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Bachelor's defense

Leonardo Uieda
December 17, 2009

Bachelor's defense

Slides from my Bachelor's thesis defense "Cálculo do tensor gradiente gravimétrico utilizando tesseróides"

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Leonardo Uieda

December 17, 2009
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  1. Cálculo do tensor gradiente gravimétrico
    utilizando tesseróides
    Leonardo Uieda
    Naomi Ussami
    Universidade de São Paulo
    Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas
    17 de Dezembro de 2009

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  2. Sumário
    Introdução
    Formulação Matemárica
    Implementação Computacional
    Resultados
    Conclusões
    Referências

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  3. Introdução
    GOCE:
    Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer
    Missão da ESA (European Spance Agency)
    Medir o Tensor Gradiente da Gravidade (TGG)
    Gravimetria por satélite:
    Dados cobrem todo o globo
    Cobertura contínua e homogênea (não seria possível
    utilizando métodos terrestres)
    Estudar áreas extensas (estudos litosféricos)
    “Terra plana” apresentam limitações
    Levar em conta a curvatura da Terra
    Prismas retangulares podem não ser uma aproximação
    adequada
    Alternativa: utilizar tesseróides (prismas esféricos)

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  4. Introdução
    Modelagem com tesseróides:
    TGG não possue solução analítica (exceto em casos
    especiais)
    Métodos numéricos de integração
    Expansão em série de Taylor (HECK; SEITZ, 2007)
    Aceitável quando o tesseróide está longe do ponto de
    observação e em regiões de baixa latitude
    Não deve ser utilizada caso contrário
    Quadratura Gauss-Legendre (QGL) (ASGHARZADEH et
    al., 2007; WILD-PFEIFFER, 2008)
    Inicialmente utilizada em métodos potenciais em Ku (1977)
    Trabalhos publicados até o momento sugerem que a QGL é
    o método mais adequado

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  5. Introdução
    Neste trabalho:
    Tesseróides serão utilizados no cálculo direto do TGG
    Implementação de um programa computacional seguindo
    a abordagem de Wild-Pfeiffer (2008)
    Precisão pode ser avaliada comparando com o resultado
    de fórmulas analíticas (casca esférica)
    Avaliar se sofre das mesmas limitações observadas por Ku
    (1977)
    Calcular as diferenças causadas no TGG por utilizar “Terra
    plana”
    Calcular o efeito da topografia da bacia do Paraná no TGG
    a 250 km de altitude

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  6. Formulação Matemática
    Definir os sistemas de coordenadas
    Transformações entre os sistemas de coordenadas
    Definir o que é um tesseróide
    TGG em coordenadas esféricas
    QGL

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  7. Formulação Matemática
    Sistemas de coordendas e Tesseróide
    Sistema Global (G):
    Origem no geocentro
    ZG aponta para o Norte
    XG aponta para
    Greenwich médio
    Sistema destro
    Sistema Local (L):
    Origem no ponto P
    zL aponta para para fora
    xL aponta para o Norte
    Sistema sinistral

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  8. Formulação Matemática
    Transformações entre sistemas de coordenadas
    Transformar coordenadas de Q:
    Do sistema global para o sistema local de P:
    eLP
    Q
    = P2
    R2 ϕP −
    π
    2
    R3 (λP − π) (eG
    Q
    − eG
    P
    )
    Do sistema local de P para o sistema global:
    eG
    Q
    = R3 (π − λP) R2
    π
    2
    − ϕP
    P2
    eLP
    Q
    + eG
    Q

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  9. Formulação Matemática
    Transformações entre sistemas de coordenadas
    Transformar a orientação de um vetor e do sistema local de Q
    para o sistema local de P:
    eLP = P2
    R2 ϕP −
    π
    2
    R3 (λP − λQ
    ) R2
    π
    2
    − ϕQ
    P2
    RQP
    eLQ
    RQP = P2
    R2 ϕP −
    π
    2
    R3 (λP − λQ
    ) R2
    π
    2
    − ϕQ
    P2

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  10. Formulação Matemática
    TGG em coordenadas esféricas

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  11. Formulação Matemática
    TGG em coordenadas esféricas
    TGG é um tensor com 9 elementos:
    T =


    Txx Txy Txz
    Tyx Tyy Tyz
    Tzx Tzy Tzz

     =










    ∂2V
    ∂x2
    ∂2V
    ∂x∂y
    ∂2V
    ∂x∂z
    ∂2V
    ∂y∂x
    ∂2V
    ∂y2
    ∂2V
    ∂y∂z
    ∂2V
    ∂z∂x
    ∂2V
    ∂z∂y
    ∂2V
    ∂z2










    T é simétrico e possui 5 elementos independentes.

