[2026前期火５] 論理学（京都大学文学部 前期 第12回）「証明を走らせる：カリー・ハワード対応」

科学哲学科学史 (演習) 前期 第12回　論理学　（京都大学文学部・矢田部俊介）
「証明を走らせる：カリー・ハワード対応」
2026年7月7日（火）1645〜1815（予定）

Transcript

1. Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) લظ ୈ 12 ճ ࿦ཧֶ ূ໌Λ૸ΒͤΔɿΧϦʔɾϋϫʔυରԠ ʢਖ਼نԽʹϓϩάϥϜͷ࣮ߦʣ 2026 ೥ 7 ݄ 7 ೔ʢՐʣ16:45–18:15 จֶ෦ୈ 4 ߨٛࣨ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հʢ੢೔ຊཱྀ٬మಓגࣜձࣾʣ yatabe.shunsuke.24n@st.kyoto-u.ac.jp
2. ຊतۀ͸੢೔ຊཱྀ٬మಓגࣜձࣾͷۀ຿ͱ࣮ͯ͠ࢪ͍ͯ͠·͢ ੢೔ຊཱྀ٬మಓ͸ LLM ͷ׆༻Λਪਐ͍ͯ͠·͢ɻ
3. 1. ෮शͱࠓ೔ͷ໰͍
4. ෮शᶃɿࡾͭͷϋʔϞχʔ֓೦ ຊतۀͰֶͿࡾͭͷϋʔϞχʔ֓೦ʢୈ 3 ճͰ ঺հʣ ᶃ อଘ֦େੑ ৽͍݁͠߹ࢠΛೖΕͯ΋طଘͷূ໌่͕Εͳ͍ ᶄ ൓సݪཧ ಋೖنଇͱআڈنଇͷ௼Γ߹͍ ᶅ ਖ਼نԽՄೳੑ ͲΜͳূ໌΋ඪ४ܗʹม׵Ͱ͖Δʢμϝοτʮਅਖ਼ ͷϋʔϞχʔʯ ʣ ୈ 11 ճͰ൑໌ͨ͠഑ஔ ࡾͭ͸ɺݟΔൣғʹԠͯ͡ࡾ૚ʹ੔ྻͨ͠ɿᶃ → େҬɾᶄ → ہॴɾᶅ → தؒɻ େҬɿอଘ֦େ தؒɿਖ਼نԽ ϛΫϩɿ൓సݪཧ ୈ 3 ճͰ໊લ͚ͩ঺հͨ͠ࡾ͕ͭɺୈ 11 ճͰࡾ૚ʹ੔ྻͨ͠ŠŠ͜Ε΋࠶ಡɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 4
5. ෮शᶄɿ࿈࠯ͱʮϋʔϞχʔͷؒͷϋʔϞχʔʯ ୈ 11 ճͷࠎࢠ ʮྑ͍نଇʯͷ৚݅Λࡾ૚ʹ෼͚ͨɿ ہॴʢ݁߹ࢠ 1 ݸʣʹ൓సݪཧ தؒʢূ໌શମʣʹਖ਼نԽ େҬʢݴޠશମʣʹอଘ֦େ ࿈࠯ɿ൓సݪཧ ⇒ ਖ਼نԽ ⇒ อଘ֦େɻtonk ͸࠷ ॳͷϦϯΫͰ੾Εͯࣗ໓͢Δɻ ͨͩ͠ࡾ૚͸ಠཱʹյΕ͏Δ ʮϋʔϞχʔͷؒͷϋʔϞχʔʯ͕ͳ͍͜ͱ΋͋Δ ʢݹయ࿦ཧɾCookʣ ɻਖ਼نԽ͸ผ֨ͷڮͩͬͨɻ େҬɿอଘ֦େੑ ݴޠશମΛݟΔ தؒɿਖ਼نԽ ূ໌શମΛݟΔ ϛΫϩɿ൓సݪཧ ݁߹ࢠ 1 ݸΛݟΔ ࠓ೔͸தؒʢਖ਼نԽʣΛݟΔ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 5
