[2026前期火５] 論理学（京都大学文学部 前期 第13回）「走って、止まって、積み上がる」

科学哲学科学史 (演習) 前期 第13回　論理学　（京都大学文学部・矢田部俊介）
「走って、止まって、積み上がる——三層ハーモニー×計算の完成」
2026年7月14日（火）1645〜1815（予定）

証明とはプログラムであり、正規化はその実行である（カリー・ハワード対応）。
論理の「良さ」＝三層ハーモニー（局所・中間・大域）を、計算の言葉で読み切る回。
局所＝詰まらない（反転原理＝β変換＝計算が走る根幹）、中間＝止まる（正規化＝全域性）、
大域＝モジュラリティ（保存拡大＝社会的分業＝知識が積み上がる）。
なぜ有限型の証明は必ず止まるのか（命題が帰納的に組み立てられるから、次数が下がって止まる）を、
「有限型の正規化可能性の証明」（強正規化＝Taitの可約性／弱正規化＝次数）の参考資料つきで扱う。

Transcript

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24. ྑ͍ఆٛ ʹ ུه ʹ อଘ֦େʢୈ10ճͷճऩʣ ྑ͍݁߹ࢠ͸ʮུهʯͱͯ͠อकతʹ଍ͤΔʹ҆৺ͯ͠आΓΒΕΔ ྑ͍ఆٛ͸طଘͷݴ༿ͷུهŠŠ৽͍͠ఆཧΛݹ͍ݴޠʹ ࿙Β͞ͳ͍ʢอଘ֦େʣ ɻ ྫɿ¬A := A → ⊥ʢ൱ఆΛུهͰಋೖʣ ɻࠓ೔ͷӕ͖ͭ ¬λ = λ → ⊥ ͱಉ͡ಓ۩ɻ ѱ͍ఆٛʹඇอଘతʹआΓ෺͕طଘΛԚછʢୈ 10 ճʣ tonkɾϘογϡ͸଍͢ͱԿͰ΋ূ໌Ͱ͖ͯݹ͍ݴޠ͕Ԛછ͞ΕΔʹඇϞδϡϥʔʹआΓͯ ͸͍͚ͳ͍ٞ࿦ɻ ʮྑ͍نଇ͔ʯ͸อଘ֦େ͢Δ͔ͰଌΔʢBelnapɾୈ 11 ճʣ ɻ ҆৺ͯ͠आΓΒΕΔͷ͸อଘ֦େ͢Δʢྑ͍ʣٞ࿦͚ͩɻϞδϡ ϥϦςΟͷഁΕ͸࿦ཧʢtonkʣʹ΋ػցʢLLM ͷഁ໓త๨٫ʣʹ ΋ى͖Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 24
25. ٕज़తཪ͚ͮɿΧοτআڈ ˠ ෦෼࿦ཧࣜੑ ˠ อଘ֦େ Χοτআڈ ʹ आΓͨิ୊Λల։ͯ͠ফ͢͜ͱʢʹਖ਼نԽʣ ਖ਼نͳূ໌͸ɺ݁࿦ͷ෦෼࿦ཧ͔ࣜ͠௨Βͳ͍ʢ෦෼࿦ཧࣜੑʣ ɻआΓͨิ୊Λల։͢Δͱɺ ్தʹݱΕΔࣜ͸͢΂ͯ݁࿦ͷ෦඼ʹͳΔ͔Βɻ ͔ͩΒอଘ֦େ͕ै͏ ৽͍݁͠߹ࢠ ⊙ Λ଍ͯ͠΋ɺ⊙ Λؚ·ͳ͍ݹ͍ఆཧͷਖ਼نͳূ໌͸ݹ͍ݴޠ͚ͩͰࡁ Ήʹݹ͍ମܥͰطʹূ໌Ͱ͖͍ͯͨʹอଘ֦େɻ தؒʢਖ਼نԽʣ͕ɺେҬʢอଘ֦େʹ෼ۀͷ੒ཱʣΛࢧ͍͑ͯΔ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 25
