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(2023) La méthode probabiliste, par les exemples

(2023) La méthode probabiliste, par les exemples

Exposé au séminaire Maths Club de l'Université Paris Cité donné le 17 avril 2023. On y présente l'idée de la méthode probabiliste à travers 4 exemples.

Roger Mansuy

April 07, 2023
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Transcript

  1. Méthode probabiliste
    Une introduction par les exemples
    Roger Mansuy
    Maths-Club, Université Paris Cité, le 17 avril 2023

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  2. La méthode probabiliste est une technique pour prouver l’existence d’objets ayant
    certaines propriétés spécifiques.
    Elle repose sur la théorie des probabilités mais permet d’établir des théorèmes
    déterministes.
    Paul Erdős (1913-1996)

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  3. Plus précisément, pour résoudre un problème d’existence d’une solution, la méthode
    probabiliste se décompose en trois étapes
    1. On cherche une solution du problème déterministe au hasard

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  4. Plus précisément, pour résoudre un problème d’existence d’une solution, la méthode
    probabiliste se décompose en trois étapes
    1. On cherche une solution du problème déterministe au hasard
    2. On calcule l’espérance de la variable aléatoire X correspondant au critère considéré
    (ou une probabilité associée)

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  5. Plus précisément, pour résoudre un problème d’existence d’une solution, la méthode
    probabiliste se décompose en trois étapes
    1. On cherche une solution du problème déterministe au hasard
    2. On calcule l’espérance de la variable aléatoire X correspondant au critère considéré
    (ou une probabilité associée)
    3. On applique le lemme fondamental suivant:
    Lemme fondamental
    ▷ Soit X une variable aléatoire réelle finie d’espérance m. Alors, il existe une réalisation de X
    inférieure ou égale à m.
    ▷ Soit X une variable aléatoire réelle finie et x ∈ R tel que P(X ≤ x) > 0. Alors, il existe
    une réalisation de X inférieure ou égale à x.

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  6. Un tournoi particulier
    Considérons les résultats d’un tournoi qui se déroule selon les modalités suivantes.
    • Les joueurs s’affrontent jusqu’à que chacun ait rencontré (une fois) tous les autres.
    • Chaque match se termine par la victoire d’un joueur (et la défaite de l’autre): pas de
    match nul!

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  7. Un tournoi particulier
    Considérons les résultats d’un tournoi qui se déroule selon les modalités suivantes.
    • Les joueurs s’affrontent jusqu’à que chacun ait rencontré (une fois) tous les autres.
    • Chaque match se termine par la victoire d’un joueur (et la défaite de l’autre): pas de
    match nul!
    Est-il possible qu’à chaque fois que l’on considère deux joueurs, il en existe un autre
    ayant battu ces deux joueurs?

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  8. Essayons de construire un tel tournoi pas à pas.
    1 2 {1, 2}

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  9. Essayons de construire un tel tournoi pas à pas.
    1 2 {1, 2}
    3
    {1, 3}
    {2, 3}
    battus par 3

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  10. Essayons de construire un tel tournoi pas à pas.
    1 2 {1, 2}
    3
    {1, 3}
    {2, 3}
    battus par 3
    4
    {1, 4}
    {2, 4}
    {3, 4}
    battus par 4

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  11. Essayons de construire un tel tournoi pas à pas.
    1 2 {1, 2}
    3
    {1, 3}
    {2, 3}
    battus par 3
    4
    {1, 4}
    {2, 4}
    {3, 4}
    battus par 4
    5
    {1, 5}
    {2, 5}
    {3, 5}
    {4, 5}
    battus par 5

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  12. Essayons de construire un tel tournoi pas à pas.
    1 2 {1, 2}
    3
    {1, 3}
    {2, 3}
    battus par 3
    4
    {1, 4}
    {2, 4}
    {3, 4}
    battus par 4
    5
    {1, 5}
    {2, 5}
    {3, 5}
    {4, 5}
    battus par 5
    6
    {1, 6}
    {2, 6}
    {3, 6}
    {4, 6}
    {5, 6}
    battus par 6

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  13. Essayons de construire un tel tournoi pas à pas.
    1 2 {1, 2}
    3
    {1, 3}
    {2, 3}
    battus par 3
    4
    {1, 4}
    {2, 4}
    {3, 4}
    battus par 4
    5
    {1, 5}
    {2, 5}
    {3, 5}
    {4, 5}
    battus par 5
    6
    {1, 6}
    {2, 6}
    {3, 6}
    {4, 6}
    {5, 6}
    battus par 6
    C’est long (et c’est loin d’être terminé)!