6. ༧ࠂͷमਖ਼ͱɺࠓ೔ͷ໰͍ લճ༧ࠂʮΧοτআڈͱਪ݅ܭࢉ΁ʯΛमਖ਼͠·͢ ʮਖ਼نԽͷ΋͏Ұͭͷإʯͱ͍͏༧ࠂ͸มΘΒͳ͍ɻ ͨͩ͠ਪ݅ܭࢉͰ͸ͳ͘ɺܭࢉతͳإΛઌʹݟΔɻਪ݅ܭࢉɾΧοτআڈ͸ޙ೔ʢ·ͨ ͸෇࿥ʣʹճ͢ɻ ࠓ೔ͷ໰͍ ਖ਼نԽͱ͸ɺܭࢉͷݴ༿Ͱݴ͏ͱԿΛ͍ͯ͠Δ͜ͱͳͷ͔ʁ લճɿਖ਼نԽ͸ʮূ໌࿦తͳʯੑ࣭ͱͯ͠ݟͨɻ ࠓ೔ɿಉ͡ਖ਼نԽΛʮܭࢉతͳʯੑ࣭ͱͯ͠ಡΈସ͑Δɻ ৽͍͠ه๏͸ λ ΛҰͭೖΕΔ͚ͩɻ͋ͱ͸શ෦ɺ࠶ಡɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 6
7. ূ໌ΛҰ࣍ݩͷه߸ྻͰίʔυ͢Δ ୈ 1 ճ͔ΒͷҰ؏ͨ͠ݟํʢܭࢉత࿦ཧ؍ʣ ຊߨٛͰ͸ਪ࿦Λه߸ྻͷنଇʹଇͬͨม׵ͱݟͳ͖ͯͨ͠ɻ໋୊͸͢ͰʹҰ࣍ݩͷه ߸ྻͱͯ͠ؼೲతʹఆٛࡁΈʢୈ 3 ճʣ ɻ ͱ͜Ζ͕ɺূ໌͚͕ͩ·ͩ 2 ࣍ݩͷਤͷ·· ࠓ೔΍Δ͜ͱɿূ໌ΛҰ࣍ݩͷه߸ྻͰίʔυ͢Δํ๏ΛखʹೖΕΔɻίʔυͯ͠͠· ͑͹ɺূ໌ͷॻ͖׵͑ʢਖ਼نԽʣ΋ʮه߸ྻͷنଇʹଇͬͨม׵ʯͱͯ͠ŠŠ ຊߨٛͷਪ ࿦؍ͦͷ··ͷ࢟ͰŠŠදݱͰ͖Δɻ ʢҙຯͷཧ࿦ 2.0 ͷ॓୊ʣ ʮ໋୊ͷҙຯ͸ʢਖ਼نͳʣূ໌ʯ͕ͩɺূ໌͸थܗͰ਺ֶ తʹѻ͍ʹ͍͘ŠŠ͜ͷ೉఺΋ɺίʔυԽͰղ͚Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 7
8. ४උɿλه๏ŠŠؔ਺ͷʮೖྗม਺ʯΛ໌ࣔ͢Δ ؔ਺ f(x) ͷೖྗม਺͸ xŠŠ;ͭ͏͸҉໧ɺͰ΋໌͍ࣔͨ͠ͱ͖͕͋Δ y = sin(ax + b) ͸ɺ;ͭ͏ x ͷؔ਺ͩͱࢥ͏ɻ ͕ͩ a Λಈ͔ͯ͠೾ܗΛൺ΂͍ͨͱ͖͸ɺa ͕ͦ͜ೖྗͩɻͲͷม਺͕ೖྗͳͷ͔Λɺ ॻ͖ํͰ͸͖ͬΓ͍ͤͨ͞ɻ Ͳͷม਺͕ೖྗ͔Λ໌ࣔ͢Δه๏ɿλ ೖྗΛ a ͱܾΊ͍ͨͱ͖͸ λa. sin(ax + b) (x, b ͸ఆ਺͔͍͋ͭ) ͱॻ͘ɻͭ·Γ λx.( · · · ) ʹʮx Λೖྗͱͯ͠଴ͭؔ਺ʯʢ͜ΕΛ λ ଋറͱݺͿʣ ɻ ࠓ೔৽͘͠࢖͏ه๏͸͜Ε͚ͩɻ͋ͱ͸طशͷূ໌ਤʹɺ͜ͷه๏Ͱ໊લΛ͚͍ͭͯ͘ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 8
9. 2. ূ໌໦ʹ໊લΛ͚ͭΔ
10. ࣮͸ɺ΋͏΍͍ͬͯͨ Ծఆϥϕϧ [v : A] Λࢥ͍ग़ͦ͏ʢୈ 2 ճ͔Βʣ Έͳ͞Μ͸ୈ 2 ճ͔ΒԾఆʹ໊લΛ͚ͭͯ [v : A] ͱॻ͍͖ͯͨɻ͜Ε͸ʮv ͱ͍͏໊લ ͷ A ͷূ໌͕͋ΔͱԾఆ͢ΔʯͱಡΊΔɻ ݪࢠ໋୊ͷѻ͍ͱಉ͡ɿূ໌Ͱ͖Δ͔ෆ໌ͳ A ʹɺͱΓ͋͑ͣূ໌ v ͕͋ΔͱԾ ఆ͢Δɻ ͭ·Γʮূ໌ʹ໊લΛ͚ͭΔʯ͜ͱ͸ɺ࣮͸΋͏࢝·͍ͬͯͨɻ ࠓ೔ͷҰา ͜ͷʮ໊લʯΛɺԾఆ͚ͩͰͳ͘ূ໌શମʹ֦ு͢Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 10
