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November 26, 2021
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rsa_understanding_memo
RSA暗号の暗号化/復号処理とその証明など
社内勉強会で話した内容からそのまま公開できない面白い要素を抜いたものです
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November 26, 2021
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Transcript
RSAશཧղϝϞ 2021/11/26 ࣾษڧձ
͡Ίʹ
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ͨΊͯ͠ΈΑ͏ • m = (m^e mod n)^d mod n ͕Γཱͭͱͯ͠ܭࢉͯ͠ΈΔ
• దʹn=35, e=5, d=5, m=4ͱ͔Ͱࢼͯ͠ΈΔ • m^e mod n = 4^5 mod 35 = 1024 mod 35 = 9 • c^d mod n = 9^5 mod 35 = 59049 mod 35 = 4 • 0 < m < n ͷൣғʹཱ͓͍ͯ͢Δ
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(1) • ཧͯ͠m^de ≡ m
(mod n) • ͜͜Ͱ de ʹ͍ͭͯɺ de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) ͱͳΔΑ͏ͳ͔ͩΒ ͳʹ͔͠Βͷ(p-1)(q-1)ͷഒʹ1ͨ͠Ͱ de = 1 + s(p-1)(q-1) ͱ ͔͚Δ • m^de = m^(1+s(p-1)(q-1)) = m(m^(p-1)(q-1))^s ͱ͔͚Δɻ͜ΕͰm ͷഒͷܗͰ͔͚ͨ
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(2) • ·ͱΊΔͱ m(m^(p-1)(q-1))^s ≡
m (mod n) ͱͳΕΑ͍ • άοͱᛀΉͱ m^(p-1)(q-1) mod n ͕ͳʹ͔ͷखҧ͍Ͱ1ʹͳͬͯ͘Ε Δͱm(1)^s ≡ m (mod n) ͱͳͬͯ͘Εͦ͏ • ͦΜͳ߹ͷ͍͍͜ͱ…͋ΔΘ͚…͋ΔΘ͚…
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ϑΣϧϚʔͷখఆཧ • pૉ, aͰޓ͍ʹૉͱ͢Δͱ͖ҎԼ͕Γཱͭ • a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
• ূ໌հ͍͚ͨ͠Ͳۮવʹखݩʹࢴ͕ແ͍ͷͰলུ͠·͢ • ͦͦ͜͜؆୯ͳͷͰ͕࣌ؒ༨ͬͨΒܰ͘հ͢Δ͔
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(3) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod
n) Λͱ͘ • ํͱͯ͠ͳΜ͔ͯ͠ m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod n) ͰׂΓΕ Δ͜ͱΛ֬ೝ͢ΔํͰؤுΔ • ↑͕Γཱͯมܗͯ͠ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͕ٻ·Δ
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(4) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod
n) Λͱ͘ • (m^(p-1))^(q-1) ͱมܗͯ͠ߟ͑Δ • qૉ͔ͩΒɺm͕ࣗqͷഒͰͳ͍ݶΓ m^(p-1) ͱޓ͍ʹૉ ͳͷͰɺϑΣϧϚʔͷখఆཧΑΓ (m^(p-1))^(q-1) ≡ 1 (mod q) • ׂΓΕΔܗʹཧ͢Δͱ (m^(p-1))^(q-1) -1 ≡ 0 (mod q) • m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod q) ͕ࣔͤͨ … (i
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n) Λͱ͘ • (i, (ii ΑΓ m^(p-1)(q-1) -1 pͰqͰׂΓΕΔ • p, q૬ҧͳૉͳͷͰ͕ଘࡏ͠ͳ͍ɻͦͷͨΊͲͪΒͰׂΓ ΕΔͱ͍͏͜ͱ m^(p-1)(q-1) -1 pq ͷഒͰ͋Δ • Ҏ্ΑΓ m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod n) Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ • มܗͯ͠ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͱͳΔʂ …(iii
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(7) • m(m^(p-1)(q-1))^s ≡ m
(mod n) ͱͳΕΑ͍ • άοͱᛀΉͱ m^(p-1)(q-1) mod n ͕ͳʹ͔ͷखҧ͍Ͱ1ʹͳͬͯ͘ΕΔͱ m(1)^s ≡ m (mod n) ͱͳͬͯ͘Εͦ͏ • pqͱޓ͍ʹૉͳmͳΒ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͱͳΔͷͰˢཱ͕͢Δʂূ ໌͓ΘΓ • ͪͳΈʹpqͱm͕ૉ͡Όͳ͍ͱ͖ϑΣϧϚʔͷখఆཧͱ͔ߟ͑ͳͯ͘Αͯ͘ m͕p, qͰׂΓΕΔ͜ͱΛར༻ͯ͠୯ʹnͷഒ+mͷܗʹཧͰ͖Δ
खܭࢉͰͱͧ͘ʂ
• 1~26ͷࣈΛͦΕͧΕΞϧϑΝϕοτͷA~ZʹׂΓͯͨՍۭͷจ ࣈίʔυ͕ଘࡏ͢Δͱ͢Δ • n=35, e=5 ͕Θ͔͍ͬͯΔͱ͖ɺҎԼͷ3ͭͷ҉߸จΛղಡͯ͠Ͷ • 23,
24, 1
• 1~26ͷࣈΛͦΕͧΕΞϧϑΝϕοτͷA~ZʹׂΓͯͨՍۭͷจ ࣈίʔυ͕ଘࡏ͢Δͱ͢Δ • n=35, e=5 ͕Θ͔͍ͬͯΔͱ͖ɺҎԼͷ3ͭͷ҉߸จΛղಡͯ͠Ͷ • 23,
24, 1 • ώϯτ1: c^d mod n Ͱ෮߸Ͱ͖Δɻd de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) • ώϯτ2: n = pq ͱͳΔpqʹૉҼղͰ͖Ε͋ͱܭࢉ͢Δ͚ͩ
ͨ͑͜ • n 35͔ͩΒୈײͰ 5 * 7 ͷૉҼղͰ͖Δ • Αͬͯd
5d ≡ 1 mod (5 - 1)(7 - 1) • ܭࢉ͢Δͱ5d - 1 ≡ 0 mod 24 ͱͳΓɺd = 5 ͕͋ͯ·Δ͜ͱ͕Θ͔Δ • ͋ͱ 23^5 mod 35, 24^5 mod 35, 1^5 mod 35 ΛٻΊΔ͚ͩɻखͰΔ ͱ͖͍͚ͭͲΪϦࠜੑͰղ͚Δൣғ • ղ͘ͱ 18, 19, 1 ʹͳͬͯṖͷจࣈίʔυʹরΒ͠߹ΘͤΔͱ RSA ʹͳΔʂ
ϋϯζΦϯ͔ΒΘ͔Δ͜ͱ • ૉҼղ͑͞Ͱ͖ͨΒޙܭࢉ͢Δ͚ͩ • ୯७ܭࢉίϯϐϡʔλͷಘҙͱ͢Δͱ͜ΖͳͷͰͦ͜·Ͱ͍͚ νϣϩ͍ • RSAͷ͠͞ૉҼղͷࠔ͞ʹґڌ͍ͯ͠Δɻ͕͜͜ಥഁ͞Ε Δͱγϡοͱൿີ伴͕ܭࢉ͞ΕͪΌ͏
ૉҼղͷࠔੑͱ҆શૉ
ૉҼղ͖ͪʔͧʂ • ଟ߲ࣜ࣌ؒͰͱ͚ΔΞϧΰϦζϜΈ͔ͭͬͯͳ͍ͷ… • ࢦ͔͔࣌ؒΔ͔ΒͭΒ͍ͷ… • ରͱͳΔૉͷܻ͕૿͑Ε૿͑Δ΄ͲΞϗΈ͍ͨʹ͔͔࣌ؒΔ • 200ܻ *