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  12. Formulação Matemática
    TGG em coordenadas esféricas
    Em coordenadas esféricas as componentes de T são dados
    por (TSCHERNING, 1976):
    Txx =
    1
    r2
    „∂2V
    ∂ϕ2
    + r
    ∂V
    ∂r
    «
    Txy =
    1
    r2 cos ϕ
    „ ∂2V
    ∂ϕ∂λ
    + tan ϕ
    ∂V
    ∂λ
    «
    = Tyx
    Txz =
    1
    r
    „ ∂2V
    ∂ϕ∂r

    1
    r
    ∂V
    ∂ϕ
    «
    = Tzx
    Tyy =
    1
    r2 cos2 ϕ
    “∂2V
    ∂λ2
    + r cos2 ϕ
    ∂V
    ∂r

    cos ϕ sin ϕ
    ∂V
    ∂ϕ

    Tyz =
    1
    r cos ϕ
    „ ∂2V
    ∂r∂λ

    1
    r
    ∂V
    ∂λ
    «
    = Tzy
    Tzz =
    ∂2V
    ∂r2

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  13. Formulação Matemática
    TGG em coordenadas esféricas
    Para obter o TGG de um tesseróide basta substituir V pelo
    potencial gravitacional de um tesseróide:
    V(r, ϕ, λ) = Gρ
    λ2
    ˆ
    λ1
    ϕ2
    ˆ
    ϕ1
    r2
    ˆ
    r1
    1
    l
    r 2 cos ϕ dr dϕ dλ
    l = r2 + r 2 − 2rr cos ψ
    cos ψ = sin ϕ sin ϕ + cos ϕ cos ϕ cos(λ − λ )
    As integrais triplas resultantes podem ser revolvidas
    numericamente com a QGL

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  14. Formulação Matemática
    Quadratura Gauss-Legendre (QGL)

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  15. Formulação Matemática
    QGL
    A QGL consiste em:
    1. Discretizar o integrando
    2. Aproximar a integral por uma somatória
    b
    ˆ
    a
    f(x) dx ≈
    b − a
    2
    N
    i=1
    Wi
    f(xi)
    xi
    são os pontos de discretização (dados pelas raízes do
    polinômio de Legendre PN(x))
    Wi
    são os pesos:
    Wi =
    2
    (1 − x2
    i
    ) P
    N
    (xi) 2

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  16. Formulação Matemática
    QGL
    Pode ser estendida para integrais duplas (2D):
    x2
    ˆ
    x1
    y2
    ˆ
    y1
    f(x, y) dx dy ≈
    (x2
    − x1
    )(y2
    − y1
    )
    4
    Nx
    X
    i=1
    Ny
    X
    j=1
    Wx,i
    Wy,j
    f(xi
    , yj
    )
    ou triplas (3D):
    x2
    ˆ
    x1
    y2
    ˆ
    y1
    z2
    ˆ
    z1
    f(x, y, z) dx dy dz ≈
    (x2
    − x1
    )(y2
    − y1
    )(z2
    − z1
    )
    8
    Nx
    X
    i=1
    Ny
    X
    j=1
    Nz
    X
    k=1
    Wx,i
    Wy,j
    Wz,k
    f(xi
    , yj
    , zk
    )

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  17. Implementação Computacional
    Linguagem de programação
    Implementação da QGL
    TGG de tesseróides
    TGG de prismas retangulares em coordenadas esféricas
    TGG de uma casca esférica

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  18. Implementação Computacional
    Linguagem de programação
    A linguagem escolhida foi a linguagem Python:
    Rápido desenvolvimento do um programa
    Vasta biblioteca padrão
    Multi-paradigma
    Pode ser utilizada como scrips
    Modularidade facilita extensão e reutilização de programas
    Independentes do sistema operacional
    Problema:
    Python possui pior performance que a linguagem C
    Pode ser superado!
    Python pode ser extendido com módulos escritos em C

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  19. Implementação Computacional
    Linguagem de programação
    O programa desenvolvido:
    Desenvolvido utilizando Programação Orientada a Objetos
    Hospedado no servidor do Google Code
    (http://code.google.com/p/tesseroids/)
    Software livre (GNU General Public License 3.0)

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  20. Implementação Computacional
    Implementação da QGL

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  21. Implementação Computacional
    Implementação da QGL
    Cálculo dos pontos de discretização (nós) da QGL
    Método de Newton Modificado (BARRERA-FIGUEROA et
    al., 2006)
    ξk,n+1 = ξk,n −
    PN(ξk,n)
    P
    N
    (ξk,n) − PN(ξk,n)
    k−1
    i=1
    1
    ξk,n − ξi
    Chute inicial de Press et al. (1992)
    ξk,0 =
    cos πk − π
    4
    N + 1
    2

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  22. Implementação Computacional
    Implementação da QGL
    Polinômios de Legendre calculados com:
    PN
    (x) =
    N
    x2 − 1
    (xPn(x) − PN−1(x))
    PN(x) = x
    2N − 1
    N
    PN−1(x) −
    N − 1
    N
    PN−2(x)

