論文読み会 SIG-SPATIAL'20 | (k,l)-Medians Clustering of Trajectories Using Continuous Dynamic Time Warping

論文読み会のための資料

Transcript

1. @cocomoff
   2021/4/23
   

   View Slide

2. 概要
   CDTW (Continous DTW)
   という距離尺度を用いて，軌跡データのクラス
   タリングを達成した:
   具体的な貢献は (1) CDTW
   を近似計算するアルゴリ
   ズムを提案した (2) CDTW
   を用いるクラスタリング計算を提案した
   1/18
   

   View Slide

3. 目次
   概要と問題・実験
   詳細
   DTW
   ，Frechet
   ，CDTW
   CDTW
   の計算
   クラスタリング計算
   実験その他
   

   View Slide

4. 距離指標 | DTW
   DTW (Dynamic Time Warping) (summed measure)
   離散時間pair-wise
   でコスト計算
   pair-wise matrix
   を左下から右上へつないだものが解 (
   対応付け)
   (
   離散) warping path
   と呼ぶ (monotone curve from LB to UR)
   2/18
   

   View Slide

5. 距離指標 | Frechet distance, CTDW
   Frechet Distance (bottleneck measure)
   直感的にはDTW
   でコストを和とする代わりにmax
   にしたもの
   最大離れている箇所を最小にする連続空間の対応付けを求める
   時刻 の曲線地点 が，曲線地点 に対応つく
   d
   ​
   (P, Q) :=
   F ​ ​
   dist(P(t), Q(f(t)))
   f:[0,1]→[0,1]
   inf
   t∈[0,1]
   sup
   CDTW:
   イメージとしてはDTW
   とFrechet
   の良いとこ取り
   DTW
   で頂点(
   離散インデックス )
   以外で対応付けしても良いもの
   歴史的にはFrechet distance
   のsum/average
   として特徴付け (
   不明)
   具体的な定義は後ほど
   3/18
   t P(t) Q(f(t))
   t
   

   View Slide

6. 距離指標 | CDTW
   を利用する目的 (1/3)
   (1)
   クラスタ中心として良い (2)
   外れ値に強くする
   CDTW
   はDTW
   と異なり頂点以外で対応付けして良い
   4/18
   

   View Slide

7. 距離指標 | CDTW
   を利用する目的 (2/3)
   CDTW
   はDTW
   と異なりクラスタ中心として表現が望ましい
   クラスタ中心は -means
   でいう重心のことで，重心trajectory
   を求める
   と，DTW
   よりもうまく平均的なtrajectory
   とみなすことができると主張
   5/18
   k
   

   View Slide

8. 距離指標 | CDTW
   を利用する目的 (3/3)
   CDTW
   はFrechet
   と比較して外れ値に強い
   Frechet
   は最大値に引きずられが，CDTW
   はDTW
   っぽい性質を引き継ぐ
   (summed measure)
   ため，外れ値に強いと主張
   6/18
   

   View Slide

9. 距離指標 | CDTW
   の定義 |
   概要
   Warping path
   を計算するとき，格子だけではなく間も全て計算する
   連続 に対するwarping path
   計算はFrechet
   でよく研究されている
   7/18
   t
   

   View Slide

10. 距離指標 | CDTW
    の定義 |
    式
    Trajectories
    連続化した空間
    空間の上にコストが乗っている:
    連続的に と媒介変数表示した曲線上で積分する (DTW
    は )
    ​
    h(r)dr :=
    ∫
    π ​
    h(π(t))∣∣π (t)∣∣dt
    ∫
    0
    1
    ′
    コスト最小となるcontinuous warping path
    は
    δ
    ​
    (P, Q) :=
    CD
    p
    ​ ​
    h(π(t))∣∣π (t)∣∣
    ​
    dt
    π
    min ∫
    0
    1
    ′
    p
    8/18
    P = (p
    ​
    , … , p
    ​
    ), Q =
    1 n (q
    ​
    , … , q
    ​
    )
    1 m
    P = [0, L(P) = n] × [0, L(Q) = m]
    h : P → R+
    t ∈ [0, 1] ∑
    

