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サポートベクターマシンとは?アルゴリズムや数学の徹底解説!!

kenyu
July 23, 2019

 サポートベクターマシンとは?アルゴリズムや数学の徹底解説!!

サポートベクトルマシン(SVM)の数学の解説をしてます.
ダウンロードしたい方はご自由にどうぞ!!

良ければTwitterをフォローくださいませ.
https://twitter.com/kenyu0501_?lang=ja

詳細ブログ:サポートベクターマシン(SVM)とは?〜基本からPython実装まで〜
https://kenyu-life.com/2019/02/11/support_vector_machine/

kenyu

July 23, 2019
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Transcript

  1. αϙʔτϕΫλʔϚγϯ 47.
    ͷ
    ਺ֶΛઆ໌͍͚ͨͩ͠ͷεϥΠυ
    ্ݪݡ༞!LFOZV@
    ɹࢁޱେֶത࢜՝ఔֶज़ݚڀһ
    ࠷ۙͷτϐοΫ

    ɹਓ޻஌ೳͷݕఆ Hݕఆ
    ʹ߹֨
    ͨ͠ͷͰɼ"*ʹؔ͢ΔϚ΢ϯτ
    ͕ͱΕΔΑ͏ʹͳΓ·ͨ͠ɽ
    θϛࢿྉୈճ
    ࡱӨɼιʔγϟϧɼࣗݾ࢖༻ɼશ෦0,
    5XJUUFSྑ͚Ε͹ϑΥϩʔͩ͘͞Εʂ

    View Slide

  2. ࠓճͷθϛͷ໨తͱίϯςϯπ
    ɾػցֶशͷେ࿮Λͬ͘͟Γͱཧղ͢Δ͜ͱɹɾɾɾ
    ɾ47.ͷ਺ֶతഎܠΛཧղ͢Δ͜ͱɾɾɾ
    ɾ47.Λ࣮ࡍʹ࢖༻Ͱ͖ΔΑ͏ʹͳΔ͜ͱɾɾɾ
    ɾػցֶशͱ͸ʂʁ
    ɾػցֶशͷҐஔ෇͚
    ɾػցֶशͷΞϧΰϦζϜ ڭࢣ͋Γ74ͳ͠

    ɾ47.͸ڭࢣ͋Γֶश
    ɾσϞϯετϨʔγϣϯɿ਎ۙͳ47.
    ɾݚڀͷϞνϕʔγϣϯ ೴೾ͷݚڀ

    ɾϕΫτϧͷ෮श
    ɾઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿϋʔυϚʔδϯˠιϑτϚʔδϯ΁

    ɾओ໰୊74૒ର໰୊ɿઢܗ͔Βඇઢܗ47.΁ͷ֦ு
    ɾಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ
    ɾݚڀ΁ͷద༻ɿ঺հ
    ໨త
    ΊͬͪΌ਺ֶʂ
    ಺༰

    View Slide

  3. ػցֶश .BDIJOF-FBSOJOH
    ͱ͸ʂʁ
    τϨϯυ
    (PPHMFτϨϯυ
    ػցֶश͕͡Θ৳ͼ͍ͯ͠Δཧ༝
    ɾσΟʔϓϥʔχϯάͰ͸େྔͷ
    ɹσʔλ͕ඞཁʹͳΔ
    ɾܭࢉϦιʔε͕ඞཁʹͳΔ
    ɾݸਓ͕ͳ͔ͳ͔࣮૷͠ʹ͍͘
    ʮσʔλΛ൓෮తʹֶशͯ͠ɼ͋Δ๏ଇΛݟ͚ͭΔ͜ͱʯ
    σΟʔϓϥʔχϯά͸͜͏͍ͬͨোน͕͋Δ
    ɾগྔͷσʔλͰ࣮૷Ͱ͖Δ
    47.Ͱ͸ަࠩݕূͳͲͷख๏΋͋Δ

    ɾೖग़ྗؔ܎ͷؔ਺ ౷ܭཧ࿦ʹجͮ͘

    ɾܭࢉϦιʔε͸ͦ͜·ͰඞཁͰ͸ͳ͍
    ɾݸਓͰ࣮૷͕༰қͰ͋Δ
    ਓؾͬ͢Α

    View Slide

  4. ਓ޻஌ೳ͔ΒΈͨػցֶशͷҐஔ෇͚
    ৼΔ෣͍͕ܾΊΒΕ͍ͯΔ΋ͷ
    ਓ޻஌ೳͷͭͷϨϕϧ෼͚
    -FWFM
    -FWFM
    -FWFM
    -FWFM
    γϯϓϧͳ੍ޚϓϩάϥϜ
    ݹయతͳਓ޻஌ೳ
    ػցֶश
    σΟʔϓϥʔχϯά
    0O0GG੍ޚ
    1*%੍ޚ
    1SPQPSUJPOBM*OUFHSBM%JGGFSFOUJBM

    ͋Δಛఆͷ؀ڥʹݶఆͨ͠৔߹ͷΈɼ
    ෳࡶͳಈ͖͕Ͱ͖Δ
    ೖग़ྗͷؔ܎Λֶशͨ͠΋ͷɽ
    ೖྗʹಛ௃ྔͱ͍͏ਓ͕ؒ
    ઃఆ͢Δ֓೦͕͋Δɽ
    ಛ௃ྔࣗମΛࣗಈͰֶशͰ͖Δ
    ͋ΒΏΔ৚݅ʹରԠͨ͠ಈ࡞΍੍ޚܥͷ
    ૊Έ߹Θͤ
    αϙʔτϕΫλʔϚγϯ
    ܾఆ໦ͳͲ
    χϡʔϥϧωοτϫʔΫ
    3// $//ͳͲ