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  14. Appliquons la méthode probabiliste.
    Considérons un tournoi aléatoire, c’est-à-dire tel que la victoire dans chaque match se
    joue à pile ou face indépendamment des autres matches.
    Notons, pour toute paire {x, y} de joueurs, A{x,y} la variable aléatoire qui vaut
    • 1 si x et y ne sont jamais battus par un même joueur,
    • O sinon.

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  15. Appliquons la méthode probabiliste.
    Considérons un tournoi aléatoire, c’est-à-dire tel que la victoire dans chaque match se
    joue à pile ou face indépendamment des autres matches.
    Notons, pour toute paire {x, y} de joueurs, A{x,y} la variable aléatoire qui vaut
    • 1 si x et y ne sont jamais battus par un même joueur,
    • O sinon.
    Alors, le nombre de ”situations problématiques” pour la condition recherchée est
    N =

    {x,y}
    A{x,y}
    .

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  16. Par linéarité de l’espérance
    E(N) = E
    ( ∑
    {x,y}
    A{x,y}
    )
    =

    {x,y}
    E
    (
    A{x,y}
    )

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  17. Par linéarité de l’espérance
    E(N) = E
    ( ∑
    {x,y}
    A{x,y}
    )
    =

    {x,y}
    E
    (
    A{x,y}
    )
    =

    {x,y}
    P
    (
    x, y ne sont pas battus pas un même joueur
    )

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  18. Par linéarité de l’espérance
    E(N) = E
    ( ∑
    {x,y}
    A{x,y}
    )
    =

    {x,y}
    E
    (
    A{x,y}
    )
    =

    {x,y}
    P
    (
    x, y ne sont pas battus pas un même joueur
    )
    =

    {x,y}
    (
    1 −
    1
    4
    )
    n−2

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  19. Par linéarité de l’espérance
    E(N) = E
    ( ∑
    {x,y}
    A{x,y}
    )
    =

    {x,y}
    E
    (
    A{x,y}
    )
    =

    {x,y}
    P
    (
    x, y ne sont pas battus pas un même joueur
    )
    =

    {x,y}
    (
    1 −
    1
    4
    )
    n−2
    =
    n(n − 1)
    2
    (
    3
    4
    )
    n−2
    .

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  20. En utilisant le lemme fondamental, on obtient le théorème suivant.
    Théorème
    Si n(n−1)
    2
    (
    3
    4
    )
    n−2
    < 1, alors il existe un tournoi à n joueurs ayant la propriété recherchée.

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  21. n 3n−2(n − 1)n − 2 · 4n−2
    5 412
    6 1918
    7 8158
    8 32632
    9 124696
    10 459418
    11 1640842
    12 5697316
    13 19246324
    14 63167830
    15 200590102
    16 611041648
    17 1755419056
    18 4582362034
    19 9806197378
    20 9780832348

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  22. n 3n−2(n − 1)n − 2 · 4n−2
    21 −61605997748
    Théorème
    Il existe un tournoi à 21 joueurs ayant la propriété recherchée.

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  23. Rester près (ou partir loin)
    Mentionnons un exercice élémentaire dans le plan complexe.
    Exercice
    Soit z1, …, zn
    des nombres complexes de module 1. Alors, il existe des signes ε1, …,
    εn
    ∈ {−1, 1} tels que
    |ε1z1
    + · · · + εn
    zn
    | ≥
    n
    2
    .

