema con Riemann-Stieltjes: • Requiere integrador de variación acotada, pero el movimiento browniano (MB) tiene variación total infinita en [a,b]: No diferenciabilidad: dWt /dt no existe (trayectorias irregulares). Consecuencias: • Integral clásica no converge para MB. • Se necesita incorporar variación cuadrática (⟨W⟩t=t⟨W⟩t =t).
17. Integral de Itô Definición intuitiva: Elección del punto izquierdo (Hti ): Asegura adaptabilidad (no anticipación). Propiedades clave: • Martingala si Ht acotado y adaptado. • Base para EDEs y modelos financieros (Black-Scholes).
18. Propiedades de la Integral de Itô • Linealidad: • Isometría de Itô: • Variación cuadrática:
19. Lema de Itô Regla de la cadena estocástica: Reglas multiplicativas: • (dt)+=0 • dt⋅dWt =0, • (dWt )2=dt. Importancia: • Generaliza cálculo clásico (corrección por volatilidad).
20. Aplicación del Lema de Itô Caso 1: Movimiento Browniano Geométrico • dSt =μSt dt +σS-dWt • Aplicar a f(St )= lnSt : • Solución: St =S0 exp((μ−σ2/2)t+σWt ). Caso 2: Portafolios autofinanciados • Valor de derivados : fórmula de Black-Scholes.
21. Integral de Stratonovich Definición: Relación con Itô: Ventajas/Desventajas: • Sigue reglas de cálculo clásico (d(f(Xt))=f′(Xt)∘dXtd(f(Xt ))=f′(Xt )∘dXt ). • No es martingala (pierde propiedad de no anticipación).
22. Comparación Itô vs. Stratonovich Criterio Itô Stratonovich Punto de evaluación Izquierdo (no anticipativo) Medio (anticipativo) Martingala Sí No (drift adicional) Reglas cálculo Lema de Itô (corrección σ2) Regla clásica Aplicaciones Finanzas (no arbitraje) Física (ecuaciones diferenciales) Elección práctica: • Itô para modelado financiero (información adaptada). • Stratonovich para sistemas físicos con ruido suave.
23. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE) Forma general: • μ: Drift (tendencia). • σ: Difusión (volatilidad). Ejemplos emblemáticos: • Black-Scholes: dSt =μ St dt + σ St dWt . • Vasicek (tasas): drt =a(b−rt )dt + σ dWt .
24. Soluciones de EDE Teorema (Existencia y unicidad): Si μ y σ son: • Lipschitz: |μ(t,x)−μ(t,y)∣ + ∣σ(t,x)−σ(t,y)∣ ≤ K∣x−y∣. • Crecimiento lineal: |μ(t,x)∣ + ∣σ(t,x)∣ ≤ K(1+∣x∣). Entonces existe solución única Xt adaptada. Métodos de solución: • Analíticos (ej.: lema de Itô para MB geométrico). • Numéricos: Euler-Maruyama, Milstein.
25. Ecuaciones de Fokker-Planck y Kolmogorov Ecuación de Fokker-Planck (forward): • Describe la densidad p(t,x) de Xt : Ecuación de Kolmogorov backward: • Para u(s,x) = E[g(XT )∣Xs =x]: Aplicación: • Precio de opciones (Black-Scholes PDE).
26. Áreas de Aplicación Dominios clave: • Finanzas/Economía: Modelado de mercados, valoración de derivados, riesgo sistémico. • Física: Dinámica de fluidos, mecánica estadística. • Biología: Evolución de epidemias, genética de poblaciones. • Ingeniería: Control de sistemas estocásticos, confiabilidad. • Actuaría: Cálculo de primas, solvencia de aseguradoras. Hilo común: "Sistemas dinámicos sujetos a incertidumbre con dependencia temporal."
27. Aplicaciones en Matemática Financiera • Modelado de activos: – Movimiento browniano geométrico (GBM): dSt =μSt dt+σSt dWt . • Arbitraje y neutralidad al riesgo: – Teorema de Girsanov (cambio de medida). • Análisis de series temporales financieras: – Procesos de volatilidad estocástica Heston : dνt =κ ( θ−νt ) dt + ξ νt dWt
28. Modelo de Black-Scholes-Merton Supuestos: • Mercados eficientes, sin arbitraje. • Volatilidad (σ) y tasa libre de riesgo (r) constantes. Derivación clave: • Replicación de portafolios + lema de Itô.
29. Valoración de Opciones Europeas Fórmula de Black-Scholes (Call): Interpretación: • N(d): Probabilidad neutral al riesgo de ejercicio.
30. Modelos de Tasa de Interés • Vasicek (reversión a la media): • CIR (no negatividad): Aplicación: • Valoración de bonos, swaps, opciones sobre tasas.
31. Gestión de Riesgos Value at Risk (VaR): Pérdida máxima con confianza α: P(Perdida>VaRα ) = 1−α. Conditional VaR (CVaR): Pérdida esperada dado exceso de VaR: CVaRα =E[Perdida∣Perdida>VaRα ]. Técnica: Simulación Montecarlo de escenarios económicos.
32. Aplicaciones en Actuaría Riesgo de longevidad: Simulación de trayectorias estocásticas de supervivencia. Desafío: • Eventos raros (distribuciones de cola pesada). Modelo de Cramér-Lundberg
33. Aplicaciones en Física Modelo de partículas en fluido: Forma estocástica: Aplicación: Difusión molecular, nanotecnología.
34. Aplicaciones en Biología Modelo SIR estocástico: • dS=−β SIdt + σdWt • dI=(βSI−γI)dt + σdWt Ventaja: • Captura variabilidad en contagios (eventos superspreaders).
35. Aplicaciones en Redes Sociales Análisis de alta volatilidad: • Modelos de difusión de información: dIt =α ⋅ Engagement(It ) dt + β⋅Viralidad⋅dJt dJt : Saltos de Poisson (eventos virales). Estructura social: • Procesos de ramificación (Branching Processes) para predicción de tendencias.
36. Aplicaciones en Ingeniería • Simulación Montecarlo: – Fiabilidad de sistemas complejos (ej.: fallos en redes eléctricas). • Control estocástico: – Optimización de recursos con ruido (ej.: logística bajo demanda aleatoria). • Procesamiento de señales: – Filtro de Kalman para estimación en tiempo real. Diseño de aerogeneradores bajo vientos turbulentos (EDEs espacio-temporales).
37. Desafíos y Temas Actuales Procesos con discontinuidades: Aplicaciones: • Mercados en crisis (flash crashes). • Fenómenos naturales extremos (terremotos). Modelos avanzados: • Procesos de Lévy, CGMY, VG (Variance Gamma).
38. Computación Estocástica Nuevos paradigmas: • Algoritmos aleatorizados: Optimización estocástica (ej.: SGD en machine learning). • Hardware probabilístico: Chips neuromórficos para inferencia bayesiana. Conexión con cálculo estocástico: • Diferenciación automática en EDEs (IA cuantitativa).
39. El Futuro del Cálculo Estocástico • Finanzas-ML: – EDEs generativas (generación de escenarios económicos con GANs). • Cálculo fraccionario: – Browniano fraccionario (H≠1/2) para memoria de largo plazo. • Quantum Finance: – Simulación de derivados en computadores cuánticos.
40. Conclusiones Puntos clave: • Herramienta fundamental para sistemas dinámicos con aleatoriedad. • Revolucionó finanzas (Black-Scholes), física (difusión), IA (optimización). Visión holística: "El lenguaje matemático de la incertidumbre dinámica."