    View Slide

  5. ػցֶशͷΞϧΰϦζϜɿڭࢣ͋Γɼڭࢣͳ͠ɼ൒ڭࢣɼڧԽֶश
    ػցֶश
    ڭࢣ͋Γֶश ڭࢣͳֶ͠श
    ൒ڭࢣ͋Γֶश ڧԽֶश
    ϥϕϧ෇͖σʔλΛ༻͍ͯೖग़ྗؒͷ
    ؔ਺Λ࡞Δ
    ϥϕϧͳ͠ͷσʔλ͔ΒӅΕͨߏ଄Λ
    هड़͢Δؔ਺Λ࡞Δ
    ϥϕϧ෇͖ͱແ͠ͷ྆ํͷσʔλΛ༻
    ͍ͯೖग़ྗؒͷؔ਺Λ࡞Δ
    ͋Δ؀ڥ಺ͰߦಈͷՁ஋Λ࠷େԽ͢Δ
    Α͏ͳಈ࡞ΛܾΊΔؔ਺Λ࡞Δ
    ɾճؼ ઢܗճؼɼϕΠζճؼ

    ɾ෼ྨ 47.ɼܾఆ໦

    ɾΫϥελϦϯά
    ɹ ,NFBOT๏ɼࠞ߹ਖ਼ن෼෍Ϟσϧ

    ɾ৘ใѹॖ 1$"ɼಛҟ஋෼ղ

    ɾ෼ྨ
    ൒ڭࢣ͋ΓLۙ๣๏άϥϑɼɹɹɹ
    ɹɹ൒ڭࢣ͋Γࠞ߹Ψ΢εϞσϧ

    ɾήʔϜɼ੍ޚɼਪఆ
    ɹ 2MFBSOJOHɼ4BSTB

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  6. ػցֶशͷΞϧΰϦζϜɿڭࢣ͋ΓαϙʔτϕΫλʔϚγϯ47.
    ݹయతͳ੍ޚ
    ೖྗ
    ϓϩάϥϜ ίϯϐϡʔλ
    ग़ྗ
    ೖྗ
    ग़ྗ ίϯϐϡʔλ
    ϓϩάϥϜ
    ڭࢣ͋Γֶश
    ػցֶश
    αϙʔτϕΫλʔϚγϯ
    ೖग़ྗσʔλͷύλʔϯΛ
    ίϯϐϡʔλʹ୳ͯ͠΋Β͏

    View Slide

  7. 47.͕͸͡Ίʹ࢖ΘΕͨ՝୊ɿखॻ͖จࣈೝࣝ
    ΞϝϦΧ༣੓αʔϏεɿखॻ͖༣ศ൪߸Λೝࣝͯ͠ɼࣗಈ࢓෼͚͢Δ՝୊
    77BQOJL 4UBUJTUJDBM-FBSOJOH5IFPSZ 4QSJOHFS7FSMBH

    ࠓճ࣮૷EFNP͋Γ
    खॻ͖จࣈೖྗ ਺ࣈग़ྗ
    ػցֶशͷ࣮ߦ
    47.
    //FUD

    ίʔϧηϯλ
    ༣ศ෺࢓෼͚
    ి࿩ަ׵ख
    ݱࡏɼػցʹ୅ସ͞ΕΔ
    ͱ༧૝͞Ε͍ͯΔ࢓ࣄ#FTU
    「RaspberryPiではじめる機械学習」
    を参考にしました
    ෼ྨث
    ˠ಺ଆͷॲཧΛͬ͟ͱઆ໌ɽ
    ˠ47.ʹΑΓ෼ྨثΛ࡞੒ͯ͠ɼ࣮ࡍʹखॻ͖
    ɹจࣈೝࣝΛߦ͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ͔Ͳ͏͔ͷςετɽ
    σϞϯετϨʔγϣϯͷ಺༰

    View Slide



















  8. 47.͕͸͡Ίʹ࢖ΘΕͨ՝୊ɿखॻ͖จࣈೝࣝ
    ֦େ
    ͕ͪΐͬͱҟ࣭ͩͱࢥ͍·͕͢ɼ
    ੈքతʹ͸͜ͷܗଶ͕ओྲྀ
    特徴量 (8 × 8ピクセル)
    0:白 → 15:黒
    ಛ௃ྔΛ࣋ͬͨϕΫτϧΛλʔήοτຖʹ
    ண৭ͯ͠෼෍Λ֬ೝͯ͠ΈΔ
    ओ੒෼෼ੳQDBͱ͍͏࣍ݩΛམͱ͢ख๏ʢˠ࣍ݩ΁ʣ
    Λ࢖͍·͕͢ɼ͜͜Ͱ͸આ໌Λল͖·͢ʂ
    1SJODJQMF$PNQPOFOUT"OBMZTJT
    खॻ͖਺ࣈ ΦʔϓϯΞΫηε
    ໊෼ͷखॻ͖਺ࣈݸ
    ػցֶशϥΠϒϥϦ4DJLJUMFBSOΑΓೖख
    ֤਺ࣈʹ͓͚Δ
    ಛ௃ྔͷ෼෍ͷ͹Β͖ͭ

    View Slide

  9. 47.͕͸͡Ίʹ࢖ΘΕͨ՝୊ɿखॻ͖จࣈೝࣝ
    データセットの図を確認したい場合は
    こちらを実行
    64 (8*8)ピクセルの特徴(0~15)を持った
    イメージ画像の出力
    7がちょっと異質だと思いますが,
    世界的にはこの形態が主流

    View Slide

  10. 47.͕͸͡Ίʹ࢖ΘΕͨ՝୊ɿखॻ͖จࣈೝࣝ
    x1
    x2
    Y1
    = 6 Y2
    = 5
    特徴量(本当は64つ)
    特徴量 データ1797つ
    Q. Sklearnのオープンデータセット
    がどのようなものか確認して下さい
    データとターゲットを用意できれば,
    すぐにSVMやNNに与えることができます
    for文 「変数i を0から9まで変化させながら10回繰り返す」
    n_classesには10が格納されている








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  11. 47.͕͸͡Ίʹ࢖ΘΕͨ՝୊ɿखॻ͖จࣈೝࣝ
    特徴量を持ったベクトルをターゲット毎に着色して分布を確認してみる
    主成分分析pcaという次元を落とす手法(64→3次元へ)を使いますが,ここでは説明を省きます!
    Principle Components Analysis
    ओ੒෼෼ੳͷػೳ͕࢖͑Δ
    EFDPNQPTJUJPOϞδϡʔϧͷΠϯϙʔτ










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  12. 47.͕͸͡Ίʹ࢖ΘΕͨ՝୊ɿखॻ͖จࣈೝࣝ
    サポートベクターマシンを使った分類器の作成に挑戦
    サポートベクターマシンがたったの3行で実装できる!