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  24. Nous allons établir le théorème suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    Soit E un espace préhilbertien réel, v1, …, vn
    ∈ E de norme 1. Alors,
    • il existe des signes ε1, …, εn
    ∈ {−1, 1} tels que
    ∥ε1v1
    + · · · + εn
    vn
    ∥ ≥

    n.
    • il existe des signes ε′
    1
    , …, ε′
    n
    ∈ {−1, 1} tels que
    ∥ε′
    1
    v1
    + · · · + ε′
    n
    vn
    ∥ ≤

    n.
    v3
    v2
    v4
    v1

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  25. Nous allons établir le théorème suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    Soit E un espace préhilbertien réel, v1, …, vn
    ∈ E de norme 1. Alors,
    • il existe des signes ε1, …, εn
    ∈ {−1, 1} tels que
    ∥ε1v1
    + · · · + εn
    vn
    ∥ ≥

    n.
    • il existe des signes ε′
    1
    , …, ε′
    n
    ∈ {−1, 1} tels que
    ∥ε′
    1
    v1
    + · · · + ε′
    n
    vn
    ∥ ≤

    n.
    v3
    v2
    v4
    v1
    −v1
    + v2
    + v3
    + v4

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  26. Nous allons établir le théorème suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    Soit E un espace préhilbertien réel, v1, …, vn
    ∈ E de norme 1. Alors,
    • il existe des signes ε1, …, εn
    ∈ {−1, 1} tels que
    ∥ε1v1
    + · · · + εn
    vn
    ∥ ≥

    n.
    • il existe des signes ε′
    1
    , …, ε′
    n
    ∈ {−1, 1} tels que
    ∥ε′
    1
    v1
    + · · · + ε′
    n
    vn
    ∥ ≤

    n.
    v3
    v2
    v4
    v1
    −v1
    − v2
    − v3
    + v4

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  27. Montrons le théorème avec la méthode probabiliste.
    Considérons X1, …, Xn
    des variables aléatoires mutuellement indépendantes, de
    même loi donnée par
    P(X1
    = 1) = P(X1
    = −1) = 1
    2
    ,
    puis construisons la variable aléatoire U = X1v1
    + · · · + Xn
    vn
    .
    Alors,
    ∥U∥2 =
    ⟨ n

    i=1
    Xi
    vi
    ,
    n

    j=1
    Xj
    vj

    =
    n

    i=1
    n

    j=1
    ⟨vi
    , vj
    ⟩Xi
    Xj
    .

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  28. Calculons l’espérance de la variable aléatoire réelle ∥U∥2 avec la linéarité.
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    =
    n

    i=1
    n

    j=1
    ⟨vi
    , vj
    ⟩E(Xi
    Xj
    ).
    Notons que, pour des entiers i et j distincts, on obtient
    E(Xi
    Xj
    ) = E(Xi
    )E(Xj
    ) = 0,

    View full-size slide

  29. Calculons l’espérance de la variable aléatoire réelle ∥U∥2 avec la linéarité.
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    =
    n

    i=1
    n

    j=1
    ⟨vi
    , vj
    ⟩E(Xi
    Xj
    ).
    Notons que, pour des entiers i et j distincts, on obtient
    E(Xi
    Xj
    ) = E(Xi
    )E(Xj
    ) = 0,
    donc
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    =
    n

    i=1
    ∥vi
    ∥2E(X2
    i
    ).

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  30. Par ailleurs, pour tout entier i, E(X2
    i
    ) = E(1) = 1, d’où
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    =
    n

    i=1
    ∥vi
    ∥2.

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  31. Par ailleurs, pour tout entier i, E(X2
    i
    ) = E(1) = 1, d’où
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    =
    n

    i=1
    ∥vi
    ∥2.
    Comme par hypothèse les vecteurs vi
    sont unitaires, on obtient finalement,
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    = n.

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  32. Par ailleurs, pour tout entier i, E(X2
    i
    ) = E(1) = 1, d’où
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    =
    n

    i=1
    ∥vi
    ∥2.
    Comme par hypothèse les vecteurs vi
    sont unitaires, on obtient finalement,
    E
    (
    ∥U∥2
    )
    = n.
    Avec le lemme fondamental, il existe une réalisation de U telle que ∥U∥2 ≥ n et une
    réalisation de U telle que ∥U∥2 ≤ n.