11. →ಋೖ ʹ λந৅ʢ·ͣূ໌ɺ࣍ʹ஫ऍʣ ᶃ ·ͣɺී௨ʹূ໌͢Δ [ v : A ] . . . . A A → A →I [v : A] ΛԾఆ͠ɺͦΕΛͦͷ·· A ͷ݁࿦ͱ͠ɺ → ಋೖͰԾఆΛΩϟϯηϧɻ ᶄ ࣍ʹɺಉ͡ਤʹ໊લΛ͚ͭΔ [ v : A ] . . . . v : A λv.v : A → A →I Ծఆ v ΛΩϟϯηϧʹೖྗ v Λ଴ͭؔ਺Λ࡞Δʹ λ ந৅ɻ ಡΈԼ͠ ʮA ͷূ໌ v ͕͋ΔͱԾఆ͢Δ → ͦΕΛͦͷ··ฦ͢ → ԾఆΛΩϟϯηϧʯ ɻλv.v ͸߃౳ؔ਺ idŠŠʮূ໌ A → A ͷਖ਼ମ͸ɺ߃౳ؔ਺ͩͬͨʯ ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 11
12. →আڈ ʹ ద༻ ؔ਺ʹҾ਺Λ౉͢ h : A → B f : A h f : B →E A → B ͷূ໌ h ʹɺA ͷূ໌ f Λ౉͢ → আڈ͕͍ͯ͠Δ͜ͱ ؔ਺ h ʹҾ਺ f Λ౉͢ʹద༻ʢapplicationʣ ɻ ݁Ռ h f ͕ B ͷূ໌ɻ আڈنଇΛଓ͚ͯద༻͢Δͷ͸ɺؔ਺߹ ੒ h ◦ f ʹରԠ͢Δʢ·ͣ fɺͦͷ݁Ռʹ hʣ ɻ ʮূ໌ͷ෇͚ସ͑ʯΛɺؔ਺ͷద༻ɾ߹ ੒Ͱද͍ͯ͠Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 12
13. ஫ऍ͖ͭنଇͷҰཡʢ͜Ε͚ͩʣ Ծఆʹม਺ → ಋೖʹ λ ந৅ → আڈʹద༻ x : A [ x : A ] . . . . M : B λx.M : A → B →I M : A → B N : A M N : B →E ԣॻ͖൛ʢਪ݅ελΠϧɾΓ ⊢ M : τʣŠŠಉ͜͡ͱͷผه๏ Γ, x:τ ⊢ x:τ Γ, x:σ ⊢ M:τ Γ ⊢ λx.M : σ → τ Γ ⊢ M:σ → τ Γ ⊢ N:σ Γ ⊢ M N : τ ओு ͜ͷ 3 ͭͷ஫ऍنଇ͚ͩͰɺࠓֶظॻ͍͖ͯͨ → ͷূ໌͸͢΂ͯ 1 ߦͷࣜʹͳΔɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 13
14. 3. छ໌͔͠ɿ͜Ε͸λܭࢉͩͬͨ
15. छ໌͔͠ɿ͜Ε͸ Church ͷ λ ܭࢉͩͬͨ ύϯνϥΠϯ ͍·օ͞Μ͕ʮൃ໌ʯͨ͠ه๏͸ɺAlonzo Church ͕ 1930 ೥୅ʹ࡞ͬͨ λ ܭࢉͦͷ΋ͷͰ ͋Δɻ λ ܭࢉ͸ʮܭࢉͱ͸Կ͔ʯ΁ͷ౴͑ λ ܭࢉ͸ূ໌࿦ͱ͸ಠཱʹɺ ʮܭࢉͱ͸Կ͔ʯ΁ͷ Ұͭͷ౴͑ͱͯ͠ 1930 ೥୅ʹੜ·ΕͨʢνϡʔϦ ϯάػցͱಉ஋ʀୈ 1 ճͰ໊લ͚ͩطग़ʣ ɻ օ͞Μ͕๯಄Ͱ֮͑ͨʮೖྗΛ໌ࣔ͢Δه๏ʯ͸ɺ ͦͷೖΓޱͩͬͨɻ λ ߲ͷؼೲతఆٛ ม਺ x0, x1, . . . ͸ λ ߲ɻ M ͕ λ ߲ͳΒ (λx.M) ΋ʢλ ந৅ʣ ɻ M, N ͕ λ ߲ͳΒ (MN) ΋ʢద༻ʣ ɻ ࿦ཧͱܭࢉ͕ɺޓ͍Λ஌Βͣʹಉ͡΋ͷΛ࡞͍ͬͯͨ ࿦ཧͷଆʢGentzen 1934ɾࣗવԋ៷ʣͱܭࢉͷଆʢChurch 1932–36ɾλ ܭࢉɺνϡʔϦϯάػցͱಉ ஋ʣ͕ಠཱʹੜ·ΕɺҰகͨ͠ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 15