    Sklearnを使用したらかなり楽に記述することができます.
    予測と正解が一致した結果(合計)をsuccessに渡す
    SVM
    X
    y
    result =
    clf.predict(X)
    入力のy(数字)と,出力のresult(数字)が一致して
    いるのか確かめる!
    正解率を表示して,与えたデータでSVMを使ってきちんと0~9のクラスに
    分けることができているのか確かめる

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  13. ʮ3BTQCFSSZ1JͰ͸͡ΊΔػցֶशʯ
    Λࢀߟʹ͠·ͨ͠
    47.Λ༻͍Δ͜ͱʹΑͬͯɼ
    खॻ͖จࣈͷೝ͕ࣝͰ͖ΔΑ
    47.͕͸͡Ίʹ࢖ΘΕͨ՝୊ɿखॻ͖จࣈೝࣝ

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  14. ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶ
    K2
    K1
    K2
    K1
    2VFTUJPOɿͲͬͪͷڥքͷํ͕ɼೋͭͷΫϥεΛ෼ྨ͢Δઢͱͯ͠༏ल͔ʁ

    ɹɹɹɹɹ·ͨɼͳͥͦ͏ࢥ͔ͬͨʁ
    ෼཭ڥքΛҾ͘ͱ͖ʹ͸ɼϚʔδϯ࠷େԽͱ͍͏࠷దԽ໰୊Λղ͘ɽ

    47.͸ͳΔ΂͘େ͖ͳϚʔδϯΛܭࢉ͢ΔͨΊͷख๏Ͱ͋Δɽ
    ͜ͷ࠷దԽ໰୊ͷཱࣜɼ࣮༻্ͷࣜల։Λߦͬͯɼ࣮ࡍʹ࢖ͬͯΈΔ
    ͕ͬͪ͜༏ल

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  15. ϕΫτϧͷ෮शɿزԿֶతදݱ͔Β୅਺తදݱ΁
    r
    θ
    x
    y
    (r, θ)
    x1
    x
    x1
    x (x, y)
    ༗޲ઢ෼͔Β࠲ඪܥͷ੒෼΁
    ୅਺త֓೦ͩͱ
    ϕΫτϧΛ࢖ͬͨ
    ࿨ࠩ಺ੵͷԋࢉ͕༰қ
    ஍ཧ࠲ඪܥXJLJQFEJB
    IUUQTKBXJLJQFEJBPSHXJLJ஍ཧ࠲ඪܥ

    ֤ࠃ΋Ңઢͱܦઢͷ
    ৘ใΛ࣋ͭϕΫτϧ
    ࣾձਓͷͨΊͷσʔλ෼ੳೖ໳ୈճ
    IUUQTBNVTFNFOUKBQBODPKQBSUJDMFEFUBJM

    ϚοΫͱύνϯίͷ
    ৘ใΛ࣋ͭϕΫτϧ
    ສਓ͋ͨΓ

    ͜͏͍ͬͨ΋ͷ΋
    ϕΫτϧ

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  16. ಛ௃ྔ
    ಛ௃ྔ
    ઢܗ෼཭Մೳ
    K2
    K1
    ಛ௃ྔ
    ಛ௃ྔ
    K2
    K1
    ઢܗ෼཭ෆՄೳ
    ϋʔυϚʔδϯ ιϑτϚʔδϯ
    ϋʔυϚʔδϯΑΓ΋ݡ໌ͳ47.
    47.ͷऔֻ͔ͬΓʹྑ͍
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿϋʔυϚʔδϯ

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  17. ಛ௃ྔ
    ಛ௃ྔ
    αϙʔτϕΫτϧ
    αϙʔτϕΫτϧ
    Ϛʔδϯ࠷େԽ
    ໼ҹ෦ͷ௕͞

    wT x + b = 0
    K2
    K1
    ௚ઢΑΓԼʹ͋Δσʔλ͸
    Ϋϥεʹଐ͢Δ
    ௚ઢΑΓ্ʹ͋Δσʔλ͸
    Ϋϥεʹଐ͢Δ
    wT xi
    + b > 0
    wT xi
    wT xi
    + b < 0
    xi
    ∈ K1
    wT xi
    xi
    ∈ K2
    ͱͳΔσʔλxͷू߹
    ઢܗ෼཭Մೳͳσʔλ
    ෼ྨڥքͰ͋Δ௚ઢ ௒ฏ໘
    ͷํఔࣜΛ͜ͷΑ͏ʹఆٛ͢Δ
    ϥϕϧม਺ti
    Λಋೖͯ͠ɼΑΓେ͖͍ܗʹ
    ti
    (wT xi
    + b) > 0
    wT xi
    i = 1,2,⋯, n
    w
    زԿϚʔδϯ
    ͱ͍͏Αʂ ɾ෼ྨڥքΛܾఆ͢Δؔ਺ʹΑΓ෼ྨثΛఆٛ͢Δɽ
    ɾσʔλΛ׬ᘳʹ෼཭͢Δؔ਺͕ଘࡏ͢Δͱ͍͏Ծఆ͕͋Δɽ
    ɾαϙʔτϕΫτϧͰͳ͍఺͸ɼ෼཭௚ઢ ௒ฏ໘
    ʹશ͘ӨڹΛ༩͑ͳ͍ɽ
    ɹͭ·Γɼ࠷దղʹӨڹ͸ͳ͍ɽ
    w
    w b
    ॏΈ O࣍ݩ࣮਺ϕΫτϧ
    όΠΞε εΧϥʔ