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  33. Avec la théorie de Ramsey
    La théorie de Ramsey est un ensemble de résultats mathématiques de la forme
    suivante.
    Théorème
    Étant donné une structure, il existe une taille minimale telle que tout objet de taille
    supérieure contient cette structure.

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  34. Avec la théorie de Ramsey
    La théorie de Ramsey est un ensemble de résultats mathématiques de la forme
    suivante.
    Théorème
    Étant donné une structure, il existe une taille minimale telle que tout objet de taille
    supérieure contient cette structure.
    ”Le désordre complet n’existe pas.”

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  35. Commençons par un premier théorème.
    Théorème
    On suppose qu’il y a au moins six personnes dans une pièce. Parmi elles, on peut toujours
    trouver
    • soit trois qui se connaissent toutes mutuellement,
    • soit trois qui se croisent toutes pour la première fois.

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  36. Représentons la situation par un graphe.
    • Chaque personne est représentée par un sommet.

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  37. Représentons la situation par un graphe.
    • Chaque personne est représentée par un sommet.
    • Deux sommets correspondant à des personnes se connaissant sont reliés par une
    arête rouge.

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  38. Représentons la situation par un graphe.
    • Chaque personne est représentée par un sommet.
    • Deux sommets correspondant à des personnes se connaissant sont reliés par une
    arête rouge.
    • Deux sommets correspondant à des personnes ne se connaissant pas sont reliés
    par une arête bleue.

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  39. Représentons la situation par un graphe.
    • Chaque personne est représentée par un sommet.
    • Deux sommets correspondant à des personnes se connaissant sont reliés par une
    arête rouge.
    • Deux sommets correspondant à des personnes ne se connaissant pas sont reliés
    par une arête bleue.
    Pour établir la proposition, il suffit de prouver qu’il existe un triangle d’une seule
    couleur indépendamment du coloriage de ce graphe.

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  40. Passons à la démonstration.
    Considérons un sommet.

    View full-size slide

  41. Passons à la démonstration.
    Considérons un sommet.

    View full-size slide

  42. Passons à la démonstration.
    Considérons un sommet. Les 5 arêtes partant de ce sommet sont coloriées soit en
    bleu, soit en rouge: il en existe donc au moins 3 de la même couleur, par exemple,
    rouge.

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  43. Passons à la démonstration.
    Considérons un sommet. Les 5 arêtes partant de ce sommet sont coloriées soit en
    bleu, soit en rouge: il en existe donc au moins 3 de la même couleur, par exemple,
    rouge.
    ▷ Si les trois sommets reliés par des arêtes rouges au sommet fixé sont reliés entre
    eux par des arêtes bleues, alors il y a un triangle bleu.

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  44. Passons à la démonstration.
    Considérons un sommet. Les 5 arêtes partant de ce sommet sont coloriées soit en
    bleu, soit en rouge: il en existe donc au moins 3 de la même couleur, par exemple,
    rouge.
    ▷ Si les trois sommets reliés par des arêtes rouges au sommet fixé sont reliés entre
    eux par des arêtes bleues, alors il y a un triangle bleu.
    ▷ Sinon, deux de ces sommets sont reliés par une arête rouge: ils forment un triangle
    rouge (avec le sommet fixé).

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  45. En revanche, le théorème n’est plus toujours vrai pour seulement cinq personnes
    comme on peut le voir avec le graphe suivant où il n’existe pas de triangle d’une seule
    couleur.

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  46. Généralisons.
    Théorème
    Neuf personnes sont dans une pièce. Alors, on peut toujours trouver
    • soit trois qui se connaissent toutes mutuellement,
    • soit quatre qui se croisent toutes pour la première fois.

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  47. Généralisons.
    Théorème
    Neuf personnes sont dans une pièce. Alors, on peut toujours trouver
    • soit trois qui se connaissent toutes mutuellement,
    • soit quatre qui se croisent toutes pour la première fois.