200ܻ͙Β͍ͩͱ͍·ͷεύίϯͰԯ͔͔ΔΑ͏Ͱ͢ (ࢦ͔͔࣌ؒΔͱ͍͏ͱ͜Ζ·Ͱ͔ͬͯ͠ͳ͍͔ΒͲ͏͍͏ܭࢉ Ͱԯͱ͍ͬͯΔͷ͔Βͳ͍)
ૉҼղޮΑ͘Ͱ͖ͳ͍ʁ • p-1๏ͱ͍͏ͷ͕͋Δ • ͘Θ͍͔͚͘͠Εͯͳ͍͚ͲɺϑΣϧϚʔͷখఆཧΛ͔ͭͬ ͨߟ͑ํͰɺૉp͔Β-1ͨ͠ͱ͖ʹখ͞ͳૉͲ͏͠ͷੵʹͳͬͯ ΔͱޮΑ͘ܭࢉͰ͖ΔΒ͍͠ • Ͱ͔͍ૉҼ͕;͘·ΕͯΔͱp-1๏ޮΑ͘Ͱ͖ͳ͍
҆શૉͱ • p, qͷ૬ҧͳૉ͕͋ͬͨͱ͖ p = 2q +1 ͱͳΔૉ •
p-1๏p-1ʹͰ͔͍ૉҼ͕͋Δͱޮ͕͋Βͳ͍ͷΛࢥ͍ग़͢ͱɺ҆શ ૉp-1๏ʹͱ͔ͬͯͳΓ૬खͨ͘͠ͳ͍(p-1ͷૉҼʹ͍͍ͩͨp/2 ͷαΠζͷόΧσΧૉ͕͋ΔͷͰ) • ҉߸తͳڧΛͭૉੜͱɺेେ͖͍҆શૉΛͭͬͯ͘͘ΕΔ ͬͯ͜ͱͩͧʂ͜͜ςετʹग़·͢ • ेͳܻͷ҆શૉͷੵ·͋ૉҼղ͢ΔͷແཧΖͱͳ͍ͬͯΔ
ਂງΓ͍ͨਓ͚ RSAཧղͷϩʔυϚοϓ
҉߸Խ/෮߸ཱ͕͢Δ͜ͱ Λཧղ͢ΔͨΊʹඞཁͬΆ͍ͭ • ϑΣϧϚʔͷখఆཧ • ؆୯Ί • ΦΠϥʔͷఆཧ • ϑΣϧϚʔͷఆཧ๏p͕ૉͰ͋Δඞཁ͕͚͋ͬͨͲɺͦΕΛҰ
ൠʹ֦ுͯ͠ޓ͍ʹૉͳa, nͰ͋Εཱ͢ΔΑ͏ʹͨͭ͠ • ͜ΕͰূ໌ͯ͠Δ͜ͱଟ͍͚ͲϑΣϧϚʔͷখఆཧͱେମ͓ͳ͡
de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) ΛٻΊΔํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍ͭ • ܈, ,
ମͷݴ༿ͷఆٛ͘Β͍ • ͷͪͷূ໌ʹ͠Εͬͱग़͖ͯͯͳΜͩ͜ΕͱͳΔ • ୯Ґݩ, ٯݩ͋ͨΓݴ༿ͷҙຯ͕Θ͔ΔͱΑ͛͞ • ϕζʔͷࣜ • ax+by=c͕࣮ղΛ࣋ͭͳΒcgcd(a,b)ͷഒͩͧͱ͍͏ͭɻݸਓతʹࠓճಡΜͩূ໌ͰҰ൪Ή͔ͣͬͨ • ϢʔΫϦουޓআ๏ • gcd(a,b)ΛޮΑ͘ͱΊΔΞϧΰϦζϜɻ͜Εূ໌͕؆୯ • ֦ுϢʔΫϦουޓআ๏ • ϕζʔͷࣜΛຬͨ͢ղΛ୳ࡧͰ͖Δɻ࣮ͱͯ͠ϢʔΫϦουޓআ๏ʹໟ͕ੜ͑ͨఔ • ͍ͭ͜Ͱ༨ͷٯݩ͕ͩͤΔઆ໌ผ్ಡ·ͳ͍ͱΘ͔Β͵͔
҆શͳn=pqΛ࡞Δํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍ͭ • ૉੜΞϧΰϦζϜਖ਼͓͍͖Εͯͳ͍ • దͳૉͬΆ͍ͭ͘Δ -> ߴͳૉఆʂͷྲྀΕ͕͓͓͍ɻߴͳૉ ఆ֬తͳΞϧΰϦζϜ͔ͬΓ͔ͩΒෳճ܁Γฦͯ͠ޡݕΛ ͛͞Δ(n=10ͱ͔)
• Miller-Rabin๏: ૉ͡Όͳ͍ʹOKग़ͪ͠Ό͏ͷ25%ҎԼ • Baillie-PSW๏: ͍͔ͭ͘ͷૉఆΞϧΰϦζϜΛΈ߹Θͤͯຐվͨ͠ Έ͍ͨͳͭʁͪΌΜͱͬͯͳ͍͚ͲGoͱ͔ͰΘΕͯΔ͔ΒΑͦ͞͏
҆શͳn=pqΛ࡞Δํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍ͭ • ૉੜΞϧΰϦζϜਖ਼͓͍͖Εͯͳ͍ • దͳૉͬΆ͍ͭ͘Δ -> ߴͳૉఆʂͷྲྀΕ͕͓͓͍ɻߴͳૉ ఆ֬తͳΞϧΰϦζϜ͔ͬΓ͔ͩΒෳճ܁Γฦͯ͠ޡݕΛ ͛͞Δ(n=10ͱ͔)
• Miller-Rabin๏: ૉ͡Όͳ͍ʹOKग़ͪ͠Ό͏ͷ25%ҎԼ • Baillie-PSW๏: ͍͔ͭ͘ͷૉఆΞϧΰϦζϜΛΈ߹Θͤͯຐվͨ͠ Έ͍ͨͳͭʁͪΌΜͱͬͯͳ͍͚ͲGoͱ͔ͰΘΕͯΔ͔ΒΑͦ͞͏ ͪͳΈʹ҆શૉͷੜʹ͍ͭͯ͋Μ· Γ͏·ͬͯ͘ͳ͍ؾ͕͍ͯͯ͠ɺ ૉʹҙͷૉఆͰૉRΛͭͬͨ͘ޙ R ͕ૉ͔͓͔ΘΓఆͯ͠ૉͩͬͨ Β͍ͦͭΛQͱͯ͠ฦ͢Έ͍ͨͳงғؾ͕͋ Δ ͪΌΜͱௐ͖Εͯͳ͍͚Ͳײతʹͦ Ε͕ૣͦ͏
RSAʹ͍ͭͯͷઆ໌ ͜Εʹͯऴྃ