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電気工学II第10回 /eleceng2_10

電気工学II第10回 /eleceng2_10

Kazuhisa Fujita

March 27, 2023
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  1. パッシブフィルタとは • 受動素⼦のみ(抵抗,コンデンサ,インダクタ)で構成されるフィル タ回路(wikipediaより) • 安定 • 簡単 • 安価

    • ⼤電⼒を扱える • ⾼周波動作が可能 • 電源がいらない • アクティブフィルタに関しては後で
  2. LCRを使ったフィルタの例 • ローパスフィルタ(低域通過フィルタ) • 信号の低周波数成分を通過させるフィルタ • ハイパスフィルタ(⾼域通過フィルタ) • 信号の⾼周波数成分を通過させるフィルタ ローパスフィルタ

    ハイパスフィルタ キャパシタとインダクタの場所が⼊れ替わっている.キャパシタとインダクタの電流の周波 数に対する性質が逆だから. 典型的なフィルタ回路
  3. RCローパスフィルタの直感的理解 Vr Vc ⼊⼒Vi ⼊⼒ViはVrとVcに分けられる(分圧). R C 出⼒VoはVcは並列の関係なので等しい.つまりVoも周波数が低けれ ば低いほど⼤きく,⾼ければば⼩さい.⾒⽅を変えると,この回路 は周波数が低い⼊⼒を通しやすいといえる(ローパスフィルタ).

    Vr Vc=出⼒Vo ⼊⼒Vi R C Cのインピーダンスは ! "#$ なので,Viの周波数が低 ければ低いほどCのインピーダンスの⼤きさは⼤き くなる.つまり,Viの周波数が低ければ低いほど Vcは⾼い. Vr Vc ⼊⼒Vi R C VcはCのインピーダンスの⼤きさが⼤きければ⼤ きいほど⼤きくなる. Vr Vc ⼊⼒Vi R C 1 2 3 4 左の回路は,この回路だと思おう.
  4. 演習解説 ࠙AM23ࠚႱᅽ V t ᜫ 50 Ҁ 2sin 100ȧt >V@ࢆ૷֤᢬ᢠ

    50Ȑ࡟ຍ࠼ࡓࠋᾘ଍Ⴑຊࡣ࠸ࡃࡽ࠿ࠋ 1 50W 2 100W 3 180W 4 250W 5 350W ࠙AM29ࠚᅗ࡜ྠᵝ࡞ࣇ࢕ࣝࢱ≉ᛶࢆ♧ࡍᅇ஠ࡣ࡝ࢀ࠿ࠋ ࠙AM40ࠚᅗࡢࡼ࠺࡞Ⴑຊࣃࣝࢫࡀ࠶ࡿࠋࡇࡢࣃࣝࢫࡢ࢚ࢿࣝࢠ࣮ࡣఱ J ࠿ࠋ 1 2.5 2 5 3 25 4 500 5 2000 0 100 Ⴑຊ[W] ᫬࿛[ms] 50 (1) (2) (3) (4) (5) ࠙AM34ࠚ ࡼ ⏝ 1 ࠙AM39ࠚ Ꮚ 1 2 3 4 5 ˜ᅇ  ࠙AM21ࠚ 1 2 3 4 5 ࠙AM22ࠚ
  5. 演習解説 ࠙AM23ࠚႱᅽ V t ᜫ 50 Ҁ 2sin 100ȧt >V@ࢆ૷֤᢬ᢠ

    50Ȑ࡟ຍ࠼ࡓࠋᾘ଍Ⴑຊࡣ࠸ࡃࡽ࠿ࠋ 1 50W 2 100W 3 180W 4 250W 5 350W ࠙AM29ࠚᅗ࡜ྠᵝ࡞ࣇ࢕ࣝࢱ≉ᛶࢆ♧ࡍᅇ஠ࡣ࡝ࢀ࠿ࠋ ࠙AM40ࠚᅗࡢࡼ࠺࡞Ⴑຊࣃࣝࢫࡀ࠶ࡿࠋࡇࡢࣃࣝࢫࡢ࢚ࢿࣝࢠ࣮ࡣఱ J ࠿ࠋ 1 2.5 2 5 3 25 4 500 5 2000 0 100 Ⴑຊ[W] ᫬࿛[ms] 50 (1) (2) (3) (4) (5) ࠙AM34ࠚ ࡼ ⏝ 1 ࠙AM39ࠚ Ꮚ 1 2 3 4 5 ˜ᅇ  ࠙AM21ࠚ 1 2 3 4 5 ࠙AM22ࠚ 図のフィルタは,ローパスフィルタである.選択肢の中でローパスフィルタは4である.
  6. 4端⼦な回路図 RC直列回路のコンデンサの部分に並 列になにか回路が繋がっている. 𝑅 𝐶 𝑉! なにか の回路 𝑉 "

