コンピュータビジョン2.1節

研究室のゼミで発表したRichard Szeliski 著，玉木徹ら訳の『コンピュータビジョン − アルゴリズムと応用』2.1節のスライド

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1. 第1回 画像ゼミ 2018/05/09 庄野研B4 1510173 川島貴大
2. 2 / 37 2.1.1 - 幾何プリミティブ 2.1.2 - 2次元変換 2.1.3 - 3次元変換 2.1.4 - 3次元回転 2.1.5 - 3次元から2次元への射影 2.1.6 - レンズ歪み もくじ
3. 3 / 37 2.1.1 幾何プリミティブ • 2次元点 通常の座標表記： 　→無限遠点を表せない 同次座標系： 　→　　　で無限遠点を表せる
4. 4 / 37 • 2次元直線と同次座標系 　　　　　　　とすると，　　　　　　について， 　　　　　　　　　 　　　　　　を用いると，　　　と書ける． 一方直線の方程式は，　　　　　に関して より，同次座標系では直線の方程式は，　　　　　について と書ける． 2.1.1 幾何プリミティブ
5. 5 / 37 • 2次元直線と同次座標系 同次座標系上の2つの直線　　　　　　　　　　　　　　　の 交点　は， で表せる．たぶん証明やる． また，同次座標系上の2点　　　を通る直線　は， で与えられる． 2.1.1 幾何プリミティブ
6. 6 / 37 2.1.1 幾何プリミティブ • 3次元点 　　　　　　　　は，同次座標系では と表記する．
7. 7 / 37 2.1.2 2次元変換 • 並進 　　　　　　を　　　　　　　　　　に移動する変換 　: 2x2単位行列，　 : 2x1のゼロベクトル，　　　　　　を用 いると とも書ける．
8. 8 / 37 2.1.2 2次元変換 • 回転 + 並進 (剛体変換) 2次元回転行列　は 並進と組み合わせると，　　　　　を用いて，　　　　　の剛 体変換後の座標　は
9. 9 / 37 2.1.2 2次元変換 • スケール + 回転 + 並進 (相似変換) 　　　　　の相似変換後の座標　は，　　について 同次座標系では，　　　　　　の相似変換後の座標　は 　　　　　を用いて となる．
10. 10 / 37 2.1.2 2次元変換 • 剪断 + スケール + 回転 + 並進 (アフィン変換) →変換前に平行だったベクトルは平行のまま 同次座標系のベクトル　　　　　　のアフィン変換後の座標　 は，　　　　　　を用いて となる．
11. 11 / 37 2.1.2 2次元変換 • 射影変換 →変換前の直線は直線のまま 同次座標系のベクトル　　　　　　の射影変換後の座標　は， となる．ここで　は任意の3x3行列．
12. 12 / 37 2.1.2 2次元変換 • 伸縮 →アスペクト比を変更 　　　　　の伸縮後の座標　は，　　　　を用いて となる．
13. 13 / 37 2.1.3 3次元変換 • 並進 　　　　　　　を　　　　　　　　　　　　　に移動 　: 3x3単位行列，　 : 3x1のゼロベクトル，　　　　　　 • 回転 + 並進 (剛体変換) 3次元回転行列　を適切に選ぶと， と変換後の座標　に関して と2次元と同じ形で書ける．　については次項． 他の変換(相似，アフィン，射影)も2次元と同じ形式で書ける 　　　　　
14. 14 / 37 2.1.4 3次元回転 3次元回転行列　は複数の表現がある ・オイラー角 ・回転軸・回転座標表現 ・単位四元数
15. 15 / 37 2.1.4 3次元回転 • オイラー角 2次元回転：z軸が回転軸 回転軸を変えた同様の回転を3回行う 例) z軸 → x軸 → z軸 軸の選び方によって結果が変化
16. 16 / 37 2.1.4 3次元回転 • オイラー角 デモをやれ http://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrAM/sim/EulerAngle.html
17. 17 / 37 2.1.4 3次元回転 • 回転軸・回転角表現 　上の　　　　である任意のベクトル　を軸にした　の回転を 示す3次元回転行列　は と表される(ロドリゲスの式)． ここで　は3x3単位行列，　　は　との外積を示す演算子で， 　　　に関して である． 証明：補足資料
18. 18 / 37 2.1.4 3次元回転 • 単位四元数 四元数：複素数の虚部を3次元に拡張した数 　　　　　 とすると， とも書ける．　　　は以下を満たす 四元数の積は一般的に非可換である
19. 19 / 37 2.1.4 3次元回転 • 単位四元数 同次座標系の3次元ベクトル　を回転軸　について　回転させ るとき， とおくと，　の回転後のベクトル　は と表せる．ただし，　　は　の逆元であり(　　　　　　　 )， 　　　　である． 証明：補足資料 　
20. 20 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 3次元の物体を2次元座標上に投影したい ・正射影 ・擬似透視投影 ・弱透視投影 ・透視投影
21. 21 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 正射影 たんにz成分を取り除く 　　　　　　　　　を　　　に射影 ・被写体の奥行きが(カメラと被写体との距離に比べて)浅い ・長い焦点距離をもつレンズ ことを暗に仮定している