    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿϋʔυϚʔδϯ

    View Slide

  18. 䡧఺ͱ௚ઢͷڑ཭ ࣍ݩ7FS

    (x1
    , x2
    )
    d d =
    |w1
    x1
    + w2
    x2
    + b|
    w2
    1
    + w2
    2
    wT xi
    + b = 0
    wT xi
    䡧఺ͱ௒ฏ໘ͷڑ཭ O࣍ݩ7FS

    (x1
    , x2
    , ⋯, xn
    )
    d =
    |w1
    x1
    + w2
    x2
    + ⋯ + wn
    xn
    + b|
    w2
    1
    + w2
    2
    + ⋯ + w2
    n
    O࣍ݩ͔͚ͳ͍͚Ͳɼ

    ࣍ݩతʹɼɼɼ
    wT xi
    + b = 0
    wT xi
    d
    =
    |wT x + b|
    ||w||
    w
    wT x ҰൠԽ͢Δ
    ͸ɼॏΈϕΫτϧͷϊϧϜ ௕͞
    Λද͢
    ||w||
    w
    O࣍ݩσʔλ
    ࣍ݩฏ໘ͷ
    ఺ͱ௚ઢͷڑ཭
    ߴߍ਺ֶͩͶ
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿϋʔυϚʔδϯ

    View Slide

  19. ಛ௃ྔ
    ಛ௃ྔ
    αϙʔτϕΫτϧ
    αϙʔτϕΫτϧ
    Ϛʔδϯ࠷େԽ
    ໼ҹ෦ͷ௕͞

    wT x + b = 0
    K2
    K1
    ̎ͭͷΫϥεΛ෼͚Δ௒ฏ໘ʹ࠷΋͍ۙσʔλ αϙʔτϕΫτϧ
    ΁ͷڑ཭Λߟ͑Δ
    wT x
    M =
    wT x+
    + b
    ||w|| =
    −(wT x−
    + b)
    ||w||
    w
    wT x
    x+
    x−
    x
    x
    w
    wT x
    αϙʔτϕΫτϧ αϙʔτϕΫτϧ
    ti
    (wT xi
    + b)
    ||w|| ≥ M
    maxM,
    w, b
    w (i = 1,2,⋯, n)
    wT xi
    w
    ͜ͷ࠷దԽ໰୊Λղ͘
    ᶃαϙʔτϕΫτϧ PS

    ʹରͯ͠Ϛʔδϯ࠷େԽ͢Δ
    ᶄશͯͷϕΫτϧɹ͕
    ͦͷϚʔδϯΑΓ΋ڑ཭͕௕͍
    ͜ͷͭͷ৚݅Λຬͨ͢
    xi
    xi
    x+
    x+
    x−
    x−
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿϋʔυϚʔδϯ

    View Slide

  20. ti
    (wT xi
    + b)
    ||w|| ≥ M
    maxM,
    w, b
    w (i = 1,2,⋯, n)
    wT xi
    w
    ͜ͷ࠷దԽ໰୊Λղ͘
    ؔ਺ग़ྗͱͯ͠ଌఆ͞ΕΔؔ਺ϚʔδϯM͕มԽ͢ΔͷͰɼ
    زԿϚʔδϯΛ࠷దԽ͢ΔͨΊʹ΋ɼؔ਺ϚʔδϯΛʹ͢Δɽ
    ͦͷޙɼॏΈϕΫτϧͷϊϧϜΛ࠷େԽ ࠷খԽ
    ͢Δɽ
    M =
    wT x+
    + b
    ||w|| =
    −(wT x−
    + b)
    ||w||
    w
    wT x
    w
    wT x
    αϙʔτϕΫτϧ αϙʔτϕΫτϧ
    wT x + b = 1
    w
    ͜͜Ͱɼ྆ลΛMͰׂΔ
    ti
    (wT xi
    + b)
    M||w|| ≥ 1
    ti
    ( ˜
    wT xi
    + ˜
    b) ≥ 1
    ˜
    w =
    w
    M||w||
    ˜
    b =
    b
    M||w||
    શͯͷσʔλʹରͯ͠ɼ͜ͷෆ౳͕ࣜͳΓͨͭ
    wT xi
    w
    wT xi
    w
    w
    ؆୯ͷͨΊνϧμͰද͓ͯ͘͠
    ˜
    M =
    ti
    ( ˜
    wT xi
    + ˜
    b)
    || ˜
    w|| =
    1
    || ˜
    w||
    αϙʔτϕΫτϧ x+
    ΍x-

    ʹ͓͍ͯ͸ɼ
    ҎԼͷ౳߸͕੒ཱ͢Δ
    wT xi
    w w
    ໨తؔ਺

    ੍໿৚݅

    ti
    ( ˜
    wT xi
    + ˜
    b) = 1
    wT xi
    ಛʹαϙʔτϕΫτϧͰ͸౳߸͕੒ཱ
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿϋʔυϚʔδϯ

    View Slide

  21. max
    1
    || ˜
    w|| ,
    ˜
    w, b
    w
    (i = 1,2,⋯, n)
    ti
    ( ˜
    wT xi
    + ˜
    b) ≥ 1
    wT xi
    w
    min
    1
    2
    ||w||2 , ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1
    wT xi
    (i = 1,2,⋯, n)
    w, b
    w
    ࠷େԽ͸ɼٯ਺Λͱͬͯ࠷খԽ͢Δͷͱ౳ՁͰ͋Δ
    ࠷େԽˠ࠷খԽ໰୊
    w
    ϊϧϜͷೋ৐΍͸ܭࢉΛߦ͍΍͘͢͢ΔͨΊʂ