16. β ม׵ɿܭࢉͱ͸ λ߲ͷॻ͖׵͑ ؔ਺ͷ͍ͪ͹Μجຊతͳૢ࡞ʹ୅ೖ f(x) ͷ x ʹ N ΛೖΕΕ͹ f(N) ʹͳΔɻλ ߲Ͱ΋ಉ͡ͰɺೖྗΛຊମʹ୅ೖ͢Δͷ͕ ܭࢉͷҰาͩɻ β ม׵ʢβ ؆໿ʣͷنଇ (λx.M) N →β M[x := N] ࠨล (λx.M) N ͷܗΛ β جʢβ-redexʣͱݺͿɻ ʮؔ਺ λx.M ʹҾ਺ N Λ౉͠ɺຊମ M ͷ x Λ N Ͱஔ͖׵͑Δʯ ɻ ܭࢉͱ͸ɺλ ߲ͷதͷ β جΛݟ͚ͭͯॻ͖׵͍͑ͯ͘͜ͱɻ ΋͏ β ج͕ͳ͍߲ʹ஋ʢਖ਼نܗʣɻୈ 3 ճͷ evalʢ2 + 2 Ͱ + ͕ফ͑Δʣͱಉ͡ൃ૝ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 16
17. β ม׵Λಈ͔ͯ͠ΈΔ ྫ 0ɿ๯಄ͷ λ ه๏͕ɺ͜͜Ͱܭࢉͱͯ͠ಈ͘ (λa. sin(ax + b)) 2 →β sin(2x + b) ྫ 1ɿ߃౳ؔ਺ (λx.x) N →β N ྫ 2ɿ2 εςοϓʢ֤ஈͷ β جΛԼઢͰ໌ࣔʣ (λx.λy.x) a b →β (λy.a) b →β a ʢద༻͸ࠨ݁߹ɿM a b = (M a) bɻ ʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 17
18. ରԠʹ໊લΛ༩͑ͨਓʑ Church Alonzo Churchʢถɾ1903–1995ʣ ɻ 1930 ೥୅ʹ λ ܭࢉΛ૑࢝ʢܭࢉͱ ͸Կ͔΁ͷҰ౴ʣ ɻ Curry Haskell Curryʢถɾ1900–1982ʣ ɻ 1958 ೥ࠒɺ૊Έ߹Θͤ࿦ཧͷܕͱ ࿦ཧࣜͷҰகʹؾͮ͘ɻ Howard William A. Howardʢถɾ1926– ʣ ɻ 1969 ೥ࣥච The formulae-as-types. . . ͰରԠΛ໌ ֬Խɻ ΧϦʔɾϋϫʔυରԠʢCurry–Howard correspondenceʣ ʮ໋୊͸ܕɺূ໌͸ϓϩάϥϜʯŠŠ࿦ཧͱܭࢉ͕ಉ͡ߏ଄ͩͱ͍͏ൃݟɻ࣍ͷεϥΠυ ͰରԠදʹ·ͱΊΔɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 18
