The Multi-Armed Bandit Problem and Its Solutions

深層学習&ロボティクス勉強会 @ deeplab
https://deeplab-team.github.io/

Reference:
https://lilianweng.github.io/lil-log

Related:
https://speakerdeck.com/deeplab

Transcript

1. deeplab
   深層学習&ロボティクス勉強会
   The Multi-Armed Bandit Problem and Its
   Solutions
   Haruka Kiyohara
   

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2. 深層学習&ロボティクス勉強会
   deeplabは2019年4月に設立した学生による人工知能研究会である．東大，東工大，早
   慶大をはじめとする都内の学部生を中心に20名以上が参加し，2019年度は5.4日に1
   回ペース，年間60回を超える勉強会を開催し，人工知能関連分野 (ML, DL, CV, NLP,
   RL, Robotics, Speech, HCI, CognitiveScience, etc) を探究している．
   今回は「深層学習の最新トレンドと強化学習，ロボティックス分野における発展」をテー
   マとし，勉強会を実施した．題材としてOpenAIのRoboticsチームの研究者であるLilian
   Wengさんのブログ (https://lilianweng.github.io/lil-log) を参考にし，資料作成，発表，
   ディスカッションを行った．
   

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3. Exploitation vs Exploration
   ● 日常は非完全情報であふれている．
   ⇒常に探索と活用のジレンマが存在する．
   e.g., 近所の好きなレストランの隣に新しいレストランができたら，どっちに行く？
   ・好きなレストランに通い続ける:
   もっと良いレストランを見つける
   チャンスを逃すかもしれない．
   ・新しいレストランに行ってみる:
   もしかしたら，まずい昼食をとる
   ことになるかもしれない．
   ● 長期的な視点で探索と活用をバランスよく行う必要がある．
   ● 短期的な犠牲の上に長期的な最適化戦略が行われることも．
   Fig. UC Berkeley AI course slide, lecture 11.
   

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4. What is Multi-Armed Bandit?
   ● 多腕バンディット問題は，探索と活用のジレンマをはらむ古典的な問題設定．
   e.g., 無限回試行可能なスロットマシンにおいて，獲得報酬の最大化を目指す問題．
   毎回スロットを一台選んで賭けをするが，真の勝率をギャンブラーは知らない．
   ● ひとつの可能な選択肢は，大数の法則を使って真の勝率を推定すること．
   ● しかし，無駄が多いのでもっと効率的にできないか？
   

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5. Applications
   ● 推薦システム / 広告配信
   e.g., Netflixによる映画のサムネイルの個別最適化
   [F. Amat et al., RecSys’18]
   ● ゲームの手選択
   e.g., AlphaGoによる囲碁におけるモンテカルロ木探索
   [D. Silver et al., Nature’16]
   ● 最適化 / モデル選択
   e.g., 文脈を考慮したパラメータ最適化
   [A. Krause and C. Ong, NIPS’11]
   

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6. Definition
   ● ベルヌーイ多腕バンディット問題の定式化:
   ● これはマルコフ決定過程において状態 がないものとしてみることができる．
   ● 目標は累積報酬和 の最大化であり，
   最適行動の報酬獲得確率は右式で，
   ● ロスは，リグレットと呼ばれ，最適値と実現値の差分で表される．
   

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7. Bandit Strategies
   ● 多腕バンディット問題へのアプローチは，大きく以下の3つに分かれる．
   ● 探索なし： 短期的な報酬最大化を追求する貪欲的手法で，長期的には損をする
   可能性もはらんでいる．
   ● 確率的探索: 主に貪欲に報酬最大化を行うが，一定割合のランダムな行動探索を
   することで探索も行えるようにする．
   ● 効率的探索: 不確実性を定量的に評価し探索の優先順位を決定することで，効率
   よく探索を行うことができる．
   

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8. ε-Greedy Algorithm
   ● εの微小な割合でランダムに行動を選択して探索を行い，
   ● それ以外の場合は推定価値関数を基に，価値関数を最大化する行動を選択する．
   （ここで，推定価値関数は報酬獲得確率として読み替える．）
   ● 価値関数の推定
   ● 貪欲的な行動選択
   ある行動を取って報酬が得られた回数 ある行動を取った回数
   報酬獲得確率が最大となる行動選択
   