    View Slide

11. 目次
    概要と問題・実験
    詳細
    DTW
    ，Frechet
    ，CDTW
    CDTW
    の計算
    クラスタリング計算
    実験その他
    

    View Slide

12. CDTW
    の計算
    曲線上の2
    点 上のコスト定義は以下とする (
    理由は？)
    h((p, q)) := (p − a) +
    2 (q − a) +
    2 2λ(p − a)(q − a) + c
    ある格子 で計算する．積分+
    最小化はどうやって計算すればいい?
    計算:
    セルの中身は無視して境界部分だけ判定すれば良い (Frechet)
    既存手法の流れ [Maheshwari et al. 2018]
    各セルでfree-space
    とコスト関数を確認して候補を出す
    全部のセルを計算してから，continuous warping path
    を接続する
    9/18
    (p, q) ∈ P
    C
    

    View Slide

13. 参考: Frechet
    距離の計算 (
    イメージ図)
    Frechet
    距離/CDTW
    に関する計算はFree-space
    を利用 |
    距離 以下の箇所
    Free-space
    を考えている =
    頂点以外に対応する (
    連続 )
    直感的には白色の領域の連結性は格子上だけで判定できる
    曲線の部分同士のペア毎に計算し，DTW
    のようにたどる
    monotone path
    が見つけられたら，Frechet
    距離が 以下
    10/18
    ϵ
    t
    ϵ
    

    View Slide

14. 論文での実装 (
    おそらくMaheshwari et al.
    の応用)
    コスト が乗っているとき，コスト最小になるmonotone path
    として2
    パタ
    ーンのパスがある (Maheshwari et al. 2018)
    双方向ダイクストラで計算するらしい (
    詳細不明)
    11/18
    h
    

    View Slide

15. 目次
    概要と問題・実験
    詳細
    DTW
    ，Frechet
    ，CDTW
    CDTW
    の計算
    クラスタリング計算
    実験その他
    

    View Slide

16. クラスタリング (
    その1)
    -medians clustering
    -
    本のクラスタに分ける
    距離計算する際に -simplification
    する (k-means
    の重心に相当する
    trajectory
    が必要で，ここの簡素化part
    のこと)
    Gonzalez algorithm
    を用いる (
    要するにk-means
    のgreedy)
    Trajectory simplification
    の併用
    論文にはあまり書いてない
    細かい部分を直したものを計算してクラスタ中心として用いる
    2
    つの手法が存在するので (
    たぶん)
    ，利用する
    Greedy
    Imai-Iri (
    東大の今井研の昔の論文らしい)
    12/18
    (k, l)
    k
    l
    

    View Slide

17. クラスタリング (
    その2)
    DBA (DTW Barycenter Averaging), CDBA (CDTW ...)
    k-means
    して，クラスタ内の平均trajectory
    を使って計算し直し，コ
    ストが下がればクラスタ中心を置き換える
    FSA (Free Space Averaging)
    これはFrechet
    の教祖Buchin
    の手法
    点をサンプルしてきてFrechet
    距離を使って計算する既存手法 (
    謎)
    13/18
    

    View Slide

18. 目次
    概要と問題・実験
    詳細
    DTW
    ，Frechet
    ，CDTW
    CDTW
    の計算
    クラスタリング計算
    実験その他
    

    View Slide

19. 実験 | simplification
    Simplification
    の例
    14/18
    

    View Slide

20. 実験 |
    クラスタリング (quality)
    CDBA, Wedge
    が提案手法 (Wedge
    はk-means
    の中心更新の計算が異なる)
    15/18
    

    View Slide

21. 実験 |
    クラスタリング (
    文字h, e) 16/18
    

    View Slide

22. 実験 |
    クラスタリング (pigeon) 17/18
    

    View Slide

23. 実験 |
    クラスタリング (movement) 18/18
    

    View Slide