    ໨తؔ਺
    ੍໿৚݅

    ࠷దԽ໰୊ͷ࠷దղΛٻΊΔͱɼ
    wT x + b = 1
    w
    ti
    ( ˜
    wT xi
    + ˜
    b) = 1
    wT xi
    ͸௨ৗ͍͔ͭ͘ݱΕΔɽ
    ͜Ε͸ɼ෼ྨڥքʹ࠷΋͍ۙϕΫτϧͰ͋Γɼࠨਤͷഁઢ্
    ͷ఺ʹ૬౰͢Δ
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿϋʔυϚʔδϯ

    View Slide

  22. ಛ௃ྔ
    ಛ௃ྔ
    wT x + b = 0
    ઢܗ෼཭Մೳ
    K2
    K1
    ಛ௃ྔ
    ಛ௃ྔ
    K2
    K1
    ઢܗ෼཭ෆՄೳ
    wT x + b = 0
    ϋʔυϚʔδϯ ιϑτϚʔδϯ
    ϋʔυϚʔδϯΑΓ΋ݡ໌ͳ47.
    ϋʔυϚʔδϯͷ੍࣋ͭ໿৚݅ͷ؇࿨
    47.ͷऔֻ͔ͬΓʹྑ͍
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿιϑτϚʔδϯ

    View Slide

  23. K2
    K1
    ઢܗ෼཭ෆՄೳ
    wT x + b = 0
    wT x + b = − 1
    wT x + b = 1
    ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1 − ξi
    wT xi
    K1
    ʹ͓͍ͯ෼཭͢Δ௚ઢͷ
    Ұ൪͍ۙσʔλ αϙʔτϕΫτϧ

    K2
    ʹ͓͍ͯҰ൪͍ۙσʔλ
    αϙʔτϕΫτϧ

    w, b
    w
    ઢܗ෼཭Մೳͳ৔߹ ϋʔυϚʔδϯ
    ͸ɼ͜Εͷ࠷খԽ໰୊Λղ͘͜ͱ͕ඞཁͩͬͨ
    min
    1
    2
    ||w||2 , ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1
    wT xi
    (i = 1,2,⋯, n)
    w
    ౳߸͕੒ཱ͢Δ৔߹
    Ϛʔδϯ
    Ϛʔδϯ಺෦ʹҟͳΔσʔλ͕
    ೖΓࠐΜͰ͠·͏
    εϥοάม਺ξ Λಋೖ੍ͯ͠໿ΛऑΊΔ
    ξi
    = max{0, M −
    ti
    (wT xi
    + b)
    ||w|| }
    εϥοάม਺ξ ͸NBYؔ਺

    wT x
    w
    w x
    w x
    w x
    ά
    β
    Π
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿιϑτϚʔδϯ

    View Slide

  24. ξi
    = max{0, (1 − 0.4 = 0.6)}
    ξi
    = max{0, M −
    ti
    (wT xi
    + b)
    ||w|| }
    wT x
    w
    K2
    K1
    ۩ମྫΛߟ͑Δ
    wT x + b = 0
    wT x + b = 1
    Ϛʔδϯ.
    ྫ͑͹ɼ͜ͷೖΓࠐΜͩ
    σʔλ ఺
    Λߟ͑Δ
    ti
    (wT xi
    + b)
    ||w|| = 0.4
    ௚ઢͱ఺ͷڑ཭
    Ϛʔδϯ M = 1
    ξi
    = 0.6
    ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1 − ξi
    = 0.4
    wT xi
    ͜ͷೖΓࠐΜͩσʔλ ఺
    ʹରͯ͠͸ɼ੍໿͕খ͘͞ͳΔ
    w x
    w x
    ্ͷ۩ମྫͷΑ͏ʹɼϚʔδϯΛ௒͑ͯ͠·ͬͨ఺ͷଘࡏΛڐՄ͢ΔͨΊͷ΋ͷ
    ͜ΕʹΑͬͯɼ෼཭ෆՄೳͳ৔߹΋ڥքͷਪఆΛՄೳʹ͍ͯ͠Δ
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿιϑτϚʔδϯ

    View Slide

  25. ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1
    wT xi
    (i = 1,2,⋯, n)
    ϋʔυϚʔδϯ
    min
    1
    2
    ||w||2
    w, b
    w
    w
    ໨తؔ਺ ੍໿৚݅
    ιϑτϚʔδϯ
    min{
    1
    2
    ||w||2 + C
    n

    i=1
    ξi}
    w, b, ξ
    w
    w
    ໨తؔ਺ ੍໿৚݅
    ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1 − ξi
    ,
    wT xi
    (i = 1,2,⋯, n)
    ξi
    ≥ 0
    C> 0ɿਖ਼ଇԽ܎਺ ϖφϧςΟͷ౓߹͍

    ໨తؔ਺Λ࠷খԽ͢ΔͨΊʹ͸ɼ߲̎ͷόϥϯεΛ্ख͘औΒͳ͍ͱ͍͚ͳ͍
    ϚʔδϯΛ޿͛Α͏ͱ͢ΔͱɼC
    n

    i=1
    ξi
    ͷ෦෼ ξ ͷ૯࿨
    ͕େ͖͘ͳΔͨΊ
    ΑΓ΋খ͘͞ͳΔͷͰɼ
    ϚʔδϯΛ௒͑ͯҟͳΔΫϥεʹೖΔͷΛڐ͢
    ϚʔδϯΛ޿͛ΔͱɼୈҰ߲͸খ͘͞ͳΔ͕ɼୈೋ߲͸େ͖͘ͳ͍ͬͯ͘
    ઢܗֶशϚγϯͷ਺ֶɿιϑτϚʔδϯ

