pastor inglés que vivió en el siglo XVIII, entre 1702 y 1761. Curiosamente, él nunca publicó su teorema en vida; fue su amigo Richard Price quien lo dio a conocer en 1763, dos años después de su muerte. Su gran aporte fue proponer que las probabilidades no son fijas, sino que pueden corregirse con nuevos datos. La idea en una frase es: **actualizar una probabilidad cuando aparece nueva información**. Es decir, partimos de una creencia inicial sobre algo, y cuando llega una evidencia nueva, esa creencia se ajusta: puede subir o bajar según lo que los datos indiquen.
· P(A) / P(B) Cada parte significa lo siguiente: P(A) es la probabilidad a priori, que es lo que creemos antes de tener evidencia. P(B|A) es la verosimilitud, es decir, qué tan probable es que ocurra la evidencia si A fuera verdadero. P(B) es la evidencia, la probabilidad total de que ocurra B sumando todos los caminos posibles. Y P(A|B) es la probabilidad a posteriori, que es lo que creemos después de haber visto la evidencia.
lugar, en el pronóstico del clima, porque la probabilidad de lluvia se actualiza cuando se observan nubes o cambios de presión. En segundo lugar, en los controles antidopaje del deporte, para interpretar correctamente un resultado positivo. En tercer lugar, en la inteligencia artificial, especialmente en los clasificadores llamados Naive Bayes que usan empresas como Google y correos electrónicos para clasificar textos. En cuarto lugar, en los estudios de mercado, por ejemplo para estimar qué tan probable es que un cliente compre si ya visitó la tienda dos veces. Y en quinto lugar, en la vida cotidiana, como cuando decidimos si un perro que ladra en el parque es de raza pequeña o no.
definimos A como lo que queremos saber y B como la evidencia que observamos. Segundo, anotamos los datos: la probabilidad a priori P(A), la verosimilitud P(B|A) y también la probabilidad de la evidencia cuando A no ocurre, es decir, P(B|no A). Tercero, calculamos la evidencia total P(B) sumando todas las rutas, es decir, multiplicando P(B|A) por P(A) y sumándole P(B|no A) por P(no A). Cuarto, dividimos la ruta favorable entre la evidencia total y obtenemos la probabilidad a posteriori. Todo esto se puede apoyar con un diagrama de árbol para visualizar las rutas.
de que llueva en un día cualquiera es del 30%. Cuando va a llover, el 80% de las veces amanece nublado. Cuando no va a llover, solo el 20% de las veces amanece nublado. Hoy amaneció nublado. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva? Definimos A como "llueve" y B como "amaneció nublado". Los datos son: P(A) = 0.30, P(B|A) = 0.80 y P(B|no A) = 0.20. Primero calculamos la evidencia total, es decir, la probabilidad de amanecer nublado: P(B) = (0.80 × 0.30) + (0.20 × 0.70) = 0.24 + 0.14 = 0.38. Ahora aplicamos la fórmula: P(A|B) = (0.80 × 0.30) / 0.38 = 0.24 / 0.38 = 0.632. La respuesta es que la probabilidad de lluvia subió del 30% inicial al 63.2% al observar nublado. Es decir, la evidencia casi duplicó nuestra creencia inicial.
los atletas usan sustancias prohibidas. La prueba antidopaje detecta al 95% de los dopados, pero también da un falso positivo en el 8% de los atletas limpios. Un atleta da positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente esté dopado? Definimos A como "el atleta está dopado" y B como "dio positivo". Los datos son: P(A) = 0.02, P(B|A) = 0.95 y P(B|no A) = 0.08. Calculamos la evidencia total: P(B) = (0.95 × 0.02) + (0.08 × 0.98) = 0.019 + 0.0784 = 0.0974. Aplicamos la fórmula: P(A|B) = 0.019 / 0.0974 = 0.195. La respuesta es que, a pesar de dar positivo, el atleta solo tiene un 19.5% de probabilidad de estar realmente dopado. Esto ocurre porque doparse es muy raro, entonces los falsos positivos pesan mucho. Es un resultado sorprendente y muy contraintuitivo.
30% de los perros son de raza pequeña, como poodles. El 70% de los perros de raza pequeña ladran cuando alguien pasa caminando, mientras que solo el 40% de los perros de raza grande ladran. Si escuchamos un ladrido en el parque, ¿cuál es la probabilidad de que venga de un perro de raza pequeña? Definimos A como "el perro es de raza pequeña" y B como "ladra". Los datos son: P(A) = 0.30, P(B|A) = 0.70 y P(B|no A) = 0.40. Calculamos la evidencia total, es decir, la probabilidad de escuchar un ladrido: P(B) = (0.70 × 0.30) + (0.40 × 0.70) = 0.21 + 0.28 = 0.49. Aplicamos la fórmula: P(A|B) = 0.21 / 0.49 = 0.429. La respuesta es que hay un 42.9% de probabilidad de que el perro que ladra sea de raza pequeña. Aunque los perros pequeños ladran más, como hay más perros grandes en total, la evidencia no alcanza para pasar del 50%.
Bayes nos permite pasar de una probabilidad a priori a una probabilidad a posteriori usando evidencia nueva, y que este ajuste puede cambiar totalmente nuestras conclusiones, como vimos en los tres problemas. También aprendimos un error común que debemos evitar: confundir P(A|B) con P(B|A). Por ejemplo, que el 95% de los dopados den positivo no significa que el 95% de los positivos sean dopados. Son preguntas distintas y Bayes es la herramienta que nos permite no caer en esa trampa. Las referencias consultadas son las siguientes: Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L. y Ye, K. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9.ª ed.). Pearson Educación. Economipedia (2020). Teorema de Bayes: qué es, fórmula y ejemplos. Recuperado de https://economipedia.com/definiciones/teorema-de-bayes.html. Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México (s.f.). El teorema de Bayes. Recuperado de https://www.fciencias.unam.mx
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