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  48. Pour généraliser encore, donnons une définition.
    Un graphe à k sommets est complet quand on trace toutes les arêtes possibles entre
    ces k sommets
    Graphe complet à 17 sommets

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  49. Pour généraliser encore, donnons une définition.
    Un graphe à k sommets est complet quand on trace toutes les arêtes possibles entre
    ces k sommets (soit
    (
    k
    2
    )
    = k(k−1)
    2
    arêtes).
    Graphe complet à 17 sommets et 136 arêtes

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  50. Pour généraliser encore, donnons une définition.
    Un graphe à k sommets est complet quand on trace toutes les arêtes possibles entre
    ces k sommets (soit
    (
    k
    2
    )
    = k(k−1)
    2
    arêtes).
    Graphe complet à 17 sommets et 136 arêtes
    On retrouve un triangle pour k = 3 et le carré avec diagonales pour k = 4.

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  51. Donnons la version générale du théorème de Ramsey avec deux couleurs.
    Théorème
    Soit p et q des entiers supérieurs à 2 fixés. Alors, il existe un entier N tel que tout coloriage
    du graphe complet à N sommets en deux couleurs rouge et bleu contient
    • soit un sous-graphe complet rouge à p sommets,
    • soit un sous-graphe complet bleu à q sommets.
    Notons R(p, q) le plus petit entier N vérifiant la conclusion de ce théorème.

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  52. Nous avons établi:
    Théorème
    R(3, 3) = 6.

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  53. Nous avons établi:
    Théorème
    R(3, 3) = 6.
    Avec la définition, on obtient aussi:
    Théorème
    Pour tout entier q supérieur à 2,
    R(2, q) = q.

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  54. Voici toutes les valeurs connues de R(p, q)(= R(q, p)) pour p, q ≥ 3:
    3 4 5 6 7 8 9
    3 6 9 14 18 23 28 36
    4 9 18 25
    5 14 25
    6 18
    7 23
    8 28
    9 36

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  55. Supposons que des extraterrestres envahissent la Terre et men-
    acent de l’anéantir dans un an si les êtres humains ne parvien-
    nent pas à trouver le nombre de Ramsey pour cinq rouges et
    cinq bleus. Nous pourrions réunir les meilleurs esprits et les
    ordinateurs les plus rapides du monde et, en un an, nous pour-
    rions probablement calculer cette valeur.
    Si les extraterrestres demandaient le nombre de Ramsey pour
    six rouges et six bleus, nous n’aurions d’autre choix que de
    lancer une attaque préventive.
    Paul Erdős

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  56. Nous allons démontrer le résultat suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    R(6, 6) > 17.

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  57. Nous allons démontrer le résultat suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    R(6, 6) > 17.
    En d’autres termes, il existe une coloration du graphe complet à 17 sommets qui n’admet
    pas de sous-graphe complet monochrome à 6 sommets.

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  58. • Il y a 2(17
    2
    ) = 2136 ≈ 8, 7.1040 coloriages du graphe à 17 sommets,

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  59. • Il y a 2(17
    2
    ) = 2136 ≈ 8, 7.1040 coloriages du graphe à 17 sommets,
    • et chacun comporte
    (
    17
    6
    )
    = 12376 sous-graphes à 6 sommets (et donc 15 arêtes).

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  60. • Il y a 2(17
    2
    ) = 2136 ≈ 8, 7.1040 coloriages du graphe à 17 sommets,
    • et chacun comporte
    (
    17
    6
    )
    = 12376 sous-graphes à 6 sommets (et donc 15 arêtes).
    La vérification exhaustive serait plutôt longue, non?

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  61. Passons à la preuve.
    Considérons un graphe aléatoire à n sommets tel que chaque arête est coloriée
    • en rouge avec probabilité 1
    2
    ,

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  62. Passons à la preuve.
    Considérons un graphe aléatoire à n sommets tel que chaque arête est coloriée
    • en rouge avec probabilité 1
    2
    ,
    • en bleu avec probabilité 1
    2
    ,

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  63. Passons à la preuve.
    Considérons un graphe aléatoire à n sommets tel que chaque arête est coloriée
    • en rouge avec probabilité 1
    2
    ,
    • en bleu avec probabilité 1
    2
    ,
    • indépendamment de toutes les autres.

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  64. Passons à la preuve.
    Considérons un graphe aléatoire à n sommets tel que chaque arête est coloriée
    • en rouge avec probabilité 1
    2
    ,
    • en bleu avec probabilité 1
    2
    ,
    • indépendamment de toutes les autres.
    Effectuons quelques calculs sur ce graphe aléatoire.

