待ち行列のシミュレーション/queue_simulation

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1. 1 2023.07.15 Tokyo.R #107 待ち行列のシミュレーション
2. 2 待ち行列 平均到着スピード 15台/時 到着時刻 開始時刻 待ち時間 完了時刻 到着間隔 平均洗車スピード 20台/時 サービス時間
3. 3 平均待ち時間（解析解） 平均到着スピード = 𝜆 = 15/60[台/分] 平均洗車スピード = 𝜇 = 20/60[台/分] 平均利用率 𝜌 = 𝜆 𝜇 = 0.75 平均待ち時間 = 𝜌 1 − 𝜌 1 𝜇 = 9分
4. 4 実は解析解から得られる情報は少ない ← 9分 何番目の車か 平均待ち時間（分）
5. 5 シミュレーション（車100台分） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 単位：分
6. 6 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
7. 7 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 rexp(n, rate) 指数分布に従う乱数n個 平均 1/rate
8. 8 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着時刻 = 1つ前の車の到着時刻 + 到着間隔
9. 9 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 開始時刻 = max(1つ前の車の完了時刻, 到着時刻)
10. 10 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 rexp(n, rate) 指数分布に従う乱数n個 平均 1/rate
11. 11 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 完了時刻 = 開始時刻 + サービス時間
12. 12 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 待ち時間 = 開始時刻 – 到着時刻
13. 13 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 アイドル時間 = 開始時刻 – 1つ前の車の完了時刻
14. 14 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
15. 15 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
16. 16 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
17. 17 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着時刻 = 1つ前の車の到着時刻 + 到着間隔 開始時刻 = max(1つ前の車の完了時刻, 到着時刻) アイドル時間 = 開始時刻 – 1つ前の車の完了時刻
18. 18 シミュレーション（append） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
19. 19 シミュレーション（append99回） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
20. 20 待ち時間に興味がある 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
21. 21 100台それぞれの待ち時間 何番目の車か 待ち時間（分）
22. 22 乱数なので実行する度に変化する
23. 23 1000回やってみた ← 9分 何番目の車か 平均待ち時間（分） 考察 先頭集団は待ち時間が少ない。後になるほど解析解の 9分に近づいていく。
24. 24 平均待ち時間の分布 車100台の平均待ち時間 車100台の平均待ち時間を求めるシミュレーションを1000回行ったヒストグラム ← 9分 考察 多くの場合、待ち時間は9分より短いが、20分を超え ることもあるようだ。50分待ちという極端な値もある。
25. 25 平均アイドル率（解析解） 平均利用率 𝜌 = 𝜆 𝜇 = 0.75 平均アイドル率 = 1 − 𝜌 = 0.25
26. 26 平均アイドル率の分布 車100台の平均アイドル率 車100台の平均アイドル率を求めるシミュレーションを1000回行ったヒストグラム 0.25→ 考察 解析解の0.25より大きい傾向だ。
27. 27 まとめ • 解析解はシステムが長時間稼働した後の安定した状態。 • シミュレーションでは、待ち行列が発生するまでの 「ウォームアップ期間」を再現できる。 • シミュレーションでは分布も得られる。