19. ࣙॻɿΧϦʔɾϋϫʔυରԠ ࿦ཧʢূ໌࿦ʣ ܭࢉʢλ ܭࢉʣ ໋୊ ܕ ূ໌ ߲ʢϓϩάϥϜʣ Ծఆ [v : A] ม਺ v : A → ಋೖنଇʢߏ੒ࢠʣ λ ந৅ → আڈنଇʢղମࢠʣ ద༻ ΧϊχΧϧͳূ໌ ஋ʢਖ਼نܗʣ ԕճΓ β جʢβ-redexʣ ਖ਼نԽ β ؆໿ ʹ ϓϩάϥϜͷ࣮ߦ ରԠͷఆཧʢ૒ํ޲ʣ ɿܕਪ࿦ Γ ⊢ M : φ ͕Ͱ͖Δ ⇐⇒ ࠷খ ໋୊࿦ཧͰ φ ͕ূ໌Մೳɻ ʢ͓࿳ͼʣ∧ ͸ϖΞʢ௚ੵʣ ɺ∨ ͸௚࿨ͱͯ͠ରԠ͕ଓ ͕͘ɺ໘౗ͳͷͰࠓ೔͸ → ͚ͩɻ∨ ͸࣍ճͷओ໾ͳ ͷͰԹଘ͠·͢ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 19
20. σʔλܕͱ͸Կ͔ŠŠୈ 3ճͷ࠶ಡ ఆٛ نଇʹଇͬͯؼೲతʹߏங͞Ε߲ͨͷू·ΓΛʢؼೲతʣσʔλܕͱݺͿʢ ʮू߹ʯͷܭ ࢉػՊֶ൛ʣ ɻ ࣮ྫɿࣗવ਺ܕ Nʢୈ 3 ճͷʮࣗવ਺΋Ͳ͖ʯ ʣ Z, Succ(Z), Succ(Succ(Z)), . . . ʹߏ੒ࢠ ZɾSucc Ͱؼೲతʹ࡞ΒΕΔ߲ͷू·Γɻ ύϯνϥΠϯ ୈ 3 ճͰօ͞Μ͕࡞ͬͨ΋ͷ͸ɺ࣮͸σʔλܕͩͬͨɻ ূ໌΋نଇʢಋೖɾআڈʣͰؼೲతʹߏங͞ΕΔ ⇒ ূ໌ͷू·Γ΋σʔλܕʹͳΕΔ ⇒ ࣍ͷεϥΠυ΁ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 20
21. ͳͥରԠ͢Δͷ͔ɿ໋୊ʹূ໌ͷσʔλܕ ࣙॻ͕੒Γཱͭཧ༝ʢpropositions as typesʣ ໋୊Λɺͦͷূ໌ͷू·ΓʹσʔλܕͱಉҰࢹ͢Δɻ͢Δͱʮ໋୊ ↔ ܕʯ ʮূ໌ ↔ ͦͷ ܕΛ߲࣋ͭʯ͕ࣗવʹରԠ͢Δɻ ʮσʔλܕͱͯ͠ͷ໋୊ʯ؍ʢpropositions-as-typesʣ ໋୊͸ɺͦͷ໋୊ͷূ໌ͷͳ͢ʢؼೲతʣσʔλܕͰ͋Δɻ ҙຯͷཧ࿦ 2.0ʢୈ 10ɾ11 ճʣ ɿ໋୊ͷҙຯʹূ໌ͷू·Γɻ·͞ʹ͜ͷʮܕʯͷ ͜ͱɻ Ұͭͷ໋୊ʹਖ਼نͳূ໌͸ෳ਺͋Γ͏Δʢ1 ରଟʣ ɻ͔ͩΒʮҰͭͷࢦࣔର৅ʯͰ͸ ͳ͘ূ໌ͷू·ΓʹܕͱݟΔɻ → ͸ؔ਺ܕɻ∧ ʹ௚ੵɾ∨ ʹ௚࿨ͱͯ͠ܕ͕ఆ·Δʢৄ͘͠͸࣍ճҎ߱ʣ ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 21
22. 4. ໨ۄɿ॓୊ΛλͰ࠶ԋ
23. ॓୊ɾ໰1ͷ౴͑߹ΘͤɿA → ((A → B) → B) ͷԕճΓ ԕճΓͷ͋Δূ໌ʢؐݩલʣ [A → B]1 [A]3 B →E A → B →I3 [A]2 B →E (A → B) → B →I1 A → ((A → B) → B) →I2 Ͳ͕͜ԕճΓ͔ →I3 Ͱ࡞ͬͨ A → B Λɺͦͷ௚ޙʹ →E ͰऔΓ่͍ͯ͠Δɻಋೖͷ௚ޙͷআ ڈʹԕճΓɻ Χοτ&ϖʔετͰɺ͜ͷԕճΓ͸ ফͤΔʢୈ 11 ճɾ໰ 1ʣ ɻ ࣍ͷϖʔδͰɺಉ͡ਤʹ߲ͷ஫ऍΛ ͚ͭΔɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 23