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9. Upper Confidence Bounds
   ● 報酬は確率的に決定されるので，不確実性が大きい．
   ● 不確実性を考慮した上で，期待報酬の上界を見積もったのがUCB．
   ● 不確実性に依る上界ポテンシャル （UCB） を と置くと，以下の条件を満たす．
   ① が大きくなるほど は減少する．
   ②真の価値関数の上界が，推定価値関数とUCBの和で抑えられる．
   ● このとき，効率的な貪欲行動選択は，
   ● では，実際にUCBはどのように構築すれば良いのか？
   真の価値関数の上界を最大化する行動選択
   推定価値関数 + 不確実性項(UCB)
   

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10. Hoeffding’s Inequality
    ● 個の[0,1]にスケーリングされた独立同分布のサンプル について，
    以下へフディングの不等式が成立する．
    ● 先程のUCBの問題に置き換えると，報酬は確率関数と見なせるので，
    ● 式展開により，UCBを得る．
    サンプル平均が，分布の真の期待値より一定量だけ大きくなる確率
    

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11. UCB1
    ● とおくと，UCB1アルゴリズムを得る．
    ● UCBは，
    ● 貪欲的行動選択は，
    

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12. Bayesian UCB
    ● UCB1では分布の形状や観測値のばらつきの大小に関係なく，UCBを決定していた．
    ● しかし，これは分布の形状を事前情報として分かっている場合，非効率になる．
    ● 事前情報を基にUCB項を決定する手法をベイズUCBという．
    e.g., 報酬が正規分布に従って生成されると分かっている場合，
    分散をUCBとした方がより良い近似で上界を求めることができる．
    Fig. UCL RL course lecture 9’s slides.
    

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13. Thompson Sampling (1/2)
    ● 最適行動を点推定ではなく確率的に求め，確率を基に行動をサンプリングする．
    行動方策 ある行動の価値関数が，他のすべての行動の価値関数より大きくなる確率
    ある行動が最適な行動である確率から行動をサンプリング
    

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14. Thompson Sampling (2/2)
    ● 特にベルヌーイ分布に従う報酬確率 に対し，推定価値関数 を共役事前
    分布のベータ分布で表現することで，ベイズ更新により価値関数を推定していく．
    ● ベータ分布 のパラメタは，以下のように解釈可能．
    : 報酬が得られたときの回数
    : 報酬が得られなかったときの回数
    e.g., のとき，不確実性が大きいが，報酬獲得確率は50%．
    のとき，かなり確からしく， 報酬獲得確率は10%．
    ● 事後分布の推定は解析的でないので，ギブスサンプリングやラプラス近似，ブート
    ストラップ法などを用いて行う．
    

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15. Case Study
    ● ベルヌーイバンディット問題における，手法の比較
    Fig. 報酬獲得確率が {0.0, 0.1, .., 0.9} の10個の選択肢をもつベルヌーイバンディット問題
    (左) 時間ステップと累積リグレット
    (中央) 真の報酬獲得確率と推定報酬獲得確率
    (右) 10000ステップの学習において，各行動が選択された回数の割合
    

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16. Summary (revisit: Bandit Strategies)
    ● 多腕バンディット問題へのアプローチは，大きく以下の3つに分かれる．
    ● 探索なし： 短期的な報酬最大化を追求する貪欲的手法で，長期的には損をする
    可能性もはらんでいる．
    ● 確率的探索: 主に貪欲に報酬最大化を行うが，一定割合のランダムな行動探索を
    することで探索も行えるようにする．
    ● 効率的探索: 不確実性を定量的に評価し探索の優先順位を決定することで，効率
    よく探索を行うことができる．
    ⇒ベイズ的手法を取り入れていた．
    

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17. References (1/2)
    ● Lilian Weng. Lil’Log The multi-armed bandit problem and its solutions.
    https://lilianweng.github.io/lil-log/2018/01/23/the-multi-armed-bandit-problem-
    and-its-solutions.html
    ● CS229 supplemental lecture notes: Hoeffding’s inequality.
    ● RL Course by David Silver - Lecture 9: Exploration and exploitation．
    ● Olivier Chapelle and Lihong Li. An empirical evaluation of thompson
    sampling. NeurIPS, 2011.
    ● Daniel Russo et al. A tutorial on Thompson sampling. arXiv, 2017.
    ● Fernando Amat et al. Artwork personalization at Netflix. RecSys, 2018.
    ● David Silver et al. Mastering the game of Go with deep neural networks and tree
    search. Nature, 2016.
    

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18. References (2/2)
    ● Andreas Krause and Cheng Soon Ong. Contextual gaussian process bandit
    optimization. NeurIPS, 2011.
    ● 本田淳也，中村篤祥．バンディット問題の理論とアルゴリズム．講談社．2016.
    

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