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  23. Implementação Computacional
    TGG de tesseróides

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  24. Implementação Computacional
    TGG de tesseróides
    Utilizada a metodologia de Wild-Pfeiffer (2008):
    Integração analítica na direção radial
    Integração numérica da integral dupla resultante
    Melhor performance que utilizando somente a QGL 3D
    Integrais duplas apresentam uma singularidade quando
    ψ = 0◦
    Não está presente nas integrais triplas
    Produz uma mensagem de erro
    Quando erro ocorre é utilizada QGL 3D, evitando a
    singularidade

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  25. Implementação Computacional
    TGG de prismas retangulares
    em coordenadas esféricas

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  26. Implementação Computacional
    TGG de prismas retangulares em coordenadas esféricas
    Tesseróide é aproximado por um prisma retangular:
    Mesmo volume, densidade e altura do tesseróide
    Tesseróide é muito pequeno (sin ∆ϕ = ∆ϕ)
    Altura do tesseróide muito pequena (∆r r1
    )
    Dimensões do prisma (WILD-PFEIFFER, 2008):
    ∆x =
    r1 + r2
    2
    ∆ϕ
    ∆y =
    r1 + r2
    2
    cos
    ϕ1 + ϕ2
    2
    ∆λ
    ∆z = ∆r

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  27. Implementação Computacional
    TGG de prismas retangulares em coordenadas esféricas
    Fórmulas analíticas são dadas em Nagy et al. (2000)
    Assumida uma aproximação plana para a Terra
    O sistema local do prisma tem a mesma orientação do
    sistema local do ponto de observação
    Para a Terra esférica o sistema local do ponto de
    observação não terá a mesma orientação do sistema
    local do prisma

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  28. Implementação Computacional
    TGG de prismas retangulares em coordenadas esféricas

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  29. Implementação Computacional
    TGG de prismas retangulares em coordenadas esféricas
    É necessário converter o TGG para o sistema local do ponto
    de observação
    TLob = R TLpr RT
    R = P2
    R2 ϕob −
    π
    2
    R3 (λob − λpr ) R2
    π
    2
    − ϕpr P2

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  30. Implementação Computacional
    TGG de uma casca esférica

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  31. Implementação Computacional
    TGG de uma casca esférica
    Utilizado para:
    Validar os resultados
    Estimar sua precisão
    Solução existe para
    ϕ = 90◦
    TGG de anéis de massa
    pode ser calculado
    subtraindo duas cascas de
    Ψi+1
    e Ψi

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  32. Implementação Computacional
    TGG de uma casca esférica
    Pela simetria do problema:
    Txx = Tyy = −
    1
    2
    ∂2V
    ∂r2
    Txy = Tyx = 0
    Txz = Tzx = 0
    Tyz = Tzy = 0
    Tzz =
    ∂2V
    ∂r2

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  33. Resultados
    Validação do programa
    Exemplo de TGG de um tesseróide
    Limitações numéricas
    Diferença da “Terra plana”
    Efeito topográfico

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  34. Resultados
    Validação do programa
    Anéis de massa de ∆ϕ = 5 , ρ = 2 670 kg m−3, ∆r = 1 000 m
    e ponto de observação no polo Norte a 250 km de altitude

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  35. Resultados
    Validação do programa
    Discretizado
    em tesseróides
    de
    5 x 5 x 1000m
    Ordens de QGL
    (Nϕ
    = Nλ
    ) dois,
    três, quatro e
    cinco

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  36. Resultados
    Exemplo de TGG de um tesseróide

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  37. Resultados
    Exemplo de TGG de um tesseróide
    Tesseróide de 1◦x 1◦x 1◦x 10 km, ρ = 2800 kg m−3, centrado em 40◦N e 83◦W e
    observado a 250 km de altitude. Nϕ = Nλ = 2

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  38. Resultados
    Limitações numéricas

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  39. Resultados
    Limitações numéricas
    Resultados de Ku (1977):
    Se a distância entre os nós da QGL for maior que a
    distância ao ponto de observação
    O TGG aparenta ser causado por massas pontuais
    localizadas nos nós
    Este é um artefato numérico da QGL
    Para evitá-lo basta aumentar o número de nós até que a
    distância fosse menor que a distância até o ponto de
    observação

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  40. Resultados
    Limitações numéricas
    O mesmo acontece com o TGG de um tesseróide?
    Calculado o TGG de um tesseróide de 2◦x 2◦x 10 km e
    ρ = 2800 kg m−3 para diversas altitudes e ordens

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  41. Resultados
    Limitações numéricas

    = Nλ
    = 2 a 250 km (Maior distância entre os nós ≈ 128,5 km)