26. ϞδϡϥϦςΟͷؼ݁ɿ஌͕ࣝʮੵΈ্͕Δʯ ϞδϡϥϦςΟ ˠ ࣾձత෼ۀ͕੒ཱ आΓ෺ͷٞ࿦΋Ұຊಓʹ௚ͤΔʢอଘ֦େʣ͔Βɺଞਓͷิ୊Λ҆৺ͯ͠आΓɺ૊Έ߹Θͤ ΒΕΔɻ֤ਓɾ֤ੈ୅͕ผʑʹূ໌ͨ͠෦඼Λ࣋ͪدΕĊŠյΕͳ͍͔Βʢୈ 2 ճɿڞಉ ମͰڞ༗ɾಉظʣ ɻ ͔ͩΒ஌ࣝ͸ڞಉମͰʮੵΈ্͕Δʯ ਺ֶɾ࿦ཧ͸ɺҰਓͰ͸ಧ͔ͳ͍ߴΈ΁ੈ୅Λ௒͑ͯੵΈ্͕Δɻ ϩʔΧϧͳ஌ݟʢ֤ਓͷิ୊ʣ͕յΕͣʹूੵ͢ĊŠ͜Ε͕ද ࢴʮੵΈ্͕Δʯͷҙຯɻ ˞ ϞδϡϥϦςΟ͕ແ͚Ε͹ɺֶͿͨͼʹݹ͍ͷ่͕ΕΔʢLLM ͷഁ໓త๨٫ʣʹੵΈ্͕Βͳ͍ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 26
27. 4. ౷߹ͱ૯ׅ
28. ౷߹ͷண஍ɿܕͷ͍ͭͨϓϩάϥϜ͸ʮؒҧ͑ͳ͍ʯ എࠎͷ͍·͜͜ɿഎࠎͥΜͿΛʪܕ҆શੑʫʹଋͶΔʢ૯࢓্͛ʣ Milner ͷεϩʔΨϯʢ1978ʣ “Well-typed programs don’t go wrong.” ܕͷ͍ͭͨϓϩάϥϜ͸ɺ࣮ߦதʹ٧·Βͳ͍ɻ ͜Ε͸ࡾ૚ϋʔϞχʔͷܭࢉ൛ͩͬͨ ʮgo wrong ͠ͳ͍ʯʹ٧·Βͳ͍ʢہॴɾਐߦੑʣ ɻ ࣮ߦ͕ࢭ·Δʢதؒɾਖ਼نԽʣ ɻ ݴޠશମΛอकతʹ૿ஙͰ͖ΔʢେҬɾอଘ֦େʹϞδϡϥϦςΟʣ ɻ ܕʢʹ໋୊ʣ͕ࡾ૚Λ·ͱΊͯอূ͢ΔɻہॴɾதؒɾେҬ͕Ұຕͷੑ࣭ʹͳͬͨɻ ࿦ཧֶऀ͕ʮϋʔϞχʔʯͱݺΜͩ΋ͷΛɺܭࢉػՊֶऀ͸ʮܕ҆શੑʯͱݺΜͰ͍ͨɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 28
29. ϥΠϓχοπͷݟͨເŠŠ 350೥ޙͷ౴͑߹Θͤ G. W. ϥΠϓχοπ (1646–1716) ঻૾ɿB. C. Francke, c.1695 (Wikimedia Commons, PD) ୈ 2 ճͷ෬ઢʢ͍֮͑ͯ·͔͢ʣ Calculus ratiocinatorɿਪ࿦ͱ͸ه߸ͷܭࢉͰ͋Γɺػցʹ࣮͑͞ߦՄೳ Ͱ͋Δ΂͖ͩɻŠŠ͕ͩୈ 2 ճ͸͜͏కΊͨɿ ʮ࣌୅ʹઌۦ͚͓͗ͯ͢ Γɺͦͷޙͷ࿦ཧֶ࢙͸ผͷܦ࿏ΛͨͲͬͨʯ ɻ ΧϦʔɾϋϫʔυରԠ ʹ ເͷఆཧԽ ਪ࿦͢Δ͜ͱ ʹ ܭࢉ͢Δ͜ͱɻ350 ೥ޙɺϥΠϓχοπͷເ͸ʮఆཧʯ ʹͳͬͨɻ ͨͩ͠ϥΠϓχοπ͸ɺݶք΋஌͍ͬͯͨ ਆͷܭࢉʢແݶεςοϓʣͱਓؒͷܭࢉʢ༗ݶεςοϓʣ ɻਓؒʹͱͬͯ ূ໌ͷࢿ֨Λ࣋ͭͷ͸ŠŠ ʮࢭ·Δʯܭࢉ͚ͩɻ ύϯνϥΠϯɿCalculemus!