    交流電源となにかの回路の図を取り除く. ここで4端⼦の回路図になる. 𝑉! 𝑅 𝐶 𝑉 " 点線で囲まれた部分を⼤きな四⾓で表現する.⼤きな四⾓はローパスフィルタの機能を持っ ている.この図では,四⾓の機能がローパスフィルタなら四⾓の中の回路は何でも良い. 𝑉! 𝑉 "
  7. 増幅度,利得(ゲイン) • ⼊⼒がどれほど増幅されたかを,増幅度,利得(ゲイン)で表す. • 電圧増幅度 • • 電圧利得 ૿෯ճ࿏ ೖྗ୺ࢠ

    ग़ྗ୺ࢠ ⊿𝑉 " ⊿𝑉! <E#> σγϕϧ ૿෯౓ͱརಘ͸ಉ ͡ҙຯͰಉ͡Α͏ ʹ࢖͏৔߹΋͋Ε ͹ɼσγϕϧදࣔ ͷΈརಘͱ͍͏৔ ߹΋͋Δɽจ຺Ͱ ൑அͯ͠΄͍͠ɽ 𝐴# = 出⼒ ⼊⼒ = Δ𝑉 " Δ𝑉! 𝐺# = 20 log$% |𝐴# | ഒ
  8. 利得計算 • 電圧増幅度Av=1/200のとき,電圧利得 [dB] はいくらか. • 𝐺! = 20 log"#

    𝐴! = 20 log"# ( " $## ) = −20× log"# 2 + log"# 100 • = −20× 0.3 + 2 ≈ −46[dB] • 電圧利得が20[dB]の増幅器に電圧2Vの⼊⼒を与えた.出⼒電圧[V]は いくらか. • 𝐺! = 20 = 20 log"# 𝐴! • log"# 𝐴! = 1 • 𝐴! = 10倍 • よって出⼒電圧は20V log!% 100 = log!% 10& = 2log!% 10 = 2 log!% 200 = log!% 2×100 = log!% 2 + log!% 100
  9. RC直列回路 • 図のように抵抗とコンデンサを直列につなぐ. • 直列なので,各素⼦を流れる電流は等しく,各素⼦に加わる電圧の総和 がab間の電圧となる. • 各素⼦に加わる電圧は, • ̇

    𝑉! = 𝑅 ̇ 𝐼, ̇ 𝑉" = # $%& ̇ 𝐼 • ab間の電圧は • ̇ 𝑉 = ̇ 𝑉! + ̇ 𝑉" = 𝑅 ̇ 𝐼 + # $%" ̇ 𝐼 = 𝑅 + # $%" ̇ 𝐼 ̇ 𝑉 ̇ 𝐼 ̇ 𝑉% ̇ 𝑉& 𝜃' 𝜃( 合成インピーダンス フェーザ図 ベクトルの⼤きさ:実効値 ⾓度:位相
  10. RC直列回路 • ̇ 𝐼 = # !' ! "#$ ̇

    𝑉 • よって,それぞれの素⼦に加わる電圧は • ̇ 𝑉! = ! !' ! "#$ ̇ 𝑉 • ̇ 𝑉" = ! "#% !' ! "#$ ̇ 𝑉 • この式を⾒ると,直流のときと同様に各素⼦に加わる電圧はインピーダ ンスの⽐となっている事が分かる. ̇ 𝑉 ̇ 𝐼 ̇ 𝑉% ̇ 𝑉& 𝜃' 𝜃(
  11. RC直列回路 • 抵抗の電圧と⼊⼒の⽐の⼤きさは • ̇ (& ̇ ( = !

    !' ! "#$ = ! !'' ! #'$' = # #' ! #'&'$' • この式から,抵抗の電圧の⼤きさは⼊⼒の周波数が⼤きくなればなるほ ど⼤きくなる事がわかる. • ⼊⼒電圧と抵抗の電圧の位相差は • 𝜃! = tan*# ! #$ ! = tan*# # %!" ̇ 𝑉! ̇ 𝑉 = 𝑅 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 = 𝑅 𝑅" + 1 𝜔𝐶 " 𝑅 − 1 𝑗𝜔𝐶 = 𝑅 𝑅" + 1 𝜔𝐶 " 𝑅 + 𝑗 1 𝜔𝐶 𝑅 1 𝜔𝐶 𝑅 + 𝑗 1 𝜔𝐶
  12. RC直列回路 • コンデンサの電圧と⼊⼒の⽐の⼤きさは • ̇ (( ̇ ( = !