24. ಉ͡ਤʹɺ߲Λ஫ऍ͢Δ [x : A → B]1 [y0 : A]3 xy0 : B →E λy0 .xy0 : A → B →I3 [y1 : A]2 (λy0 .xy0 ) y1 : B →E λx.(λy0 .xy0 ) y1 : (A → B) → B →I1 λy1 .(λx.(λy0 .xy0 ) y1 ) : A → ((A → B) → B) →I2 ԕճΓͷՕॴ͸ɺ߲Ͱ͸ β جʹͳ͍ͬͯΔ →I3 ͷ௚ޙͷ →E ʹରԠ͢Δ෦෼߲͸ (λy0 .xy0 ) y1 ŠŠ͜Ε͕ β جʢβ-redexʣɻ ʮԕճΓͱ͸ɺ߲ͷதͷ (λx.M)N ͷܗͷ͜ͱͩͬͨʯ ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 24
25. Χοτ&ϖʔετ ʹ ୅ೖ β ؆໿Λ࣮ߦ͢Δ λy1 .(λx.(λy0 .xy0 ) y1 ) →β λy1 .(λx. xy1 ) ≡α λy.(λx. xy) ʢ≡α ɿଋറม਺ͷ໊લͷ෇͚ସ͑͸ಉҰࢹ͢Δʢα ಉ஋ʣ ɻ ʣ ύϯνϥΠϯ Χοτ&ϖʔετͱ͸ɺ୅ೖͷ͜ͱͩͬͨɿ (λx.M)N →β M[x := N]ɻ ୈ 3 ճɿeval Ͱ + ͕ফ͑Δ 2 + 2 → 3 + 1 → 4 + 0 → 4 β ؆໿Ͱ β ج͕ফ͑Δ (λy0.xy0) y1 →β xy1 ಉ͡ܗͷֆɿܭࢉ͕ਐΉͱɺ༨ܭͳ΋ͷʢ+ ʗ β جʣ͕ফ͍͑ͯ͘ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 25
26. 5. ఀࢭੑɿূ໌͸૸ͬͯࢭ·Δ
27. ਖ਼نԽఆཧͷܭࢉ൛ ਖ਼نԽఆཧʢܭࢉͷݴ༿Ͱʣ ܕ෇͚Մೳͳ λ ߲͸ɺ͢΂ͯ༗ݶεςοϓͰਖ਼نܗʹ౸ୡ͢Δɻ ਖ਼نܗʹ β جΛؚ·ͳ͍߲ʹΧϊχΧϧͳূ໌ɻ ಡΈସ͑ ূ໌ͷਖ਼نԽ ࿦ཧ = ϓϩάϥϜͷ࣮ߦ ܭࢉ ਖ਼نԽఆཧʹʮ͜ͷϓϩάϥϜ͸ඞͣࢭ·Δʯͱ͍͏อূɻ ূ໌͸૸Δɻͦͯ͠ࢭ·Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 27
28. ࢭ·Βͳ͍߲ Ωɿܕ͕ఀࢭΛक͍ͬͯΔ ܕͳ͠ λ ܭࢉͰ͸ɺࢭ·Βͳ͍߲͕࡞ΕΔ Ω = (λx. xx)(λx. xx) →β (λx. xx)(λx. xx) →β · · · 1 εςοϓ؆໿ͯ͠΋ݩʹ໭ĊŠ Ӭٱϧʔϓɻ ୯७ܕͷੈքͰ͸ɺΩ ʹܕ͕͔ͭͳ͍ x ͕ʮؔ਺ʯͰ͋Δͱಉ࣌ʹʮͦͷҾ਺ʯͰ΋ͳ͚Ε͹ͳΒͣɺܕͱͯ͠ໃ६͢Δɻڭ܇ɿܕ ʢʹ໋୊ʣ͕ఀࢭΛक͍ͬͯΔɻ ʢఀࢭੑ͸ඇࣗ໌Ͱ໘౗ŠŠݮগ͢Δଌ౓Λݟ͚ͭΔͷ͕ຊ౰ ͷ࢓ࣄɻλ Ͱ͸ڧਖ਼نԽఆཧͱ͍͏໊લΛ࣋ͭɻ ʣ §0 ͷո෺ ρ ͷਖ਼ମ ͱ͜Ζ͕ ρ ΛೖΕͨੈքͰ͚ͩɺ͜ͷ Ω ʹܕ͕͍ͭͯ͠·͏ɿx : ρ ͳΒ x ͸ ρ → ⊥ Ͱ΋͋ Δ͔Βɺx x ͕ܕΛ࣋ͭɻρ ͕ ⊥ Λʮূ໌ʯ͢Δͱ͸ŠŠ ࢭ·Βͳ͍ϓϩάϥϜΛࠜڌͱͯ͠ ࠩ͠ग़͢͜ͱͩͬͨɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 28