ʢ͋͞ɺܭࢉ͠Α͏ʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 29
30. ׬੒ͨ͠஍ਤɿࡾ૚ϋʔϞχʔ × ܭࢉ ࡾ૚ϋʔϞχʔͷܭࢉతͳإʢୈ 10–13 ճͰ׬੒ʣ ࡾ૚ ূ໌࿦ ܭࢉ ہॴ ൓సݪཧ ٧·Βͳ͍ʢਐߦੑʣ ✓ தؒ ਖ਼نԽ ࢭ·Δʢఀࢭੑʣ ✓ େҬ อଘ֦େ ϞδϡϥϦςΟʢ૿ஙͯ͠΋طଘෆมʗഁΕʹരൃʣ ✓ ૸ͬͯʢ٧·Βͳ͍ʣ ɺࢭ·ͬͯʢࢭ·Δʣ ɺͦͯ͠ੵΈ্͕ΔʢϞδϡϥϦ ςΟʣ ܕʢʹ໋୊ʣ͕ࡾ૚Λ؏͍ͯอূ͢Δɻ͜Ε͕ʮܕ҆શੑ ʹ ϋʔϞχʔͷܭࢉ൛ʯͷશମ૾ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 30
31. ϛχ૯ׅɿࡾ૚ ʹ ༗ݶੑͷࡾͭͷإ ઌि࠷ޙʹۦ͚଍Ͱݴͬͨ͜ͱΛɺࠓ೔͖ͪΜͱ ʮ༗ݶతͳ΋ͷ͚͕ͩ࿦ཧʯ ʢ7/7 ຤ඌʣŠŠͦͷ ༗ݶੑ͕ɺࡾ૚ͦΕͧΕͰҧ͏إΛ࣋ͭɻ ૚ ༗ݶੑͷإ ҙຯ ہॴ ҙຯͷ୯Ґͷ༗ݶੑ ҰͭҰͭͷ݁߹ࢠʹ༗ݶͷ෦඼ʢ෼ࢠʣ தؒ ܾఆϓϩηεͷ༗ݶੑ ҙຯΛ֬ఆ͢Δܭࢉ͕ࢭ·Δʢఀࢭੑʣ େҬ վగ೾ٴͷ༗ݶੑ ૿ஙͯ͠΋طଘͷؒऔΓ͸มΘΒͳ͍ʢอଘ֦େʹϞδϡϥϦςΟʣ μϝοτ෼ࢠ࿦ͷٕज़త࣮૷ େҬͷ༗ݶੑʹશମ࿦΁ͷసམΛ๷͙૷ஔɻ૿ங͕طଘΛյ͞ͳ͍͔Βɺগֶͣͭ͠΂Δ ʢஞֶ࣍श͕Մೳʣ ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 31
32. ճऩɿҙຯͷ༗ݶओٛʢୈ12ճ S18 ͱ઀ଓʣ ༗ݶੑ͸ೋຕ͋Δʢୈ 12 ճͰݟͨʣ ূ໌͕༗ݶͷର৅Ͱ͋Δ͜ͱʢߏจ͔Βλμʣ ɻ ͦΕΛ૸Βͤͨաఔ͕༗ݶͰ͋Δ͜ͱʢਖ਼نԽఆཧ͕ཁΔʣ ɻ શҬతͳܭࢉ͚͕ͩɺূ໌ͷࢿ֨Λ࣋ͭ ࢭ·ͬͯ஋Λฦ͢ܭࢉʢtotalʣʹূ໌ɻ ࢭ·Βͳ͍ܭࢉʢΩɾρʣ͸ɺূ໌ͷࢿ֨Λ࣋ͨͳ͍ɻ ϥΠϓχοπͷʮਓؒͷܭࢉʹ༗ݶʯ͕ɺͦͷ··μϝοτͷҙຯͷ෼ࢠ࿦ʹ઀ଓ͢Δɻʮ૸Γɺ͍ͦͯ͠ ͔ͭࢭ·Δ΋ͷ͕ূ໌Ͱ͋Δʯɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 32