    "#$ !' ! "#$ = # #'$%!" = # #'%'!'"' • この式から,コンデンサの電圧の⼤きさは⼊⼒の周波数が⼤きくなれば なるほど⼩さくなる事がわかる. • ⼊⼒電圧とコンデンサの電圧の位相差は • 𝜃" = −tan*# 𝜔𝐶𝑅 ̇ 𝑉) ̇ 𝑉 = 1 𝑗𝜔C 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗𝜔𝑅𝐶 + 1
  13. RCローパスフィルタ • 抵抗RとコンデンサCで構成されるローパスフィルタの回路は図のよう になる. • ローパスフィルタはRC直列回路のコンデンサにかかる電圧𝑉" を出⼒ 𝑉+,- として取り出したものと⾔える. 𝑉/

    = 𝑉"01 RCローパスフィルターは,RC直列回路のコンデンサにかかる電圧𝑉/ を出⼒とみなしたものである. コンデンサに並列に新たな回路を加えるため,追加した回路の⼊⼒電圧(フィルタから⾒れば出⼒電 圧)は𝑉/ となるからである.
  14. ゲインの計算 • この回路はRC直列回路となっているので, ̇ 𝑉345 は • ̇ 𝑉345 =

    + ,-. 67 + ,-/ ̇ 𝑉89 = : :7;<6= ̇ 𝑉89 • ̇ 𝑉345 に対する ̇ 𝑉89 の⽐を増幅度を𝐴> とすると • 𝐴> = ̇ ?012 ̇ ?34 = + ,-/ 67 + ,-/ = : :7;<6= = : :7<565=5 • ゲイン𝐺は • 𝐺 = 20 log:A 𝐴> = 20 log:A : :7<565=5 • ̇ 𝑉345 の位相差𝜃345 は • 𝜃345 = − tanB: 𝜔𝑅𝐶 = − tanB: 2𝜋𝑓𝑅𝐶 • 増幅度,ゲイン,位相差がフィルタの特性を表す. ̇ 𝑉!2 ̇ 𝑉"01
  15. RCローパスフィルタの周波数特性 • 周波数に対するゲインと位相差の変化の特性を周波数特性と⾔う.周 波数特性はフィルタの特性を知る上で重要なものである. R=100Ω,C=0.022μF ゲイン 位相差 ⼊⼒ ≅ 出⼒

    つまり,低周波 数成分が通過す る(ローがパス する). 20 log!" 𝐴 = 0 (dB)のとき𝐴 = 1 だから,⼊⼒と出 ⼒の⼤きさが同じ ことを意味する. ⼊⼒ > 出⼒ つまり,⾼周波数成 分は通過しにくい.
  16. カットオフ周波数 • 増幅度が1/ 2のときの周波数𝑓をカットオフ周波数𝑓. と⾔う. • ̇ (( ̇ (34

    = # #' %"! ' • カットオフ周波数のとき出⼒の振幅の⼤きさは⼊⼒の # / だから • 1 + 𝜔.𝐶𝑅 / = 2 • よってカットオフ周波数fcは • 𝜔. = # "! = 2𝜋𝑓. • 𝑓. = # /0"! = # /01 • また,カットオフ周波数のとき,ゲイン[dB]は約-3[dB]となる.
  17. 問題解説 • 図の回路に正弦波(実効値2.8V,⾓周波数1×102rad/s)を⼊⼒した. 出⼒電圧(実効値)はおよそ何Vか.(第42回ME2種) 1. 0.5 2. 0.7 3. 1.0

    4. 1.4 5. 2.0 ̇ 𝑉"01 = ̇ 𝑉!2 × 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅 + 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝑉"01 ̇ 𝑉!2 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 1 + 𝜔𝐶𝑅 3 = 1 1 + (1×104×1056×104) = 1 1 + 1 = 1 2 よって出⼒電圧Voutの実効値は 2.8 2 ≅ 2.8 1.4 = 2
  18. 問題解説 • 図の交流回路で,R,Cの両端の電圧(実効値)は図の⽰す値であっ た.電源電圧𝑒(実効値)は何Vか.(第36回ME2種) 抵抗の電圧は ̇ 𝑉7 = 7 78