29. 6. ఩ֶతճऩ
30. μϝοτͷճऩɿਅਖ਼ͷϋʔϞχʔ͸ܭࢉϞσϧͷੑ࣭ ॻ੶ ː 12.6 ຤ඌʢୈ 13 ষ΁ͷ઀ଓʣΑΓ μϝοτͷʮਅਖ਼ͷϋʔϞχʔʯʹਖ਼نԽՄೳੑ͸ɺอଘ֦େੑɾ൓సݪཧͱ͸ੑ͕֨ҧ͍ɺ ݴޠߦҝ࿦ͷ֓೦Ͱ͸ͳ͘ܭࢉϞσϧͷੑ࣭ͱͯ͠ଊ͑௚͢ඞཁ͕͋ΔɻΧϦʔɾϋϫʔυ ରԠ͕ͦͷ຋༁૷ஔʹʮਖ਼نԽՄೳੑʯʹʮܕ෇͖ λ ܭࢉͷఀࢭੑʯ ɻ ͳͥʮࢭ·Δʯ͜ͱΛཁٻ͢Δͷ͔ŠŠҙຯͷ༗ݶओٛ ਓؒ͸༗ݶͳੜ͖෺Ͱ͋Δɻ༗ݶੑ͸ೋຕ͋Δɿ ূ໌͕༗ݶͷର৅Ͱ͋Δ͜ͱʢ໋୊ͷؼೲతఆ͔ٛΒ OKʣ ͦΕΛ૸Βͤͨաఔ͕༗ݶͰ͋Δ͜ͱʢਖ਼نԽఆཧ͕ඞཁʣ ɻ ༗ݶͳଘࡏऀʹҙຯ͕ݱΕΔͨΊʹ͸ޙऀ͕ͦ͜ඞཁɿࢭ·ͬͯ஋Λฦ͢ܭࢉʢશҬతͳܭ ࢉʣ͚͕ͩɺূ໌ͷࢿ֨Λ࣋ͭʢμϝοτͷҙຯͷ෼ࢠ࿦ʂʂʣ ɻ ݴޠߦҝ࿦Ͱ͸ݴ͍੾Εͳ͔ͬͨ͜ͱ͕ɺܭࢉͷޠኮͳΒҰݴͰݴ͑Δ ʮ૸Γɺ͍͔ͦͯͭ͠ࢭ·Δ΋ͷ͕ূ໌Ͱ͋Δʯ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 30
31. ࡾ૚஍ਤͷߋ৽ େҬɿอଘ֦େੑ ݴޠશମΛݟΔ தؒɿਖ਼نԽ ʹ β ؆໿ͷఀࢭੑʢϓϩάϥϜͷ࣮ߦ͕ࢭ ·Δʣ ϛΫϩɿ൓సݪཧ ݁߹ࢠ 1 ݸΛݟΔ ࠓ೔ͷಡΈସ͑ͷ݁࿦ தؒ૚ʢਖ਼نԽʣʹʮʹ β ؆໿ͷఀࢭੑ ʢϓϩάϥϜͷ࣮ߦ͕ࢭ·Δʣ ʯΛॻ͖଍͠ ͨɻࡾ૚Ϟσϧͷதԝ͕ɺܭࢉͷݴ༿Ͱಡ Έ௚ͤͨɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 31
32. 7. ;ͨͨͼLLM΁ɾ·ͱΊɾԋश
33. ;ͨͨͼ LLM ΁ɿࠜڌͱ͸࣮ߦՄೳͳϓϩάϥϜ ʮূ໌ʹϓϩάϥϜʯͳΒ ࠜڌͷ͋Δओுͱ͸ɺ࣮ߦՄೳͳϓϩάϥϜΛఴ͑ͨओுͰ͋Δɻ Ͱ͸ɺࠜڌͷͳ͍ओுʢϋϧγωʔγϣϯʣ͸ʁ ܭࢉͷݴ༿ͰԿʹ͋ͨΔͷ͔ŠŠ Ω ͷΑ͏ͳʮܕͷ͔ͭͳ͍߲ʯʁ ͦ΋ͦ΋ʮ߲͕ͳ͍ओுʯʁ ౴͑͸ 7/21ʢ࠷ऴճʣͰɻࠓ೔͸͜͜Ͱ੾Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 33
34. ·ͱΊ ࠓ೔ͷࠎࢠʢ৽ه๏͸ λ ͻͱͭɺ͋ͱ͸શ෦ʮ࠶ಡʯ ʣ (1) ূ໌໦ʹ߲Λ஫ऍ͢Δͱ λ ܭࢉʹͳΔʢΧϦʔɾϋϫʔυʣ ɻ (2) ԕճΓʹ β جɺΧοτ&ϖʔετʹ୅ೖʢβ ؆໿ʣ ɻ (3) ਖ਼نԽʹϓϩάϥϜͷ࣮ߦɺਖ਼نԽఆཧʹఀࢭͷอূɻ (4) ܕ͕ఀࢭΛकΔʢΩ ͸ܕͳ͠ͷੈքͷॅਓʣ ɻ (5) ਅਖ਼ͷϋʔϞχʔͷਖ਼ମ͸ܭࢉϞσϧͷੑ࣭ɻ ূ໌͸૸Δɻͦͯ͠ʢܕ͕͍͍ͭͯΕ͹ʣࢭ·Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 34