    View Slide

  26. ਖ਼ଇԽ܎਺ ϋΠύʔύϥϝʔλ
    ͷ୳ٻɹɹɹɹɹɹιϑτϚʔδϯ
    ਖ਼ଇԽ܎਺ͷ஋ʹΑͬͯɼϚʔδϯʹͲͷΑ͏ͳӨڹ͕͋Δͷ͔֬ೝ͢Δ
    min{
    1
    2
    ||w||2 + C
    n

    i=1
    ξi}
    w, b, ξ
    w
    w
    ໨తؔ਺
    C> 0ɿਖ਼ଇԽ܎਺ ϖφϧςΟͷ౓߹͍

    C= 100 C= 0.1
    ਤͷҾ༻ɼαϙʔτϕΫτϧϚγϯɼ
    ஛಺Ұ࿠ɼௗࢁণ޾ɼߨஊࣾ

    ▶︎
    2VFTUJPO
    Ͳ͕ͬͪ$ʁ$ʁ
    ɾ໨తؔ਺࠷খԽΛ͢ΔࡍɼC͕େ͖͍ͱɼξΛ཈੍͢Δྗ͕ڧ͘ͳΔɽ
    ɹ ޡͬͨσʔλ͕ϚʔδϯΛ௒͑ͯ৵ೖ͢Δ͜ͱ͕ͳ͘ͳΔ

    ɾC͕খ͍͞ͱɼσʔλ͕ϚʔδϯΛ௒͑ͯ͠·͏͜ͱΛڐ͢ͷͰɼϚʔδϯΛ޿͘औΕΔɽ
    47.͸Ϛʔδϯ࠷େԽΛ͍ͨ͠ͷ͚ͩͲɼɼɼɼ
    ߲ͷόϥϯεΛߟ͑Δඞཁ͕͋Δ
    CˠʿͰ͸ʮϋʔυϚʔδϯʯʹͳΔɽ

    View Slide

  27. ओ໰୊74૒ର໰୊ɿઢܗ͔Βඇઢܗ47.΁ͷ֦ு
    ιϑτϚʔδϯ
    min{
    1
    2
    ||w||2 + C
    n

    i=1
    ξi}
    w, b, ξ
    w
    w
    ໨తؔ਺ ੍໿৚݅
    ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1 − ξi
    ,
    wT xi
    (i = 1,2,⋯, n)
    ξi
    ≥ 0
    ओ໰୊ɿ͜Ε·ͰఆࣜԽ͖ͯͨ͠࠷దԽ໰୊ͷ͜ͱ
    47.Λܭࢉ͢Δ৔߹͸ɼओ໰୊͸ղ͔ͣɼ૒ର໰୊Λղ͘
    ૒ର໰୊ɿओ໰୊Λผͷղ͖қ͍ܗʹมܗͤͨ͞໰୊
    ෼ྨڥքͷඇઢܗԽΛߟ͑Δ্Ͱɼ૒ର໰୊ͷܗ͕ࣜ༗༻Ͱ͋Δ
    w w w w w w w w w
    ̍ɽม਺ΛݮΒ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ
    ̎ɽΧʔωϧؔ਺͕ಋೖͰ͖Δ
    ੍໿৚݅ͷͳ͍࠷దԽ໰୊΁ͷมܗΛ͢Δ͜ͱ

    View Slide

  28. K2
    K1
    ઢܗؔ਺ͰԾઆ͞Εۭͨؒ͸දݱෆ଍ͳ৔߹͕Α͋͘Δɽ

    ͭ·ΓɼӈͷΑ͏ʹ௚ઢͰ෼཭Ͱ͖ͳ͍σʔλ͕͋Δ

    ओ໰୊74૒ର໰୊ɿઢܗ͔Βඇઢܗ47.΁ͷ֦ு

    View Slide

  29. ໨తؔ਺f(x) Λ࠷খʹ͢Δ఺Λɼn ݸͷෆ౳੍ࣜ໿gi(x) ≦ 0ͷ΋ͱͰٻΊΔ
    ϥάϥϯδϡͷະఆ৐਺๏
    ϥάϥϯδϡؔ਺
    ओม਺ ૒ରม਺
    ϥάϥϯδϡ৐਺

    x x
    (i = 1,2,⋯, n)
    x
    L(x, α) = f(x) +
    n

    i=1
    αi
    gi
    (x)
    ∂L(x, α)
    ∂x
    =
    ∂f(x)
    ∂x
    +
    n

    i=1
    αi
    ∂gi
    (x)
    ∂x
    ∂L(x, α)
    ∂αi
    = gi
    (x) ≤ 0
    αi
    ≥ 0
    αi
    gi
    (x) = 0
    1.
    2.
    3.
    4.
    x x x
    x x
    x
    x
    x
    x
    ओม਺ʹؔ͢Δมඍ෼
    ૒ରม਺ʹؔ͢Δมඍ෼
    ϥάϥϯδϡ৐਺͸ৗʹਖ਼
    ੍໿৚݅ͱϥάϥϯδϡ৐਺ͷੵ͸
    ҎԼͷͭΛղ͘͜ͱʹΑͬͯٻ·Δ
    ඇઢܗ47.΁ͷ֦ுɿϥάϥϯδϡͷະఆ৐਺๏

    View Slide

  30. (1, 1, 1)
    0
    x
    y
    z
    ʲྫ୊ʳத৺(1, 1, 1 ) ൒ܘͷٿද໘ʹɹ
    ɹɹɹɹ͓͍ͯɼݪ఺(0, 0, 0)͔Βڑ཭͕
    ɹɹɹɹ࠷খͱͳΔ࠲ඪΛٻΊΑ
    ͜ͷ໰୊Λϥάϥϯδϡͷ
    ະఆ৐਺Λ࢖ͬͯղ͘Α
    ࠷খ ݪ఺͔Βͷڑ཭ͳͷͰɼࡾฏํͷఆཧ

    f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
    ໨తؔ਺
    ੍໿৚݅
    g(x, y, z) = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 − 1 = 0
    ϥάϥϯδϡؔ਺
    L(x, y, z, α) = x2 + y2 + z2 − α{(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 − 1}