    $ %&' ̇ 𝑒 コンデンサの電圧は ̇ 𝑉/ = $ %&( 78 $ %&' ̇ 𝑒 それぞれの電圧の位相は ̇ :) ̇ :' = ) )* $ %&' $ %&( )* $ %&' = 𝑗𝜔𝑅𝐶だから, 90度である. フェーザ図を書くと右図のようになる. ̇ 𝑒 = ̇ 𝑉7 + ̇ 𝑉/ だから,フェーザ図では ̇ 𝑒はベクトル ̇ 𝑉7 , ̇ 𝑉/ の合成となる. よって𝑒の実効値は 2 2 ̇ 𝑉# ̇ 𝑉$ ̇ 𝑉# ̇ 𝑉$ ̇ 𝑒 2V 2V 2V 2V 2 2V
  19. 問題解説 • 図の回路で,ある周波数fでの減衰量は-40dBであった.fの10倍の周 波数における減衰量[dB]はどれか.(第39回ME2種) 1. -4 2. -20 3. -60

    4. -80 5. -400 20 log!" 𝐴 = 20 log!" ̇ &' ̇ &() = −40だから 𝐴 = ̇ 𝑉 ' ̇ 𝑉() = 1 100 = 1 1 + 2𝜋𝑓𝐶𝑅 * よって,1 + 2𝜋𝑓𝐶𝑅 * = 10000 𝐶𝑅 * = 9999 4𝜋*𝑓* 任意の周波数𝑓’のときのゲインは ̇ 𝑉 ' ̇ 𝑉() = 1 1 + 𝑓+* 9999 𝑓* よって 𝑓’ = 10𝑓のときのゲイン𝑔は ̇ 𝑉 ' ̇ 𝑉() = 1 1 + 999900 = 1 999901 ≅ 1 1000000 = 1 1000 𝑔 = 20log!" 1 1000 = −60 今回は 2𝜋𝑓𝐶𝑅 *が⼗分⼤き いから分⺟の1を無視して計 算しても良い. よく使う:ゲイン[db]から増幅度の計算
  20. 問題 • 図の回路について正しいのはどれか.(国家試験25) a. 低域通過特性を⽰す. ⾼域通過フィルタなので間違い. b. 微分回路に⽤いられる. 正しい. c.

    時定数は10msである. 𝜏 = 𝐶𝑅 = 0.01×10CD×1×10D = 0.01s = 10msなので正しい. d. 出⼒波形の位相は⼊⼒波形より進む. 抵抗にかかる電圧は,𝑉E = 𝑉× E EFG/ IJ) = 𝑉× E ECI/ J) である.よって位相は𝜃 = − tanCG −𝜔𝑅𝐶 > 0となり,正しい. e. 遮断周波数は50Hzである. 𝑓 = G KL)E = G KL×N.NG ≅ 15.9.よって間違い.
  21. ゲインの計算 • この回路はRL直列回路となっているので,Voutは • ̇ 𝑉PQR = E EFIJS ̇

    𝑉TU = G GF;<= > ̇ 𝑉TU • 𝑉PQR に対する𝑉TU の⽐を増幅度𝐴V とすると • 𝐴V = ̇ | W?@A ̇ WBC | = E EFIJS = G GF <D=D >D • ゲイン𝐺は • 𝐺 = 20 logGN 𝐴V = 20 logGN G GF <D=D >D • ̇ 𝑉PQR の位相のずれ𝜃PQR は • 𝜃PQR = − tanCG E JS = − tanCG E KLXS • 増幅度,ゲイン,位相差がフィルタの特性を表す. ̇ 𝑉 ̇ 𝑉) ̇ 𝑉% = ̇ 𝑉*+,
  22. カットオフ周波数 • 増幅度𝐺が1/ 2のときの周波数fをカットオフ周波数fcと⾔う. • 𝐺 = ̇ (YZ[ ̇

    (34 = # #'#'\' &' = # / • カットオフ周波数のとき出⼒の振幅の⼤きさは⼊⼒の # / だから • 1 + %(3 ! / = 2 • よってカットオフ周波数fcは • 𝜔. = ! 3 = 2𝜋𝑓. • 𝑓. = ! /03 = # /03/!
  23. RLC直列回路 • 抵抗,インダクタ,コンデンサを直列につないだものをRLC直列回路 という. • ab間のインピーダンスは • ̇ 𝑍 =

    𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 + # $%" = 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − # %" ) • インピーダンスの⼤きさは • ̇ 𝑍 = 𝑅/ + 𝜔𝐿 − # %" / • インピーダンスの⼤きさが最⼩となるのは • 𝜔𝐿 = # %" のとき • このときの⾓周波数は 𝜔5 = # 3" ̇ 𝑉7 ̇ 𝑉E ̇ 𝑉/ ̇ 𝑉
  24. RLC直列回路 • ⾓周波数が𝜔A = : L= のときインピーダンスが最⼩となる. • つまり,ab間を流れる電流は最⼤となる. •

    また,このとき,インピーダンスの虚数成分はゼロとなり電圧と電流は同 位相となる. • RLC直列回路のインピーダンスが最⼩となるときを共振という. • RLC直列回路が共振のとき • インピーダンスは最⼩で𝑅のみとみなせる. • 共振⾓周波数:𝜔N = G S) • 共振周波数:𝑓N = G KL S) • 電圧と電流の位相差は0 ̇ 𝑉7 ̇ 𝑉E ̇ 𝑉/ ̇ 𝑉
  25. Q値 • 図の回路のab間を流れる電流は • ̇ 𝐼 = ̇ ( ̇

    6 = ̇ ( !'$(%3* ! #$ ) • 電流の⼤きさは • ̇ |𝐼| = ̇ ( !'' %3* ! #$ ' • 電流の⼤きさと⾓周波数の関係は図のようになる. • 図を⾒ても分かる通り,RLC直列回路では共振周波数のとき最も電流 が流れる. • この性質を⽤い,任意の周波数成分のみ電流が流れるようなフィルタ をRLC回路で作成できる. 電流 ⾓周波数 ̇ 𝑉7 ̇ 𝑉E ̇ 𝑉/ ̇ 𝑉
  26. Q値 • 理想的には,任意の周波数(共振周波数)の電流のみ流し たい. • しかし,現実には共振周波数の周りの電流も流れる. • 良いフィルタ回路は,共振周波数の周りの電流がなるべく 流れない. •

    そこで,フィルタ回路の性能を表す指標としてQ値を導⼊ する. • Q値は次のように定義される. • 𝑄 = <6 <5B<+ • ⾒ての通りQ値は電流のグラフの尖りの幅が狭ければ狭い ほど⼤きな数値となる.つまりQ値が⼩さければ⼩さいほ ど共振周波数の周りの電流を流してしまい,性能が低いこ とを意味する. ⾓周波数 ̇ 𝑉7 ̇ 𝑉E ̇ 𝑉/ ̇ 𝑉
  27. 問題解説 • 正弦波交流電源に抵抗器,インダクタ,キャパシタ各1個を直列に接続 した.各素⼦の両端電位差(実効値)を測定したところ,抵抗器は 10V,インダクタとキャパシタは5Vであった.電源電圧の実効値は何 Vか.(第39回ME2種) 1. 5 2. 10

    3. 15 4. 20 5. 25 抵抗の電圧をVR,コンデンサの電圧をVC,インダクタの電圧を VLとする. ̇ 𝑉7 = 𝑅 ̇ 𝐼, ̇ 𝑉/ = 1 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝐼, ̇ 𝑉E = 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼 Rを基準としたそれぞれの位相差は 𝜃E7 = ∠ ̇ 𝑉E 𝑉7 = ∠ 𝑗𝜔𝐿 𝑅 = 90,𝜃/7 = ∠ ̇ 𝑉E 𝑉7 = ∠ −𝑗 1 𝜔𝐶𝑅 = −90 よって,フェーザ図は右図のようになる. 電源電圧はすべてのベクトルを⾜したものになるので, 10V ̇ 𝑉# ̇ 𝑉$ ̇ 𝑉,
  28. 問題 • 図の交流回路で𝑅, 𝐿, 𝐶の両端電圧(実効値)がそれぞれ3V, 6V, 2Vで あった.電源電圧𝐸(実効値)は何Vか.(第37回ME2種) 1. 2

    2. 5 3. 7 4. 9 5. 11 各素⼦に流れる電流は同じなので,各素⼦の 電圧は次のように書ける. ̇ 𝑉7 = 𝑅 ̇ 𝐼 ̇ 𝑉E = 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼 ̇ 𝑉7 = 1 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝐼 つまり,抵抗に掛かる電圧に対し,インダク タは𝜋/2,コンデンサは−𝜋/2位相がずれてい る. それぞれの電圧をフェーザ図でかくと図のよ うになる. よって電源電圧は 𝐸 = ̇ 𝑉7 + ̇ 𝑉E − ̇ 𝑉/ = 33 + 6 − 2 3 = 9 + 16 = 25 = 5𝑉 ̇ 𝑉/ ̇ 𝑉7 ̇ 𝑉E ̇ 𝑉E + ̇ 𝑉/ ̇ 𝐸
  29. 問題解説 • 図のRLC直列共振回路のQ値(Quality factor)に最も近いのはどれか.( 第40回ME2種) 1. 1 2. 2 3.