33. ;ͨͨͼ LLM ΁ɿܭࢉ͸͋Δ͕ɺ࿦ཧͷཁٻ͸ʁ ࠓ೔ͷಓ۩Ͱ໰͍௚͢ LLM ͸ܭࢉ͍ͯ͠Δɻ͕ͩɺ࿦ཧ͕՝͢ೋͭͷཁٻΛຬ͍ͨͯ͠Δ͔ʁ தؒͷཁٻʹશҬੑ ূ໌͸ࢭ·ͬͯɺূ໌ͷࢿ֨͋Δ஋Λฦ͢ʢશҬతʣ ɻ LLM ͷग़ྗ͸ࢭ·ͬͯ౴͑Λࠩ͠ग़͢ͷ͔ɺͦΕͱ ΋ʮࠩ͠ग़ͨ͠;Γʯͳͷ͔ʁ େҬͷཁٻʹϞδϡϥϦςΟ ࿦ཧ͸૿ஙͯ͠΋طଘ͕յΕͳ͍ʢอଘ֦େʣ ɻLLM ͷ௥Ճֶश͸ഁ໓త๨٫ŠŠ৽֮͑͘͠Δͱݹ͍ͷ ͕յΕΔʹอଘ֦େͰͳ͍ɻ LLM ͸தؒʢશҬੑʣ΋େҬʢϞδϡϥϦςΟʣ΋͔ܽ͘΋͠Εͳ͍ɻ౴͑ ͸ 7/21ʢ࠷ऴճʣͰɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 33
34. 5. ԋशɾ࣍ճ༧ࠂ
35. ԋश ԋशʢղ౴ʹ͔͔ͬͨ࣌ؒ΋ॻ͘͜ͱʣ தؒʣ ԕճΓΛҰؚͭΉূ໌Λඳ͖ɺβ ؆໿͢Δͱๆͷ໋୊ A → B ͕ফ͑ͯ࣍਺͕Լ͕Δ͜ ͱΛ͔֬ΊΑɻ େҬʣ tonk نଇʢA ⊢ A tonk B ʗ A tonk B ⊢ BʣΛ଍͢ͱɺ೚ҙͷ A ⊢ B ͕ಋ͚Δ͜ͱʹอ ଘ֦େ͕յΕΔ͜ͱΛূ໌ਤͰࣔͤɻ ʢఏग़ํ๏ɾక੾͸ KULMS ͷࢦࣔʹै͍ͬͯͩ͘͞ɻ ʣ ΤΫετϥ໰ʢ೚ҙɾఏग़׻ܴʣ ൱ఆΛ ¬A := A → ⊥ ͷུهͱͯ͠଍͢ͷ͸ʮྑ͍ఆٛʢอଘ֦େʣ ʯ͔ɻ࿦͡Αɻ ώϯτɿ⊥ Λؚ·ͳ͍ݹ͍ఆཧ͕ɺ¬ Λ଍ͨ͜͠ͱͰ৽͘͠૿͑Δ͔ʁ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 35
36. ࣍ճ༧ࠂɿ7/21ʢୈ14ճɾ࠷ऴճʣ લظͷ·ͱΊ ʹ ϋϧγωʔγϣϯͷܭࢉతಛ௃͚ͮ ʮܭࢉ͍ͯ͠Δʯ͜ͱ͸ʮূ໌͍ͯ͠Δʯ͜ͱΛؚҙ͠ͳ͍ ࠓ೔ͦΖ͑ͨಓ۩Ͱɺ࠷ऴճʹ੾ΓࠐΉ ׬੒ͨ͠ࡾ૚ × ܭࢉͷ஍ਤΛɺLLM ʹ౰ͯͯΈΔɻ ʮ౴͑Λࠩ͠ग़͢ʯূ໌ͱɺ ʮࠩ͠ग़ͨ͠;Γʯͷੜ੒ŠŠͲ͕͜ҧ͏ͷ͔ɻ લظͷ૯·ͱΊɿ࿦ཧͱ͸ɺ૸ͬͯɾࢭ·ͬͯɾੵΈ্͕ΔӦΈɻ ૸ͬͯɺࢭ·ͬͯɺੵΈ্͕Δɻ͓͔ͭΕ͞·Ͱͨ͠ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 36