    ໰୊Ҿ༻ɼ޻ֶͷͨΊͷ࠷దԽख๏ೖ໳ɼ
    ఱ୩ݡ࣏ɼ਺ཧ޻ֶࣾ

    ඇઢܗ47.΁ͷ֦ுɿϥάϥϯδϡͷະఆ৐਺๏
    ٿͷํఔࣜʹै͏ͱ͍͏੍໿

    View Slide

  31. ∂L(x, y, z, α)
    ∂x
    = 2x − 2α(x − 1)
    ∂L(x, y, z, α)
    ∂y
    = 2y − 2α(y − 1)
    ∂L(x, y, z, α)
    ∂z
    = 2z − 2α(z − 1)
    ∂L(x, y, z, α)
    ∂α
    = − {(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 − 1}
    (x, y, z, α) = (1 ±
    1
    3
    , 1 ±
    1
    3
    , 1 ±
    1
    3
    , 1 ± 3)
    ্ͷຊͷ࿈ཱํఔࣜΛղ͘ͱɼ
    ͕ಘΒΕΔɽf ͸ූ߸͕+ͷͱ͖ʹɼ࠷େ஋Λɼ-ͷͱ͖ʹ࠷খ஋ΛͱΔɽ

    Αͬͯɼݪ఺͔Βͷڑ཭͕࠷খͱͳΔ࠲ඪ͸ɼ
    (1 −
    1
    3
    , 1 −
    1
    3
    , 1 −
    1
    3
    )
    ඇઢܗ47.΁ͷ֦ுɿϥάϥϯδϡͷະఆ৐਺๏

    View Slide

  32. min{
    1
    2
    ||w||2 + C
    n

    i=1
    ξi}
    w, b, ξ
    w
    w
    ໨తؔ਺ ੍໿৚݅
    ti
    (wT xi
    + b) ≥ 1 − ξi
    ,
    wT xi (i = 1,2,⋯, n)
    ξi
    ≥ 0
    ϥάϥϯδϡͷະఆ৐਺๏Λ࢖ͬͯ47.ͷओ໰୊Λ૒ର໰୊΁ͱมܗ͢Δ
    L(w, b, ξ, α, β) =
    1
    2
    ||w||2 + C
    n

    i=1
    ξi

    n

    i=1
    αi
    {ti
    (wT xi
    + b) − 1 + ξi
    } −
    n

    i=1
    βi
    ξi
    wT xi
    w
    w
    β
    α
    ϥάϥϯδϡ৐਺
    ϥάϥϯδϡؔ਺
    1.
    2.
    3.
    ओม਺w ʹؔ͢Δมඍ෼
    ∂L(w, b, ξ, α, β)
    ∂w
    = w −
    n

    i=1
    αi
    ti
    xi
    = 0
    ∂L(w, b, ξ, α, β)
    ∂b
    = −
    n

    i=1
    αi
    ti
    = 0
    ∂L(w, b, ξ, α, β)
    ∂ξ
    = C − αi
    − βi
    = 0
    ओม਺b ʹؔ͢Δมඍ෼
    ओม਺ξ ʹؔ͢Δมඍ෼
    w
    w
    w
    w
    w xi
    ओม਺ w, b, ξ
    ʹؔ͢Δภඍ෼Λղ͘
    w =
    n

    i=1
    αi
    ti
    xi
    w xi
    n

    i=1
    αi
    ti
    = 0
    C = αi
    + βi
    ϥάϥϯδϡؔ਺΁୅ೖ
    ͜ΕΒͷ੍໿͕Ͳͷఔ౓ॏཁͰ͋Δ͔Λ
    ఆྔԽͨ͠৐਺ʹͳΔ
    ඇઢܗ47.΁ͷ֦ுɿϥάϥϯδϡͷະఆ৐਺๏

    View Slide

  33. L(w, b, ξ, α, β) =
    1
    2
    ||w||2 + C
    n

    i=1
    ξi

    n

    i=1
    αi
    {ti
    (wT xi
    + b) − 1 + ξi
    } −
    n

    i=1
    βi
    ξi
    wT xi
    w
    w
    max{
    ˜
    L(α) =
    n

    i=1
    αi

    1
    2
    n

    i=1
    n

    i=j
    αi
    αj
    ti
    tj
    xT
    i
    xj}
    xT
    i
    xj
    ͭͷ৚݅ࣜΛϥάϥϯδϡؔ਺΁୅ೖ͠ɼ੔ཧ͢Δ͜ͱʹΑͬͯɼ
    α ͷΈͷࣜʹมܗͰ͖Δ
    αϙʔτϕΫλʔϚγϯͷ૒ର໰୊͸ɼ্ͷؔ਺ʹΑͬͯදݱ͞ΕΔ
    ϥάϥϯδϡؔ਺
    ͜͜Ͱɼbͷ஋͸૒ର໰୊ʹݱΕͳ͍ͷͰɼb ͸ओ໰୊ͷ੍໿Λར༻ͯ͠ಋग़͢Δඞཁ͕͋Δ
    b = −
    maxti
    =−1
    (wxi
    ) + minti
    =1
    (wxi
    )
    2
    wxi
    wxi
    ඇઢܗ47.΁ͷ֦ுɿϥάϥϯδϡͷະఆ৐਺๏