    3 4. 4 5. 5 RLC直列回路のインピーダンスは ̇ 𝑍 = 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 + 𝑗𝜔𝐿 = 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 ) ̇ 𝑍 = 𝑅3 + 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 3 共振周波数はインピーダンスが最⼩のときな ので,このときの⾓周波数は 𝜔% 𝐿 − 1 𝜔% 𝐶 = 0 𝜔% = 1 𝐿𝐶 Q値は次のように定義される. 𝑄 = 𝜔% 𝜔3 − 𝜔$ 𝜔$ と𝜔3 はアドミタンス(イン ピーダンスの逆数)が共振周 波数のときのアドミタンスの $ 3 のときの⾓周波数なので, ̇ 𝑍 ̇ 𝑍% = 𝑅3 + 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 3 𝑅 = 2 𝑅3 + 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 3 = 2𝑅3 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 3 = 𝑅3 𝐿𝜔3 ± 𝑅𝜔 − 1 𝐶 = 0
  30. 問題解説 • 図のRLC直列共振回路のQ値(Quality factor)に最も近いのはどれか.( 第40回ME2種) 1. 1 2. 2 3.

    3 4. 4 5. 5 𝐿𝜔3 ± 𝑅𝜔 − 1 𝐶 = 0 𝜔 = 7± 7+5GE/ 3E or 𝜔 = 57± 7+5GE/ 3E 𝜔3 − 𝜔$ = 𝑅 𝐿 𝑄 = 𝜔% 𝜔3 − 𝜔$ = 1 𝐿𝐶 𝑅 𝐿 = 𝐿 𝑅3𝐶 よって 𝑄 = 4×1054 1003×0.1×1056 = 4 = 2
  31. RLC並列回路 • 抵抗,インダクタ,コンデンサを並列につないだものをRLC直列回路とい う. • この回路の合成アドミタンス(インピーダンスの逆数)は • ̇ 𝑌 =

    : ̇ \ = : 6 + : ;<L + 𝑗𝜔𝐶 = : 6 + 𝑗(𝜔𝐶 − : <L ) • アドミッタンスの⼤きさは • : ̇ \ = : 65 + 𝜔𝐶 − : <L ] • アドミタンスの⼤きさが最⼩となるのは • 𝜔𝐶 = : <L のときである. • このときの⾓周波数は 𝜔A = : L= • このとき,並列回路は共振しているという.
  32. RLC並列回路 • この回路の合成アドミタンス(インピーダンスの逆数)は • # ̇ 6 = # !

    + # $%3 + 𝑗𝜔𝐶 = # ! + 𝑗(𝜔C − # %3 ) • 各素⼦にかかる電圧は等しい. • 各素⼦に流れる電流は • ̇ 𝐼! = ̇ ( ! • ̇ 𝐼3 = ̇ ( $%3 • ̇ 𝐼" = 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝑉
  33. RLC並列回路 • ⾓周波数が𝜔A = : L= のときアドミタンスの⼤きさが最⼩となる. • つまり,ab間を流れる電流は最⼩となる. •

    また,このとき,インピーダンスの虚数成分はゼロとなり電圧と電流は同 位相となる. • RLC並列回路のアドミタンスの⼤きさが最⼩となるときを共振という. • RLC並列回路が共振のとき • アドミタンスは最⼩で𝑅のみとみなせる. • 共振⾓周波数:𝜔N = G S) • 共振周波数:𝑓N = G KL S) • 電圧と電流の位相差は0
  34. 問題解説 • 図の回路が共振状態にある時,抵抗器に流れる電流は何Aか.ただし, 𝑅 = 200Ω,𝐿 = 1.6mH,𝐶 = 100μF,𝐸