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  65. Théorème
    En moyenne, le graphe aléatoire comporte n(n−1)
    4
    arêtes rouges.

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  66. Théorème
    En moyenne, le graphe aléatoire comporte n(n−1)
    4
    arêtes rouges.
    Reformulons cet énoncé plus mathématiquement.
    Théorème
    Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’arêtes rouges dans le graphe aléatoire.
    Alors, E(X) = n(n−1)
    4
    .

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  67. Notons, pour chaque arête a,
    a
    la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon.
    a

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  68. Notons, pour chaque arête a,
    a
    la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon.
    a

    a
    = 1

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  69. Notons, pour chaque arête a,
    a
    la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon.
    a

    a
    = 0

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  70. Notons, pour chaque arête a,
    a
    la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon.
    Alors,
    X =

    a

    a
    .

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  71. Par linéarité de l’espérance
    E(X) = E
    ( ∑
    a

    a
    )
    =

    a
    E(
    a
    )

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  72. Par linéarité de l’espérance
    E(X) = E
    ( ∑
    a

    a
    )
    =

    a
    E(
    a
    )
    =

    a
    (
    1
    2
    1 +
    1
    2
    0
    )

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  73. Par linéarité de l’espérance
    E(X) = E
    ( ∑
    a

    a
    )
    =

    a
    E(
    a
    )
    =

    a
    (
    1
    2
    1 +
    1
    2
    0
    )
    =
    (
    n
    2
    )
    1
    2
    =
    n(n − 1)
    4
    .

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  74. Théorème
    Soit N3 la variable aléatoire égale au nombre de triangles rouges dans le graphe aléatoire.
    Alors, E(N3
    ) =
    (
    n
    3
    )
    1
    8
    .

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  75. Notons, pour chaque triangle t,
    t
    la variable aléatoire qui vaut 1 si t est rouge, 0
    sinon.
    Alors,
    N3
    =

    t

    t
    ,

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  76. Notons, pour chaque triangle t,
    t
    la variable aléatoire qui vaut 1 si t est rouge, 0
    sinon.
    Alors,
    N3
    =

    t

    t
    ,
    puis par linéarité de l’espérance
    E(N3
    ) =

    t
    E(
    t
    )
    =

    t
    ((1
    2
    )3
    1 +
    (
    1 −
    (1
    2
    )3
    )
    0
    )
    =
    (
    n
    3
    )
    1
    8
    .

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  77. Théorème
    Soit Nk
    la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec
    arêtes toutes rouges dans le graphe aléatoire. Alors, E(Nk
    ) =
    (
    n
    k
    )
    2−(k
    2
    ).

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  78. Théorème
    Soit Nk
    la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec
    arêtes toutes rouges dans le graphe aléatoire. Alors, E(Nk
    ) =
    (
    n
    k
    )
    2−(k
    2
    ).
    Théorème
    Soit N′
    k
    la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec
    arêtes toutes bleues dans le graphe aléatoire. Alors, E(N′
    k
    ) =
    (
    n
    k
    )
    2−(k
    2
    ).

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  79. Théorème
    Soit N la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec
    arêtes toutes de la même couleur dans le graphe aléatoire. Alors, E(N) =
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ).

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  80. Théorème
    Soit N la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec
    arêtes toutes de la même couleur dans le graphe aléatoire. Alors, E(N) =
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ).
    Il suffit de noter que N = Nk
    + N′
    k

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  81. Théorème
    Soit N la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec
    arêtes toutes de la même couleur dans le graphe aléatoire. Alors, E(N) =
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ).
    Il suffit de noter que N = Nk
    + N′
    k
    puis d’utiliser la linéarité de l’espérance et les deux
    résultats précédents
    E(N) = E(Nk
    ) + E(N′
    k
    )
    =
    (
    n
    k
    )
    2−(k
    2
    ) +
    (
    n
    k
    )
    2−(k
    2
    )
    =
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ).