    View Slide

  34. K2
    K1
    ಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ
    ઢܗؔ਺ͰԾઆ͞Εۭͨؒ͸දݱෆ଍ͳ৔߹͕Α͋͘Δɽ

    ͭ·ΓɼӈͷΑ͏ʹ௚ઢͰ෼཭Ͱ͖ͳ͍σʔλ͕͋Δ

    දݱྗ๛͔ͳԾઆۭ͕ؒඞཁ

    View Slide

  35. ઢܗ෼཭͕Ͱ͖ΔΑ͏ʹߴ࣍ݩۭؒ΁ͱ֦ு͢Δ
    ௚ઢ ฏ໘
    Ͱ
    ෼཭Ͱ͖Δ
    ೖྗۭؒ
    ಛ௃ۭؒ
    ಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ

    View Slide

  36. ೖྗۭؒ
    ಛ௃ۭؒ
    x1
    x2
    x1
    x2
    x1x2
    x = (x1
    , x2
    )
    x
    ϕ(x) = (x1
    , x2
    , x1
    x2
    )
    x
    ࣸ૾
    ϕ(x) = (x1
    , x2
    , x2
    1
    , x2
    2
    , x1
    x2
    )
    x
    ଞʹ΋͍ΖΜͳํ๏͕͋ΔΑ
    ࣍ݩ֦ு
    ಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ

    View Slide

  37. L(w, b, ξ, α, β) =
    1
    2
    ||w||2 + C
    n

    i=1
    ξi

    n

    i=1
    αi
    {ti
    (wT xi
    + b) − 1 + ξi
    } −
    n

    i=1
    βi
    ξi
    wT xi
    w
    w
    max{
    ˜
    L(α) =
    n

    i=1
    αi

    1
    2
    n

    i=1
    n

    i=j
    αi
    αj
    ti
    tj
    xT
    i
    xj}
    xT
    i
    xj
    ϥάϥϯδϡؔ਺
    max{
    ˜
    L(α) =
    n

    i=1
    αi

    1
    2
    n

    i=1
    n

    i=j
    αi
    αj
    ti
    tj
    ϕ(x)T
    i
    ϕ(x)j}
    ϕ(x)T
    i
    ϕ(x)j
    ಛ௃্ۭؒ΁ͷ֦ு
    ϕ(x) = (ϕ1
    (x), ϕ2
    (x), ⋯, ϕr
    (x))
    x x x x
    ಺ੵͷΈͷ͓࿩
    ໰୊ɿ࣍ݩ֦ுʹΑΓɼ಺ੵͷܭࢉྔ͕๲େ
    ϕ(x)T
    i
    ϕ(x)j
    ϕ(x)T
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    ϕ(x)j
    ಛ௃ۭؒͷ࣍ݩ਺ r ͸ɼ΋ͱ΋ͱͷೖྗۭؒͷn ΑΓ΋͸Δ͔ʹେ͖͍
    ͦͷͨΊɼ಺ੵ ͷܭࢉ͕ͱͯ΋େม
    ϕ(x)T
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    ϕ(x)j
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    i
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    Χʔωϧؔ਺
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    ಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ

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  38. ϕ(x) = ϕ(x1
    , x2
    ) = (x2
    1
    , 2x1
    x2
    , x2
    2
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    ೋͭͷϕΫτϧ Λߟ͑Δ
    ϕ(x) = ϕ(x1
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    , x2
    2
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    x
    ϕ(y) = ϕ(y1
    , y2
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    , y2
    2
    )
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    ϕ(x)Tϕ(y)
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    1
    , 2x1
    x2
    , x2
    2
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    1
    , 2y1
    y2
    , y2
    2
    )
    = x2
    1
    y2
    1
    + 2x1
    x2
    y1
    y2
    + x2
    2
    y2
    2
    = (x1
    y1
    − x2
    y2
    )2
    = ((x1
    , x2
    )T(y1
    , y2
    ))2
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    x y
    ม׵ޙͷϕΫτϧͷ಺ੵ͸ɼ
    ݩͷϕΫτϧͷ಺ੵͷ৐ʹ౳͍͠
    c = 0 d = 2ͱͨ࣌͠ͷଟ߲ࣜΧʔωϧ
    ಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ
    ಛ௃ۭؒͰͷ಺ੵ͕ͲͷΑ͏ͳܗʹམͪண͔͘ɼ؆୯ͳྫͰߟ͑ͯΈΔ
    ͜͏͍ͬͨܗ͕ɼΧʔωϧؔ਺ͱͯ͠੒Γཱͪͦ͏ͩͧɽɽɽ

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    ϕ(x)T
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    Χʔωϧؔ਺
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    Χʔωϧؔ਺Λ༻͍ΔࣄͰɼ࠷దԽΛ͢Δࡍʹɼ໌ࣔతʹП Λܭࢉ͠ͳͯ͘΋ྑ͍
    ಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ
    ʮϚʔαʔͷఆཧʯΛຬ଍Ͱ͖Δؔ਺͕ɼΧʔωϧؔ਺ͱͯ͠ద༻͢Δࣄ͕Ͱ͖Δ
    Χʔωϧؔ਺ͷྫ
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    , xj
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    xi
    , xj
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    , xj
    xi
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  40. Χʔωϧؔ਺ͷྫ
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    ͜ΕΒͷઃఆ͸ɼώϡʔϦεςΟοΫͰ͋Δ͠ɼ͍͔ͭ͘ͷٻΊํ΋͋Δɽ
    ඞͣ͠΋ਖ਼͍͠౴͑Λಋ͚ΔΘ͚Ͱ͸ͳ͍͕ɺ͋Δఔ౓ͷϨϕϧͰਖ਼ղʹ͍ۙղΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ

    σ ɿผʑͷΫϥεʹ෼ྨ͞Εͨ఺ؒͷڑ཭ͷ࠷΋খ͍͞΋ͷΛબ୒͢Δɽ
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    ಛ௃ۭؒ΁ͷࣸ૾ɼΧʔωϧͷಋೖ

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  41. ऴΘΓ

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