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  42. Resultados
    Limitações numéricas

    = Nλ
    = 2 a 100 km (Maior distância entre os nós ≈ 128,5 km)

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  43. Resultados
    Limitações numéricas

    = Nλ
    = 2 a 50 km (Maior distância entre os nós ≈ 128,5 km)

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  44. Resultados
    Limitações numéricas

    = Nλ
    = 10 a 50 km (Maior distância entre os nós ≈ 33 km)

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  45. Resultados
    Limitações numéricas
    Prisma de mesma massa a 50 km

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  46. Resultados
    Diferença da “Terra plana”

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  47. Resultados
    Diferença da “Terra plana”
    Aproximação plana para a Terra:
    Corpos planos
    1◦ de latitude ou longitude ≈ 111,11 km
    Sistemas locais dos pontos de observação possuem a
    mesma orientação do sistema local do corpo

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  48. Resultados
    Diferença da “Terra plana”
    Tesseróide de 1◦x 1◦x 10 km e ρ = 2800 kg m−3 calculado a 250 km

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  49. Resultados
    Diferença da “Terra plana”
    Diferença

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  50. Resultados
    Diferença da “Terra plana”
    Tesseróide de 50◦x 50◦x 10 km e ρ = 2800 kg m−3 calculado a 250 km

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  51. Resultados
    Diferença da “Terra plana”
    Diferença

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  52. Resultados
    Efeito topográfico

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  53. Resultados
    Efeito topográfico
    Estimar o efeito da
    topografia da bacia do
    Parana no TGG a 250
    km
    DEM ETOPO1
    Grid de 10’
    ρ = 2700 kg m−3

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  54. Resultados
    Efeito topográfico

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  55. Conclusões
    Validação dos resultados
    Txy
    e Tyy
    se mostraram instáveis
    Era esperado pois existem singularidades nas equações
    para ϕ = 90◦
    Este é caso limite que deve ser evitado na prática
    Limitações numéricas
    Apresenta o mesmo artefato numérico observado por Ku
    (1977)
    A ordem da QGL deve ser escolhida para que a distância
    entre os nós seja menor que a distância até o ponto de
    observação
    A altitude de 250 km, o TGG de um tesseróide com face de
    até 2º x 2º pode ser calculado utilizando ordem 2

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  56. Conclusões
    Diferenças da “Terra plana”
    Diferenças de até 30% em Tzz
    para um modelo de
    50◦x 50◦x 10 km
    Deve ser levada em conta na modelagem de estruturas
    extensas
    Efeito topográfico no TGG
    TGG devido à topografia da mesma ordem de grandeza
    que o TGG de um tesseróide de 1◦x 1◦x 10 km
    Deve ser separado do efeito do corpo anômalo na
    modelagem de dados de TGG

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  57. Obrigado

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  58. Referências
    ASGHARZADEH, M.F.; VON FRESE, R.R.B.; KIM, H.R.; LEFTWICH, T.E.; KIM, J.W. Spherical prism
    gravity effects by Gauss-Legendre quadrature integration. Geophysics Journal International, v. 169, p.
    1-11, 2007.
    BARRERA-FIGUEROA, V.; SOSA-PEDROZA, J.; LÓPEZ-BONILLA, J. Multiple root finder algorithm for
    Legendre and Chebyshev polynomials via Newton’s method. Annales Mathematicae et Informaticae, v.
    33, p. 3 – 13, 2006.
    HECK, B.; SEITZ, K. A comparison of the tesseroid, prism and point-mass approaches for mass reductions
    in gravity field modelling. Journal of Geodesy, v. 81, p. 121 - 136, 2007.
    HILDEBRAND. F.B. Introduction to numerical analysis. Courier Dover Publications, 2. ed., 1987.
    KU, C.C. A direct computation of gravity and magnetic anomalies caused by 2- and 3-dimensional bodies of
    arbitrary shape and arbitrary magnetic polarization by equivalent-point methot and a simplified cubic spline.
    Geophysics, v. 42, p. 610 - 622, 1977.
    NAGY, D.; PAPP, G.; BENEDEK, J. The gravitational potential and its derivatives for the prism. Journal of
    Geodesy, v. 74, p. 552 – 560, 2000.
    PRESS, W.H.; FLANNERY, B.P.; TEUKOLSKY, S.A.; VETTERLING, W.T. Numerical Recipes in C: The Art
    of Scientific Computing. Cambridge University Press, 2. ed., 1992.
    TSCHERNING, C.C. Computation of the second-order derivatives of the normal potential based on the
    representation by a Legendre series. Manuscripta Geodaetica, v. 1, p. 71 – 92, 1976.
    WILD-PFEIFFER, F. A comparison of different mass elements for use in gravity gradiometry. Journal of
    Geodesy, v. 82 (10), p. 637 - 653, 2008.

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