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  82. En appliquant à nouveau le lemme fondamental, on obtient
    Théorème
    Si
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ) < 1, alors il existe une coloration du graphe complet à n sommets qui
    n’admet aucun sous-graphe complet monochrome à k sommets

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  83. En appliquant à nouveau le lemme fondamental, on obtient
    Théorème
    Si
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ) < 1, alors il existe une coloration du graphe complet à n sommets qui
    n’admet aucun sous-graphe complet monochrome à k sommets, autrement dit
    R(k, k) > n.

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  84. En appliquant à nouveau le lemme fondamental, on obtient
    Théorème
    Si
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ) < 1, alors il existe une coloration du graphe complet à n sommets qui
    n’admet aucun sous-graphe complet monochrome à k sommets, autrement dit
    R(k, k) > n.
    Dans notre cas particulier, n = 17 et k = 6 et l’on vérifie
    (
    n
    k
    )
    21−(k
    2
    ) =
    (
    17
    6
    )
    214
    =
    12376
    16384
    < 1.
    L’égalité R(6, 6) > 17 est ainsi établie!

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  85. Coloriage de graphe et cycles
    Un coloriage d’un graphe est une application qui associe une couleur à chaque
    sommet telle que deux sommets voisins ne sont jamais de la même couleur.

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  86. Coloriage de graphe et cycles
    Un coloriage d’un graphe est une application qui associe une couleur à chaque
    sommet telle que deux sommets voisins ne sont jamais de la même couleur.
    Le nombre chromatique χ d’un graphe est le nombre minimal de couleurs d’un
    coloriage de ce graphe.

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  87. Théorème
    Si un graphe G contient un cycle de longueur 3, il faut au moins trois couleurs pour le
    colorier, c’est-à-dire χ ≥ 3.

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  88. Théorème
    Si un graphe G contient un cycle de longueur 3, il faut au moins trois couleurs pour le
    colorier, c’est-à-dire χ ≥ 3.
    La réciproque est fausse.

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  89. Nous allons démontrer le résultat suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    Soit k, l ∈ N∗. Alors, il existe un graphe G tel que
    • le nombre minimal χ de couleurs d’un coloriage de G vérifie χ > k
    • la longueur g du plus petit cycle de G vérifie g > l

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  90. Nous allons démontrer le résultat suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    Soit k, l ∈ N∗. Alors, il existe un graphe G tel que
    • le nombre minimal χ de couleurs d’un coloriage de G vérifie χ > k
    • la longueur g du plus petit cycle de G vérifie g > l
    Considérons un graphe aléatoire à n sommets où chaque arête existe
    (indépendamment des autres) avec probabilité pn
    = 1
    n
    (ln n)2.

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  91. Nous allons démontrer le résultat suivant avec la méthode probabiliste.
    Théorème
    Soit k, l ∈ N∗. Alors, il existe un graphe G tel que
    • le nombre minimal χ de couleurs d’un coloriage de G vérifie χ > k
    • la longueur g du plus petit cycle de G vérifie g > l
    Considérons un graphe aléatoire à n sommets où chaque arête existe
    (indépendamment des autres) avec probabilité pn
    = 1
    n
    (ln n)2.
    Notons N la variable aléatoire égale au nombre de cycles de longueur au plus l, α la
    variable aléatoire égale au nombre maximal de sommets entre lesquels il n’y a
    aucune arête (stable maximal).

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  92. Première étape: contrôle du nombre de petits cycles

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  93. Première étape: contrôle du nombre de petits cycles
    E(N) =
    l

    j=3
    (
    n
    j
    )
    1
    2
    (j − 1)!(pn
    )j

    l

    j=3
    (npn
    )j

    l

    j=3
    (ln n)2j
    = o(n).

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  94. Première étape: contrôle du nombre de petits cycles
    E(N) =
    l

    j=3
    (
    n
    j
    )
    1
    2
    (j − 1)!(pn
    )j

    l

    j=3
    (npn
    )j

    l

    j=3
    (ln n)2j
    = o(n).
    Par l’inégalité de Markov,
    P
    (
    N ≥
    n
    2
    )

    2
    n
    E(N),
    donc P
    (
    N ≥ n
    2
    )
    → 0.