    = 100V(実効値)とする.( 第38回ME2種) 1. 0.5 2. 1.0 3. 1.5 4. 2.0 5. 5.0 この回路のアドミタンスは 1 ̇ 𝑍 = 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐶 + 1 𝑗𝜔𝐿 = 1 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐶 − 1 𝜔𝐿 ) 1 ̇ 𝑍 = 1 𝑅K + 𝜔𝐶 − 1 𝜔𝐿 K これが最⼩の時,共振している. 最⼩値は G ̇ ] = G E となる.すなわち,回路が共 振状態のときRのみの回路と⾒なせる. よって,抵抗器に流れる電流は 100/200=0.5A
  35. 問題 • 図の回路に置いて,電源を流れる電流Iが10A,LとCを流れる電流がそ れぞれ2A,8Aであった.抵抗Rに流れる電流は何Aか.(第42回ME2種) 1. 0 2. 6 3. 8

    4. 10 5. 20 各素⼦に流れる電流は ̇ 𝐼7 = ̇ 𝑉 𝑅 ̇ 𝐼E = ̇ 𝑉 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼/ = 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝑉 であるから,抵抗を流れる電流 ̇ 𝐼7 に対し,コイルを流れる電 流 ̇ 𝐼E は−𝜋/2,コンデンサを流れる電流は ̇ 𝐼/ は 𝜋/2位相がずれて いる.これをフェーザ図で書くと図のようになる. 回路を流れる電流 ̇ 𝐼は各素⼦に流れる電流の合成なので, 抵抗 を流れる電流 ̇ 𝐼7 は ̇ |𝐼7 | = | ̇ 𝐼 − ( ̇ 𝐼/ + ̇ 𝐼E )| = 103 − 8 − 2 3 = 64 = 8 である. ̇ 𝐼, ̇ 𝐼$ ̇ 𝐼# ̇ 𝐼# + ̇ 𝐼, ̇ 𝐼
  36. 問題 • 図の回路が共振状態にあるとき正しいのはどれか.(臨床⼯学技⼠国家試 験36) 1. Rの抵抗値を2倍にすると,回路の全インピーダンスは4倍になる. 2. Cの静電容量を2倍にすると,回路の全インピーダンスは1/2倍になる. 3. Lのインダクタンスを2倍にすると,回路の全アドミタンスは1/4倍にな

    る. 4. Cの静電容量を4倍にすると,共振周波数は1/2倍になる. 5. Rの抵抗値を4倍にすると,共振周波数は2倍になる. r  ùɽ r E   úɽ r E   ûɽ r E üɽ r E   ໰୊ɹü÷ɹਤͷճ࿏͕ڞৼঢ়ଶʹ͋Δͱ͖ਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ 3 $ - r r E E ి ஑ ి ஑ R Մ ม ఍ ߅
  37. 問題 • 図の回路が共振状態にあるとき正しいのはどれか.(臨床⼯学技⼠国家 試験36) ûɽ r E üɽ r E

      ໰୊ɹü÷ɹਤͷճ࿏͕ڞৼঢ়ଶʹ͋Δͱ͖ਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ 3 $ - øɽ3 ͷ఍߅஋Λ ù ഒʹ͢Δͱɺճ࿏ͷશΠϯϐʔμϯε͸ û ഒʹͳΔɻ ùɽ$ ͷ੩ి༰ྔΛ ù ഒʹ͢Δͱɺճ࿏ͷશΠϯϐʔμϯε͸   ഒʹͳ úɽ- ͷΠϯμΫλϯεΛ ù ഒʹ͢Δͱɺճ࿏ͷશΞυϛλϯε͸   ഒʹ  r E ి ஑ R Մ ม ఍ ߅ まず合成インピーダンスを求める. 1 𝑍 = 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐶 + 1 𝑗𝜔𝐿 = 1 𝑅 + 𝑗 𝜔𝐶 − 1 𝜔𝐿 インピーダンスの⼤きさは 𝑍 = 1 1 𝑅3 + 𝜔𝐶 − 1 𝜔𝐿 3 共振状態とは 𝜔𝐶 − 1 𝜔𝐿 = 0 のときだから 𝜔 = 1 𝐿𝐶
  38. 問題 • 図の回路が共振状態にあるとき正しいのはどれか.(臨床⼯学技⼠国家試 験36) 1. Rの抵抗値を2倍にすると,回路の全インピーダンスは4倍になる. 𝑍 = G H