22. 22 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 正射影 (画像: 文献[2]より)
23. 23 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 弱透視投影 正射影にスケーリングを加えたもの 正射影よりよく使われる 　　　　　　　　　を　　　に射影 　: 2x2の単位行列，　: 2x1のゼロベクトル， ・物体がカメラに向かって近づく状況をモデル化できる
24. 24 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 弱透視投影 (画像: 文献[2]より)
25. 25 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 擬似透視投影 1. 参照平面上に物体の点を射影 　このとき観測位置 - 物体中心と平行に射影する 2. この参照平面上の座標をさらに画像平面に射影 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　について 弱透視投影よりも正確な射影モデル
26. 26 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 擬似透視投影 (画像: 文献[2]より)
27. 27 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 透視投影 最も広く使われる射影モデル 　　　　　　　　　　 について，　の　 要素を落とす つまり，投影後の座標　　　は　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 で，　を非同次座標にした　　　は と書ける
28. 28 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 画像平面上の座標を最終的な座標に変換したい 　　　　　 : カメラ中心座標，　　　 : ピクセル座標 　　　 : 画素の間隔
29. 29 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 1. 画素の配置間隔　　　を用いてスケーリング 2. ピクセル座標の原点　と回転行列　 を用いてズレを調整 数式にすると，　　　　　　　　 の　　　への射影は と書ける．
30. 30 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 逆に3次元世界座標をセンサ上の座標に変換することを考える 　　　　　　　　　　　: 3次元世界座標上の点 (既知) 　: カメラの内部パラメータ (3x3行列) 　　 : 外部パラメータ (剛体変換，3x4行列) センサ上の点　　　　は以下の形式で与えられる
31. 31 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 内部パラメータ 　　　: 　　方向のレンズの焦点距離 　: レンズが光軸から垂直でない際に生じる歪み 　　　: ピクセル座標上での光軸中心 (　　　: アスペクト比) 多くの場合　　　　　　　　で，
32. 32 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 物体中心射影 焦点距離が大きいレンズでは，画像から焦点距離を推定するの が困難になる 　　　　　　　　　　　: 同次ピクセル座標 　　　　　　　　　　　　: 非同次ピクセル座標 　　　　　　　　　　　　　 : 3次元世界座標上の点
33. 33 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 物体中心射影 が得られる．物体とカメラの距離が　，物体のサイズが 　　　　なら となり，焦点距離　と　との分離が難しくなる
34. 34 / 37 2.1.6 レンズ歪み 広角レンズでは歪曲収差が発生する (画像: 文献[1]より) 　　樽型歪み　　 糸巻き型歪み　　　　 魚眼レンズ
35. 35 / 37 2.1.6 レンズ歪み 透視投影による除算後，カメラ行列による移動を行う前のピク セル座標の点を　　　　とする．つまり 最も単純な歪曲収差モデルでは，歪曲後のピクセル座標上の点 　　　　を， とする．ここで，　　　　　　　　は歪曲収差パラメータ
36. 36 / 37 2.1.6 レンズ歪み 最終的なピクセル座標　　　　は， により計算する． より広角で複雑なレンズでは別のモデルが必要
37. 37 / 37 参考 [1] Computer Vision: Algorithms and Appliucations, Richard Szeliski, http://szeliski.org/Book/drafts/SzeliskiBook_20100903_draft.pdf (2018/05/02 閲覧) [2] Camera Models，杉本晃宏， http://research.nii.ac.jp/~sugimoto/lecture/computer_vision/CameraModels.pdf (2018/04/30 閲覧) [3] Quaternionによる3次元の回転変換，平鍋健児， https://qiita.com/kenjihiranabe/items/945232fbde58fab45681 (2018/04/29 閲覧)