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  95. Deuxième étape: contrôle de la taille du stable maximal

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  96. Deuxième étape: contrôle de la taille du stable maximal
    Pour tout m ∈ N∗,
    P(α > m) ≤

    A∈Pm
    (S)
    (1 − pn
    )(m
    2
    )

    (
    n
    m
    )
    (1 − pn
    )(m
    2
    ),

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  97. Deuxième étape: contrôle de la taille du stable maximal
    Pour tout m ∈ N∗,
    P(α > m) ≤

    A∈Pm
    (S)
    (1 − pn
    )(m
    2
    )

    (
    n
    m
    )
    (1 − pn
    )(m
    2
    ),
    donc P
    (
    α ≥ 3n
    ln n
    )
    → 0.

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  98. Soit n suffisamment grand tel que
    P
    (
    N ≥
    n
    2
    )
    <
    1
    2
    , P
    (
    α ≥
    3n
    ln n
    )
    <
    1
    2
    .

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  99. Soit n suffisamment grand tel que
    P
    (
    N ≥
    n
    2
    )
    <
    1
    2
    , P
    (
    α ≥
    3n
    ln n
    )
    <
    1
    2
    .
    P
    (
    N <
    n
    2
    , α <
    3n
    ln n
    )
    = 1 − P
    (
    N ≥
    n
    2
    ou α ≥
    3n
    ln n
    )
    ≥ 1 − P
    (
    N ≥
    n
    2
    )
    − P
    (
    α ≥
    3n
    ln n
    )
    > 0.

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  100. Soit n suffisamment grand tel que
    P
    (
    N ≥
    n
    2
    )
    <
    1
    2
    , P
    (
    α ≥
    3n
    ln n
    )
    <
    1
    2
    .
    P
    (
    N <
    n
    2
    , α <
    3n
    ln n
    )
    = 1 − P
    (
    N ≥
    n
    2
    ou α ≥
    3n
    ln n
    )
    ≥ 1 − P
    (
    N ≥
    n
    2
    )
    − P
    (
    α ≥
    3n
    ln n
    )
    > 0.
    D’après le lemme fondamental, il existe un graphe à n sommets avec au plus n
    2
    cycles
    de longueur au plus l et un stable maximal de taille au plus 3n
    ln n
    .

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  101. Enlevons un sommet dans chacun des ”petits” cycles: on obtient un graphe
    • au moins n
    2
    sommets
    • sans cycle de longueur au plus l
    • avec un stable maximal de taille au plus 3n
    ln n

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  102. Enlevons un sommet dans chacun des ”petits” cycles: on obtient un graphe
    • au moins n
    2
    sommets
    • sans cycle de longueur au plus l
    • avec un stable maximal de taille au plus 3n
    ln n
    Comme dans un coloriage d’un graphe, chaque ensemble de sommets coloriés de la
    même couleur est de taille inférieure à celle du stable maximal,
    χ ≥ n
    2
    × ln n
    3n
    = 1
    6
    ln n.

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  103. Enlevons un sommet dans chacun des ”petits” cycles: on obtient un graphe
    • au moins n
    2
    sommets
    • sans cycle de longueur au plus l donc g > l
    • avec un stable maximal de taille au plus 3n
    ln n
    Comme dans un coloriage d’un graphe, chaque ensemble de sommets coloriés de la
    même couleur est de taille inférieure à celle du stable maximal,
    χ ≥ n
    2
    × ln n
    3n
    = 1
    6
    ln n.
    Pour n suffisamment grand, χ > k.

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  104. Conclusion
    La méthode probabiliste est une technique (non constructive) pour prouver
    l’existence d’objets ayant certaines propriétés spécifiques.
    Elle repose sur la théorie des probabilités mais permet d’établir des théorèmes
    déterministes.
    Elle est applicable à de nombreux domaines où apparaissent des aspects
    combinatoires.
    Elle remplace l’étude exhaustive de toutes les configurations par une étude ”en
    moyenne”.

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  105. Bibliographie
    ▶ The Probabilistic Method (4th Edition),
    Noga Alon, Joel H. Spencer,
    Wiley, 2016
    ▶ Introduction aux graphes aléatoires,
    Roger Mansuy,
    Calvage et Mounet, 2020

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