    >D F J)C H <= D だからRを2倍にしても合成インピーダンスは4倍にならない. 2. Cの静電容量を2倍にすると,回路の全インピーダンスは1/2倍になる. 1. Cを2倍にしても,合成インピーダンスは1/2倍にならない. 3. Lのインダクタンスを2倍にすると,回路の全アドミタンスは1/4倍にな る. Lを2倍にしても,合成アドミタンスは1/4倍にならない. 4. Cの静電容量を4倍にすると,共振周波数は1/2倍になる. 𝜔 = G S) だからCの静電容量を4倍にすると,共振周波数は1/2倍になる. 5. Rの抵抗値を4倍にすると,共振周波数は2倍になる. 𝜔 = G S) だからLの静電容量を4倍にすると,共振周波数は1/2倍になる.
  39. RLC回路のポイント • RLC直列回路が共振のとき • ⼊⼒電圧をある周波数にするとインピーダンスが最⼩となる. • このときの周波数を共振周波数という. 𝜔# = "

    )& • このときインピーダンスは𝑅のみとなる. • 電圧と電流の位相差は0である. • RLC並列回路が共振のとき • ⼊⼒電圧をある周波数にするとインピーダンスが最⼤となる. • このときの周波数を共振周波数という.𝜔# = " )& • このときインピーダンスは𝑅のみとなる. • 電圧と電流の位相差は0である.
  40. 問題解説 • ⼊⼒信号Viの周波数が無限⼤になっても出⼒信号Voが0にならない回 路はどれか.(第37回ME2種) 周波数が無限⼤になると,インダクタはインピーダ ンス無限⼤になる.つまり,周波数が⾼いとインダ クタの電圧降下が⼊⼒電圧と等しくなり,他の素⼦ の電圧は0になる.よって,⼊⼒にインダクタがつい ている1,2,3は間違いである. ⼀⽅,コンデンサのインピーダンスは0になる.

    5は抵抗とコンデンサが並列につながっているため, 周波数無限⼤になると,コンデンサが短絡状態にな り,Voは0となる. 4はコンデンサが短絡状態になっても抵抗があるため 抵抗で電圧降下が起こりVoは値を持つ. 𝑗𝜔𝐿 → ∞ 𝑗𝜔𝐿 → ∞ 𝑗𝜔𝐿 → ∞ 1 𝑗𝜔𝐶 → 0 𝑅$ 𝑅3 , -./ → 0だから,𝑅, と𝑅" で 分圧される. コンデンサは短絡状態
  41. RC回路,RL回路のポイント • コンデンサ,コイルの特性 • RC回路 • コンデンサの電圧はローパス,抵抗の電圧はハイパス • コンデンサは,周波数が低いとインピーダンスが上がり𝑉# も⼤きい.

    • コンデンサの電圧は積分,抵抗の電圧は微分 • コンデンサは,電荷を徐々に貯める.つまり電圧も徐々に⼤きくなる(⾜されている感じ=積 分). • グラフでイメージを掴む. • 充電時の電圧変化は𝑉9 = 𝑉: (1 − 𝑒;- .), 𝑉< = 𝑉: 𝑒;- .,放電時は 𝑉9 = 𝑉: 𝑒;- ., 𝑉< = −𝑉: 𝑒;- . • RLフィルタはRC回路と素⼦の特性が逆と覚える. • カットオフ周波数 • 出⼒の⼤きさが⼊⼒の1/ 2となる周波数をカットオフ周波数という. • CRフィルタ:𝑓= = > ?@9< • LRフィルタ:𝑓= = > ?@A/< Vc ⼊⼒Vi R C VR
  42. RC回路,RL回路のポイント • 時定数 • CRフィルタ:𝜏 = 𝐶𝑅 • LRフィルタ:𝜏 =

    𝐿/𝑅 • 矩形波を⼊⼒として与えたときの𝑉! と𝑉" の時間変化が重要 • 時定数により⾒た⽬が変化する. • 時定数⼤→電圧の緩やかな時間変化 • 時定数⼩→電圧の急激な時間変化 Vc ⼊⼒Vi R C VR
  43. RLC回路のポイント • RLC直列回路が共振のとき • ⼊⼒電圧をある周波数にするとインピーダンスが最⼩となる. • このときの周波数を共振周波数という.𝑓# = " $.

    )& • このときインピーダンスは𝑅のみとなる. • 電圧と電流の位相差は0である. • RLC並列回路が共振のとき • ⼊⼒電圧をある周波数にするとインピーダンスが最⼤となる. • このときの周波数を共振周波数という.𝑓# = " $. )& • このときインピーダンスは𝑅のみとなる. • 電圧と電流の位相差は0である.