35. ԋश ԋशʢղ౴ʹ͔͔ͬͨ࣌ؒ΋ॻ͘͜ͱʣ ໰ 1 A → B → A ͷূ໌Λඳ͖ɺ֤ߦʹ߲Λ஫ऍͤΑɻ ʢऑԽͷ೏͍͕͢Δྫɻ ʣ ໰ 2 (λx.M)N ͷܗͷ λ ߲ΛҰͭࣗ࡞͠ɺରԠ͢ΔԕճΓূ໌Λূ໌ਤͰඳ͚ɻβ ؆໿ͱূ ໌ਤͷؐݩ͕ରԠ͢Δ͜ͱΛ֬ೝͤΑɻ ʢఏग़ํ๏ɾక੾͸ KULMS ͷࢦࣔʹै͍ͬͯͩ͘͞ɻ ʣ ΤΫετϥ໰ʢ೚ҙɾఏग़׻ܴʣ ո෺ ρ ͷنଇͰ ⊥ Λಋ͘ূ໌Λඳ͖ɺࠓ೔ͷ஫ऍ๏Ͱ λ ߲Λ෇͚ͯΈΑɻಘΒΕ߲ͨΛ β ؆໿͢ΔͱԿ͕ى͖Δ͔ʁ ώϯτ 1ɿρ ͱ ρ → ⊥ ͸ಉҰࢹͯ͠Α͍ʢCurry ελΠϧʣ ɻ ώϯτ 2ɿࠓ೔ͷ͋ΔεϥΠυʹɺ౴͑ͷ࢟ ͕͢Ͱʹग़͍ͯΔɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 35
36. ࣍ճ༧ࠂ ࣍ճʢୈ 13 ճɾ7/14ʣ ɿ͜ͷදΛ׬੒ͤ͞Δ ૸ͬͯɺࢭ·ͬͯɺ౴͕͑ಡΊΔ ࡾ૚ ূ໌࿦ͷݴ༿ ܭࢉͷݴ༿ ہॴ ൓సݪཧ ٧·Βͳ͍ʢ࣍ճʁʣ தؒ ਖ਼نԽ ࢭ·Δ ✓ ࠓ೔ຒΊͨ େҬ อଘ֦େ ౴͕͑ಡΊΔʢ࣍ճʁʣ A ∨ B ͷূ໌ͷ࣮ߦ͕ࢭ·ͬͨઌͰ͸ɺA ͔ B ͔ɺͲͪΒͷূ໌͔͕ಡΊΔʢऔΓग़ͤΔʣ ɻࠓ೔Թଘ͠ ͨ ∨ ͕ओ໾ɻtonk ͷ߲͸٧·ͬͯಈ͔ͳ͍ɻ ͦͯ͠ŠŠ ΤΫετϥ໰ͷ౴͑߹Θ͔ͤΒ։ນɻΧϦʔͷύϥυοΫεͱෆಈ఺ίϯϏωʔλͷ࿩Λ͠ ·͢ɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 36
37. ෇࿥ɿΧϦʔͷύϥυοΫεͱʮӕ͖ͭʯŠŠ൜ਓ͸ॖ໿ ࠞಉ஫ҙɿӕ͖ͭ͸ɺΧϦʔͷಛघέʔε ӕ͖ͭจ λ ↔ ¬λ ͸ɺ¬λ := λ → ⊥ ͱॻ͚͹ λ ↔ (λ → ⊥)ŠŠ͜Ε͸ΧϦʔจ ρ ↔ (ρ → C) ͷ C = ⊥ ͷ৔߹ɻӕ͖ͭ͸ΧϦʔͷύϥυοΫεͷҰྫͰ͋ͬͯɺผ෺Ͱ͸ ͳ͍ɻ ൜ਓ͸ʮॖ໿ʯ ʢcontractionʣʹࣗݾݴٴͷԾఆΛ 2 ճ࢖͏͜ͱ ⊥ Λಋ͘ʹ͸ɺࣗݾݴٴͷԾఆ ρʢλʣΛ 2 ճ࢖͏ඞཁ͕͋Δɻ߲Ͱݴ͑͹ ρ ͷূ໌͸ Ω = (λx. xx)(λx. xx)ŠŠ͜ͷ xxʢx Λ 2 ճ࢖͏ʣ͕ॖ໿ʹ͋ͨΔɻ ॖ໿͋ΓɿΧϦʔ͸೚ҙͷ C Λɺӕ͖ͭ͸ ⊥ Λಋ͘ʹࣗ໌Խʢ྆ऀ͸ಉ͡ӡ໋ʣ ɻ ॖ໿ͳ͠ʢΞϑΟϯ࿦ཧɾୈ 8ɾ9 ճʣɿxx ͕࡞Εͳ͍ʹ Ω ͕૊Ίͳ͍ʹͲͪΒ΋ໃ६ Λى͜͞ͳ͍ʢʹਖ਼نԽɾఀࢭੑ͕ճ෮ʣ ɻ ୈ 8ɾ9 ճͰॖ໿Λམͱ͢ͱਖ਼نԽ͕໭ͬͨͷ͸ۮવͰ͸ͳ͍ŠŠॖ໿͕ͦ͜ தؒ૚ʢఀࢭੑʣΛյ͢ுຊਓɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 37